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Apostila - Calculo de Probabilidades

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1
Capítulo1
Cálculo de Probabilidade
1.1 Fenomeno Deterministico e Aleatorio^ ´ ´
 Um experimento e um processo de observar um determinado fenomeno.´ ^
 Encontram-se na natureza dois tipos de fenomenos: i) deterministicos^ ´
 ii) aleatorios.´
 Os fenomenos deterministicos sao aqueles em que os resultados sao sempre os^ ´ ~ ~
mesmos, qualquer que seja o nu´mero de ocorrencias dos mesmos.^
Exemplo: Sabemos que um solido, a uma determinada temperatura, passara para o estado´ ´
liquido.´
Nos fenomenos aleatorios, mesmo que as condicoes iniciais sejam sempre as^ ´ ¸~
mesmas, os resultados finais de cada repeticao do fenomeno serao diferentes e nao¸~ ~ ~^
previsiveis.´
Exemplo: Consideramos um lancamento de uma moeda (nao-viciada) com a finalidade de¸ ~
observar a face que a moeda mostra ao cair. Sabemos quais sao os resultados possiveis~ ´
(cara ou coroa), mas nao podemos precisar qual deles sera obtido.~ ´
 A Estatistica estuda os fenomenos aleatorios.´ ^ ´
 A distribuicao de frequencias das observacoes de um fenomeno aleatorio e um¸ ¸~ ~^ ^ ´ ´
recurso para se entender a variabilidade do mesmo.
 Entretanto, com suposicoes adequadas e sem observar diretamente o fenomeno,¸~ ^
podemos criar um modelo teorico que reproduza muito bem a distribuicao das frequencias´ ¸~ ^
quando o fenomeno e observado diretamente. Tais modelos sao chamados Modelos de^ ´ ~
Probabilidades.
1.2 Espaco Amostral¸
Definic¸a~o: Espaco Amostral de um experimento aleatorio e o conjunto de todos os¸ ´ ´
possiveis resultados desse experimento.´
Notac¸a~o: 
2
Exemplos: Sejam os experimentos:
a) E: jogar um dado e observar o n- da face de cima.o
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 b) E: jogar duas moedas e observar o resultado
 = {(c,k), (c,k), (k, c), (k,k)}
 Cada elemento do espaco amostral sera chamado de Evento Simples ou Ponto¸ ´
Amostral.
1.3 Evento Aleatorio´
Definic¸a~o: Um Evento e o conjunto de pontos amostrais com uma dada caracteristica´ ´
particular.
 Ou seja, um evento e um subconjunto de .´ 
Exemplo: Sejam o experimento E: jogar tres moedas e observar os resultados,^
 e o evento A: ocorrer pelo menos duas caras. Entao:~
 = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (c,k,k), (k,c,k), (k,k,c), (k,k,k)}
e A = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)}
NOTA 1) Em particular, e um Evento Certo ´
 e um Evento Impossivel.´ ´
NOTA 2) Usando as operacoes com conjuntos, poderemos formar novos eventos.¸~
A B e o evento em que pelo menos um dos dois eventos ocorrem.´
A B e o evento que ocorre se A e B ocorrem.´
A e o evento que ocorre se A nao ocorre
_
´ ~
Definic¸a~o: Dois eventos A e B sao denominados Mutuamente Excludentes, se eles nao~ ~
puderem ocorrer simultaneamente.
Isto e, se A B = .´  
Exemplo: Seja o experimento E: jogar um dado e observar o resultado.
 Sejam os eventos A: ocorrer n- par e B: ocorrer n- impar. Entao:o o ´ ~
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} , B = {1, 3, 5} e A B =   
3
1.4 Definicao de Probabilidade¸~
Definic¸a~o: Consideremos um experimento cujo espaco amostral e .¸ ´ 
 Define-se Probabilidade P a uma funcao definida em que associa a cada¸~# 
evento A um nu´mero real P(A), satisfazendo os seguintes axiomas: 
 i- 0 P(A) 1 para todo evento A de .  
 ii- P( ) = 1
iii- P( A ) = P(A ) se A , A , . . . forem eventos mutuamente exclusivos.
i=1


i i
i=1


 
1.5 Propriedades
1- Se A = entao P(A) = 0.~
prova: = e sao mutuamente excludentes, entao:~ ~     
P( ) = P( ) + P( )   
Mas = P( ) = P( ) = 1       
Logo, P( ) = P( ) + P( ) P( ) = 0.   
NOTA: Nao vale a reciproca, i.e, P(A) = 0 A = .~ ´ ´  
2- P(A) = 1 - P(A)
_
prova: A A = A e A sao mutuamente excludentes, entao:
_ _
~ ~  
P(A A) = P(A) + P(A)
_ _

 P(A) + P(A) = 1
_

 Mas A A = P(A A) = P( ) = 1
_ _
   
 Portanto, P(A) = 1 P(A)
_

3- Se A B entao i) P(A) P(B)~  
 ii) P(B - A) = P(B A) = P(B) - P(A)
_

prova: i) Desde que A B entao B = A (A B) ~
_
  
4
 Agora, A e A B sao mutuamente exclusivos, logo
_
~
P(B) = P A (A B) = P(A) + P(A B)
_ _
   
 Como P(A B) 0 P(B) P(A)
_
   
 ii) Pela demonstracao do item i) temos que¸~ ´
 P(B) = P A (A B) = P(A) + P(A B)
_ _
   
 Logo, P(A B) = P(B) P(A)
_
 
4- P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) 
prova: Observe a figura a seguir.
 Dai, A B = I II III´   
 A = I II
 B = II III
 A B = II
 Como I, II e III sao mutuamente excludentes, segue:~
 P(A B) = P(I) + P(II) + P(III)
 P(A B) = P(A) + P(III) 
 P(A) = P(I) + P(II)
 P(B) = P(II) + P(III)
 P(III) = P(B) P(A B)  
5
 P(A B) = P(II)
 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)   
 
5- Se os eventos A , A , . . ., A formam uma particao do espaco amostral, entao:¸ ¸~ ~  n
i) P( A ) = P(A )
n
i=1
 i i
n
i=1

ii) P(A ) = 1
n
i=1
i
prova: Por inducao.¸~
6- Sejam A , A , . . ., A eventos de um espaco amostral . Entao:¸ ~  n 
 P( A ) = P(A ) - P(A A ) + P(A A A ) - . . . + (-1) . P(A A
n
i=1
     i i i j i j k
n n n
i=1 i<j i<j<k
n-     
. . . A ) n
NOTA: Note-se que, apesar de termos postulado a existencia do nu´mero P(A) e de varias^ ´
propriedades, nada dissemos quanto a maneira de calcular P(A).
1.6 Espaco Amostral Equiprovavel¸ ´
 Para um grande nu´mero de experimentos e natural assumir que cada ponto no´
espaco amostral tenha mesma probabilidade.¸
Consideremos um experimento cujo espaco amostral seja um conjunto finito,¸ 
 = {a , a , . . ., a }  n
 E natural assumir que P({a }) = P({a }) = . . . = P({a }) que implica dos Axiomas 2´   n
e 3 que
P({a }) = i=1, 2, . . .,ni 1 n
 Dai, segue que, para qualquer evento A = {a , a , . . ., a } de , K n´ i i i  k  
 P(A) = k n
Exemplo: Retira-se uma carta de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair rei
ou uma carta de espadas?
Sol: Seja A: saida de um rei e B: saida de uma carta de espada. Entao:´ ´ ~
6
A = {K , K , K , K } P(A) = o e c p 452
B= {A , 2 , 3 , . . ., Q , J , K } P(B) = e e e e e e 1352
A B = {K } P(A B) =   e 152
Logo, P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) 
 P(A B) = + - P(A B) =   4 13 1 1652 52 52 52
NOTA: Em muitos experimentos, nao e possivel construir um espaco amostral onde os~ ´ ´ ¸
resultados elementares sejam igualmente provaveis.´
7
1 Lista de Exercicios de Probabilidade e Estatistica´ ´a
1) Sejam A, B e C tres eventos de um espaco amostral. Exprimir os eventos abaixo, usando^ ¸
as operacoes uniao, interseccao e complementacao:¸ ¸ ¸~ ~ ~ ~
 a) somente A ocorre; b) A, C ocorrem, mas B nao;~
 c) A, B e C ocorrem; d) pelo menos um ocorre;
 e) exatamente um ocorre; f) nenhum ocorre;
 g) exatamente dois ocorrem; h) pelo menos dois ocorrem;
 i) no maximo dois ocorrem.´
2) Pecas que saem de uma linha de producao sao marcadas defeituosa (D) ou nao-¸ ¸~ ~ ~
defeituosa (N). As pecas sao inspecionadas e sua condicao registrada. Isto e feito ate que¸ ¸~ ~ ´ ´
duas pecas defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que quatro pecas tenham sido¸ ¸
inspecionadas, aquilo que ocorra em primeiro lugar.
 Descreva um espaco amostral para este experimento.¸
3) Lance um dado ate que a face 5 apareca pela primeira vez. Enumere os possiveis´ ¸ ´
resultados deste experimento.
4) Suponhamos A e B eventos com P(A) = , P(B) = e P(A B) = . Encontre:3 1 1 8 2 4 
 i) P(A B) ii) P(A) e P(B) iii) P(A B)
_ __ _
 
 iv) P(A B) v) P(A B) vi) PA B)
_ __ _
  
5) Em uma prova cairam dois problemas.Sabe-se que que 132 alunos acertaram o primeiro,´
86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a
probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso
a) nao tenha acertado nenhum problema?~
 b) tenha acertado apenas o segundo problema?
6) (Problema Classico dos aniversarios)´ ´
 Determinar a probabilidade de n pessoas (n 365) escolhidas ao acaso completarem
aniversario em n dias diferentes.´
7) Se P(A) = 1/3 , P(B) = 1/4 , A e B podem ser disjuntos?
_
 (Sugestao: P(A) = P(A B) + P(A B) e (A B) B)~
_ _ _
   
8) Dois homens h e h , e tres mulheres m , m e m , estao num torneio de xadrez.^ ~    
8
 Os do mesmo sexo tem igual probabilidade de vencer, mas cada homem tem duas vezes^
mais probabilidades de ganhar do que qualquer mulher.
i) Encontre a probabilidade de que uma mulher venca o torneio.¸
 ii) Se h e m , sao casados, encontre a probabilidade de que um deles venca.~ ¸ 
9) Seis casais estao numa sala.~
i) Se 2 pessoas sao escolhidas aleatoriamente, encontre a probabilidade p de que a)~
sejam casadas, b) uma seja do sexo masculino e outra do feminino.
ii) Se 4 pessoas sao escolhidas aleatoriamente, encontre a probabilidade p de que a)~
2 casais sejam escolhidos, b) nenhum casal seja escolhido, c) exatamente um casal seja
escolhido.
 iii) Se as 12 pessoas estao divididas em 6 pares, encontre a probabilidade p de que~
a) cada par seja um casal, b) cada par contenha uma pessoa do sexo masculino e outra do
feminino.
10) Em um congresso cientifico existem 15 matematicos e 12 estatisticos. Qual a´ ´´
probabilidade de se formar uma comissao com 5 membros, na qual figurem 3 matematicos e~ ´
2 estatisticos?´
11) A seguinte afirmacao trata da probabilidade de que exatamente um dos eventos A ou B¸~
ocorra. Prove que: P (A B) (A B) = P(A) + P(B) -2.P(A B)
_ _
    
12) a) Prove que, para dois eventos quaisquer A e B, P(A B) P(A) + P(B) 
 b) Generalize a) para n eventos quaisquer A , A , . . . , A :  n
P(A A . . . A ) P(A ) + P(A ) + . . . + P(A ) Desigualdade de Boole      n n
(Sugestao: Usar Inducao Finita)~ ~¸
13) Uma secretaria ineficiente coloca ao acaso n cartas em n envelopes. Determine a´
probabilidade de ao menos uma carta chegar ao seu destino.
14) Em uma cidade onde se publicam tres jornais A, B e C, constatou-se que entre 1000^
familias, assinam:´
A: 470 ; B: 420 ; C: 315 ; A e B: 110 ; A e C: 220 ; B e C: 140 e 75 assinam
os tres. Escolhendo-se ao acaso uma familia, qual a probabilidade de que ela:^ ´
 a) nao assine nenhum dos tres jornais?~ ^
 b) assine apenas um dos tres jornais?^
 c) assine pelo menos dois jornais?
9
Capítulo2
Probabilidade Condicional e Independência
2.1 Definicao¸~
 A probabilidade de um evento A geralmente se modifica quando recebemos a
informacao adicional da ocorrencia ou nao de um outro evento B relacionado com A. Esta¸~ ~^
probabilidade e definida como probabilidade condicional e e representada por P(A/B).´ ´
Sempre que calculamos P(A), dado B, estaremos essencialmente calculando P(A)
em relacao ao espaco amostral reduzido a /B em lugar de faze-lo em relacao ao espaco¸ ¸ ¸ ¸~ ~^
amostral .
Definic¸a~o: A Probabilidade Condicional de um evento A dado a ocorrencia de um evento B^
e definida por,´
P(A/B) = onde P(B) 0. P(A B)P(B)
 
Exemplo: Consideremos 250 alunos que cursam o 1o. ano de uma faculdade. Destes alunos
100 sao homens (H) e 150 sao mulheres (M), 110 cursam fisica (F) e 140 cursam quimica~ ~ ´ ´
(Q). A distribuicao dos alunos e a seguinte:¸~ ´
 ------------------------------------------------
 F Q Total
 -----------------------------------------------
 H 40 60 100
 M 70 80 150
 -----------------------------------------------
 Total 110 140 250
Um aluno e sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando´
quimica, dado que e mulher?´ ´
Sol: Sejam os eventos Q: o aluno cursa quimica e M: o aluno e mulher´ ´
Desejamos saber P(Q/M) = ?
Pelo quadro vemos que esta probabilidade e P(Q/M) = .´ 80150
 Pela definicao, P(Q/M) = ¸~ P(Q M)P(M)

Dai,´
 P(Q/M) = = . 
80
250
150
250 
80
150
10
NOTA: Note que a probabilidade condicional definida acima satisfaz os axiomas da
definicao de probabilidade, i.e,¸~ ´
i') 0 P(B/A) 1 
ii') P( /A) = 1
iii') P( E /A) = P(E /A) se E , E , . . . forem eventos mutuamente exclusivos.
i=1


i i
i=1


 
2.2 Propriedades
1- P( /A) = 0
2- P(B/A) = 1 - P(B/A)
_
3- i) P(E E /A) = P(E /A) + P(E /A) - P(E E /A)      
 ii) se E E = entao P(E E /A) = P(E /A) + P(E /A)~       
4- Tambem podemos generalizar a propriedade 3) de probabilidade condicional para n´
eventos E , E , . . ., E .  n
2.3 Teoremas
LEI DA MULTIPLICAC¸A~O DE PROBABILIDADE:
P(A B) = P(B).P(A/B) 
Tambem, de P(B/A) = entao P(A B) = P(A).P(B/A)´ ~P(A B)P(A)
 
Exemplo: Em um lote de 12 pecas, 4 sao defeituosas. Duas pecas sao retiradas uma apos a¸ ¸~ ~ ´
outra sem reposicao. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?¸~
Sol: Sejam os eventos A: a 1a. peca e boa e B: a 2a. peca e boa¸ ¸´ ´
P(A B) = P(A).P(B/A) = . =  8 7 1412 11 33
NOTA: Com 3 eventos A, B e C temos, i) P(A/B C) =  P(A B C)P(B C)
 

 ii) P(A B C)=P(A).P(B/A).P(C/A B)  
11
GENERALIZAC¸A~O DA LEI DE MULTIPLICAC¸A~O DE PROBABILIDADE:
P( A ) = P(A ).P(A /A ).P(A /A A ) . . . P(A /A A . . . A )
n
i=1
    i n n-1       
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL:
"Sejam A , A , . . ., A eventos que formam uma particao do espaco amostral. Seja¸~  n
B um evento desse espaco. Entao¸ ~
P(B) = P(A ).P(B/A )
n
i=1
i i
prova: Os eventos (B A ) e (B A ) , i j , i=1, . . , n e j=1, . . . , n sao mutuamente~  i j
exclusivos, pois
(B A ) (B A ) = B (A A ) = B =        i j i j
 Alem disso, B = (B A ) (B A ) . . . (B A ) ´        n
 Dai,´
 P(B) = P (B A ) (B A ) . . . (B A ) = P(B A ) =            n i
n n
i=1 i=1
P(A ).P(B/A )i i
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contem 4´ ´
bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, tambem ao´
acaso uma bola. Qual a probabilidade que seja branca?
Sol: Sejam os eventos: I = {a bola provem da urna I}´
 II = {a bola provem da urna II}´
que formam uma particao do espaco amostral.¸ ¸~
Consideremos tambem o evento B = {a bola selecionada e branca}´ ´
12
 Queremos P(B) = ?
 Sabemos que P(I) = P(B/I) = 1 3 2 5
 P(II) = P(B/II) = 1 4 2 6
Pelo Teorema da Probabilidade Total,
 P(B) = P(I).P(B/I) + P(II).P(B/II)
 Logo,
 P(B) = . + . = 1 3 1 2 19 2 5 2 3 30
TEOREMA DE BAYES:
"Sejam A , A , . . ., A eventos que formam uma particao de .¸~  n 
 Seja B um evento . Suponhamos conhecidas P(A ) e P(B/A ), i=1, 2, . . .,n. i i
 Entao~
P(A /B) = , j=1, . . .,nj
P(A ).P(B/A )
 P(A ).P(B/A )
j j
n
i=1
i i
prova: Por definicao P(A /B) = j=1, . . . , n¸~ j
P(A B)
P(B)
j
 Mas,
P(A B) = P(B/A ).P(A )j j j
 Pelo Teorema da Probabilidade Total:
P(B) = P(A ).P(B/A )
n
i=1
i i
 Dai,´
P(A /B) = , j=1, . . .,nj
P(A ).P(B/A )
 P(A ).P(B/A )
j j
n
i=1
i i
13
Exemplo: Uma urna A contem 3 moedas de ouro e 2 de pratas. Uma segunda urna B´
contem 4 moedas de ouro e 1 de prata. Seleciona-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se´
uma moeda. Dado que a moeda e de ouro, qual a probabilidade que a urna A tenha sido a´
escolhida?
Sol: Sejam os eventos A = {a moeda provem da urna A}´
 B = {a moeda provem da urna B}´
que formam uma particao do espaco amostral.¸ ¸~
Consideremos tambem, o evento O = {a moeda selecionadae de ouro}´ ´
 Queremos P(A/O) = ?
 Sabemos que, P(A) = P(O/A) = 1 3 2 5
 P(B) = P(O/B) = 1 4 2 5
 Portanto, pelo Teorema de Bayes,
P(A/O) = P(A).P(O/A)P(A).P(O/A) + P(B).P(O/B)
 Logo, P(A/O) = = .
1 3
 2 5 
1 3 1 4
 2 5 2 5 
 . 
 . + . 
3
7
2.4 Eventos Independentes
Definic¸a~o: Dois eventos A e B sao independentes se P(A/B) = P(A).~
Equivalentemente, temos P(B/A) = P(B), ou P(A B) = P(A).P(B)
Exemplo: Lancam-se 3 moedas. Verificar se sao independentes os eventos:¸ ~
 A: saida de cara na 1a. moeda;´
 B: saida de coroa na 2a. e 3a. moedas.´
Sol: = {(c,c,c), (c,c,r), (c,r,c), (r,c,c), (c,r,r), (r,c,r), (r,r,c), (r,r,r)}
14
 A = {(c,c,c), (c,c,r), (c,r,c), (c,r,r)} P(A) = =  4 1 8 2 
 B = {(c,r,r), (r,r,r)} P(B) = =  2 1 8 4 
 Logo, P(A).P(B) = . = 1 1 1 2 4 8 
 Como A B = {(c,r,r)} P(A B) = concluimos que A e B sao eventos~   1 8 
independentes.
TEOREMA: Se A e B sao independentes, entao A e B tambem sao.~ ~ ~´c
prova: P(A B) = P(B/A).P(A) = 1 P(B/A) .P(A)
_ _
  
 Mas, como A e B sao independentes~
P(B/A) = P(B)
 Dai,´
   1 P(B/A) .P(A) = 1 P(B) .P(A) = P(B).P(A)
_
 
 Portanto,
P(A B) = P(B).P(A)
_ _

NOTA: Se A e B sao mutuamente exclusivos, entao A e B sao dependentes, pois se A~ ~ ~
ocorre, B nao ocorre, isto e, a ocorrencia de um evento, condiciona a nao ocorrencia do~ ~´ ^ ^
outro.
Exemplo: Consideremos um experimento que consiste em jogar um dado e observar o
resultado.
 Sejam os eventos: A = ocorrer n- par eo
 B = ocorrer n- imparo ´
 Entao, = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5} , A B = ~   
 A e B sao mutuamente excludentes, pois a ocorrencia de um nu´mero par e impar~ ^ ´
nao pode ser verificada como decorrencia da mesma experiencia.~ ^ ^
Definic¸a~o: Os 3 eventos A, B e C sao independentes se:~
i) P(A B C) = P(A).P(B).P(C) 
 ii) P(A B) = P(A).P(B)
 iii) P(A C) = P(A).P(C)
 iv) P(B C) = P(B).P(C)
15
 Se apenas um dos itens acima nao for satisfeito, os eventos nao serao´ ~ ~ ~
independentes.
Exemplo: Sendo = {1, 2, 3, 4} um espaco amostral equiprovavel e A = {1, 2} ; B = {1,¸ ´
3} e C = {1, 4} tres eventos de .^ 
 Verificar se os eventos A, B e C sao independentes.~
Sol: P(A) = , P(B) = e P(C) = 1 1 1 2 2 2 
 A B={1) P(A B) = e P(A).P(B) = . =    1 1 1 1 4 2 2 4 
 A C={1) P(A C) = e P(A).P(C) = . =    1 1 1 1 4 2 2 4 
 B C={1) P(B C) = e P(B).P(C) = . =    1 1 1 1 4 2 2 4 
 A B C={1} P(A B C) = e P(A).P(B).P(C) = . . =      1 1 1 1 1 4 2 2 2 8 
Como P(A B C) P(A).P(B).P(C) , conclui-se que A, B e C nao sao eventos~ ~  
independentes.
GENERALIZAC¸A~O 1: "Dados os eventos A , A , . . ., A , diremos que eles sao eventos~  n
independentes, se eles forem indepenendentes 2 a 2, 3 a 3, . . . , n a n.
GENERALIZAC¸A~O 2: "Se os eventos A , A , . . ., A sao eventos independentes entao:~ ~  n
P( A ) = P(A )
n
i=1
 i i
n
i=1

onde P(A ) = P(A ).P(A ). . . . P(A )
n
i=1
i n 
Aplicac¸a~o: A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos e ; a de sua´ 2 5 
mulher e de . Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos :´ 2 3 
a) ambos estejam vivos;
 b) somente o homem esteja vivo;
 c) somente a mulher esteja viva;
 d) nenhum esteja vivo;
 e) pelo menos um esteja vivo.
16
Sol: Chamaremos de H: o homem estara vivo daqui a 30 anos´
 M: a mulher estara viva daqui a 30 anos.´
 P(H) = P(H) = 
_
2 3
 5 5 
P(M) = P(M) = 
_
2 1
 3 3 
a) P(H M) = P(H).P(M) = . =  2 2 4 5 3 15 
b) P(H M) = P(H).P(M) = . = 
_ _
 2 1 2 5 3 15 
c) P(H M) = P(H).P(M) = . = 
_ _
 3 2 2 5 3 5 
d) P(H M) = P(H).P(M) = . = 
_ _ _ _
 3 1 1 5 3 5 
e) P(H M) = P(H) + P(M) - P(H M) = + - =   2 2 4 4 5 3 15 5 
17
2 Lista de Exercicios de Probabilidade e Estatistica´ ´a
1) As falhas de diferentes maquinas sao independentes umas das outras. Se ha quatro´ ´~
maquinas, e as suas respectivas probabilidades de falha sao 1%, 2%, 5% e 10% em´ ~
determinado dia, calcule as probabilidades:
a) de todas falharem em determinado dia; R: 0.000001
 b) de nenhuma falhar. R: 0.83
2) Sua firma recentemente apresentou proposta para um projeto de construcao. Se seu¸~
principal concorrente apresenta uma proposta, ha apenas 0,25 de chance de a firma do leitor´
ganhar a concorrencia. Se seu concorrente nao apresenta proposta, ha de chance de a^ ~ ´ 23
firma do leitor ganhar. A chance de seu princi[al concorrente apresentar proposta e de 50%.´
a) Qual a probabilidade de sua firma ganhar a concorrencia? R: 0.458^
b) Qual a probabilidade de seu concorrente ter apresentado proposta, dado que a
firma do leitor ganhou a concorrencia? R: 0.273^
3) Tres maquinas A, B e C produzem respectivamente 50%, 30% e 20% do nu´mero total^ ´
de pecas de uma fabrica. As procentagens de defeituosas na producao destas maquinas sao¸ ¸´ ´~ ~
3%, 4% e 5%. Se uma peca e selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de que a¸ ´
peca seja defeituosa. R: 0.037¸
4) A probabilidade de que A acerte no alvo e e a probabilidade de que B tambem acerte e´ ´ ´14
2 11
5 20. Qual a probabilidade em que o alvo seja atingido se ambos atiram no alvo. R: 
5) A e B jogam 12 partidas de xadrez, das quais A ganha 6, B ganha 4, 2 terminam
empatadas. Concordam entao em jogar um conjunto de tres partidas. Determine a~ ^
probabilidade
a) de A ganhar todas as 3 b) 2 partidas terminarem empatadas
 c) A e B ganharem alternadamente d) B ganhar ao menos uma .
6) As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um penalti
sao , e , respectivamente. Se cada um cobrar uma u´nica vez, qual a probabilidade de~ 2 4 73 5 10
que pelo menos um marque um gol? R: 4950
7) Para selecionar seus funcionarios, uma empresa oferece aos candidatos um curso de´
treinamento, durante uma semana. Ao final, eles sao submetidos a uma prova e 25% sao~ ~
classificados como bons (B), 50% como medios (M) e os restantes 25% como fracos (F).´
Como medida de economia, o departamento de selecao pretende substituir o treinamento¸~
por um teste contendo perguntas envolvendo conhecimentos gerais e especificos. Mas, para´
18
isso, gostaria de conhecer qual a probabilidade de que um indivi´duo aprovado no teste fosse
considerado fraco, caso fizesse o curso. Assim, neste ano antes do inicio do curso, os´
candidatos foram submetidos ao teste e, de acordo com os resultados, receberam o conceito
aprovado (A) ou reprovado (R). Ao final do curso, obtiveram as seguintes probabilidades
condicionais: P(A/B) = 0.8 P(A/M) = 0.5 P(A/F) = 0.2 R:0.1
8) De 12 contas de um arquivo, quatro contem um erro na contabilizacao do saldo da´ ¸~
conta.
a) Se um auditor seleciona aleatoriamente duas destas contas (sem reposicao), qual¸~
a probabilidade de que nenhuma destas contas contenha erro? R:1433
 b) Se o auditor inspeciona tres contas ao acaso, qual a probabilidade de que^
nenhuma apresente erro de contabilizacao? R: ¸~ 3361320
9) A e B jogam alternadamente um par de dados. Ganha o jogo aquele que primeiro obtiver
o total 7. Determine a probabilidade:
a) de ganhar aquele que inicia o jogo;
 b) de ganhar o que faz a segunda jogada.
10) Na figura abaixo temos um sistema com tres componentes funcionando^
independentemente, com confiabilidades p , p e p . Obtenha a confiabilidade do sistema.  
11) Se P(A A . . . A ) 0 entao prove que:~   n
P(A A . . . A ) = P(A ).P(A /A ).P(A /A A ) . . . P(A /A A . . .             n n
A )n-1
 (Sugestao: Use inducao sobre n)~ ~¸
12) A experiencia mostra que determinado alunoA tem probabilidade 0,9 de resolver e^
acertar um exercicio novo que lhe e proposto. Seis novos exercicios sao apresentados ao´ ´´ ~
aluno A para serem resolvidos. Qual a probabilidade que resolva e acerte:
 a) no maximo 2 exercicios;´ ´
 b) pelo menos um exercicio;´
 c) os seis exercicios.´
13) Demonstre: se P(A/B) P(A) entao P(B/A) P(B).~ 
14) Uma moeda equilibrada e jogada 2n vezes. Obtenha a probabilidade de que ocorrera um´ ´
nu´mero igual de caras e coroas.
19
15) Um dado e jogado n vezes. Qual e a probabilidade de que "6" aparece ao menos uma´ ´
vez em n jogadas?
16) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0.4,
enquanto P(A B) = 0,7. Seja P(B) = p.
a) Se A e B forem mutuamente excludentes, qual sera o valor de p?´
 b) Se A e B forem independentes excludentes, qual sera o valor de p?´
Capítulo 3
Variável Aleatória
20
3.1 Introducao¸~
 Na pratica e, muitas vezes, mais interessante associarmos um nu´mero a um evento´ ´
aleatorio e calcularmos a probabilidade de ocorrencia desse n-, do que a probabilidade do´ ^ o
evento.
Definic¸a~o: Sejam um espaco amostral e S um evento elementar de .¸ 
 Uma Variavel Aleatoria X, definida em , e uma funcao X: R que´ ´ ´ ¸~  
associa um valor numerico a cada resultado elementar S do espaco amostral.´ ¸
Exemplo 1) Lancam-se 3 moedas.¸
 Seja X: n- de ocorrencias da face cara.o ^
 O espaco amostral do experimento e:¸ ´
 = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (c,k,k), (k,c,k), (k,k,c), (k,k,k)}.
 Portanto, X associa os valores numericos 0, 1, 2 e 3 aos resultados elementares do´
espaco amostral.¸
 Resultados Valor de
 Elementares X
 ---------------------------------------------------
 (c,c,c) 3
 (c,c,k) 2
 (c,k,c) 2
 (k,c,c) 2
 (c,k,k) 1
 (k,c,k) 1
 (k,k,c) 1
 (k,k,k) 0
 ---------------------------------------------------
 Podemos reescrever esta tabela na forma;
21
 Valor Evento
 Numerico de X Correspondente´ 
 ---------------------------------------------------------
 0 A = {(k,k,k)}
 1 A = {(c,k,k) (k,c,k) (k,k,c)}
 2 A = {(c,c,k) (c,k,c) (k,c,c)}
 3 A = {(c,c,c)}
 ----------------------------------------------------------
NOTA: 1) Se X e uma v.a. entao qualquer funcao (X) tambem e uma v.a.´ ´ ´~ ~¸ 
 2) Se X e Y sao variaveis aleatorias no mesmo espaco amostral e k e um nu´mero~ ´ ´ ´¸ 
real, entao~
i) X + Y ii) X + k iii) k.X iv) X.Y
sao variaveis aleatorias tambem.~ ´ ´ ´
3.2 Variavel Aleatoria Discreta´ ´
Definic¸a~o: Uma variavel aleatoria X que assume um nu´mero finito ou infinito enumeravel´ ´ ´
de valores numericos x , x , . . . e chamada Variavel Aleatoria Discreta.´ ´ ´ ´ 
Definic¸a~o: Seja X uma variavel aleatoria discreta assumindo um nu´mero infinito´ ´
enumeravel de valores x , x , . . . .´  
A cada possivel resultado x associaremos um n- p(x ) = P{X = x } denominado´ oi i i
Probabilidade de x .i
 Os n- p(x ) , i=1, 2, . . . devem satisfazer a seguintes condicoes: os ¸~i
#
 i) p(x ) 0 para todo x .i i
 ii) p(x ) = 1

i=1
i
 A funcao p, definida acima, e denominada Funcao de Probabilidade de X.¸ ¸~ ~´
NOTA: 1) A funcao de probabilidade p(x ) e uma funcao que a cada valor x associa sua¸ ¸~ ~´i i
probabilidade de ocorrencia.^
22
 2) Costuma-se chamar a listagem dos valores numericos de X apresentados com´
suas probabilidades associadas de Distribuicao de Probabilidade.¸~
 A distribuicao de probabilidade de uma variavel aleatoria discreta X que assume um¸~ ´ ´
nu´mero finito de valores numericos x , x , . . . , x pode ser dada do seguinte modo:´   n
 X p(x)
 ------------------------------------------
 x p(x ) 
 x p(x ) 
 . .
 . .
 . .
 x p(x )n n
 ---------------------------------------------
 Esta distribuicao de probabilidade pode ser representada graficamente pelo¸~
diagrama de Bastao.~
Exemplo: Construir e representar graficamente a distribuicao de probabilidade da v.a. X do¸~
exemplo 1).
Sol: A v.a. X assume os seguintes valores, 0, 1, 2 e 3. Calculemos entao as correspondentes~
probabilidades a partir da tabela seguinte;
 Valor Evento
 Numerico Correspondente´ 
 ---------------------------------------------------------
 0 A = {(k,k,k)}
 1 A = {(c,k,k) (k,c,k) (k,k,c)}
 2 A = {(c,c,k) (c,k,c) (k,c,c)}
 3 A = {(c,c,c)}
 ----------------------------------------------------------
 p(0) = P{X = 0} = P{A } = p(1) = P{X = 1} = P{A } =   1 3 8 8
 p(2) = P{X = 2} = P{A } = p(3) = P{X = 3} = P{A } =   3 1 8 8
 Logo, temos
23
Exerci´cio: Lancam-se 2 dados. Seja X: a soma das faces. Determinar a distribuicao de¸ ¸~
probabilidades de X e representa-la graficamente.´
3.3 Variavel Aleatoria Continua´ ´ ´
Definic¸a~o: Diz-se que X e uma Variavel Aleatoria Continua, se existir uma funcao f,´ ´ ´ ´ ¸~
denominada Funcao de Densidade de Probabilidade de X, f.d.p., (ou simplesmente¸~
Densidade de X) que satisfaca as seguintes condicoes:¸ ¸~#
i) f(x) 0
 ii) f(x).dx = 1

-
NOTAS:
1) A condicao ii) da definicao acima requer que a area total sob a curva representativa de¸ ¸~ ~ ´
f(x) seja igual a um.
2) Para variaveis aleatorias continuas, a f.d.p. f(x) nao representa a probabilidade de X = x.´ ´ ´ ~
Aqui, a f.d.p. relaciona a probabilidade de um intervalo [a, b] a area sob a curva de f(x)´#
entre a e b (ver figura abaixo).
24
3) P{X = x} = 0, i.e, para uma v.a. continua X a probabilidade de X = x e sempre igual a´ ´´
zero.
 So tera sentido, para uma variavel aleatoria continua X, calcular a probabilidade de´ ´ ´ ´ ´
X pertencer a um certo intervalo [a , b], i.e, P(a X b).´  
 Para uma v.a. discreta Y calculamos a probabilidade de Y assumir um valor y , i.e,´j
P(Y = y ).j
4) P{a X b} = P{a X b} = P{a X b} = P{a X b} = f(x).dx        
b
a
5) A maneira de caracterizar uma v.a. continua X e atraves de sua f.d.p.´ ´ ´
 k.x se 0 x 1 
Exemplo 2) Seja f(x) =
 0 , c.c.
 Determinar: a) k a fim de que f(x) seja uma f.d.p.
 b) o grafico de f(x)´
 c) P{0 X 1/2} 
Sol: a) i) f(x) 0 para todo x k 0  
 ii) f(x).dx = k.x.dx = k. / = .(4 0) = 2.k 



-
2
0
 x k
2 2 0


 Portanto,


-
 1 
2 f(x).dx = 1 k = 
 Dai,´
25
 .x se 0 x 11 2  
 f(x) =
 0 , c.c.
 b)
 c) P{0 X 1/2} = f(x).dx = .x.dx = / = .( 0) =    
1/2 1/2
0 0
1 x 1 1 1
 2 4 4 4 16 0
1/ 
3.4 Funcao de Distribuicao Acumulada¸ ¸~ ~
Definic¸a~o: Seja X uma v.a. qualquer.
 Define-se Funcao de Distribuicao Acumulada (f.d.a.) de X a uma funcao¸ ¸ ¸~ ~ ~
F [0, 1] tal que  
F(x) = P{X x} , x   
NOTA: A f.d.a. F e definida para todos os valores de x, o que e um motivo importante para´ ´
considera-la.´
Definic¸a~o: Seja X uma v.a. discreta assumindo os valores x , x , . . . 
 Definimos a Funcao de Distribuicao Acumulada (f.d.a.) de X a funcao¸ ¸ ¸~ ~ ~
F [0, 1] tal que  
F(x) = p(x )
x x
i
i
Exemplo: Considere a distribuicao de probabilidade do exemplo 1.¸~
 X p(x)
 --------------------
 0 1/8
 1 3/8
 2 3/8
 3 1/8
 ---------------------
26
 Calculemos a funcao de distribuicao acumulada da seguinte forma:¸ ¸~ ~
F(0) = P{X 0} = P{X = 0} = p(0) =  1 8 
F(1) = P{X 1} = P{ X = 0} + P{X = 1} = p(0) + p(1) = + =  1 3 4 8 8 8 
F(2) = P{X 2} = P{X = 0} + P{X = 1} + P{X = 2} = p(0) + p(1) + p(2) =
= + + = 1 3 3 7 8 8 8 8 
F(3) = P{X 3} = P{X = 0} + P{X = 1} + P{X = 2} + P{X = 3} = p(0) + p(1) + p(2) +
p(3)
= + + + = = 11 3 3 1 8 8 8 8 8 8 
 Com esses resultados podemos escrever, 0 se x 0
 1/8se 0 x 1 
 F(x) = 4/8 se 1 x 2 
 7/8 se 2 x 3 
 1 se x 3
Definic¸a~o: Seja X uma v.a. continua com f.d.p. f(x).´
 Definimos a Funcao de Distribuicao Acumulada (f.d.a.) de X a funcao F: ¸ ¸ ¸~ ~ ~  
[0, 1] tal que
F(x) = f(t).dt , x
x
-
  
Exemplo: Seja X uma v.a. continua com f.d.p. f(x) = .(2.x + 3) se 0 x 2.´ 1 10  
Sol: Neste caso, a funcao de distribuicao acumulada sera:¸ ¸~ ~ ´
27
 0.dt + .(2.t + 3).dt + 0.dt = 1 se x 2  
0 2 x
- 0 2
1
10


 F(x) = f(t).dt = 0.dt + .(2.t + 3).dt = .(x + 3x) se 0 x 2  
x 0 x
- - 0
1 1
10 10
 
  
 0.dt = 0 se x 0
x
-

 Logo,
 1 se x 2
 F(x) = .(x + 3x) se 0 x 2110
  
 0 se x 0
NOTAS: 1) Se X for uma v.a. discreta com um n- finito de valores possiveis, o grafico dao ´ ´
f.d.a. sera constituido por segmentos de reta horizontais. Neste caso, F(x) e tambem´ ´ ´´
denominada Funcao Escada.¸~
A f.d.a. e descontinua nos valores possiveis x , x , . . . .´ ´ ´  
 No valor x o grafico apresenta um "salto" de magnitude p(x ) = P{X = x }.´i i i
 2) Se X for uma v.a. continua, F sera uma funcao continua para todo x.´ ´´ ¸#
Propriedades de F(x): Seja F uma f.d.a. de uma v.a. X qualquer. Entao:~
i) 0 F(x) 1 
ii) F e uma funcao nao-decrescente (i.e, x x F(x ) F(x ))´ ´¸~ ~      
iii) lim F(x) = 0 e lim F(x) = 1
prova: i) F(x) = P{X x} = x. 
28
Como 0 P{X x} 1 e evidente que 0 F(x} 1 .´    
 ii) Definimos os eventos A = {X x } e B = {X x }.  
Como x x tem-se A B que implica P(A) P(B), i.e, P{X x } ´      
P{X x }. 
 Entao, F(x ) F(x )~  
 iii) Provaremos para o caso continuo. De fato, lim F(x) = lim f(t).dt = f(t).dt = 1´  
x +
- - 

e lim F(x) = lim f(t).dt = f(t).dt = 0 
x -
- - 

Em particular:
i) P{a X b} = F(b) - F(a) 
ii) P{a X b} = F(b) - F(a) + P{X = a} 
iii) P{a X b} = F(b) - F(a) - P{X = b} 
iv) P{X = a} = F(a) - F(a ) onde F(a ) = lim F(x)- - x a -
prova: Exercicio.´
Teorema: a) Seja F uma f.d.a. de uma v.a. discreta X que assume os valores x , x , x . . .  
onde x x x . . . Entao~    
p(x ) = P{X = x } = F(x ) F(x )i i i i-1
 b) Seja F uma f.d.a. de uma v.a. continua X com f.d.p. f(x). Entao´ ~
f(x) = F(x) = F'(x)ddx  
para todo x no qual F seja derivavel.´
prova: a) Como admitimos x x . . ., teremos:  
F(x ) = P{X x } = P{X = x } + P{X = x } + . . . + P{X = x }i i i  
e
 F(x ) = P{X x } = P{X = x } + P{X = x } + . . . + P{X = x }i-1 i-1 i-1  
 Portanto, F(x ) F(x ) = P{X = x } = p(x )i i-1 i i
 b) F(x) = P{X x} = f(t).dt , x   
x
-
29
 Aplicando-se o Teorema Fundamental do Calculo, obtemos´
F'(x) = f(x)
Exemplo: Suponha que um v.a. continua X tenha f.d.a. dada por:´
F(x) = 1 e para x 0 -x
Determinar a f.d.p. f(x).
Sol: Neste caso, F'(x) = e para x 0-x 
Logo, a f.d.p. de X sera f(x) = e se x 0´ -x 
3.5 Esperanca de uma v.a.¸
Definic¸a~o: Seja X uma v.a. discreta assumindo os valores x , x , . . . , com funcao de¸~ 
probabilidade p(x ).i
 Denominamos Esperanca Matematica (Media ou Valor Esperado) de X, denotada¸ ´ ´
por E(X), ao valor:
E(X) = x .p(x )

i=1
i i
desde que a serie x .p(x ) covirja absolutamente, i.e., |x |.p(x ) ´ ´ 
 
i=1 i=1
i i i i  
Exemplo: Consideremos a distribuicao de probabilidades de uma v.a. X, dada a seguir;¸~
X p(x)
 -----------
 0 1/4
 1 1/2
 2 1/4
 -----------
Determinar a esperanca E(X) da v.a. X.¸
Sol: E(X) = x .p(x ) = 0 . + 1 . + 2 . = 1.
3
i=1
i i
1 1 1
 4 2 4 
 Portanto, X = 1 e o valor medio da distribuicao.´ ´ ¸~
30
Definic¸a~o: Seja X uma v.a. continua com f.d.p. f(x).´
 A Esperanca Matematica (Media ou Valor Esperado) de X e definida como¸ ´ ´ ´
E(X) = x.f(x).dx

-
NOTA: Pode acontecer que esta integral (impropria) nao convirja. Consequentemente,´ ~
diremos que E(X) existira se, e somente se,´
E(X) = x .f(x).dx   

-
 
Exemplo: Suponhamos que X seja o tempo (em minutos) durante o qual um equipamento
eletrico seja utilizado em maxima carga, em um certo periodo de tempo especificado.´ ´ ´
Suponhamos que X seja uma v.a. continua com a seguinte f.d.p.´
 
 f(x) =
 x se 0 x 1500
(x 3000) se 1500 x 3000
0 cc




1
(1500)
1
(1500)


 
   
 Determinar E(X).
Sol:
 
E(X) = x.f(x).dx = . x.x.dx . (x 3000).dx = 1500 minutos  

-
1 1
(1500) (1500)
1500 3000
0 1500
  
PROPRIEDADES DE ESPERANC¸A:
1) Se X = c , onde c e uma constante, entao E(X) = c (i.e, E(c) = c)´ ´~
 2) Seja X uma v.a. e c uma constante, entao~ 
E(c.X) = c.E(X)
31
 3) a) Sejam X e Y duas v.a's. quaisquer, entao~
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
 b) Sejam X , X , . . . , X v.a's., entao~  n
 E(X + . . . + X ) = E(X ) + . . . + E(X ) n n
 4) Se X e Y sao v.a's. independentes entao E(X.Y) = E(X).E(Y)~ ~
prova: Provaremos apenas para o caso continuo.´
 1) E(X) = x.f(x).dx = c.f(x).dx = c. f(x).dx = c.1 = c  
  
  - - -
 2) E(c.X) = (c.x).f(x).dx = c. x.f(x).dx = c.E(X) 
 
 - -
 3) As demonstracoes de 3) a) e b) e 4) serao vistas mais tarde.¸~ ~
3.6 Variancia de uma v.a.^
Definic¸a~o: Seja X uma v.a..
 Definimos Variancia de X, var(X) ou , por^ X
var(X) = E X - E(X)  

 Denominamos Desvio-Padrao de X por = var(X)~ X 
NOTA: O n- var(X) e expresso por unidades quadradas de X, isto e, se X for medida emo ´ ´
horas, entao var(X) e expressa em (horas) .~ ´ 
 Este e um motivo para considerarmos o desvio-padrao; ele e expresso na mesma´ ´~
unidade que X.
TEOREMA: var(X) = E(X ) - E(X)

 
prova: var(X) = E X - E(X) = E X 2.X.E(X) + E(X) =     
 
 
= E(X ) E 2.X.E(X) + E E(X) = E(X ) 2.E(X).E(X) + E(X) = 
 
       
 = E(X ) E(X)

  
32
Exemplo Consideremos a distribuicao de probabilidade da v.a. X dada por¸~
------------
 x p(x)
 ------------
 0 1/4
 1 1/2
 2 1/4
 -----------
 Determinar var(X) e .X
Sol: var(X) = E(X ) - E(X)

 
NOTA: E(X ) = x .p(x ) 


i=1
i i
 E(X) = 1
 E(X ) = x .p(x ) = 0 . + 1 . + 2 . = .    
3
i=1
i i
1 1 1 3
 4 2 4 2 
 Portanto, var(X) = - 1 = 3 1 2 2 
 1 + x se -1 x 0 
Exemplo: Seja f(x) = 
 1 x se 0 x 1  
 Obter var(X).
Sol:
NOTA: E(X ) = x .f(x).dx 



-
 Em virtude da simetria de f(x), E(X) = 0.
 E(X ) = x .(1 + x).dx + x .(1 + x).dx = .   
0 1
-1 0
1
 6 
 Logo, var(X) = 0 = .1 1 6 6 
33
PROPRIEDADES DE VARIA^NCIA:
 1) Se c for uma constante, entao:~
i) var(X + c) = var(X) ii) var(c.X) = c .var(X) 
 2) Sejam X e Y duas v.a's. quaisquer, entao~
var(X + Y) = var(X) + var(Y) 2cov(X , Y)
onde cov(X , Y) = E(X.Y) E(X).E(Y)
 3) a) Se X e Y forem v.a's. independentes, entao~
var(X + Y) = var(X) + var(Y)
 b) Se X , X , . . . , X v.a's., independentes, entao~  n
var(X + . . . + X ) = var(X ) + . . . + var(X ) n n
prova:
1) var(X c) E (X c) E(X + c) E X c E(X) c E X E(X)               
  
var(X)
2) var(c.X) = E (c.X) - E(c.X) = E c .X - c.E(X) = c .E(X ) -           
 
c . E(X) c E(X ) - E(X) = c var(X)   
 
     
3.7 Funcao de Variavel Aleatoria¸~ ´ ´
 Sejam um espaco amostral e X uma variavel aleatoria definida em .¸ ´ ´ 
 Seja y = H(x)uma funcao real de x.¸~
 Entao, Y = H(X) tambem e uma variavel aleatoria definida em .~ ´ ´ ´ ´ 
34
CASO 1) Seja X uma v.a. discreta com funcao de probabilidade p(x ) e Y = H(X) uma¸~ i
funcao real de X. Neste caso Y tambem sera uma v.a. discreta.¸~ ´ ´
Sejam x , x , . . . ., x , . . . os valores de X tais que H(x ) = y para todo j.i i i i j 2 k j
Entao, a funcao de probabilidade da v.a. Y e dada por;~ ~¸ ´
q(y ) = P{Y=y } = p(x ) + p(y ) + . . . i i i i 
isto e, para calcular a probabilidade do evento {Y=y }, acha-se o evento equivalente em´ i
termos de X (no contradominio R ) e em seguida adicionam-se todas as probabilidades´ X
correspondentes (veja a fig. abaixo).
Exemplo: Admita-se que X tenha os valores possiveis 1, 2, . . . , n . . .´
 Suponha-se que P{X = n} = (1/2) .n
 Seja Y = H(X) uma funcao dada por,¸~
 1 se X for par
 Y =
 - 1 se X for impar´
 Determinar a distribuicao de probabilidades de Y.¸~
Sol: Y toma dois valores -1 e 1.
Desde que Y = 1 se, e somente se, X = 2 ou X = 4 ou X = 6, ou . . ., temos,
P{Y = 1} = P{X = 2} + P{X = 4} + P{X = 6} + . . . = + + + . . . = 1 1 1 1 4 16 64 3 
Consequentemente, P{Y = -1} = 1 - = .1 2 3 3 
 Logo, obtemos a seguinte distribuicao de probabilidades para a v.a. Y,¸~
 Y p(y)
 -----------
 -1 2/3
 1 1/3
 -----------
35
CASO 2) Seja X uma v.a. continua com f.d.p. f(x) e f.d.a. F(x).´
 Seja H(x) uma funcao continua inversivel.¸~ ´ ´
 Consequentemente Y = H(X) sera uma v.a. continua, e nossa tarefa sera obter sua´ ´´
f.d.p. g(y).
Procedimento Geral:
a) Obter G, a funcao de distribuicao acumulada de Y, na qual¸ ¸~ ~
G(y) = P{Y y} = P{H(X) y} = P{X H (y)} = F(H (y))   - - 
b) Derivar G(y) em relacao a y, a fim de obter g(y).¸~
c) Determinar aqueles valores de y, no contradominio de Y, para os quais g(y) 0.´ 
 2.x se 0 x 1 
Exemplo: Suponhamos que X tenha f.d.p. f(x) =
 0 caso contrario´
Seja H(x) = 3x + 1, obter a f.d.p. de Y = H(X).
Sol:
G(y) = P{Y y} = P{3X + 1 y} = P X = F = 2x.dx =        y - 1 y - 1 y - 13 3 3
0
 (y-1)/3 
Dai, g(y) = G'(y) = .(y - 1)´ 2 9 
Desde que f(x) 0 para 0 x 1, encontramos que g(y) 0 para 1 y 4.     
Teorema: Seja X uma v.a. continua com f.d.p. f(x), onde f(x) 0, para a x b. ´   
 Suponha que y = H(x) seja uma funcao estritamente monotona e derivavel para¸~ ´ ´
todo x. Entao, a v.a. Y definida como Y = H(X) tem uma f.d.p. g(y) dada por~
g(y) = f(x).  dx dy 
onde x e expressa em termos de y.´
prova: a) Suponhamos que H seja uma funcao estritamente crescente. Dai,¸~ ´
36
G(y) = P{Y y} = P{H(X) y} = P{X H (y)} = F H (y)   - -  
 Derivando G(y) com relacao a y, obteremos com o emprego da regra da¸~
derivacao de funcao composta,¸ ¸~ ~
 = . dG(y) dG(y) dy dx dy 
dx
 Ou seja,
G'(y) = . = f(x). , onde x = H (y)dF(x) dx dy dy 
dx dx -
 b) Se H for decrescente, entao,~
G(y) = P{Y y} = P{H(X) y} = P{X H (y)} = 1 P{X H (y)} = 1 F H (y)     - - -   
 Procedendo de forma analoga,´
G'(y) = . = . = f(x). , onde x = H (y)dG(y) dx dy dx dy dy 
dx dx dxd 1 F(x) -  
 2.x se 0 x 1 
Exemplo: Suponhamos que X tenha f.d.p. f(x) =
 0 caso contrario´
Seja Y = e uma v.a. Determinar a f.d.p. de Y.-x
Sol: Por Teorema, g(y) = f(x).  dx dy 
y = e x = ln y-x  
 = dx 1 dy y 
 Logo, g(y) = 2.(-ln y). 1 y 
 Entao,~
g(y) = , e y 1-2.ln y y 
-  
NOTA: Se Y = H(X) nao for uma funcao inversivel de X, nao podemos aplicar o~ ~ ~¸ ´
procedimento acima. Em vez disso, procederemos como no exemplo a seguir.
 se -1 x 11 2  
Exemplo: Suponhamos que f(x) =
 0 caso contrario´
Seja H(x) = x , determinar a f.d.p. g(y) da v.a. Y = H(X).
Sol: Obviamente H(x) = x nao e uma funcao inversivel sobre o intervalo [-1, 1] (ver fig.~ ~´ ¸ ´
abaixo).
37
 Por isso, obteremos a f.d.p de Y = X do seguinte modo:
G(y) = P{Y y} = P{X y} = P - y X y = F( y ) - F(- y) = -        
y
2
  - = y , para 0 y 1
y
2  
 1 se x 1
onde F(x) = se -1 x 1 e a funcao de distribuicao acumulada da v.a. X.´ ¸ ¸~ ~x 2  
 0 se x - 1
Logo, g(y) = G'(y) = y = , 0 y 1.d 1dy 2. y    
3.8 Esperanca de Funcao de Variavel Aleatoria¸ ¸~ ´ ´
TEOREMA: Sejam X uma v.a. e Y = H(X) uma funcao de X.¸~
a) Se X e uma v.a. discreta com funcao de probabilidade p(x), entao´ ¸~ ~
E(Y) = E(H(X)) = H(x ).p(x )

i=1
i i
 b) Se X e uma v.a. continua com f.d.p. f(x) , entao´ ´ ~
E(Y) = E(H(X)) = H(x).f(x).dx

-
Exemplo 1) Consideremos a distribuicao de probabilidades dada por¸~
X p(x)
 ------------
 15 0.56
 10 0.23
 5 0.02
 -5 0.19
 ------------
38
Determinar a esperanca E(W) da v.a. W = X .¸ 
Sol: Calcularemos a esperanca de W pela definicao.¸ ¸~1o. modo:
 Para isto determinemos a distribuicao de probabilidade de W, como segue¸~
 W p(w)
 -------------
 225 0.56
 100 0.23
 25 0.21
 -------------
 Observe que o evento W = 25 ocorre quando X = 5 ou X = -5; portanto P{W = 25}
= P{X = -5} + P{X = 5}.
 A esperanca de W e¸ ´
E(W) = w .p(w ) = 225 . 0,56 + 100 . 0,23 + 25 . 0,21 = 154,25.
3
i=1
i i
2o. modo: Calculemos E(W) pelo Teorema:
E(W) = x .p(x ) = 15 . 0,56 + 10 . 0,23 + 5 . 0,02 + (-5) . 0,19 = 154,25.
4
i=1
i i
    
Exemplo 2) Seja V a velocidade do vento (em milhas por hora) e suponha-se que V ~
U[0 , 10].
 A pressao W (em libras/pe quadrado) na superficie da asa de um aviao e dada~ ~´ ´´
pela relacao: W = 0,003.V . Determine E(W).¸~ 
Sol: a) Empregando o Teorema,
 E(W) = h(w).f(w).dw = 0,003.v . .dv = 0,1 libras/pe quadrado.´ 



-
10
0
1
10
 b) Empregando a definicao de E(W), E(W) = w.g(w).dw .¸~ 

-
 Agora,
g(w) = f(v).  dv dw 
39
 Observemos que w = 0,003.v e uma funcao monotona de v para v 0 e que´ ´¸~ 
v = = . . 1000 dv 1 13.w dw 2 w 0,003
0,003
 Dai,´
g(w) = . .1 1 100010 2 3.w
 . se 0 w 0,31 10 2 3.w  
 g(w) =
 0 caso contrario´
 Em consequencia,^
E(W) = w.g(w).dw = 0,1
0.3
0
40
3 . Lista de Exercicios de Probabilidade e Estatistica´ ´a
1) Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 3 bolas, sem
reposicao, e defina a v.a. X igual ao nu´mero de bolas pretas. Obtenha a distribuicao de X.¸ ¸~ ~
2) Repita o problema anterior, mas considerando extracoes com reposicao.¸ ¸~ ~
3) Um par de dados e jogado. Seja X uma v.a. representando o nu´mero maximo das faces´ ´
que aparecem. Seja Y uma v.a. representando a soma dos nu´meros das faces que aparecem.
 Determinar a distribuicao de probabilidade, esperanca, variancia e distribuicao¸ ¸ ¸~ ~^
acumulada para cada uma das variaveis.´
4) Seja X uma v.a. discreta com f.d.a. F(x) dada pelo grafico a seguir. Determinar E(X) e´
var(X).
5) Considere uma v.a. X com resultados possiveis: 0, 1, 2, 3, . . .´
 Suponha que P{X=j} = (1 - a).a , j=0, 1, . . .j
 Para que valores de "a" o modelo acima representa uma distribuicao de probabilidade?¸~
6) Sabe-se que a v.a. X assume os valores 1, 2 e 3 e que sua f.d.a. F(x) e tal que´
F(1) - F(1-) = 1/3
F(2) - F(2-) = 1/6
F(3) - F(3-) = 1/2
 Obter a distribuicao de X, a f.d.a. F(x) e os graficos respectivos.¸~ ´
7) O tempo T, em minutos, necessario para um operario processar certa peca, e uma v.a.´ ´ ´¸
com a seguinte distribuicao de probabilidade:¸~
41
T 2 3 4 5 6 7
 -----------------------------------------------
 p 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1
a) Calcule o tempomedio de processamento.´
b) Para cada peca processada, o operario ganha um fixo de 2,00 u.m. (unidade¸ ´
monetaria), mas se ele processa a peca em menos de 6 minutos, ganha 0,50 u.m. por cada´ ¸
minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peca em 4 minutos, recebe a quantia¸
adicional de 1,00 u.m.
Encontre a distribuicao, a media e a variancia da v.a. G: quantia em u.m. ganha por¸~ ´ ^
peca.¸
8) O diametro X de um cabo eletrico e uma v.a. continua com f.d.p. dada por^ ´ ´ ´
 f(x) = k(2x - x ) , 0 x 1  
 0 , x 0 ou x 1 
 Determinar:
 a) o valor de k
 b) E(X) e var(X).
 c) P(0 X 1/2). 
 d) a f.d.a. F(x)
 e) os graficos de f(x) e F(x).´
9) Uma v.a. X tem distribuicao Triangular no intervalo [0 , 1] se a sua f.d.p. e dada por¸~ ´
 0 , x 0
 f(x) = C.x , 0 x 1/2 
 C.(1 - x) , 1/2 x 1 
 0 , x 1
 a) Que valor deve ter a constante C, de modo que f(x) seja uma f.d.p.
 b) Faca o grafico de f(x).¸ ´
 c) Determine P(X 1/2) e P(1/4 X 3/4).  
 d) Calcule a esperanca, a variancia e a f.d.a. de X.¸ ^
 e) Determine a f.d.a. F(x) e esboce o seu grafico.´
10) Uma certa liga e formada, combinando a mistura fundida de dois metais. A liga´
resultante contem uma certa porcentagem de chumbo X, que pode ser considerada uma v.a.´
com f.d.p.
 f(x) = .10 .x.(100 - x) , 0 x 100.3 5 
-5  
42
Suponha que L, o lucro liquido obtido na venda desta liga (por unidade de peso), e a´ ´
seguinte funcao da porcentagem de chumbo: L = C + C .X. Calcule a E(L) = lucro¸~  
esperado por unidade.
11) A demanda diaria de arroz em um supermercado, em centenas de quilo, e uma v.a. X´ ´
com f.d.p.
 .x , 0 x 12 3  
 f(x) = + 1 , 1 x 3- x 3  
 0 , x 0 ou x 3 
 a) Qual a probabilidade, em um dia escolhido ao acaso, de se vender mais do que
150 Kg?
 b) Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?
 c) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada a disposicao do pu´blico¸~#
diariamente para que nao falte arroz em 95% dos dias?~
12) Em uma determinada localidade, a distribuicao de renda em u.m. e uma variavel¸~ ´ ´
aleatoria X com f.d.p.´
 .x + , 0 x 21 110 10  
 f(x) = .x + . 2 x 6- 3 9 40 20  
 0 , x 0 ou x 6 
 a) Qual a renda media nesta localidade?´
 b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a
3 u.m.
 c) Qual a mediana da variavel? m e a mediana de X se P{X m} = P{X m}´ ´  
13) Seja F(x) = + -1 x 1 , representando a f.d.a. de uma v.a. continua X.´ x 1 2 2

 
 a) Esboce o grafico da funcao F;´ ¸~
 b) Determine a f.d.p. f e faca o seu grafico.¸ ´
14) Suponha que a v.a. continua X tenha f.d.p. f(x) = 2.x.e , x 0.´ -x 
 Seja Y=X . Calcule E(Y):
a) diretamente, sem primeiro obter a f.d.p. de Y;
 b) primeiramente, obtendo a f.d.p. de Y.
15) A energia radiante e dada pela seguinte funcao da temperatura T (em escala´ ¸~
Fahrenheit): E = 0,173(T/100) . Suponha que a temperatura T seja considerada uma v.a.
continua com f.d.p. f(t) = 200.t , 40 t 50. Estabeleca a f.d.p. da energia radiante.´ ¸-  
43
Capítulo 4
Modelos Probabilísticos de Variáveis Discretas
4.1 Distribuicao de Bernoulli¸~
Suposic¸o~es:
 Suponhamos a realizacao de um experimento E, cujo resultado pode ser um sucesso¸~
(se acontecer o evento que nos interessa) ou um fracasso (o evento nao se realiza).~
Seja p a probabilidade de sucesso (0 p 1) e q a probabilidade de fracasso, ou 
seja q = 1 - p.
Definimos a v.a. X: nu´mero de sucessos em uma u´nica tentativa do experimento.
 0 se ocorre fracasso
 Entao X =~ 
 1 se ocorre sucesso
Definic¸a~o: A v.a. X que assume apenas os valores 0 e 1 com a distribuicao de¸~
probabilidade
 X p(x)
 -------------
 0 1 - p
 1 p
 -------------
e chamada Variavel Aleatoria de Bernoulli.´ ´ ´
A funcao de probabilidade da v.a. de Bernoulli e dada por:¸~ ´
P{X = k} = p . q k = 0 , 1.k - k
Observac¸a~o: Experimentos que resultam numa v.a. de Bernoulli sao chamados de Ensaios~
de Bernoulli.
Propriedades: Se X tem uma distribuicao de Bernoulli entao:¸~ ~
i) E(X) = p
ii) var(X) = p.q
iii)
44
 0 se x 0
 F(x) = 1 - p se 0 x 1  
 1 se x 1
prova: i) E(X) = 1.P{X = 1} + 0.P{X = 0} = 1.p + 0.(1 p) = p
 ii) var(X) = E(X ) E(X)

  
E(X ) = 1 .P{X = 1} + 0 .P{X = 0} = 1.p + 0.(1 p) = p   
var(X) = p p = p.(1 p) = p.q 
Exemplo: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. Retira-se uma bola dessa urna.
Seja X: nu´mero de bolas verdes. Determinar p(X), E(X) e var(X).
 0 se a bola e branca´
Sol: X =
 1 se a bola e verde´
 Portanto, P{X = k} = . , k = 0 , 1.   2 3 3 5 
k -k
E(X) = p = e var(X) = p.q = . = 2 2 3 6 5 5 5 25 
45
4.2 Distribuicao Binomial¸~
Suposic¸o~es:
 Consideremos n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatorio, i.e.,´ ´
o resultado de um tentativa nao tem influencia nenhuma no resultado de qualquer outra~ ^
tentativa.
Cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso S com probabilidade p e
fracasso F com probabilidade q , p + q = 1.
As probabilidades de sucesso e fracasso sao as mesmas para cada tentativa.~
 Seja a v.a X: nu´mero de sucessos em n tentativas.
Obtenc¸a~o da func¸a~o de probabilidade de X:
 Determinaremos a funcao de probabilidade da v.a. X, P{X = k}, ou seja, a¸~
probabilidade de obter k sucessos, e portanto n - k fracassos, onde k = 0, 1, 2, . . . , n, com
P{S} = p e P{F} = 1 p = q.
Uma particular sequencia e, SSS . . . SFFF . . . F^ ´
com P{SSS . . . SFFF . . . F} = p .(1 p) = p. q devido a independencia das^k n-k k n-k #
tentativas.
Mas qualquer sequencia com k sucessos e n k fracassos em n tentativas tera a^ ´
mesma probabilidade p .q .k n-k
Porem, ha = sequencias com k sucessos e n k fracassos em n´ ´ ^n!k!.(n - k)! k 
n  
tentativas.
 Dai, P{X = k} = . p .q , k = 0, 1, . . . , n.´  n k 
k n-k
Definic¸a~o: A v.a X: nu´mero de sucessos em n tentativas tem Distribuicao Binomial, com¸~
parametros n , p e funcao de probabilidade dada por,^ ¸~
P{X = k} = . p .q , k = 0, 1, . . ., n. n k 
k n-k
Notac¸a~o: X b(n , p)~
Obs: Verifiquemos que P{X = k} definida acima representa realmente uma distribuicao de¸~
probabilidade.
46
 De fato,
 P{X = k} = . p .q = (p + q) = (p + 1 p) = 1   
n n
k=0 k=0
n
 k 
k n-k n n
Propriedades: i) E(X) = n.p ii) var(X) = n.p.q
prova: i) E(X) = k.P{X = k} = 0.P{X = 0} + k. . p .q =   
n n
k=0 k=1
n
 k 
k n-k
 = k. . p .q = n.p. . p .q = 
n n
k=1 k=1
n!
k!.(n - k)! (k 1)!.(n - k)!
k n-k k-1 n-k(n 1)!

 = n.p. . p .q = n.p. . p .q = n.p    
n n-1
k=1 i=0
n - 1 n - 1
 k - 1 i 
k-1 n-k i (n-1)-i
 ii) Seja X = Y + . . . + Y onde Y Bernoulli (1 , p) n i ~
Observe que os Y sao v.a's. independentes, uma vez que o valor de Y depende~i i
somente do resultado da i- repeticao, e as sucessivas repeticoes sao independentes.a ¸ ¸~ ~ ~
 Dai, var(X) = var(Y + . . . + Y ) = var(Y ).´  n i
n
i=1

 Mas var(Y ) = p.q = p.(1 p) , ii 
 Logo, var(X) = p.(1 p) = n.p.(1 p) 
n
i=1
 
Exemplo: Uma moeda e lancada 20 vezes. Qual a probabilidade de sairem 8 caras?´ ¸ ´
 Determine E(X) e var(X).
Sol: Dados do problema: n = 20 p = P{c} = = 0,5 e q = 0,5 P{X = 8} = ?1 2 
 Seja X: nu´mero de caras em 20 lancamentos da moeda, entao X = 0, 1, . . ., 20.¸ ~
P{X = 8} = . (0,5) .(0,5) = 0,12013 20 8 
8 20-8
E(X) = n.p = 20.(0,5) = 10 e var(X) = n.p.q = 20.(0,5).(0,5) = 5
NOTA: As probabilidades binomiais podem ser encontradas em tabelas para diferentes
valores den e p.
47
4.3 Distribuicao Binomial Negativa (ou Pascal)¸~
Suposic¸o~es:
 Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um mesmo experimento.
Cada tentativa admite sucesso S com probabilidade p e fracasso F com
probabilidade q = 1 p.
Seja a v.a. X: nu´mero de tentativas necessarias para que o sucesso ocorra pela r-´
esima vez.´
 Logo, X = r, r+1, . . .
Obtenc¸a~o da func¸a~o de probabilidade de X:
 Determinaremos a funcao de probabilidade da v.a. X, P{X = k}, onde k r.¸~ 
Se X = k, o evento sucesso S ocorre pela r-esima vez na repeticao de nu´mero k.´ ¸~
 Logo, S ocorre (r 1) vezes nas (k 1) repeticoes anteriores, pois devera¸~ ´ 
ocorrer um S na k-esima tentativa.´
Uma particular sequencia e, SSS . . . SFFF . . . FS^ ´
com P{SSS . . . SFFF . . . FS} = p .q , devido a independencia das tentativas.^r k-r #
Mas qualquer sequencia com r sucessos e k r fracassos em k tentativas tera a^ ´
mesma probabilidade p .q .r k-r
Porem, ha = sequencias com r 1 sucessos e k r´ ´ ^(k - 1)!(r - 1)!.(k - r)! r - 1
k - 1   
fracassos em k 1 possibilidades.
 Dai, P{X = k} = . p .q , k = r, r+1, r+2, . . . (i.e, k r).´ ´ k - 1r - 1
r k-r 
Definic¸a~o: A v.a. X: nu´mero de tentativas necessarias para que o sucesso ocorra pela r-´
esima vez tem Distribuicao Binomial Negativa, com parametros p , r e funcao de´ ¸ ¸~ ~^
probabilidade dada por,
P{X = k} = .p .q , k r. k - 1r - 1
r k-r 
Notac¸a~o: X bn(r , p)~
Propriedades: E(X) = e var(X) = r p p 
r.q

48
Exemplo: A probabilidade de que um sinal de transito esteja aberto numa esquina e 0,20.^ ´
Qual a probabilidade de que seja necessario passar pelo local 10 vezes, para encontra-lo´ ´
aberto pela 4a. vez?
Sol: X: nu´mero de passagens pela esquina.
 Dados do problema: r = 4 p = 0,2 e q = 0,8 P{X = 10} = ?
A F F A A F F F F A
P{X = 10} = . (0,2) .(0,8) = 0,035232 10 - 1 4 - 1 
6
Observac¸a~o: Caso r = 1, X tem Distribuicao Geometrica.¸~ ´
4.4 Distribuicao Hipergeometrica¸~ ´
Suposic¸o~es:
 Consideremos uma populacao com N elementos dos quais r tem uma determinada¸~ ^
caracteristica A e N - r tem uma caracteristica B.´ ´^
Retiramos dessa populacao, sem reposicao e ao acaso, uma amostra de tamanho n.¸ ¸~ ~
Seja a v.a. X: nu´mero de elementos na amostra que tem a caracteristica A.^ ´
Obtenc¸a~o da func¸a~o de probabilidade de X:
 Determinaremos a funcao de probabilidade da v.a. X, P{X = k}, ou seja, a¸~
probabilidade de que esta amostra contenha k elementos com a caracteristica A.´
Uma particular sequencia com k elementos de caracteristica A e n - k elementos de^ ´
caracteristica B e,´ ´
AAA . . . ABB . . . B.
 Podemos retirar amostras sem reposicao.¸~ N k 
Os k elementos de caracteristica A na amostra podem ocorrer de maneiras e os´  rk
de caracteristica B de maneiras.´  N - rn - k 
 Logo, P{X = k} = , 0 k min {r, n}.
   
 
r N - r
 k n - k 
N
 n 
. 
 
 
49
Definic¸a~o: A v.a. X definida acima tem Distribuicao Hipergeometrica, com parametros n e¸~ ´ ^
r com funcao de probabilidade dada por,¸~
P{X = k} = , k = min (r, n).
   
 
r N - r
 k n - k 
N
 n 
. 
 
Notac¸a~o: X Hiperg.~
Exemplo: De um baralho com 52 cartas retiram-se 8 cartas ao acaso, sem reposicao.¸~
 Qual a probabilidade que 4 sejam figuras?
Sol: X: nu´mero de figuras em 8 cartas.
 Dados do problema: N = 52 n = 8 e r = 12 P{X = 4} = ?
P{X = 4} = = 0,0601
   
 
12 40
 4 4 
52
 8 
. 
 
Propriedades: E(X) = n.p e var(X) = n.p.(1 - p) . N - nN - 1 
onde p = e a probabilidade de se obter um elemento de caracteristica A em uma u´nica´ ´ r N 
extracao.¸~
4.5 Distribuicao Binomial como Aproximacao da¸ ¸~ ~
Hipergeometrica´
 Se N e grande quando comparado com n, entao, extracoes com ou sem reposicao´ ~ ~ ~¸ ¸
serao praticamente equivalentes, e portanto, as distribuicoes Binomial e Hipergeometrica~ ~¸ ´
serao aproximadamente equivalentes. Veja o teorema a seguir.~
Teorema: Suponhamos que a v.a. X tenha distribuicao Hipergeometrica dada por¸~ ´
P{X = k} = , k = 0 , . . . , min {r, n}.
   
 
r N - r
 k n - k 
N
 n 
. 
 
 Facamos p = e q = 1 p , entao¸ ~ r N 
P{X = k} = . p .q , quando N .~  n k 
k n-k  
50
4.6 Distribuicao de Poisson¸~
 Em muitos casos, conhecemos o nu´mero de sucessos, porem, se torna dificil e, as´ ´ #
vezes, sem sentido, determinarmos o nu´mero de fracassos ou o nu´mero total de tentativas.
Por exemplo, poderemos num determinado intervalo de tempo anotar o nu´mero de
carros que passam numa determinada esquina, porem, o nu´mero de carros que deixaram de´
passar pela esquina nao podera ser determinado.~ ´
A distribuicao de Poisson e largamente empregada quando se deseja contar o¸~ ´
nu´mero de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de tempo.
Definic¸a~o: Seja a v.a X: nu´mero de sucessos em um determinado intervalo, entao X tem~
Distribuicao de Poisson com funcao de probabilidade dada por,¸ ¸~ ~
P{X = k} = , k = 0, 1, . . . e 0.e . k! 
- k   
onde representa o nu´mero medio de sucessos ocorrendo no intervalo considerado.´
Notac¸a~o: X Poisson( )~ 
Propriedades: i) E(X) = e ii) var(X) =  
prova: i) E(X) = k.P{X = k} = 0.P{X = 0} + k. = =  
  

k=0 k=1 k=1
e . e . 
 k! (k 1)! 
- k - k  
 = = = . = .  
  

k=1 i=0 i=0
e . e . e .
 (k 1)! i! i! 
- k - i+1 - i     
 ii) var(X) = E(X ) E(X)

  
E(X ) = k .P{X = k} = 0 .P{X = 0} + k . = k.(k - 1) + k =   
  
   
k=0 k=1 k=1
e . e . 
 k! k! 
- k - k  
 = k.(k - 1). + k. = + = + =   
   
k=1 k=1 k=2 i=0
e . e . e . e .
 k! k! (k - 2)! i! 
- k - k - k - i+2       
 = . + = +     


i=0
e .
 i! 
- i 
 Portanto, var(X) = + = .    
51
Exemplo: Numa central telefonica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade^
de que num minuto nao haja nenhum chamado.~
Sol: Seja X: nu´mero de chamadas por minuto.
X Poisson( ) onde E(X) = .~  
 O nu´mero medio de chamadas por minuto e = = 5´ ´  30060
 Portanto, P{X = 0} = = 0,006738e . 5 0! 
-5 0
4.7 Distribuicao de Poisson como Aproximacao da¸ ¸~ ~
Binomial
 Muitas vezes, no uso da Binomial, pode ocorrer que n e muito grande (n 30) e p´ 
e muito pequeno (p 0).´ 
 Nesses casos nao encontramos o valor em tabelas.~
Podemos entao fazer uma aproximacao da Binomial por uma distribuicao de~ ~ ~¸ ¸
Poisson.
Teorema: Seja X uma v.a. tendo distribuicao Binomial, i.e, P{X = k} = . p .q .¸~ ´  n k 
k n-k
 Suponhamos que, quando n e p 0 , de tal modo que n.p permaneca¸  
constante, i.e., n.p = . Nestas condicoes´ ¸~
lim P{X = k} = ~ e . k! 
- k 
prova: P{X = k} = . p .q = .p .q = n k k!.(n - k)!
k n-k k n-kn!
= .p .q = .p .( 1 - p) =n.(n - 1). . . . (n - k + 1).(n - k)! n.(n - 1). . . . (n - k + 1)k!.(n - k)! k!
k n-k k n-k
 Como E(X)=np para Binomial e E(X) = para Poisson temos = n.p, ou seja p= .   n 
 Portanto,
 P{X = k} = .n.(n - 1). . . . (n - k + 1). . 1 =1 k! n n 
k n-k
    
 = .1. 1 . 1 . . . 1 . . 1 . 1 1 1 1 k - 1 k! n n - 1 n n n 
k
n -k
               
 Dai,´
52
 lim P{X = k} = . .lim 1 . . . 1 . 1 . 1 1 1 k - 1 k! n n n 
k
-k
          

  
 n k! n k! 
n n
1 e . k   = . .lim 1 = . 
- k
Exemplo: Suponhamos que um fabricante produza pecas, das quais cerca de uma em 1000¸sejam defeituosas. Determinar a probabilidade de que em um lote de 500 pecas, nenhuma¸
das pecas seja defeituosa.¸
Sol: Seja X: nu´mero de pecas defeituosas no lote.¸
Entao, X b 500, ~ ~ 11000 
 Portanto, P{X = 0} = .(0,001) .(0,999) = 0.609 500 0 
0 500
 Se aplicarmos a aproximacao pela Poisson, para = n.p = 500.0,001 = 0.5¸~ 
entao~
P{X = 0} = = 0,61~ e . 0! 
-0.5 0
53
4 . Lista de Exercicios de Probabilidade e Estatistica´ ´a
1) Em um certo tipo de fabricacao de fita magnetica, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por¸~ ´
2.000 pes. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pes de fita magnetica tenha:´ ´ ´
a) nenhum corte?
 b) no maximo dois cortes?´
 c) pelo menos dois cortes?
2) Na manufatura de certo artigo, e sabido que 1 entre 10 dos artigos e defeituoso. Qual a´ ´
probabilidade de que uma amostra casual de tamanho 4 contenha:
a) nenhum defeituoso?
 b) exatamente um defeituoso?
 c) nao mais do que dois defeituosos?~
3) Suponhamos que o nu´mero medio de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia´
seja 2. As atuais instalacoes podem atender, no maximo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de¸~ ´
3 aportarem num dia, o excesso e enviado a outro porto.´
a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?
 b) De quanto deverao ser aumentadas as instalacoes para permitir atender a todos os~ ~¸
navios que chegarem pelo menos emm 95% dos dias?
4) As cinco primeiras repeticoes de um experimento custam 10,00 u.m. cada. Todas as¸~
repeticoes subsequentes custam 5,00 u.m. cada. Suponha que o experimento seja repetido¸~
ate que o primeiro sucesso ocorra. Se a probabilidade de sucesso de uma repeticao e igual a´ ´¸~
0,9, e se as repeticoes sao independentes, qual e o custo esperado da operacao?¸ ¸~ ~ ~´
5) De seis empregados, 3 estao na companhia ha cinco anos ou mais. Se 4 empregados sao~ ~´
aleatoriamente escolhidos deste grupo de seis, a probabilidade de que exatamente 2 estejam´
ha cinco ou mais anos e?´ ´
6) A probabilidade de um bem sucedido lancamento de foguete e igual a 0,8. Suponha que¸ ´
tentativas de lancamento sejam feitas ate que tenham ocorrido 3 lancamentos bem¸ ¸´
sucedidos. Qual e a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessarias? Qual e´ ´ ´
a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessarias?´68
7) Em uma determinada localidade, a probabilidade da ocorrencia de uma tormenta em^
algum dia durante o verao e igual a 10%. Admitindo independencia de um dia para outro,~ ´ ^
qual e a probabilidade da ocorrencia da primeira tormenta da estacao de verao no dia 3 de´ ^ ¸~ ~
janeiro? O verao comeca oficialmente dia ....~ ¸
54
8) Em uma pesquisa de opiniao pu´blica, 2 dentre 5 pessoas entrevistadas sao favoraveis~ ~ ´
a uma certa proposicao. Em uma amostra de 10 pessoas entrevistadas, qual a probabilidade¸~
que pelo menos 3 sejam favoraveis?´
9) Sabe-se que em um edificio existem 500 moradores, das quais 10 trabalham na empresa´
X. Se 5 moradores deste edificio sao selecionados aleatoriamente para responder um´ ~
questionario a respeito da eficiencia da empresa, qual e a probabilidade de que nenhum´ ´^
deles trabalhe na empresa X?
 Observe que nao tem sentido um morador ser sorteado mais de uma vez.~
10) Em uma determinada grafica os impressos de um vestibular sao expedidos em lotes de´ ~
50 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe 5 destes impressos e
os analisa. Se nenhum dos impressos inspecionados for defeituoso, o lote e aprovado. Se´
pelo menos um dos impressos for defeituoso, todos os impressos da remessa sao~
inspecionados. Suponha que existam, de fato, tres impressos defeituosos no lote.^
a) Qual a probabilidade de que a inspecao seja 100% necessaria?¸~ ´
 b) Qual e o nu´mero medio esperado de impressos defeituosos na remessa?´ ´
11) Num teste tipo certo-errado, com 3 questoes apenas, qual e a probabilidade de que um~ ´
aluno que as responde ao acaso acerte:
a) exatamente 1 questao~
 b) pelo menos 2 questoes~
 c) no maximo 1 questao´ ~
 d) no minimo 2 questoes´ ~
12) 70% da populacao estudantil de uma cidade foi aprovada em teste de ingles. Para 12¸~ ^
individuos dessa populacao:´ ¸~
a) Estabeleca a distribuicao de probabilidade da v.a. X = no. de aprovados no teste¸ ¸~
de ingles.^
 b) Calcule a probabilidade de que todos tenham sido aprovados.
 c) Calcule o nu´mero medio esperado de aprovados e a variabilidade a que esta´ ´
sujeito o no. de aprovados.
55
Capítulo 5
Modelos Probabilísticos de Variáveis Contínuas
 De um modo geral, podemos dizer que as v.a. cujos valores resultam de algum
processo de mensuracao sao v.a. continuas.¸~ ~ ´
 Dada uma v.a. continua X, interessa saber qual a f.d.p. de X.´
 Alguns modelos sao frequentementes usados para representar a f.d.p. de v.a.~
continuas.´
5.1 Distribuicao Uniforme¸~
Definic¸a~o: Uma v.a. continua X tem Distribuicao Uniforme com parametros a e b (a ´ ¸~ ^ 
b) reais, se a sua f.d.p. e dada por:´
 se a x b1 b - a  
f(x) = 
 0 caso contrario´
Notac¸a~o: X U[a , b]~
Propriedades:
 0 se x a
1) A f.d.a. de X e dada por F(x) = se a x b´ x - a b - a  
 1 se x b
2) i) E(X) = E(X) e o ponto medio do intervalo [a , b]´ ´b + a 2 
 ii) var(X) = (b - a) 12 

prova: 1) 0.dt = 0 se x a
x
-

56
F(x) = P{X x} = f(t).dt = 0.dt + .dt = se a x b    
x a x
- - a
1 x - a
 b - a b - a 
 
 0.dt + .dt + 0.dt = 1 se x b  
a b x
- a
1
 b - a 
b

2) i) E(X) = x.f(x).dx = x. .dx = . x.dx = . | = 
b
a
  
b b b
a a a
1 1 1 x b - a
 b - a b - a b - a 2 2.(b - a) 
  
 ii) var(X) = E(X ) - E(X) onde E(X ) = . x .dx e E(X) = .  

  1 a + b b - a 2 
b
a
Exemplo: Um ponto e escolhido ao acaso no intervalo [0, 2]. Qual a probabilidade de que´
o ponto esteja entre 1 e 1,5?
Sol: = se 0 x 21 1 2 - 0 2  
 f(x) =
 0 caso contrario´
 Portanto, P(1 X 1,5) = f(x).dx = .dx = .x = .   
1,5 1,5
1 1
1 1 1
 2 2 4 
57
5.2 Distribuicao Exponencial¸~
 Uma distribuicao muito usada para descrever tempo ate a ocorrencia de uma falha¸~ ´ ^
quando estudamos a confiabilidade de um produto ou tempo de sobrevivencia de um ser^
vivo e dada pela distribuicao exponencial.´ ¸~
Definic¸a~o: Uma v.a. continua X tem Distribuicao Exponencial com parametro de escala ´ ¸~ ^ 
 0, se sua f.d.p. e dada por´
 .e , x 0 - x 
 f(x) =
 0 , x 0
Notac¸a~o: X exp( )~ 
Propriedades:
 1 - e , x 0- x 
1) A f.d.a. de X e dada por F(x) =´ 
 0 , x 0
 
2) i) E(X) = ii) var(X) = 1 1  
prova: 1)
 0.dt = 0 se x 0
x
-

F(x) = P{X x} = f(t).dt = 
x
-
 0.dt + .e .dt = - e | = 1 e se x 0
x
0
 
0 x
- 0
- t - t - t

    
2) i) E(X) = x.f(x).dx = x. .e .dx 
 
0 0
- x 
 Definindo u = x e dv = e .dx , que implica du = dx e v = -e e integrando por- x - x 
partes obtendo
 E(X) = x. .e .dx = x. -e + e .dx = - =   
 
0 0
- x - x - x e 1
 
  
 
- x
58
ii) E(X ) = (provar) 2 
 var(X) = E(X ) - E(X) = = 
 
   2 1 1    
Exemplo: O tempo de vida (em horas) de um transistor e uma v.a. T com f.d.p.´
 500.e , t 0-500.t 
 f(t) =
 0 , t 0
Determine o tempo de vida medio e a probabilidade de que seu tempo de vida seja´
maior do que a media.´
Sol: E(T) = = = 0.0021 1 500 
 P(T 0.002) = f(t).dt = 500.e .dt = e = 0,3678.  
 

0.002 0.002
-500.t-
5.3 Distribuicao Normal¸~
 A distribuicao Normal ou Distribuicao Gaussiana e a mais importante de todas¸ ¸~ ~ ´
distribuicoes pois ela tem uma grande aplicacao nas mais diversas areas.¸ ¸~ ~ ´
 Por exemplo, muitas medidas fisicas podem ser aproximadas por uma distribuicao´ ¸~
Normal.
 Mesmo alguns fenomenos fisicos que nao tem distribuicao Normal, podem ser^ ^´ ~ ~¸
transformados para uma distribuicao Normal. Por exemplo, os tempos de vida de motores¸~
eletricos tem uma distribuicao exponencial, mas se considerarmos log (tempo de vida)´ ¸~
entao teremos uma boa aproximacao para a distribuicao Normal.~ ~ ~¸ ¸
Definic¸a~o: Uma v.a. continua X tem Distribuicao Normal com parametros e se sua´ ¸~ ^  
f.d.p. e dada por:´
f(x) = . exp - . - x 1 1
 . 2 2 
x - 
 

    

   
onde - e 0 .     
Notac¸a~o: X N( , )~  
Propriedades:
59
1) A f.d.a. de X e F(x) = . exp - . .dt - x ´ 1 1
 . 2 
x
-
 2 
t - 
 


    


   
2) i) E(X) = e ii) var(X) =  
prova: i) X) = x.f(x).dx = x. . exp - . .dxE(      
 
 

- -
1 1
 . 2 2 
x - 
 


 Fazendo z = dz = . Dai,´x - 
dx
 
 
 E(X) = x. . exp - . .dx = . ( .z + ).e .dz =    
 
 

- -
1 1 1
 . 2 2 2 
x - -z /2
  

   

 = . . z.e .dz + . . e .dz1 1
 2 2 - -
-z /2 -z /2
  
  
 
 
 
 Observemos que g(z) = z.e e uma funcao impar , i.e, g(-z) = -g(z) que implica´ ´¸~ ´-z /2

 g(z).dz = 0 e que se Z N(0 , 1) entao f(z) = .e .~

-
~
1
 2 
-z /2
 

 Portanto, z.e .dz = 0 e . e .dz = 1 
 
 - -
-z /2 -z /21
 2 
 
 
 Entao, E(X) = 0 + .1 = .~   
ii) E(X ) = x .f(x).dx = x . . exp - . .dx =  
 
 

     
- -
1 1
 . 2 2 
x - 
 


 = . ( .z + ) .e .dz = . z .e .dz + . z.e .dz +1
 2 2 2 - - -
-z /2 -z /2 -z /22. .
    
    
  
  
     

60
 + . e .dz

 
 2 -
-z /2




 Vimos que z.e .dz = 0 e . e .dz = 1 
 
 - -
-z /2 -z /21
 2 
 
 
 Usemos integracao por partes para calcular a integral . z .e .dz , fazendo u¸~ 1 2 -
-z /2
 



 
= z e z.e .dz = dv que implica em du = dz e v = e .-z /2 -z /2 
 Entao,~
 . z .e .dz = . -z.e + e .dz = 0 + 1 = 11 1
 2 2 - -
-z /2 -z /2 -z /2
  
  
 
 
   
 Logo, E(X ) = .1 + 2. . .0 + .1 = +          
 Agora, var(X) = E(X ) - E(X) = + = .    

      
3) A curva e simetrica em relacao a , i.e., f( + x) = f( x) Med = ´ ´ ´¸~     
4) O ponto de maximo de f(x) e Moda = ´ ´  
5) f(x) 0 quando x i.e,´   
_ valores extremos do grafico raramente ocorrem´
 _ valores proximos da media sao mais frequentes´ ´ ~
6) - e + sao pontos de inflexao de f(x).~ ~   
7) Nas figuras a seguir temos alguns casos especiais da distribuicao Normal:¸~
61
 O achatamento do grafico e determinado por .´ ´ 
  e parametro de locacao e e parametro de escala.´ ´^ ^¸~
5.4 Distribuicao Normal Padronizada¸~
Definic¸a~o: Uma v.a. continua Z tem Distribuicao Normal Padronizada (ou Reduzida) se Z´ ¸~
~ N(0 , 1), i.e, se Z e Normal com media E(Z) = = 0 e variancia var(Z) = = 1.´ ´ ´ ^ 
NOTAS 1) A distribuicao Normal Padronizada e tabelada.¸~ ´
 Esta tabela e dada em termos da funcao de distribuicao acumulada.´ ¸ ¸~ ~
 2) A tabela de Faixa Unicaudal da a area sob a curva Normal Padronizada a direita´ ´
de qualquer valor positivo z , i.e,´0
 P{Z z } = area sob a curva a direita de Z = z .´ 0 0
62
A simetria em torno de Z = 0 nos permite obter a area entre quaisquer valores de Z´
(positivo ou negativo). Vejamos alguns exemplos:
Exemplos para uso da tabela Se Z N(0 , 1), calcular:~
i) P{Z 1.15}
P{Z 1.15} = 0.12507
ii) P{Z -1.24}
P{Z -1.24} = P{Z 1.24} = 0.10749 
iii) P{Z 1.43}
P{Z 1.43} = 1 P{Z 1.43} = 1 0.07636 = 0.92364   
 v) P{Z -1.64}
63
P{Z -1.64} = 1 P{Z -1.64} = 1 P{Z 1.64} = 1 0.05050 = 0.9495     
v) P{0 Z 2} 
P{0 Z 2} = 0.5 P{Z 2} = 0.5 0.02275 = 0.47725    
vi) P{-2 Z 0} 
P{-2 Z 0} = P{0 Z 2} = 0.47725   
vii) P{-1.32 Z 1.74} 
 P{-1.32 Z 1.74} = 1 P{Z -1.32} + P{Z 1.74} =     
= 1 P{Z 1.32} + P{Z 1.74} = 1 0.04093 + 0.09342 = 0.86565      
viii) P{1.31 Z 2.44} 
64
 P{1.31 Z 2.44} = P{Z 1.31} - P{Z 2.44} = 0.0951 0.00734 =    
0.08776
ix) P{-2 Z -1} 
 P{-2 Z -1} = P{1 Z 2} = P{Z 1} P{Z 2} = 0.15866        
0.02275 = 0.13591
5.5 Calculo de Probabilidade para Distribuicoes Normais´ ¸~
 Suponhamos que X N( , ) e queiramos determinar~  
P{a X b} = . exp - . .dx (ver figura abaixo)      
b
a
1 1
 . 2 2 
x - 
 



A integral acima nao pode ser calculada exatamente, e a probabilidade indicada so~ ´
pode ser obtida aproximadamente, por metodos numericos.´ ´
A elaboracao de uma tabela de probabilidade acarretaria um grande trabalho para¸~
tabelar essas probabilidades considerando-se as varias combinacoes de uso, pois a´ ¸~
distribuicao Normal depende dos dois parametros e .¸~ ^  
Os problemas sao solucionados por meio de uma mudanca de variavel, obtendo-se,~ ¸ ´
assim, a distribuicao Normal Padronizada.¸~
65
Qualquer distribuicao Normal pode ser transformada na Normal Padronizada.¸~
Teorema: Se X e uma v.a. tal que X N( , ) entao a v.a.´ ~~  
Y = aX + b N(a. + b , a ).~   
prova: Se X N( , ) entao a f.d.p. de X e f(x) = . exp - . .~ ´~ 1 1 . 2 2 
x -  

 

    
 Pelo Teorema da Mudanca de Variavel a f.d.p. de Y = a.X + b e dada por¸ ´ ´
 g(y) = f(x). dxdy
 
 Y = a.X + b X = , entao~ Y - b a 
g(y) = . exp - . . = . exp - .1 1 1 1 1
 . 2 a. . 2 2 a 2 a 
 - y - (a + b)
   

 

         
y - b
 a 
 
 Logo, Y = aX + b N(a. + b , a ).~   
Corola´rio: Se X e uma v.a. tal que X N( , ) entao a v.a. Z = N(0 , 1).´ ~~ ~X -  
 

prova: Z = .X e usando o teorema para a = e b = - tem-se 1 1    
 
Z N . - , . = N(0 , 1)~ 1 1    
  
Exemplo: 1) Seja X N(60 , 4). Achar P{55 X 63).~  
Sol: Sabemos que se X N( , ) entao Z = N(0 , 1). Dai,~ ´~ ~
X - 
  
 

66
 P{55 X 63) = P = P{-2,5 Z 1,5}      55 - 60 X - 60 63 - 60 2 2 2 
P{-2.5 Z 1.5} = 1 P{Z 1.5} + P{Z -2.5} = 1 0,06681 +       
0,00621 = 0,92699. 
2) Sendo X N(50 , 16), determinar x tal que P{X x } = 0.05~  
Sol: 0,05 = P{X x } = P = P Z .      X - 50 4 4 4 
x - 50 x - 50 
 Ou seja,
P Z = 0.05 onde Z N(0 , 1).   x - 50 4 ~

 Agora, 0,5 = P 0 Z + P Z      x - 50 x - 50 4 4 
 
 Isto e, 0,5 = P 0 Z + 0.05´    x - 50 4 

 0,45 = P 0 Z    x - 50 4 

 Pela Tabela, = 1,65 o que implica x = 56,6x - 50 4 


 Portanto, P{X 56,6} = 0,05. 
5.6 Aproximacao Normal à Distribuicao Binomial¸ ¸~ ~
67
 Seja X uma v.a. com distribuicao Binomial, X b(n , p).¸~ ~
 Quando n e grande, e dificil calcular as probabilidades´ ´ ´
P{X = k} = . p .q , k = 0, 1, . . . , n. n k 
k n-k
 Para p = e n tomando os valores n = 5, 10 e 20, observemos os seguintes1 2 
graficos:´

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