Quádricas Calc. II

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AULA 5 – CÁLCULO 3
Superfícies Quádricas
Fonte: Anton, Stewart, Thomas
Profa. Daniela Buske
DME - UFPel
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Até aqui já olhamos para 3 tipos de superfícies:
o planos
o esferas
o cilíndricas
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Nesta aula:
o revisão de superfícies cilíndricas
o superfícies quádricas
Para esboçar o gráfico das superfícies cilíndricas e quádricas é útil
determinar a intersecção da superfície com planos paralelos aos
planos coordenados. Essas curvas são denominadas traços (ou
secções transversais) da superfície.
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Cilindros:
Um cilindro é uma superfície constituída de todas as retas
(chamadas geratrizes) que são paralelas a uma reta dada e que
passam por uma curva plana.
Exemplo 1: Esboce a superfície
Observe que a equação não envolve y. Isto significa que qualquer plano
vertical da equação y = k (paralelo ao plano xz) intercepta o gráfico
segundo uma curva de equação Os traços verticais são portanto
parábolas.
A figura indica como o gráfico é formado
tomando a parábola no plano xz e
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tomando a parábola no plano xz e
movendo-a na direção do eixo y.
O gráfico é uma superfície, chamada de cilindro
parabólico, feito de um n° infinito de cópias
deslocadas da mesma parábola. Aqui as
geratrizes da superfície cilíndrica são paralelas
ao eixo y.
Recordando: No exemplo 1 a variável y não aparece na equação
da superfície cilíndrica. Esse fato é comum às superfícies
cilíndricas cujas geratrizes são paralelas a um dos eixos
coordenados. Se uma das variáveis x, y ou z está faltando na
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coordenados. Se uma das variáveis x, y ou z está faltando na
equação da superfície, a superfície obtida é cilíndrica.
Exemplo: Identifique e esboce as superfícies:
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NOTA: Quando estamos tratando de superfícies, é importante
reconhecer que uma equação como representa uma
superfície cilíndrica e não uma circunferência. O traço dessa superfície
no plano xy é a circunferência de equação
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Quádricas:
Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação de segundo
graus nas três variáveis x, y e z. A forma mais geral dessa equação
é dada por:
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onde A, B, C, ... J são constantes.
As superfícies quádricas são as correspondentes tridimensionais
das cônicas no plano.
Exemplo: Utilize traços para fazer o esboço da quádrica com equação
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A figura abaixo mostra como representar no esboço alguns traços
para indicar a forma da superfície. Essa superfície é chamada
elipsóide, visto que todos os seus traços são elipses. Note a
simetria em relação a cada plano coordenado; isto é reflexo do fato
de só aparecerem potências positivas de x, y e z.
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Exemplo: Utilize traços para esboçar a superfície
Impondo x = 0, obtemos z = y2, de forma que no plano yz a intersecção
da superfície é uma parábola. Se tomarmos x = k (uma cte), obteremos
Z = y2 + 4k2. Isto significa que se deslocarmos o gráfico para um plano
paralelo ao plano yz obteremos uma nova parábola com concavidade
voltada para cima.
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voltada para cima.
Da mesma forma, tomando y = k, o traço é z = 4x2 + k2, que
corresponde novamente a uma parábola com concavidade para cima.
Impondo z = k, obteremos os traços horizontais 4x2 + y2 = k, que
reconhecemos como uma família de elipses.
Sabendo a forma dos traços podemos esboçar a figura abaixo.
Pelo fato de os traços serem parábolas e elipses, a quádrica é
denominada parabolóide elíptico.
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Exemplo: Esboce a superfície
Os traços nos planos verticais x = k são parábolas z = y2 – x2 com concavidade
voltada para cima. Os traços em y = k são parábolas z = -x2 + k2, com
concavidade voltada para baixo. Os traços horizontais são y2 – x2 = k, uma
família de hipérboles. Na figura abaixo desenhamos esses traços e mostramos
como eles aparecem quando colocados nos planos corretos na figura do
próximo slide.
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próximo slide.
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FIGURA:
Traços movidos para
suas posições nos
planos corretos.
Nesta figura colocamos os 3 gráficos do slide anterior juntos para formar a
superfície z = y2 – x2, um parabolóide hiperbólico.
Observe que o formato da superfície perto da origem se assemelha a uma
sela. Essa superfície será alvo de estudos futuros, quando discutiremos os
pontos de sela.
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A idéia de usar os traços para desenhar a superfície é empregada em
programas que fazem gráficos tridimensionais. Na maioria desses
programas os traços nos planos verticais x = k e y = k são apresentados
para valores de k igualmente espaçados, e partes do gráfico são
eliminadas utilizando-se a técnica de remover linhas escondidas.
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A tabela a seguir mostra gráficos de computador de seis quádricas
básicas na forma padrão. Todas as superfícies são simétricas em relação
ao eixo z. Se uma quádrica é simétrica em relação a um eixo diferente,
sua equação se modifica de modo apropriado.
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Exemplo: Identifique e esboce o desenho da superfície 
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Exemplo: Classifique a quádrica
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Como identificar a superfície quádrica?
As equações das sup. quádricas tem certas características que tornam possível
identificar as quádricas que são deduzidas dessas equações por reflexões. Essas
características identificatórias, mostradas na tabela, são baseadas em escrever
a equação da sup. quádrica de tal forma que todos os termos variáveis estejam
no lado esquerdo e que haja um 1 ou 0 no lado direito.
20Exemplos ...