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1 Capítulo1 Cálculo de Probabilidade 1.1 Fenomeno Deterministico e Aleatorio^ ´ ´ Um experimento e um processo de observar um determinado fenomeno.´ ^ Encontram-se na natureza dois tipos de fenomenos: i) deterministicos^ ´ ii) aleatorios.´ Os fenomenos deterministicos sao aqueles em que os resultados sao sempre os^ ´ ~ ~ mesmos, qualquer que seja o nu´mero de ocorrencias dos mesmos.^ Exemplo: Sabemos que um solido, a uma determinada temperatura, passara para o estado´ ´ liquido.´ Nos fenomenos aleatorios, mesmo que as condicoes iniciais sejam sempre as^ ´ ¸~ mesmas, os resultados finais de cada repeticao do fenomeno serao diferentes e nao¸~ ~ ~^ previsiveis.´ Exemplo: Consideramos um lancamento de uma moeda (nao-viciada) com a finalidade de¸ ~ observar a face que a moeda mostra ao cair. Sabemos quais sao os resultados possiveis~ ´ (cara ou coroa), mas nao podemos precisar qual deles sera obtido.~ ´ A Estatistica estuda os fenomenos aleatorios.´ ^ ´ A distribuicao de frequencias das observacoes de um fenomeno aleatorio e um¸ ¸~ ~^ ^ ´ ´ recurso para se entender a variabilidade do mesmo. Entretanto, com suposicoes adequadas e sem observar diretamente o fenomeno,¸~ ^ podemos criar um modelo teorico que reproduza muito bem a distribuicao das frequencias´ ¸~ ^ quando o fenomeno e observado diretamente. Tais modelos sao chamados Modelos de^ ´ ~ Probabilidades. 1.2 Espaco Amostral¸ Definic¸a~o: Espaco Amostral de um experimento aleatorio e o conjunto de todos os¸ ´ ´ possiveis resultados desse experimento.´ Notac¸a~o: 2 Exemplos: Sejam os experimentos: a) E: jogar um dado e observar o n- da face de cima.o = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) E: jogar duas moedas e observar o resultado = {(c,k), (c,k), (k, c), (k,k)} Cada elemento do espaco amostral sera chamado de Evento Simples ou Ponto¸ ´ Amostral. 1.3 Evento Aleatorio´ Definic¸a~o: Um Evento e o conjunto de pontos amostrais com uma dada caracteristica´ ´ particular. Ou seja, um evento e um subconjunto de .´ Exemplo: Sejam o experimento E: jogar tres moedas e observar os resultados,^ e o evento A: ocorrer pelo menos duas caras. Entao:~ = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (c,k,k), (k,c,k), (k,k,c), (k,k,k)} e A = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)} NOTA 1) Em particular, e um Evento Certo ´ e um Evento Impossivel.´ ´ NOTA 2) Usando as operacoes com conjuntos, poderemos formar novos eventos.¸~ A B e o evento em que pelo menos um dos dois eventos ocorrem.´ A B e o evento que ocorre se A e B ocorrem.´ A e o evento que ocorre se A nao ocorre _ ´ ~ Definic¸a~o: Dois eventos A e B sao denominados Mutuamente Excludentes, se eles nao~ ~ puderem ocorrer simultaneamente. Isto e, se A B = .´ Exemplo: Seja o experimento E: jogar um dado e observar o resultado. Sejam os eventos A: ocorrer n- par e B: ocorrer n- impar. Entao:o o ´ ~ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} , B = {1, 3, 5} e A B = 3 1.4 Definicao de Probabilidade¸~ Definic¸a~o: Consideremos um experimento cujo espaco amostral e .¸ ´ Define-se Probabilidade P a uma funcao definida em que associa a cada¸~# evento A um nu´mero real P(A), satisfazendo os seguintes axiomas: i- 0 P(A) 1 para todo evento A de . ii- P( ) = 1 iii- P( A ) = P(A ) se A , A , . . . forem eventos mutuamente exclusivos. i=1 i i i=1 1.5 Propriedades 1- Se A = entao P(A) = 0.~ prova: = e sao mutuamente excludentes, entao:~ ~ P( ) = P( ) + P( ) Mas = P( ) = P( ) = 1 Logo, P( ) = P( ) + P( ) P( ) = 0. NOTA: Nao vale a reciproca, i.e, P(A) = 0 A = .~ ´ ´ 2- P(A) = 1 - P(A) _ prova: A A = A e A sao mutuamente excludentes, entao: _ _ ~ ~ P(A A) = P(A) + P(A) _ _ P(A) + P(A) = 1 _ Mas A A = P(A A) = P( ) = 1 _ _ Portanto, P(A) = 1 P(A) _ 3- Se A B entao i) P(A) P(B)~ ii) P(B - A) = P(B A) = P(B) - P(A) _ prova: i) Desde que A B entao B = A (A B) ~ _ 4 Agora, A e A B sao mutuamente exclusivos, logo _ ~ P(B) = P A (A B) = P(A) + P(A B) _ _ Como P(A B) 0 P(B) P(A) _ ii) Pela demonstracao do item i) temos que¸~ ´ P(B) = P A (A B) = P(A) + P(A B) _ _ Logo, P(A B) = P(B) P(A) _ 4- P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) prova: Observe a figura a seguir. Dai, A B = I II III´ A = I II B = II III A B = II Como I, II e III sao mutuamente excludentes, segue:~ P(A B) = P(I) + P(II) + P(III) P(A B) = P(A) + P(III) P(A) = P(I) + P(II) P(B) = P(II) + P(III) P(III) = P(B) P(A B) 5 P(A B) = P(II) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 5- Se os eventos A , A , . . ., A formam uma particao do espaco amostral, entao:¸ ¸~ ~ n i) P( A ) = P(A ) n i=1 i i n i=1 ii) P(A ) = 1 n i=1 i prova: Por inducao.¸~ 6- Sejam A , A , . . ., A eventos de um espaco amostral . Entao:¸ ~ n P( A ) = P(A ) - P(A A ) + P(A A A ) - . . . + (-1) . P(A A n i=1 i i i j i j k n n n i=1 i<j i<j<k n- . . . A ) n NOTA: Note-se que, apesar de termos postulado a existencia do nu´mero P(A) e de varias^ ´ propriedades, nada dissemos quanto a maneira de calcular P(A). 1.6 Espaco Amostral Equiprovavel¸ ´ Para um grande nu´mero de experimentos e natural assumir que cada ponto no´ espaco amostral tenha mesma probabilidade.¸ Consideremos um experimento cujo espaco amostral seja um conjunto finito,¸ = {a , a , . . ., a } n E natural assumir que P({a }) = P({a }) = . . . = P({a }) que implica dos Axiomas 2´ n e 3 que P({a }) = i=1, 2, . . .,ni 1 n Dai, segue que, para qualquer evento A = {a , a , . . ., a } de , K n´ i i i k P(A) = k n Exemplo: Retira-se uma carta de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair rei ou uma carta de espadas? Sol: Seja A: saida de um rei e B: saida de uma carta de espada. Entao:´ ´ ~ 6 A = {K , K , K , K } P(A) = o e c p 452 B= {A , 2 , 3 , . . ., Q , J , K } P(B) = e e e e e e 1352 A B = {K } P(A B) = e 152 Logo, P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(A B) = + - P(A B) = 4 13 1 1652 52 52 52 NOTA: Em muitos experimentos, nao e possivel construir um espaco amostral onde os~ ´ ´ ¸ resultados elementares sejam igualmente provaveis.´ 7 1 Lista de Exercicios de Probabilidade e Estatistica´ ´a 1) Sejam A, B e C tres eventos de um espaco amostral. Exprimir os eventos abaixo, usando^ ¸ as operacoes uniao, interseccao e complementacao:¸ ¸ ¸~ ~ ~ ~ a) somente A ocorre; b) A, C ocorrem, mas B nao;~ c) A, B e C ocorrem; d) pelo menos um ocorre; e) exatamente um ocorre; f) nenhum ocorre; g) exatamente dois ocorrem; h) pelo menos dois ocorrem; i) no maximo dois ocorrem.´ 2) Pecas que saem de uma linha de producao sao marcadas defeituosa (D) ou nao-¸ ¸~ ~ ~ defeituosa (N). As pecas sao inspecionadas e sua condicao registrada. Isto e feito ate que¸ ¸~ ~ ´ ´ duas pecas defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que quatro pecas tenham sido¸ ¸ inspecionadas, aquilo que ocorra em primeiro lugar. Descreva um espaco amostral para este experimento.¸ 3) Lance um dado ate que a face 5 apareca pela primeira vez. Enumere os possiveis´ ¸ ´ resultados deste experimento. 4) Suponhamos A e B eventos com P(A) = , P(B) = e P(A B) = . Encontre:3 1 1 8 2 4 i) P(A B) ii) P(A) e P(B) iii) P(A B) _ __ _ iv) P(A B) v) P(A B) vi) PA B) _ __ _ 5) Em uma prova cairam dois problemas.Sabe-se que que 132 alunos acertaram o primeiro,´ 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso a) nao tenha acertado nenhum problema?~ b) tenha acertado apenas o segundo problema? 6) (Problema Classico dos aniversarios)´ ´ Determinar a probabilidade de n pessoas (n 365) escolhidas ao acaso completarem aniversario em n dias diferentes.´ 7) Se P(A) = 1/3 , P(B) = 1/4 , A e B podem ser disjuntos? _ (Sugestao: P(A) = P(A B) + P(A B) e (A B) B)~ _ _ _ 8) Dois homens h e h , e tres mulheres m , m e m , estao num torneio de xadrez.^ ~ 8 Os do mesmo sexo tem igual probabilidade de vencer, mas cada homem tem duas vezes^ mais probabilidades de ganhar do que qualquer mulher. i) Encontre a probabilidade de que uma mulher venca o torneio.¸ ii) Se h e m , sao casados, encontre a probabilidade de que um deles venca.~ ¸ 9) Seis casais estao numa sala.~ i) Se 2 pessoas sao escolhidas aleatoriamente, encontre a probabilidade p de que a)~ sejam casadas, b) uma seja do sexo masculino e outra do feminino. ii) Se 4 pessoas sao escolhidas aleatoriamente, encontre a probabilidade p de que a)~ 2 casais sejam escolhidos, b) nenhum casal seja escolhido, c) exatamente um casal seja escolhido. iii) Se as 12 pessoas estao divididas em 6 pares, encontre a probabilidade p de que~ a) cada par seja um casal, b) cada par contenha uma pessoa do sexo masculino e outra do feminino. 10) Em um congresso cientifico existem 15 matematicos e 12 estatisticos. Qual a´ ´´ probabilidade de se formar uma comissao com 5 membros, na qual figurem 3 matematicos e~ ´ 2 estatisticos?´ 11) A seguinte afirmacao trata da probabilidade de que exatamente um dos eventos A ou B¸~ ocorra. Prove que: P (A B) (A B) = P(A) + P(B) -2.P(A B) _ _ 12) a) Prove que, para dois eventos quaisquer A e B, P(A B) P(A) + P(B) b) Generalize a) para n eventos quaisquer A , A , . . . , A : n P(A A . . . A ) P(A ) + P(A ) + . . . + P(A ) Desigualdade de Boole n n (Sugestao: Usar Inducao Finita)~ ~¸ 13) Uma secretaria ineficiente coloca ao acaso n cartas em n envelopes. Determine a´ probabilidade de ao menos uma carta chegar ao seu destino. 14) Em uma cidade onde se publicam tres jornais A, B e C, constatou-se que entre 1000^ familias, assinam:´ A: 470 ; B: 420 ; C: 315 ; A e B: 110 ; A e C: 220 ; B e C: 140 e 75 assinam os tres. Escolhendo-se ao acaso uma familia, qual a probabilidade de que ela:^ ´ a) nao assine nenhum dos tres jornais?~ ^ b) assine apenas um dos tres jornais?^ c) assine pelo menos dois jornais? 9 Capítulo2 Probabilidade Condicional e Independência 2.1 Definicao¸~ A probabilidade de um evento A geralmente se modifica quando recebemos a informacao adicional da ocorrencia ou nao de um outro evento B relacionado com A. Esta¸~ ~^ probabilidade e definida como probabilidade condicional e e representada por P(A/B).´ ´ Sempre que calculamos P(A), dado B, estaremos essencialmente calculando P(A) em relacao ao espaco amostral reduzido a /B em lugar de faze-lo em relacao ao espaco¸ ¸ ¸ ¸~ ~^ amostral . Definic¸a~o: A Probabilidade Condicional de um evento A dado a ocorrencia de um evento B^ e definida por,´ P(A/B) = onde P(B) 0. P(A B)P(B) Exemplo: Consideremos 250 alunos que cursam o 1o. ano de uma faculdade. Destes alunos 100 sao homens (H) e 150 sao mulheres (M), 110 cursam fisica (F) e 140 cursam quimica~ ~ ´ ´ (Q). A distribuicao dos alunos e a seguinte:¸~ ´ ------------------------------------------------ F Q Total ----------------------------------------------- H 40 60 100 M 70 80 150 ----------------------------------------------- Total 110 140 250 Um aluno e sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando´ quimica, dado que e mulher?´ ´ Sol: Sejam os eventos Q: o aluno cursa quimica e M: o aluno e mulher´ ´ Desejamos saber P(Q/M) = ? Pelo quadro vemos que esta probabilidade e P(Q/M) = .´ 80150 Pela definicao, P(Q/M) = ¸~ P(Q M)P(M) Dai,´ P(Q/M) = = . 80 250 150 250 80 150 10 NOTA: Note que a probabilidade condicional definida acima satisfaz os axiomas da definicao de probabilidade, i.e,¸~ ´ i') 0 P(B/A) 1 ii') P( /A) = 1 iii') P( E /A) = P(E /A) se E , E , . . . forem eventos mutuamente exclusivos. i=1 i i i=1 2.2 Propriedades 1- P( /A) = 0 2- P(B/A) = 1 - P(B/A) _ 3- i) P(E E /A) = P(E /A) + P(E /A) - P(E E /A) ii) se E E = entao P(E E /A) = P(E /A) + P(E /A)~ 4- Tambem podemos generalizar a propriedade 3) de probabilidade condicional para n´ eventos E , E , . . ., E . n 2.3 Teoremas LEI DA MULTIPLICAC¸A~O DE PROBABILIDADE: P(A B) = P(B).P(A/B) Tambem, de P(B/A) = entao P(A B) = P(A).P(B/A)´ ~P(A B)P(A) Exemplo: Em um lote de 12 pecas, 4 sao defeituosas. Duas pecas sao retiradas uma apos a¸ ¸~ ~ ´ outra sem reposicao. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?¸~ Sol: Sejam os eventos A: a 1a. peca e boa e B: a 2a. peca e boa¸ ¸´ ´ P(A B) = P(A).P(B/A) = . = 8 7 1412 11 33 NOTA: Com 3 eventos A, B e C temos, i) P(A/B C) = P(A B C)P(B C) ii) P(A B C)=P(A).P(B/A).P(C/A B) 11 GENERALIZAC¸A~O DA LEI DE MULTIPLICAC¸A~O DE PROBABILIDADE: P( A ) = P(A ).P(A /A ).P(A /A A ) . . . P(A /A A . . . A ) n i=1 i n n-1 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL: "Sejam A , A , . . ., A eventos que formam uma particao do espaco amostral. Seja¸~ n B um evento desse espaco. Entao¸ ~ P(B) = P(A ).P(B/A ) n i=1 i i prova: Os eventos (B A ) e (B A ) , i j , i=1, . . , n e j=1, . . . , n sao mutuamente~ i j exclusivos, pois (B A ) (B A ) = B (A A ) = B = i j i j Alem disso, B = (B A ) (B A ) . . . (B A ) ´ n Dai,´ P(B) = P (B A ) (B A ) . . . (B A ) = P(B A ) = n i n n i=1 i=1 P(A ).P(B/A )i i Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contem 4´ ´ bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, tambem ao´ acaso uma bola. Qual a probabilidade que seja branca? Sol: Sejam os eventos: I = {a bola provem da urna I}´ II = {a bola provem da urna II}´ que formam uma particao do espaco amostral.¸ ¸~ Consideremos tambem o evento B = {a bola selecionada e branca}´ ´ 12 Queremos P(B) = ? Sabemos que P(I) = P(B/I) = 1 3 2 5 P(II) = P(B/II) = 1 4 2 6 Pelo Teorema da Probabilidade Total, P(B) = P(I).P(B/I) + P(II).P(B/II) Logo, P(B) = . + . = 1 3 1 2 19 2 5 2 3 30 TEOREMA DE BAYES: "Sejam A , A , . . ., A eventos que formam uma particao de .¸~ n Seja B um evento . Suponhamos conhecidas P(A ) e P(B/A ), i=1, 2, . . .,n. i i Entao~ P(A /B) = , j=1, . . .,nj P(A ).P(B/A ) P(A ).P(B/A ) j j n i=1 i i prova: Por definicao P(A /B) = j=1, . . . , n¸~ j P(A B) P(B) j Mas, P(A B) = P(B/A ).P(A )j j j Pelo Teorema da Probabilidade Total: P(B) = P(A ).P(B/A ) n i=1 i i Dai,´ P(A /B) = , j=1, . . .,nj P(A ).P(B/A ) P(A ).P(B/A ) j j n i=1 i i 13 Exemplo: Uma urna A contem 3 moedas de ouro e 2 de pratas. Uma segunda urna B´ contem 4 moedas de ouro e 1 de prata. Seleciona-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se´ uma moeda. Dado que a moeda e de ouro, qual a probabilidade que a urna A tenha sido a´ escolhida? Sol: Sejam os eventos A = {a moeda provem da urna A}´ B = {a moeda provem da urna B}´ que formam uma particao do espaco amostral.¸ ¸~ Consideremos tambem, o evento O = {a moeda selecionadae de ouro}´ ´ Queremos P(A/O) = ? Sabemos que, P(A) = P(O/A) = 1 3 2 5 P(B) = P(O/B) = 1 4 2 5 Portanto, pelo Teorema de Bayes, P(A/O) = P(A).P(O/A)P(A).P(O/A) + P(B).P(O/B) Logo, P(A/O) = = . 1 3 2 5 1 3 1 4 2 5 2 5 . . + . 3 7 2.4 Eventos Independentes Definic¸a~o: Dois eventos A e B sao independentes se P(A/B) = P(A).~ Equivalentemente, temos P(B/A) = P(B), ou P(A B) = P(A).P(B) Exemplo: Lancam-se 3 moedas. Verificar se sao independentes os eventos:¸ ~ A: saida de cara na 1a. moeda;´ B: saida de coroa na 2a. e 3a. moedas.´ Sol: = {(c,c,c), (c,c,r), (c,r,c), (r,c,c), (c,r,r), (r,c,r), (r,r,c), (r,r,r)} 14 A = {(c,c,c), (c,c,r), (c,r,c), (c,r,r)} P(A) = = 4 1 8 2 B = {(c,r,r), (r,r,r)} P(B) = = 2 1 8 4 Logo, P(A).P(B) = . = 1 1 1 2 4 8 Como A B = {(c,r,r)} P(A B) = concluimos que A e B sao eventos~ 1 8 independentes. TEOREMA: Se A e B sao independentes, entao A e B tambem sao.~ ~ ~´c prova: P(A B) = P(B/A).P(A) = 1 P(B/A) .P(A) _ _ Mas, como A e B sao independentes~ P(B/A) = P(B) Dai,´ 1 P(B/A) .P(A) = 1 P(B) .P(A) = P(B).P(A) _ Portanto, P(A B) = P(B).P(A) _ _ NOTA: Se A e B sao mutuamente exclusivos, entao A e B sao dependentes, pois se A~ ~ ~ ocorre, B nao ocorre, isto e, a ocorrencia de um evento, condiciona a nao ocorrencia do~ ~´ ^ ^ outro. Exemplo: Consideremos um experimento que consiste em jogar um dado e observar o resultado. Sejam os eventos: A = ocorrer n- par eo B = ocorrer n- imparo ´ Entao, = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5} , A B = ~ A e B sao mutuamente excludentes, pois a ocorrencia de um nu´mero par e impar~ ^ ´ nao pode ser verificada como decorrencia da mesma experiencia.~ ^ ^ Definic¸a~o: Os 3 eventos A, B e C sao independentes se:~ i) P(A B C) = P(A).P(B).P(C) ii) P(A B) = P(A).P(B) iii) P(A C) = P(A).P(C) iv) P(B C) = P(B).P(C) 15 Se apenas um dos itens acima nao for satisfeito, os eventos nao serao´ ~ ~ ~ independentes. Exemplo: Sendo = {1, 2, 3, 4} um espaco amostral equiprovavel e A = {1, 2} ; B = {1,¸ ´ 3} e C = {1, 4} tres eventos de .^ Verificar se os eventos A, B e C sao independentes.~ Sol: P(A) = , P(B) = e P(C) = 1 1 1 2 2 2 A B={1) P(A B) = e P(A).P(B) = . = 1 1 1 1 4 2 2 4 A C={1) P(A C) = e P(A).P(C) = . = 1 1 1 1 4 2 2 4 B C={1) P(B C) = e P(B).P(C) = . = 1 1 1 1 4 2 2 4 A B C={1} P(A B C) = e P(A).P(B).P(C) = . . = 1 1 1 1 1 4 2 2 2 8 Como P(A B C) P(A).P(B).P(C) , conclui-se que A, B e C nao sao eventos~ ~ independentes. GENERALIZAC¸A~O 1: "Dados os eventos A , A , . . ., A , diremos que eles sao eventos~ n independentes, se eles forem indepenendentes 2 a 2, 3 a 3, . . . , n a n. GENERALIZAC¸A~O 2: "Se os eventos A , A , . . ., A sao eventos independentes entao:~ ~ n P( A ) = P(A ) n i=1 i i n i=1 onde P(A ) = P(A ).P(A ). . . . P(A ) n i=1 i n Aplicac¸a~o: A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos e ; a de sua´ 2 5 mulher e de . Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos :´ 2 3 a) ambos estejam vivos; b) somente o homem esteja vivo; c) somente a mulher esteja viva; d) nenhum esteja vivo; e) pelo menos um esteja vivo. 16 Sol: Chamaremos de H: o homem estara vivo daqui a 30 anos´ M: a mulher estara viva daqui a 30 anos.´ P(H) = P(H) = _ 2 3 5 5 P(M) = P(M) = _ 2 1 3 3 a) P(H M) = P(H).P(M) = . = 2 2 4 5 3 15 b) P(H M) = P(H).P(M) = . = _ _ 2 1 2 5 3 15 c) P(H M) = P(H).P(M) = . = _ _ 3 2 2 5 3 5 d) P(H M) = P(H).P(M) = . = _ _ _ _ 3 1 1 5 3 5 e) P(H M) = P(H) + P(M) - P(H M) = + - = 2 2 4 4 5 3 15 5 17 2 Lista de Exercicios de Probabilidade e Estatistica´ ´a 1) As falhas de diferentes maquinas sao independentes umas das outras. Se ha quatro´ ´~ maquinas, e as suas respectivas probabilidades de falha sao 1%, 2%, 5% e 10% em´ ~ determinado dia, calcule as probabilidades: a) de todas falharem em determinado dia; R: 0.000001 b) de nenhuma falhar. R: 0.83 2) Sua firma recentemente apresentou proposta para um projeto de construcao. Se seu¸~ principal concorrente apresenta uma proposta, ha apenas 0,25 de chance de a firma do leitor´ ganhar a concorrencia. Se seu concorrente nao apresenta proposta, ha de chance de a^ ~ ´ 23 firma do leitor ganhar. A chance de seu princi[al concorrente apresentar proposta e de 50%.´ a) Qual a probabilidade de sua firma ganhar a concorrencia? R: 0.458^ b) Qual a probabilidade de seu concorrente ter apresentado proposta, dado que a firma do leitor ganhou a concorrencia? R: 0.273^ 3) Tres maquinas A, B e C produzem respectivamente 50%, 30% e 20% do nu´mero total^ ´ de pecas de uma fabrica. As procentagens de defeituosas na producao destas maquinas sao¸ ¸´ ´~ ~ 3%, 4% e 5%. Se uma peca e selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de que a¸ ´ peca seja defeituosa. R: 0.037¸ 4) A probabilidade de que A acerte no alvo e e a probabilidade de que B tambem acerte e´ ´ ´14 2 11 5 20. Qual a probabilidade em que o alvo seja atingido se ambos atiram no alvo. R: 5) A e B jogam 12 partidas de xadrez, das quais A ganha 6, B ganha 4, 2 terminam empatadas. Concordam entao em jogar um conjunto de tres partidas. Determine a~ ^ probabilidade a) de A ganhar todas as 3 b) 2 partidas terminarem empatadas c) A e B ganharem alternadamente d) B ganhar ao menos uma . 6) As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um penalti sao , e , respectivamente. Se cada um cobrar uma u´nica vez, qual a probabilidade de~ 2 4 73 5 10 que pelo menos um marque um gol? R: 4950 7) Para selecionar seus funcionarios, uma empresa oferece aos candidatos um curso de´ treinamento, durante uma semana. Ao final, eles sao submetidos a uma prova e 25% sao~ ~ classificados como bons (B), 50% como medios (M) e os restantes 25% como fracos (F).´ Como medida de economia, o departamento de selecao pretende substituir o treinamento¸~ por um teste contendo perguntas envolvendo conhecimentos gerais e especificos. Mas, para´ 18 isso, gostaria de conhecer qual a probabilidade de que um indivi´duo aprovado no teste fosse considerado fraco, caso fizesse o curso. Assim, neste ano antes do inicio do curso, os´ candidatos foram submetidos ao teste e, de acordo com os resultados, receberam o conceito aprovado (A) ou reprovado (R). Ao final do curso, obtiveram as seguintes probabilidades condicionais: P(A/B) = 0.8 P(A/M) = 0.5 P(A/F) = 0.2 R:0.1 8) De 12 contas de um arquivo, quatro contem um erro na contabilizacao do saldo da´ ¸~ conta. a) Se um auditor seleciona aleatoriamente duas destas contas (sem reposicao), qual¸~ a probabilidade de que nenhuma destas contas contenha erro? R:1433 b) Se o auditor inspeciona tres contas ao acaso, qual a probabilidade de que^ nenhuma apresente erro de contabilizacao? R: ¸~ 3361320 9) A e B jogam alternadamente um par de dados. Ganha o jogo aquele que primeiro obtiver o total 7. Determine a probabilidade: a) de ganhar aquele que inicia o jogo; b) de ganhar o que faz a segunda jogada. 10) Na figura abaixo temos um sistema com tres componentes funcionando^ independentemente, com confiabilidades p , p e p . Obtenha a confiabilidade do sistema. 11) Se P(A A . . . A ) 0 entao prove que:~ n P(A A . . . A ) = P(A ).P(A /A ).P(A /A A ) . . . P(A /A A . . . n n A )n-1 (Sugestao: Use inducao sobre n)~ ~¸ 12) A experiencia mostra que determinado alunoA tem probabilidade 0,9 de resolver e^ acertar um exercicio novo que lhe e proposto. Seis novos exercicios sao apresentados ao´ ´´ ~ aluno A para serem resolvidos. Qual a probabilidade que resolva e acerte: a) no maximo 2 exercicios;´ ´ b) pelo menos um exercicio;´ c) os seis exercicios.´ 13) Demonstre: se P(A/B) P(A) entao P(B/A) P(B).~ 14) Uma moeda equilibrada e jogada 2n vezes. Obtenha a probabilidade de que ocorrera um´ ´ nu´mero igual de caras e coroas. 19 15) Um dado e jogado n vezes. Qual e a probabilidade de que "6" aparece ao menos uma´ ´ vez em n jogadas? 16) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0.4, enquanto P(A B) = 0,7. Seja P(B) = p. a) Se A e B forem mutuamente excludentes, qual sera o valor de p?´ b) Se A e B forem independentes excludentes, qual sera o valor de p?´ Capítulo 3 Variável Aleatória 20 3.1 Introducao¸~ Na pratica e, muitas vezes, mais interessante associarmos um nu´mero a um evento´ ´ aleatorio e calcularmos a probabilidade de ocorrencia desse n-, do que a probabilidade do´ ^ o evento. Definic¸a~o: Sejam um espaco amostral e S um evento elementar de .¸ Uma Variavel Aleatoria X, definida em , e uma funcao X: R que´ ´ ´ ¸~ associa um valor numerico a cada resultado elementar S do espaco amostral.´ ¸ Exemplo 1) Lancam-se 3 moedas.¸ Seja X: n- de ocorrencias da face cara.o ^ O espaco amostral do experimento e:¸ ´ = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (c,k,k), (k,c,k), (k,k,c), (k,k,k)}. Portanto, X associa os valores numericos 0, 1, 2 e 3 aos resultados elementares do´ espaco amostral.¸ Resultados Valor de Elementares X --------------------------------------------------- (c,c,c) 3 (c,c,k) 2 (c,k,c) 2 (k,c,c) 2 (c,k,k) 1 (k,c,k) 1 (k,k,c) 1 (k,k,k) 0 --------------------------------------------------- Podemos reescrever esta tabela na forma; 21 Valor Evento Numerico de X Correspondente´ --------------------------------------------------------- 0 A = {(k,k,k)} 1 A = {(c,k,k) (k,c,k) (k,k,c)} 2 A = {(c,c,k) (c,k,c) (k,c,c)} 3 A = {(c,c,c)} ---------------------------------------------------------- NOTA: 1) Se X e uma v.a. entao qualquer funcao (X) tambem e uma v.a.´ ´ ´~ ~¸ 2) Se X e Y sao variaveis aleatorias no mesmo espaco amostral e k e um nu´mero~ ´ ´ ´¸ real, entao~ i) X + Y ii) X + k iii) k.X iv) X.Y sao variaveis aleatorias tambem.~ ´ ´ ´ 3.2 Variavel Aleatoria Discreta´ ´ Definic¸a~o: Uma variavel aleatoria X que assume um nu´mero finito ou infinito enumeravel´ ´ ´ de valores numericos x , x , . . . e chamada Variavel Aleatoria Discreta.´ ´ ´ ´ Definic¸a~o: Seja X uma variavel aleatoria discreta assumindo um nu´mero infinito´ ´ enumeravel de valores x , x , . . . .´ A cada possivel resultado x associaremos um n- p(x ) = P{X = x } denominado´ oi i i Probabilidade de x .i Os n- p(x ) , i=1, 2, . . . devem satisfazer a seguintes condicoes: os ¸~i # i) p(x ) 0 para todo x .i i ii) p(x ) = 1 i=1 i A funcao p, definida acima, e denominada Funcao de Probabilidade de X.¸ ¸~ ~´ NOTA: 1) A funcao de probabilidade p(x ) e uma funcao que a cada valor x associa sua¸ ¸~ ~´i i probabilidade de ocorrencia.^ 22 2) Costuma-se chamar a listagem dos valores numericos de X apresentados com´ suas probabilidades associadas de Distribuicao de Probabilidade.¸~ A distribuicao de probabilidade de uma variavel aleatoria discreta X que assume um¸~ ´ ´ nu´mero finito de valores numericos x , x , . . . , x pode ser dada do seguinte modo:´ n X p(x) ------------------------------------------ x p(x ) x p(x ) . . . . . . x p(x )n n --------------------------------------------- Esta distribuicao de probabilidade pode ser representada graficamente pelo¸~ diagrama de Bastao.~ Exemplo: Construir e representar graficamente a distribuicao de probabilidade da v.a. X do¸~ exemplo 1). Sol: A v.a. X assume os seguintes valores, 0, 1, 2 e 3. Calculemos entao as correspondentes~ probabilidades a partir da tabela seguinte; Valor Evento Numerico Correspondente´ --------------------------------------------------------- 0 A = {(k,k,k)} 1 A = {(c,k,k) (k,c,k) (k,k,c)} 2 A = {(c,c,k) (c,k,c) (k,c,c)} 3 A = {(c,c,c)} ---------------------------------------------------------- p(0) = P{X = 0} = P{A } = p(1) = P{X = 1} = P{A } = 1 3 8 8 p(2) = P{X = 2} = P{A } = p(3) = P{X = 3} = P{A } = 3 1 8 8 Logo, temos 23 Exerci´cio: Lancam-se 2 dados. Seja X: a soma das faces. Determinar a distribuicao de¸ ¸~ probabilidades de X e representa-la graficamente.´ 3.3 Variavel Aleatoria Continua´ ´ ´ Definic¸a~o: Diz-se que X e uma Variavel Aleatoria Continua, se existir uma funcao f,´ ´ ´ ´ ¸~ denominada Funcao de Densidade de Probabilidade de X, f.d.p., (ou simplesmente¸~ Densidade de X) que satisfaca as seguintes condicoes:¸ ¸~# i) f(x) 0 ii) f(x).dx = 1 - NOTAS: 1) A condicao ii) da definicao acima requer que a area total sob a curva representativa de¸ ¸~ ~ ´ f(x) seja igual a um. 2) Para variaveis aleatorias continuas, a f.d.p. f(x) nao representa a probabilidade de X = x.´ ´ ´ ~ Aqui, a f.d.p. relaciona a probabilidade de um intervalo [a, b] a area sob a curva de f(x)´# entre a e b (ver figura abaixo). 24 3) P{X = x} = 0, i.e, para uma v.a. continua X a probabilidade de X = x e sempre igual a´ ´´ zero. So tera sentido, para uma variavel aleatoria continua X, calcular a probabilidade de´ ´ ´ ´ ´ X pertencer a um certo intervalo [a , b], i.e, P(a X b).´ Para uma v.a. discreta Y calculamos a probabilidade de Y assumir um valor y , i.e,´j P(Y = y ).j 4) P{a X b} = P{a X b} = P{a X b} = P{a X b} = f(x).dx b a 5) A maneira de caracterizar uma v.a. continua X e atraves de sua f.d.p.´ ´ ´ k.x se 0 x 1 Exemplo 2) Seja f(x) = 0 , c.c. Determinar: a) k a fim de que f(x) seja uma f.d.p. b) o grafico de f(x)´ c) P{0 X 1/2} Sol: a) i) f(x) 0 para todo x k 0 ii) f(x).dx = k.x.dx = k. / = .(4 0) = 2.k - 2 0 x k 2 2 0 Portanto, - 1 2 f(x).dx = 1 k = Dai,´ 25 .x se 0 x 11 2 f(x) = 0 , c.c. b) c) P{0 X 1/2} = f(x).dx = .x.dx = / = .( 0) = 1/2 1/2 0 0 1 x 1 1 1 2 4 4 4 16 0 1/ 3.4 Funcao de Distribuicao Acumulada¸ ¸~ ~ Definic¸a~o: Seja X uma v.a. qualquer. Define-se Funcao de Distribuicao Acumulada (f.d.a.) de X a uma funcao¸ ¸ ¸~ ~ ~ F [0, 1] tal que F(x) = P{X x} , x NOTA: A f.d.a. F e definida para todos os valores de x, o que e um motivo importante para´ ´ considera-la.´ Definic¸a~o: Seja X uma v.a. discreta assumindo os valores x , x , . . . Definimos a Funcao de Distribuicao Acumulada (f.d.a.) de X a funcao¸ ¸ ¸~ ~ ~ F [0, 1] tal que F(x) = p(x ) x x i i Exemplo: Considere a distribuicao de probabilidade do exemplo 1.¸~ X p(x) -------------------- 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 --------------------- 26 Calculemos a funcao de distribuicao acumulada da seguinte forma:¸ ¸~ ~ F(0) = P{X 0} = P{X = 0} = p(0) = 1 8 F(1) = P{X 1} = P{ X = 0} + P{X = 1} = p(0) + p(1) = + = 1 3 4 8 8 8 F(2) = P{X 2} = P{X = 0} + P{X = 1} + P{X = 2} = p(0) + p(1) + p(2) = = + + = 1 3 3 7 8 8 8 8 F(3) = P{X 3} = P{X = 0} + P{X = 1} + P{X = 2} + P{X = 3} = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = + + + = = 11 3 3 1 8 8 8 8 8 8 Com esses resultados podemos escrever, 0 se x 0 1/8se 0 x 1 F(x) = 4/8 se 1 x 2 7/8 se 2 x 3 1 se x 3 Definic¸a~o: Seja X uma v.a. continua com f.d.p. f(x).´ Definimos a Funcao de Distribuicao Acumulada (f.d.a.) de X a funcao F: ¸ ¸ ¸~ ~ ~ [0, 1] tal que F(x) = f(t).dt , x x - Exemplo: Seja X uma v.a. continua com f.d.p. f(x) = .(2.x + 3) se 0 x 2.´ 1 10 Sol: Neste caso, a funcao de distribuicao acumulada sera:¸ ¸~ ~ ´ 27 0.dt + .(2.t + 3).dt + 0.dt = 1 se x 2 0 2 x - 0 2 1 10 F(x) = f(t).dt = 0.dt + .(2.t + 3).dt = .(x + 3x) se 0 x 2 x 0 x - - 0 1 1 10 10 0.dt = 0 se x 0 x - Logo, 1 se x 2 F(x) = .(x + 3x) se 0 x 2110 0 se x 0 NOTAS: 1) Se X for uma v.a. discreta com um n- finito de valores possiveis, o grafico dao ´ ´ f.d.a. sera constituido por segmentos de reta horizontais. Neste caso, F(x) e tambem´ ´ ´´ denominada Funcao Escada.¸~ A f.d.a. e descontinua nos valores possiveis x , x , . . . .´ ´ ´ No valor x o grafico apresenta um "salto" de magnitude p(x ) = P{X = x }.´i i i 2) Se X for uma v.a. continua, F sera uma funcao continua para todo x.´ ´´ ¸# Propriedades de F(x): Seja F uma f.d.a. de uma v.a. X qualquer. Entao:~ i) 0 F(x) 1 ii) F e uma funcao nao-decrescente (i.e, x x F(x ) F(x ))´ ´¸~ ~ iii) lim F(x) = 0 e lim F(x) = 1 prova: i) F(x) = P{X x} = x. 28 Como 0 P{X x} 1 e evidente que 0 F(x} 1 .´ ii) Definimos os eventos A = {X x } e B = {X x }. Como x x tem-se A B que implica P(A) P(B), i.e, P{X x } ´ P{X x }. Entao, F(x ) F(x )~ iii) Provaremos para o caso continuo. De fato, lim F(x) = lim f(t).dt = f(t).dt = 1´ x + - - e lim F(x) = lim f(t).dt = f(t).dt = 0 x - - - Em particular: i) P{a X b} = F(b) - F(a) ii) P{a X b} = F(b) - F(a) + P{X = a} iii) P{a X b} = F(b) - F(a) - P{X = b} iv) P{X = a} = F(a) - F(a ) onde F(a ) = lim F(x)- - x a - prova: Exercicio.´ Teorema: a) Seja F uma f.d.a. de uma v.a. discreta X que assume os valores x , x , x . . . onde x x x . . . Entao~ p(x ) = P{X = x } = F(x ) F(x )i i i i-1 b) Seja F uma f.d.a. de uma v.a. continua X com f.d.p. f(x). Entao´ ~ f(x) = F(x) = F'(x)ddx para todo x no qual F seja derivavel.´ prova: a) Como admitimos x x . . ., teremos: F(x ) = P{X x } = P{X = x } + P{X = x } + . . . + P{X = x }i i i e F(x ) = P{X x } = P{X = x } + P{X = x } + . . . + P{X = x }i-1 i-1 i-1 Portanto, F(x ) F(x ) = P{X = x } = p(x )i i-1 i i b) F(x) = P{X x} = f(t).dt , x x - 29 Aplicando-se o Teorema Fundamental do Calculo, obtemos´ F'(x) = f(x) Exemplo: Suponha que um v.a. continua X tenha f.d.a. dada por:´ F(x) = 1 e para x 0 -x Determinar a f.d.p. f(x). Sol: Neste caso, F'(x) = e para x 0-x Logo, a f.d.p. de X sera f(x) = e se x 0´ -x 3.5 Esperanca de uma v.a.¸ Definic¸a~o: Seja X uma v.a. discreta assumindo os valores x , x , . . . , com funcao de¸~ probabilidade p(x ).i Denominamos Esperanca Matematica (Media ou Valor Esperado) de X, denotada¸ ´ ´ por E(X), ao valor: E(X) = x .p(x ) i=1 i i desde que a serie x .p(x ) covirja absolutamente, i.e., |x |.p(x ) ´ ´ i=1 i=1 i i i i Exemplo: Consideremos a distribuicao de probabilidades de uma v.a. X, dada a seguir;¸~ X p(x) ----------- 0 1/4 1 1/2 2 1/4 ----------- Determinar a esperanca E(X) da v.a. X.¸ Sol: E(X) = x .p(x ) = 0 . + 1 . + 2 . = 1. 3 i=1 i i 1 1 1 4 2 4 Portanto, X = 1 e o valor medio da distribuicao.´ ´ ¸~ 30 Definic¸a~o: Seja X uma v.a. continua com f.d.p. f(x).´ A Esperanca Matematica (Media ou Valor Esperado) de X e definida como¸ ´ ´ ´ E(X) = x.f(x).dx - NOTA: Pode acontecer que esta integral (impropria) nao convirja. Consequentemente,´ ~ diremos que E(X) existira se, e somente se,´ E(X) = x .f(x).dx - Exemplo: Suponhamos que X seja o tempo (em minutos) durante o qual um equipamento eletrico seja utilizado em maxima carga, em um certo periodo de tempo especificado.´ ´ ´ Suponhamos que X seja uma v.a. continua com a seguinte f.d.p.´ f(x) = x se 0 x 1500 (x 3000) se 1500 x 3000 0 cc 1 (1500) 1 (1500) Determinar E(X). Sol: E(X) = x.f(x).dx = . x.x.dx . (x 3000).dx = 1500 minutos - 1 1 (1500) (1500) 1500 3000 0 1500 PROPRIEDADES DE ESPERANC¸A: 1) Se X = c , onde c e uma constante, entao E(X) = c (i.e, E(c) = c)´ ´~ 2) Seja X uma v.a. e c uma constante, entao~ E(c.X) = c.E(X) 31 3) a) Sejam X e Y duas v.a's. quaisquer, entao~ E(X + Y) = E(X) + E(Y) b) Sejam X , X , . . . , X v.a's., entao~ n E(X + . . . + X ) = E(X ) + . . . + E(X ) n n 4) Se X e Y sao v.a's. independentes entao E(X.Y) = E(X).E(Y)~ ~ prova: Provaremos apenas para o caso continuo.´ 1) E(X) = x.f(x).dx = c.f(x).dx = c. f(x).dx = c.1 = c - - - 2) E(c.X) = (c.x).f(x).dx = c. x.f(x).dx = c.E(X) - - 3) As demonstracoes de 3) a) e b) e 4) serao vistas mais tarde.¸~ ~ 3.6 Variancia de uma v.a.^ Definic¸a~o: Seja X uma v.a.. Definimos Variancia de X, var(X) ou , por^ X var(X) = E X - E(X) Denominamos Desvio-Padrao de X por = var(X)~ X NOTA: O n- var(X) e expresso por unidades quadradas de X, isto e, se X for medida emo ´ ´ horas, entao var(X) e expressa em (horas) .~ ´ Este e um motivo para considerarmos o desvio-padrao; ele e expresso na mesma´ ´~ unidade que X. TEOREMA: var(X) = E(X ) - E(X) prova: var(X) = E X - E(X) = E X 2.X.E(X) + E(X) = = E(X ) E 2.X.E(X) + E E(X) = E(X ) 2.E(X).E(X) + E(X) = = E(X ) E(X) 32 Exemplo Consideremos a distribuicao de probabilidade da v.a. X dada por¸~ ------------ x p(x) ------------ 0 1/4 1 1/2 2 1/4 ----------- Determinar var(X) e .X Sol: var(X) = E(X ) - E(X) NOTA: E(X ) = x .p(x ) i=1 i i E(X) = 1 E(X ) = x .p(x ) = 0 . + 1 . + 2 . = . 3 i=1 i i 1 1 1 3 4 2 4 2 Portanto, var(X) = - 1 = 3 1 2 2 1 + x se -1 x 0 Exemplo: Seja f(x) = 1 x se 0 x 1 Obter var(X). Sol: NOTA: E(X ) = x .f(x).dx - Em virtude da simetria de f(x), E(X) = 0. E(X ) = x .(1 + x).dx + x .(1 + x).dx = . 0 1 -1 0 1 6 Logo, var(X) = 0 = .1 1 6 6 33 PROPRIEDADES DE VARIA^NCIA: 1) Se c for uma constante, entao:~ i) var(X + c) = var(X) ii) var(c.X) = c .var(X) 2) Sejam X e Y duas v.a's. quaisquer, entao~ var(X + Y) = var(X) + var(Y) 2cov(X , Y) onde cov(X , Y) = E(X.Y) E(X).E(Y) 3) a) Se X e Y forem v.a's. independentes, entao~ var(X + Y) = var(X) + var(Y) b) Se X , X , . . . , X v.a's., independentes, entao~ n var(X + . . . + X ) = var(X ) + . . . + var(X ) n n prova: 1) var(X c) E (X c) E(X + c) E X c E(X) c E X E(X) var(X) 2) var(c.X) = E (c.X) - E(c.X) = E c .X - c.E(X) = c .E(X ) - c . E(X) c E(X ) - E(X) = c var(X) 3.7 Funcao de Variavel Aleatoria¸~ ´ ´ Sejam um espaco amostral e X uma variavel aleatoria definida em .¸ ´ ´ Seja y = H(x)uma funcao real de x.¸~ Entao, Y = H(X) tambem e uma variavel aleatoria definida em .~ ´ ´ ´ ´ 34 CASO 1) Seja X uma v.a. discreta com funcao de probabilidade p(x ) e Y = H(X) uma¸~ i funcao real de X. Neste caso Y tambem sera uma v.a. discreta.¸~ ´ ´ Sejam x , x , . . . ., x , . . . os valores de X tais que H(x ) = y para todo j.i i i i j 2 k j Entao, a funcao de probabilidade da v.a. Y e dada por;~ ~¸ ´ q(y ) = P{Y=y } = p(x ) + p(y ) + . . . i i i i isto e, para calcular a probabilidade do evento {Y=y }, acha-se o evento equivalente em´ i termos de X (no contradominio R ) e em seguida adicionam-se todas as probabilidades´ X correspondentes (veja a fig. abaixo). Exemplo: Admita-se que X tenha os valores possiveis 1, 2, . . . , n . . .´ Suponha-se que P{X = n} = (1/2) .n Seja Y = H(X) uma funcao dada por,¸~ 1 se X for par Y = - 1 se X for impar´ Determinar a distribuicao de probabilidades de Y.¸~ Sol: Y toma dois valores -1 e 1. Desde que Y = 1 se, e somente se, X = 2 ou X = 4 ou X = 6, ou . . ., temos, P{Y = 1} = P{X = 2} + P{X = 4} + P{X = 6} + . . . = + + + . . . = 1 1 1 1 4 16 64 3 Consequentemente, P{Y = -1} = 1 - = .1 2 3 3 Logo, obtemos a seguinte distribuicao de probabilidades para a v.a. Y,¸~ Y p(y) ----------- -1 2/3 1 1/3 ----------- 35 CASO 2) Seja X uma v.a. continua com f.d.p. f(x) e f.d.a. F(x).´ Seja H(x) uma funcao continua inversivel.¸~ ´ ´ Consequentemente Y = H(X) sera uma v.a. continua, e nossa tarefa sera obter sua´ ´´ f.d.p. g(y). Procedimento Geral: a) Obter G, a funcao de distribuicao acumulada de Y, na qual¸ ¸~ ~ G(y) = P{Y y} = P{H(X) y} = P{X H (y)} = F(H (y)) - - b) Derivar G(y) em relacao a y, a fim de obter g(y).¸~ c) Determinar aqueles valores de y, no contradominio de Y, para os quais g(y) 0.´ 2.x se 0 x 1 Exemplo: Suponhamos que X tenha f.d.p. f(x) = 0 caso contrario´ Seja H(x) = 3x + 1, obter a f.d.p. de Y = H(X). Sol: G(y) = P{Y y} = P{3X + 1 y} = P X = F = 2x.dx = y - 1 y - 1 y - 13 3 3 0 (y-1)/3 Dai, g(y) = G'(y) = .(y - 1)´ 2 9 Desde que f(x) 0 para 0 x 1, encontramos que g(y) 0 para 1 y 4. Teorema: Seja X uma v.a. continua com f.d.p. f(x), onde f(x) 0, para a x b. ´ Suponha que y = H(x) seja uma funcao estritamente monotona e derivavel para¸~ ´ ´ todo x. Entao, a v.a. Y definida como Y = H(X) tem uma f.d.p. g(y) dada por~ g(y) = f(x). dx dy onde x e expressa em termos de y.´ prova: a) Suponhamos que H seja uma funcao estritamente crescente. Dai,¸~ ´ 36 G(y) = P{Y y} = P{H(X) y} = P{X H (y)} = F H (y) - - Derivando G(y) com relacao a y, obteremos com o emprego da regra da¸~ derivacao de funcao composta,¸ ¸~ ~ = . dG(y) dG(y) dy dx dy dx Ou seja, G'(y) = . = f(x). , onde x = H (y)dF(x) dx dy dy dx dx - b) Se H for decrescente, entao,~ G(y) = P{Y y} = P{H(X) y} = P{X H (y)} = 1 P{X H (y)} = 1 F H (y) - - - Procedendo de forma analoga,´ G'(y) = . = . = f(x). , onde x = H (y)dG(y) dx dy dx dy dy dx dx dxd 1 F(x) - 2.x se 0 x 1 Exemplo: Suponhamos que X tenha f.d.p. f(x) = 0 caso contrario´ Seja Y = e uma v.a. Determinar a f.d.p. de Y.-x Sol: Por Teorema, g(y) = f(x). dx dy y = e x = ln y-x = dx 1 dy y Logo, g(y) = 2.(-ln y). 1 y Entao,~ g(y) = , e y 1-2.ln y y - NOTA: Se Y = H(X) nao for uma funcao inversivel de X, nao podemos aplicar o~ ~ ~¸ ´ procedimento acima. Em vez disso, procederemos como no exemplo a seguir. se -1 x 11 2 Exemplo: Suponhamos que f(x) = 0 caso contrario´ Seja H(x) = x , determinar a f.d.p. g(y) da v.a. Y = H(X). Sol: Obviamente H(x) = x nao e uma funcao inversivel sobre o intervalo [-1, 1] (ver fig.~ ~´ ¸ ´ abaixo). 37 Por isso, obteremos a f.d.p de Y = X do seguinte modo: G(y) = P{Y y} = P{X y} = P - y X y = F( y ) - F(- y) = - y 2 - = y , para 0 y 1 y 2 1 se x 1 onde F(x) = se -1 x 1 e a funcao de distribuicao acumulada da v.a. X.´ ¸ ¸~ ~x 2 0 se x - 1 Logo, g(y) = G'(y) = y = , 0 y 1.d 1dy 2. y 3.8 Esperanca de Funcao de Variavel Aleatoria¸ ¸~ ´ ´ TEOREMA: Sejam X uma v.a. e Y = H(X) uma funcao de X.¸~ a) Se X e uma v.a. discreta com funcao de probabilidade p(x), entao´ ¸~ ~ E(Y) = E(H(X)) = H(x ).p(x ) i=1 i i b) Se X e uma v.a. continua com f.d.p. f(x) , entao´ ´ ~ E(Y) = E(H(X)) = H(x).f(x).dx - Exemplo 1) Consideremos a distribuicao de probabilidades dada por¸~ X p(x) ------------ 15 0.56 10 0.23 5 0.02 -5 0.19 ------------ 38 Determinar a esperanca E(W) da v.a. W = X .¸ Sol: Calcularemos a esperanca de W pela definicao.¸ ¸~1o. modo: Para isto determinemos a distribuicao de probabilidade de W, como segue¸~ W p(w) ------------- 225 0.56 100 0.23 25 0.21 ------------- Observe que o evento W = 25 ocorre quando X = 5 ou X = -5; portanto P{W = 25} = P{X = -5} + P{X = 5}. A esperanca de W e¸ ´ E(W) = w .p(w ) = 225 . 0,56 + 100 . 0,23 + 25 . 0,21 = 154,25. 3 i=1 i i 2o. modo: Calculemos E(W) pelo Teorema: E(W) = x .p(x ) = 15 . 0,56 + 10 . 0,23 + 5 . 0,02 + (-5) . 0,19 = 154,25. 4 i=1 i i Exemplo 2) Seja V a velocidade do vento (em milhas por hora) e suponha-se que V ~ U[0 , 10]. A pressao W (em libras/pe quadrado) na superficie da asa de um aviao e dada~ ~´ ´´ pela relacao: W = 0,003.V . Determine E(W).¸~ Sol: a) Empregando o Teorema, E(W) = h(w).f(w).dw = 0,003.v . .dv = 0,1 libras/pe quadrado.´ - 10 0 1 10 b) Empregando a definicao de E(W), E(W) = w.g(w).dw .¸~ - Agora, g(w) = f(v). dv dw 39 Observemos que w = 0,003.v e uma funcao monotona de v para v 0 e que´ ´¸~ v = = . . 1000 dv 1 13.w dw 2 w 0,003 0,003 Dai,´ g(w) = . .1 1 100010 2 3.w . se 0 w 0,31 10 2 3.w g(w) = 0 caso contrario´ Em consequencia,^ E(W) = w.g(w).dw = 0,1 0.3 0 40 3 . Lista de Exercicios de Probabilidade e Estatistica´ ´a 1) Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 3 bolas, sem reposicao, e defina a v.a. X igual ao nu´mero de bolas pretas. Obtenha a distribuicao de X.¸ ¸~ ~ 2) Repita o problema anterior, mas considerando extracoes com reposicao.¸ ¸~ ~ 3) Um par de dados e jogado. Seja X uma v.a. representando o nu´mero maximo das faces´ ´ que aparecem. Seja Y uma v.a. representando a soma dos nu´meros das faces que aparecem. Determinar a distribuicao de probabilidade, esperanca, variancia e distribuicao¸ ¸ ¸~ ~^ acumulada para cada uma das variaveis.´ 4) Seja X uma v.a. discreta com f.d.a. F(x) dada pelo grafico a seguir. Determinar E(X) e´ var(X). 5) Considere uma v.a. X com resultados possiveis: 0, 1, 2, 3, . . .´ Suponha que P{X=j} = (1 - a).a , j=0, 1, . . .j Para que valores de "a" o modelo acima representa uma distribuicao de probabilidade?¸~ 6) Sabe-se que a v.a. X assume os valores 1, 2 e 3 e que sua f.d.a. F(x) e tal que´ F(1) - F(1-) = 1/3 F(2) - F(2-) = 1/6 F(3) - F(3-) = 1/2 Obter a distribuicao de X, a f.d.a. F(x) e os graficos respectivos.¸~ ´ 7) O tempo T, em minutos, necessario para um operario processar certa peca, e uma v.a.´ ´ ´¸ com a seguinte distribuicao de probabilidade:¸~ 41 T 2 3 4 5 6 7 ----------------------------------------------- p 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 a) Calcule o tempomedio de processamento.´ b) Para cada peca processada, o operario ganha um fixo de 2,00 u.m. (unidade¸ ´ monetaria), mas se ele processa a peca em menos de 6 minutos, ganha 0,50 u.m. por cada´ ¸ minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peca em 4 minutos, recebe a quantia¸ adicional de 1,00 u.m. Encontre a distribuicao, a media e a variancia da v.a. G: quantia em u.m. ganha por¸~ ´ ^ peca.¸ 8) O diametro X de um cabo eletrico e uma v.a. continua com f.d.p. dada por^ ´ ´ ´ f(x) = k(2x - x ) , 0 x 1 0 , x 0 ou x 1 Determinar: a) o valor de k b) E(X) e var(X). c) P(0 X 1/2). d) a f.d.a. F(x) e) os graficos de f(x) e F(x).´ 9) Uma v.a. X tem distribuicao Triangular no intervalo [0 , 1] se a sua f.d.p. e dada por¸~ ´ 0 , x 0 f(x) = C.x , 0 x 1/2 C.(1 - x) , 1/2 x 1 0 , x 1 a) Que valor deve ter a constante C, de modo que f(x) seja uma f.d.p. b) Faca o grafico de f(x).¸ ´ c) Determine P(X 1/2) e P(1/4 X 3/4). d) Calcule a esperanca, a variancia e a f.d.a. de X.¸ ^ e) Determine a f.d.a. F(x) e esboce o seu grafico.´ 10) Uma certa liga e formada, combinando a mistura fundida de dois metais. A liga´ resultante contem uma certa porcentagem de chumbo X, que pode ser considerada uma v.a.´ com f.d.p. f(x) = .10 .x.(100 - x) , 0 x 100.3 5 -5 42 Suponha que L, o lucro liquido obtido na venda desta liga (por unidade de peso), e a´ ´ seguinte funcao da porcentagem de chumbo: L = C + C .X. Calcule a E(L) = lucro¸~ esperado por unidade. 11) A demanda diaria de arroz em um supermercado, em centenas de quilo, e uma v.a. X´ ´ com f.d.p. .x , 0 x 12 3 f(x) = + 1 , 1 x 3- x 3 0 , x 0 ou x 3 a) Qual a probabilidade, em um dia escolhido ao acaso, de se vender mais do que 150 Kg? b) Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender? c) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada a disposicao do pu´blico¸~# diariamente para que nao falte arroz em 95% dos dias?~ 12) Em uma determinada localidade, a distribuicao de renda em u.m. e uma variavel¸~ ´ ´ aleatoria X com f.d.p.´ .x + , 0 x 21 110 10 f(x) = .x + . 2 x 6- 3 9 40 20 0 , x 0 ou x 6 a) Qual a renda media nesta localidade?´ b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a 3 u.m. c) Qual a mediana da variavel? m e a mediana de X se P{X m} = P{X m}´ ´ 13) Seja F(x) = + -1 x 1 , representando a f.d.a. de uma v.a. continua X.´ x 1 2 2 a) Esboce o grafico da funcao F;´ ¸~ b) Determine a f.d.p. f e faca o seu grafico.¸ ´ 14) Suponha que a v.a. continua X tenha f.d.p. f(x) = 2.x.e , x 0.´ -x Seja Y=X . Calcule E(Y): a) diretamente, sem primeiro obter a f.d.p. de Y; b) primeiramente, obtendo a f.d.p. de Y. 15) A energia radiante e dada pela seguinte funcao da temperatura T (em escala´ ¸~ Fahrenheit): E = 0,173(T/100) . Suponha que a temperatura T seja considerada uma v.a. continua com f.d.p. f(t) = 200.t , 40 t 50. Estabeleca a f.d.p. da energia radiante.´ ¸- 43 Capítulo 4 Modelos Probabilísticos de Variáveis Discretas 4.1 Distribuicao de Bernoulli¸~ Suposic¸o~es: Suponhamos a realizacao de um experimento E, cujo resultado pode ser um sucesso¸~ (se acontecer o evento que nos interessa) ou um fracasso (o evento nao se realiza).~ Seja p a probabilidade de sucesso (0 p 1) e q a probabilidade de fracasso, ou seja q = 1 - p. Definimos a v.a. X: nu´mero de sucessos em uma u´nica tentativa do experimento. 0 se ocorre fracasso Entao X =~ 1 se ocorre sucesso Definic¸a~o: A v.a. X que assume apenas os valores 0 e 1 com a distribuicao de¸~ probabilidade X p(x) ------------- 0 1 - p 1 p ------------- e chamada Variavel Aleatoria de Bernoulli.´ ´ ´ A funcao de probabilidade da v.a. de Bernoulli e dada por:¸~ ´ P{X = k} = p . q k = 0 , 1.k - k Observac¸a~o: Experimentos que resultam numa v.a. de Bernoulli sao chamados de Ensaios~ de Bernoulli. Propriedades: Se X tem uma distribuicao de Bernoulli entao:¸~ ~ i) E(X) = p ii) var(X) = p.q iii) 44 0 se x 0 F(x) = 1 - p se 0 x 1 1 se x 1 prova: i) E(X) = 1.P{X = 1} + 0.P{X = 0} = 1.p + 0.(1 p) = p ii) var(X) = E(X ) E(X) E(X ) = 1 .P{X = 1} + 0 .P{X = 0} = 1.p + 0.(1 p) = p var(X) = p p = p.(1 p) = p.q Exemplo: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: nu´mero de bolas verdes. Determinar p(X), E(X) e var(X). 0 se a bola e branca´ Sol: X = 1 se a bola e verde´ Portanto, P{X = k} = . , k = 0 , 1. 2 3 3 5 k -k E(X) = p = e var(X) = p.q = . = 2 2 3 6 5 5 5 25 45 4.2 Distribuicao Binomial¸~ Suposic¸o~es: Consideremos n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatorio, i.e.,´ ´ o resultado de um tentativa nao tem influencia nenhuma no resultado de qualquer outra~ ^ tentativa. Cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso S com probabilidade p e fracasso F com probabilidade q , p + q = 1. As probabilidades de sucesso e fracasso sao as mesmas para cada tentativa.~ Seja a v.a X: nu´mero de sucessos em n tentativas. Obtenc¸a~o da func¸a~o de probabilidade de X: Determinaremos a funcao de probabilidade da v.a. X, P{X = k}, ou seja, a¸~ probabilidade de obter k sucessos, e portanto n - k fracassos, onde k = 0, 1, 2, . . . , n, com P{S} = p e P{F} = 1 p = q. Uma particular sequencia e, SSS . . . SFFF . . . F^ ´ com P{SSS . . . SFFF . . . F} = p .(1 p) = p. q devido a independencia das^k n-k k n-k # tentativas. Mas qualquer sequencia com k sucessos e n k fracassos em n tentativas tera a^ ´ mesma probabilidade p .q .k n-k Porem, ha = sequencias com k sucessos e n k fracassos em n´ ´ ^n!k!.(n - k)! k n tentativas. Dai, P{X = k} = . p .q , k = 0, 1, . . . , n.´ n k k n-k Definic¸a~o: A v.a X: nu´mero de sucessos em n tentativas tem Distribuicao Binomial, com¸~ parametros n , p e funcao de probabilidade dada por,^ ¸~ P{X = k} = . p .q , k = 0, 1, . . ., n. n k k n-k Notac¸a~o: X b(n , p)~ Obs: Verifiquemos que P{X = k} definida acima representa realmente uma distribuicao de¸~ probabilidade. 46 De fato, P{X = k} = . p .q = (p + q) = (p + 1 p) = 1 n n k=0 k=0 n k k n-k n n Propriedades: i) E(X) = n.p ii) var(X) = n.p.q prova: i) E(X) = k.P{X = k} = 0.P{X = 0} + k. . p .q = n n k=0 k=1 n k k n-k = k. . p .q = n.p. . p .q = n n k=1 k=1 n! k!.(n - k)! (k 1)!.(n - k)! k n-k k-1 n-k(n 1)! = n.p. . p .q = n.p. . p .q = n.p n n-1 k=1 i=0 n - 1 n - 1 k - 1 i k-1 n-k i (n-1)-i ii) Seja X = Y + . . . + Y onde Y Bernoulli (1 , p) n i ~ Observe que os Y sao v.a's. independentes, uma vez que o valor de Y depende~i i somente do resultado da i- repeticao, e as sucessivas repeticoes sao independentes.a ¸ ¸~ ~ ~ Dai, var(X) = var(Y + . . . + Y ) = var(Y ).´ n i n i=1 Mas var(Y ) = p.q = p.(1 p) , ii Logo, var(X) = p.(1 p) = n.p.(1 p) n i=1 Exemplo: Uma moeda e lancada 20 vezes. Qual a probabilidade de sairem 8 caras?´ ¸ ´ Determine E(X) e var(X). Sol: Dados do problema: n = 20 p = P{c} = = 0,5 e q = 0,5 P{X = 8} = ?1 2 Seja X: nu´mero de caras em 20 lancamentos da moeda, entao X = 0, 1, . . ., 20.¸ ~ P{X = 8} = . (0,5) .(0,5) = 0,12013 20 8 8 20-8 E(X) = n.p = 20.(0,5) = 10 e var(X) = n.p.q = 20.(0,5).(0,5) = 5 NOTA: As probabilidades binomiais podem ser encontradas em tabelas para diferentes valores den e p. 47 4.3 Distribuicao Binomial Negativa (ou Pascal)¸~ Suposic¸o~es: Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um mesmo experimento. Cada tentativa admite sucesso S com probabilidade p e fracasso F com probabilidade q = 1 p. Seja a v.a. X: nu´mero de tentativas necessarias para que o sucesso ocorra pela r-´ esima vez.´ Logo, X = r, r+1, . . . Obtenc¸a~o da func¸a~o de probabilidade de X: Determinaremos a funcao de probabilidade da v.a. X, P{X = k}, onde k r.¸~ Se X = k, o evento sucesso S ocorre pela r-esima vez na repeticao de nu´mero k.´ ¸~ Logo, S ocorre (r 1) vezes nas (k 1) repeticoes anteriores, pois devera¸~ ´ ocorrer um S na k-esima tentativa.´ Uma particular sequencia e, SSS . . . SFFF . . . FS^ ´ com P{SSS . . . SFFF . . . FS} = p .q , devido a independencia das tentativas.^r k-r # Mas qualquer sequencia com r sucessos e k r fracassos em k tentativas tera a^ ´ mesma probabilidade p .q .r k-r Porem, ha = sequencias com r 1 sucessos e k r´ ´ ^(k - 1)!(r - 1)!.(k - r)! r - 1 k - 1 fracassos em k 1 possibilidades. Dai, P{X = k} = . p .q , k = r, r+1, r+2, . . . (i.e, k r).´ ´ k - 1r - 1 r k-r Definic¸a~o: A v.a. X: nu´mero de tentativas necessarias para que o sucesso ocorra pela r-´ esima vez tem Distribuicao Binomial Negativa, com parametros p , r e funcao de´ ¸ ¸~ ~^ probabilidade dada por, P{X = k} = .p .q , k r. k - 1r - 1 r k-r Notac¸a~o: X bn(r , p)~ Propriedades: E(X) = e var(X) = r p p r.q 48 Exemplo: A probabilidade de que um sinal de transito esteja aberto numa esquina e 0,20.^ ´ Qual a probabilidade de que seja necessario passar pelo local 10 vezes, para encontra-lo´ ´ aberto pela 4a. vez? Sol: X: nu´mero de passagens pela esquina. Dados do problema: r = 4 p = 0,2 e q = 0,8 P{X = 10} = ? A F F A A F F F F A P{X = 10} = . (0,2) .(0,8) = 0,035232 10 - 1 4 - 1 6 Observac¸a~o: Caso r = 1, X tem Distribuicao Geometrica.¸~ ´ 4.4 Distribuicao Hipergeometrica¸~ ´ Suposic¸o~es: Consideremos uma populacao com N elementos dos quais r tem uma determinada¸~ ^ caracteristica A e N - r tem uma caracteristica B.´ ´^ Retiramos dessa populacao, sem reposicao e ao acaso, uma amostra de tamanho n.¸ ¸~ ~ Seja a v.a. X: nu´mero de elementos na amostra que tem a caracteristica A.^ ´ Obtenc¸a~o da func¸a~o de probabilidade de X: Determinaremos a funcao de probabilidade da v.a. X, P{X = k}, ou seja, a¸~ probabilidade de que esta amostra contenha k elementos com a caracteristica A.´ Uma particular sequencia com k elementos de caracteristica A e n - k elementos de^ ´ caracteristica B e,´ ´ AAA . . . ABB . . . B. Podemos retirar amostras sem reposicao.¸~ N k Os k elementos de caracteristica A na amostra podem ocorrer de maneiras e os´ rk de caracteristica B de maneiras.´ N - rn - k Logo, P{X = k} = , 0 k min {r, n}. r N - r k n - k N n . 49 Definic¸a~o: A v.a. X definida acima tem Distribuicao Hipergeometrica, com parametros n e¸~ ´ ^ r com funcao de probabilidade dada por,¸~ P{X = k} = , k = min (r, n). r N - r k n - k N n . Notac¸a~o: X Hiperg.~ Exemplo: De um baralho com 52 cartas retiram-se 8 cartas ao acaso, sem reposicao.¸~ Qual a probabilidade que 4 sejam figuras? Sol: X: nu´mero de figuras em 8 cartas. Dados do problema: N = 52 n = 8 e r = 12 P{X = 4} = ? P{X = 4} = = 0,0601 12 40 4 4 52 8 . Propriedades: E(X) = n.p e var(X) = n.p.(1 - p) . N - nN - 1 onde p = e a probabilidade de se obter um elemento de caracteristica A em uma u´nica´ ´ r N extracao.¸~ 4.5 Distribuicao Binomial como Aproximacao da¸ ¸~ ~ Hipergeometrica´ Se N e grande quando comparado com n, entao, extracoes com ou sem reposicao´ ~ ~ ~¸ ¸ serao praticamente equivalentes, e portanto, as distribuicoes Binomial e Hipergeometrica~ ~¸ ´ serao aproximadamente equivalentes. Veja o teorema a seguir.~ Teorema: Suponhamos que a v.a. X tenha distribuicao Hipergeometrica dada por¸~ ´ P{X = k} = , k = 0 , . . . , min {r, n}. r N - r k n - k N n . Facamos p = e q = 1 p , entao¸ ~ r N P{X = k} = . p .q , quando N .~ n k k n-k 50 4.6 Distribuicao de Poisson¸~ Em muitos casos, conhecemos o nu´mero de sucessos, porem, se torna dificil e, as´ ´ # vezes, sem sentido, determinarmos o nu´mero de fracassos ou o nu´mero total de tentativas. Por exemplo, poderemos num determinado intervalo de tempo anotar o nu´mero de carros que passam numa determinada esquina, porem, o nu´mero de carros que deixaram de´ passar pela esquina nao podera ser determinado.~ ´ A distribuicao de Poisson e largamente empregada quando se deseja contar o¸~ ´ nu´mero de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo. Definic¸a~o: Seja a v.a X: nu´mero de sucessos em um determinado intervalo, entao X tem~ Distribuicao de Poisson com funcao de probabilidade dada por,¸ ¸~ ~ P{X = k} = , k = 0, 1, . . . e 0.e . k! - k onde representa o nu´mero medio de sucessos ocorrendo no intervalo considerado.´ Notac¸a~o: X Poisson( )~ Propriedades: i) E(X) = e ii) var(X) = prova: i) E(X) = k.P{X = k} = 0.P{X = 0} + k. = = k=0 k=1 k=1 e . e . k! (k 1)! - k - k = = = . = . k=1 i=0 i=0 e . e . e . (k 1)! i! i! - k - i+1 - i ii) var(X) = E(X ) E(X) E(X ) = k .P{X = k} = 0 .P{X = 0} + k . = k.(k - 1) + k = k=0 k=1 k=1 e . e . k! k! - k - k = k.(k - 1). + k. = + = + = k=1 k=1 k=2 i=0 e . e . e . e . k! k! (k - 2)! i! - k - k - k - i+2 = . + = + i=0 e . i! - i Portanto, var(X) = + = . 51 Exemplo: Numa central telefonica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade^ de que num minuto nao haja nenhum chamado.~ Sol: Seja X: nu´mero de chamadas por minuto. X Poisson( ) onde E(X) = .~ O nu´mero medio de chamadas por minuto e = = 5´ ´ 30060 Portanto, P{X = 0} = = 0,006738e . 5 0! -5 0 4.7 Distribuicao de Poisson como Aproximacao da¸ ¸~ ~ Binomial Muitas vezes, no uso da Binomial, pode ocorrer que n e muito grande (n 30) e p´ e muito pequeno (p 0).´ Nesses casos nao encontramos o valor em tabelas.~ Podemos entao fazer uma aproximacao da Binomial por uma distribuicao de~ ~ ~¸ ¸ Poisson. Teorema: Seja X uma v.a. tendo distribuicao Binomial, i.e, P{X = k} = . p .q .¸~ ´ n k k n-k Suponhamos que, quando n e p 0 , de tal modo que n.p permaneca¸ constante, i.e., n.p = . Nestas condicoes´ ¸~ lim P{X = k} = ~ e . k! - k prova: P{X = k} = . p .q = .p .q = n k k!.(n - k)! k n-k k n-kn! = .p .q = .p .( 1 - p) =n.(n - 1). . . . (n - k + 1).(n - k)! n.(n - 1). . . . (n - k + 1)k!.(n - k)! k! k n-k k n-k Como E(X)=np para Binomial e E(X) = para Poisson temos = n.p, ou seja p= . n Portanto, P{X = k} = .n.(n - 1). . . . (n - k + 1). . 1 =1 k! n n k n-k = .1. 1 . 1 . . . 1 . . 1 . 1 1 1 1 k - 1 k! n n - 1 n n n k n -k Dai,´ 52 lim P{X = k} = . .lim 1 . . . 1 . 1 . 1 1 1 k - 1 k! n n n k -k n k! n k! n n 1 e . k = . .lim 1 = . - k Exemplo: Suponhamos que um fabricante produza pecas, das quais cerca de uma em 1000¸sejam defeituosas. Determinar a probabilidade de que em um lote de 500 pecas, nenhuma¸ das pecas seja defeituosa.¸ Sol: Seja X: nu´mero de pecas defeituosas no lote.¸ Entao, X b 500, ~ ~ 11000 Portanto, P{X = 0} = .(0,001) .(0,999) = 0.609 500 0 0 500 Se aplicarmos a aproximacao pela Poisson, para = n.p = 500.0,001 = 0.5¸~ entao~ P{X = 0} = = 0,61~ e . 0! -0.5 0 53 4 . Lista de Exercicios de Probabilidade e Estatistica´ ´a 1) Em um certo tipo de fabricacao de fita magnetica, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por¸~ ´ 2.000 pes. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pes de fita magnetica tenha:´ ´ ´ a) nenhum corte? b) no maximo dois cortes?´ c) pelo menos dois cortes? 2) Na manufatura de certo artigo, e sabido que 1 entre 10 dos artigos e defeituoso. Qual a´ ´ probabilidade de que uma amostra casual de tamanho 4 contenha: a) nenhum defeituoso? b) exatamente um defeituoso? c) nao mais do que dois defeituosos?~ 3) Suponhamos que o nu´mero medio de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia´ seja 2. As atuais instalacoes podem atender, no maximo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de¸~ ´ 3 aportarem num dia, o excesso e enviado a outro porto.´ a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? b) De quanto deverao ser aumentadas as instalacoes para permitir atender a todos os~ ~¸ navios que chegarem pelo menos emm 95% dos dias? 4) As cinco primeiras repeticoes de um experimento custam 10,00 u.m. cada. Todas as¸~ repeticoes subsequentes custam 5,00 u.m. cada. Suponha que o experimento seja repetido¸~ ate que o primeiro sucesso ocorra. Se a probabilidade de sucesso de uma repeticao e igual a´ ´¸~ 0,9, e se as repeticoes sao independentes, qual e o custo esperado da operacao?¸ ¸~ ~ ~´ 5) De seis empregados, 3 estao na companhia ha cinco anos ou mais. Se 4 empregados sao~ ~´ aleatoriamente escolhidos deste grupo de seis, a probabilidade de que exatamente 2 estejam´ ha cinco ou mais anos e?´ ´ 6) A probabilidade de um bem sucedido lancamento de foguete e igual a 0,8. Suponha que¸ ´ tentativas de lancamento sejam feitas ate que tenham ocorrido 3 lancamentos bem¸ ¸´ sucedidos. Qual e a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessarias? Qual e´ ´ ´ a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessarias?´68 7) Em uma determinada localidade, a probabilidade da ocorrencia de uma tormenta em^ algum dia durante o verao e igual a 10%. Admitindo independencia de um dia para outro,~ ´ ^ qual e a probabilidade da ocorrencia da primeira tormenta da estacao de verao no dia 3 de´ ^ ¸~ ~ janeiro? O verao comeca oficialmente dia ....~ ¸ 54 8) Em uma pesquisa de opiniao pu´blica, 2 dentre 5 pessoas entrevistadas sao favoraveis~ ~ ´ a uma certa proposicao. Em uma amostra de 10 pessoas entrevistadas, qual a probabilidade¸~ que pelo menos 3 sejam favoraveis?´ 9) Sabe-se que em um edificio existem 500 moradores, das quais 10 trabalham na empresa´ X. Se 5 moradores deste edificio sao selecionados aleatoriamente para responder um´ ~ questionario a respeito da eficiencia da empresa, qual e a probabilidade de que nenhum´ ´^ deles trabalhe na empresa X? Observe que nao tem sentido um morador ser sorteado mais de uma vez.~ 10) Em uma determinada grafica os impressos de um vestibular sao expedidos em lotes de´ ~ 50 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe 5 destes impressos e os analisa. Se nenhum dos impressos inspecionados for defeituoso, o lote e aprovado. Se´ pelo menos um dos impressos for defeituoso, todos os impressos da remessa sao~ inspecionados. Suponha que existam, de fato, tres impressos defeituosos no lote.^ a) Qual a probabilidade de que a inspecao seja 100% necessaria?¸~ ´ b) Qual e o nu´mero medio esperado de impressos defeituosos na remessa?´ ´ 11) Num teste tipo certo-errado, com 3 questoes apenas, qual e a probabilidade de que um~ ´ aluno que as responde ao acaso acerte: a) exatamente 1 questao~ b) pelo menos 2 questoes~ c) no maximo 1 questao´ ~ d) no minimo 2 questoes´ ~ 12) 70% da populacao estudantil de uma cidade foi aprovada em teste de ingles. Para 12¸~ ^ individuos dessa populacao:´ ¸~ a) Estabeleca a distribuicao de probabilidade da v.a. X = no. de aprovados no teste¸ ¸~ de ingles.^ b) Calcule a probabilidade de que todos tenham sido aprovados. c) Calcule o nu´mero medio esperado de aprovados e a variabilidade a que esta´ ´ sujeito o no. de aprovados. 55 Capítulo 5 Modelos Probabilísticos de Variáveis Contínuas De um modo geral, podemos dizer que as v.a. cujos valores resultam de algum processo de mensuracao sao v.a. continuas.¸~ ~ ´ Dada uma v.a. continua X, interessa saber qual a f.d.p. de X.´ Alguns modelos sao frequentementes usados para representar a f.d.p. de v.a.~ continuas.´ 5.1 Distribuicao Uniforme¸~ Definic¸a~o: Uma v.a. continua X tem Distribuicao Uniforme com parametros a e b (a ´ ¸~ ^ b) reais, se a sua f.d.p. e dada por:´ se a x b1 b - a f(x) = 0 caso contrario´ Notac¸a~o: X U[a , b]~ Propriedades: 0 se x a 1) A f.d.a. de X e dada por F(x) = se a x b´ x - a b - a 1 se x b 2) i) E(X) = E(X) e o ponto medio do intervalo [a , b]´ ´b + a 2 ii) var(X) = (b - a) 12 prova: 1) 0.dt = 0 se x a x - 56 F(x) = P{X x} = f(t).dt = 0.dt + .dt = se a x b x a x - - a 1 x - a b - a b - a 0.dt + .dt + 0.dt = 1 se x b a b x - a 1 b - a b 2) i) E(X) = x.f(x).dx = x. .dx = . x.dx = . | = b a b b b a a a 1 1 1 x b - a b - a b - a b - a 2 2.(b - a) ii) var(X) = E(X ) - E(X) onde E(X ) = . x .dx e E(X) = . 1 a + b b - a 2 b a Exemplo: Um ponto e escolhido ao acaso no intervalo [0, 2]. Qual a probabilidade de que´ o ponto esteja entre 1 e 1,5? Sol: = se 0 x 21 1 2 - 0 2 f(x) = 0 caso contrario´ Portanto, P(1 X 1,5) = f(x).dx = .dx = .x = . 1,5 1,5 1 1 1 1 1 2 2 4 57 5.2 Distribuicao Exponencial¸~ Uma distribuicao muito usada para descrever tempo ate a ocorrencia de uma falha¸~ ´ ^ quando estudamos a confiabilidade de um produto ou tempo de sobrevivencia de um ser^ vivo e dada pela distribuicao exponencial.´ ¸~ Definic¸a~o: Uma v.a. continua X tem Distribuicao Exponencial com parametro de escala ´ ¸~ ^ 0, se sua f.d.p. e dada por´ .e , x 0 - x f(x) = 0 , x 0 Notac¸a~o: X exp( )~ Propriedades: 1 - e , x 0- x 1) A f.d.a. de X e dada por F(x) =´ 0 , x 0 2) i) E(X) = ii) var(X) = 1 1 prova: 1) 0.dt = 0 se x 0 x - F(x) = P{X x} = f(t).dt = x - 0.dt + .e .dt = - e | = 1 e se x 0 x 0 0 x - 0 - t - t - t 2) i) E(X) = x.f(x).dx = x. .e .dx 0 0 - x Definindo u = x e dv = e .dx , que implica du = dx e v = -e e integrando por- x - x partes obtendo E(X) = x. .e .dx = x. -e + e .dx = - = 0 0 - x - x - x e 1 - x 58 ii) E(X ) = (provar) 2 var(X) = E(X ) - E(X) = = 2 1 1 Exemplo: O tempo de vida (em horas) de um transistor e uma v.a. T com f.d.p.´ 500.e , t 0-500.t f(t) = 0 , t 0 Determine o tempo de vida medio e a probabilidade de que seu tempo de vida seja´ maior do que a media.´ Sol: E(T) = = = 0.0021 1 500 P(T 0.002) = f(t).dt = 500.e .dt = e = 0,3678. 0.002 0.002 -500.t- 5.3 Distribuicao Normal¸~ A distribuicao Normal ou Distribuicao Gaussiana e a mais importante de todas¸ ¸~ ~ ´ distribuicoes pois ela tem uma grande aplicacao nas mais diversas areas.¸ ¸~ ~ ´ Por exemplo, muitas medidas fisicas podem ser aproximadas por uma distribuicao´ ¸~ Normal. Mesmo alguns fenomenos fisicos que nao tem distribuicao Normal, podem ser^ ^´ ~ ~¸ transformados para uma distribuicao Normal. Por exemplo, os tempos de vida de motores¸~ eletricos tem uma distribuicao exponencial, mas se considerarmos log (tempo de vida)´ ¸~ entao teremos uma boa aproximacao para a distribuicao Normal.~ ~ ~¸ ¸ Definic¸a~o: Uma v.a. continua X tem Distribuicao Normal com parametros e se sua´ ¸~ ^ f.d.p. e dada por:´ f(x) = . exp - . - x 1 1 . 2 2 x - onde - e 0 . Notac¸a~o: X N( , )~ Propriedades: 59 1) A f.d.a. de X e F(x) = . exp - . .dt - x ´ 1 1 . 2 x - 2 t - 2) i) E(X) = e ii) var(X) = prova: i) X) = x.f(x).dx = x. . exp - . .dxE( - - 1 1 . 2 2 x - Fazendo z = dz = . Dai,´x - dx E(X) = x. . exp - . .dx = . ( .z + ).e .dz = - - 1 1 1 . 2 2 2 x - -z /2 = . . z.e .dz + . . e .dz1 1 2 2 - - -z /2 -z /2 Observemos que g(z) = z.e e uma funcao impar , i.e, g(-z) = -g(z) que implica´ ´¸~ ´-z /2 g(z).dz = 0 e que se Z N(0 , 1) entao f(z) = .e .~ - ~ 1 2 -z /2 Portanto, z.e .dz = 0 e . e .dz = 1 - - -z /2 -z /21 2 Entao, E(X) = 0 + .1 = .~ ii) E(X ) = x .f(x).dx = x . . exp - . .dx = - - 1 1 . 2 2 x - = . ( .z + ) .e .dz = . z .e .dz + . z.e .dz +1 2 2 2 - - - -z /2 -z /2 -z /22. . 60 + . e .dz 2 - -z /2 Vimos que z.e .dz = 0 e . e .dz = 1 - - -z /2 -z /21 2 Usemos integracao por partes para calcular a integral . z .e .dz , fazendo u¸~ 1 2 - -z /2 = z e z.e .dz = dv que implica em du = dz e v = e .-z /2 -z /2 Entao,~ . z .e .dz = . -z.e + e .dz = 0 + 1 = 11 1 2 2 - - -z /2 -z /2 -z /2 Logo, E(X ) = .1 + 2. . .0 + .1 = + Agora, var(X) = E(X ) - E(X) = + = . 3) A curva e simetrica em relacao a , i.e., f( + x) = f( x) Med = ´ ´ ´¸~ 4) O ponto de maximo de f(x) e Moda = ´ ´ 5) f(x) 0 quando x i.e,´ _ valores extremos do grafico raramente ocorrem´ _ valores proximos da media sao mais frequentes´ ´ ~ 6) - e + sao pontos de inflexao de f(x).~ ~ 7) Nas figuras a seguir temos alguns casos especiais da distribuicao Normal:¸~ 61 O achatamento do grafico e determinado por .´ ´ e parametro de locacao e e parametro de escala.´ ´^ ^¸~ 5.4 Distribuicao Normal Padronizada¸~ Definic¸a~o: Uma v.a. continua Z tem Distribuicao Normal Padronizada (ou Reduzida) se Z´ ¸~ ~ N(0 , 1), i.e, se Z e Normal com media E(Z) = = 0 e variancia var(Z) = = 1.´ ´ ´ ^ NOTAS 1) A distribuicao Normal Padronizada e tabelada.¸~ ´ Esta tabela e dada em termos da funcao de distribuicao acumulada.´ ¸ ¸~ ~ 2) A tabela de Faixa Unicaudal da a area sob a curva Normal Padronizada a direita´ ´ de qualquer valor positivo z , i.e,´0 P{Z z } = area sob a curva a direita de Z = z .´ 0 0 62 A simetria em torno de Z = 0 nos permite obter a area entre quaisquer valores de Z´ (positivo ou negativo). Vejamos alguns exemplos: Exemplos para uso da tabela Se Z N(0 , 1), calcular:~ i) P{Z 1.15} P{Z 1.15} = 0.12507 ii) P{Z -1.24} P{Z -1.24} = P{Z 1.24} = 0.10749 iii) P{Z 1.43} P{Z 1.43} = 1 P{Z 1.43} = 1 0.07636 = 0.92364 v) P{Z -1.64} 63 P{Z -1.64} = 1 P{Z -1.64} = 1 P{Z 1.64} = 1 0.05050 = 0.9495 v) P{0 Z 2} P{0 Z 2} = 0.5 P{Z 2} = 0.5 0.02275 = 0.47725 vi) P{-2 Z 0} P{-2 Z 0} = P{0 Z 2} = 0.47725 vii) P{-1.32 Z 1.74} P{-1.32 Z 1.74} = 1 P{Z -1.32} + P{Z 1.74} = = 1 P{Z 1.32} + P{Z 1.74} = 1 0.04093 + 0.09342 = 0.86565 viii) P{1.31 Z 2.44} 64 P{1.31 Z 2.44} = P{Z 1.31} - P{Z 2.44} = 0.0951 0.00734 = 0.08776 ix) P{-2 Z -1} P{-2 Z -1} = P{1 Z 2} = P{Z 1} P{Z 2} = 0.15866 0.02275 = 0.13591 5.5 Calculo de Probabilidade para Distribuicoes Normais´ ¸~ Suponhamos que X N( , ) e queiramos determinar~ P{a X b} = . exp - . .dx (ver figura abaixo) b a 1 1 . 2 2 x - A integral acima nao pode ser calculada exatamente, e a probabilidade indicada so~ ´ pode ser obtida aproximadamente, por metodos numericos.´ ´ A elaboracao de uma tabela de probabilidade acarretaria um grande trabalho para¸~ tabelar essas probabilidades considerando-se as varias combinacoes de uso, pois a´ ¸~ distribuicao Normal depende dos dois parametros e .¸~ ^ Os problemas sao solucionados por meio de uma mudanca de variavel, obtendo-se,~ ¸ ´ assim, a distribuicao Normal Padronizada.¸~ 65 Qualquer distribuicao Normal pode ser transformada na Normal Padronizada.¸~ Teorema: Se X e uma v.a. tal que X N( , ) entao a v.a.´ ~~ Y = aX + b N(a. + b , a ).~ prova: Se X N( , ) entao a f.d.p. de X e f(x) = . exp - . .~ ´~ 1 1 . 2 2 x - Pelo Teorema da Mudanca de Variavel a f.d.p. de Y = a.X + b e dada por¸ ´ ´ g(y) = f(x). dxdy Y = a.X + b X = , entao~ Y - b a g(y) = . exp - . . = . exp - .1 1 1 1 1 . 2 a. . 2 2 a 2 a - y - (a + b) y - b a Logo, Y = aX + b N(a. + b , a ).~ Corola´rio: Se X e uma v.a. tal que X N( , ) entao a v.a. Z = N(0 , 1).´ ~~ ~X - prova: Z = .X e usando o teorema para a = e b = - tem-se 1 1 Z N . - , . = N(0 , 1)~ 1 1 Exemplo: 1) Seja X N(60 , 4). Achar P{55 X 63).~ Sol: Sabemos que se X N( , ) entao Z = N(0 , 1). Dai,~ ´~ ~ X - 66 P{55 X 63) = P = P{-2,5 Z 1,5} 55 - 60 X - 60 63 - 60 2 2 2 P{-2.5 Z 1.5} = 1 P{Z 1.5} + P{Z -2.5} = 1 0,06681 + 0,00621 = 0,92699. 2) Sendo X N(50 , 16), determinar x tal que P{X x } = 0.05~ Sol: 0,05 = P{X x } = P = P Z . X - 50 4 4 4 x - 50 x - 50 Ou seja, P Z = 0.05 onde Z N(0 , 1). x - 50 4 ~ Agora, 0,5 = P 0 Z + P Z x - 50 x - 50 4 4 Isto e, 0,5 = P 0 Z + 0.05´ x - 50 4 0,45 = P 0 Z x - 50 4 Pela Tabela, = 1,65 o que implica x = 56,6x - 50 4 Portanto, P{X 56,6} = 0,05. 5.6 Aproximacao Normal à Distribuicao Binomial¸ ¸~ ~ 67 Seja X uma v.a. com distribuicao Binomial, X b(n , p).¸~ ~ Quando n e grande, e dificil calcular as probabilidades´ ´ ´ P{X = k} = . p .q , k = 0, 1, . . . , n. n k k n-k Para p = e n tomando os valores n = 5, 10 e 20, observemos os seguintes1 2 graficos:´
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