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Apostila - Introdução à Estatística

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1
Capítulo 1
Introdução à Estatística
1.1 Definição de Estatística
Entre as várias definições existentes na literatura, a que mais nos parece ser adequada é:
"A Estatistica e uma ciencia que estuda os metodos e tecnicas que permitam tirar´ ´ ´ ´^
conclusoes sobre populacoes partindo de amostras.~ ~¸ "
1.2 Aplicacoes da Estatistica¸~ ´
a) Planejar o experimento, a selecao e o tamanho da amostra, tal que as observacoes¸ ¸~ ~
deem base suficiente para tirar conclusoes precisas e validas.^ ~ ´
b) Fazer inferencias sobre uma populacao de interesse a partir das informacoes contidas^ ¸ ¸~ ~
nos dados amostrais (dados extraidos desta populacao).´ ¸~
1.3 Fases do Metodo Estatistico´ ´
A etapas do metodo Estatistico numa pesquisa cientifica e resumida no seguinte´ ´´ ´
diagrama:
Planejamento Coleta Apuracao Apresentacao Tabelas Analise¸ ¸~ ~ ´
 do dos dos dos e Interpretacao¸~   
Experimento Dados Dados Dados Graficos e Conclusao ´ ~
Observac¸a~o: O uso de metodos estatisticos esta relacionado com qualquer area, seja da sau´de,´ ´ ´´
social ou tecnologica.´
2
1.4 Conceitos Basicos´
i) POPULACAO¸
~ : No sentido geral, uma populacao e um conjunto de elementos com pelo¸~ ´
menos uma caracteristica comum observavel.´ ´
Uma populacao pode ser classificada como finita ou infinita.¸~
Exemplo: Populacao Finita¸~ : altura dos alunos de uma determinada escola.
Exemplo: Populacao Infinita¸~ : todos os resultados (cara ou coroa) em sucessivos lancamentos¸
de uma moeda.
ii) AMOSTRA: e um subconjunto, necessariamente finito, tomado da populacao com o´ ¸~
proposito de obter informacoes sobre tal populacao.´ ¸ ¸~ ~
iii) DADOS: Chamamos de dados os elementos da amostra.
iv) VARIAVEL´ : e qualquer caracteri tica que possa ser observada ou medida: cor de olhos,´ 
estatura, estado civil, peso, etc.
 Variaveis Variacoes (valor assumido pela variavel)´ ´¸~
 --------------------------------------------------------------------------------------
 - cor - azul, verde, . . .
 - no. de filhos - 0, 1, 2, . . . 
 - peso -40 kg, 51 kg, 52.3Kg,
As variaveis podem ser QUALITATIVAS (ou CATEGORICAS) ou´ ´
QUANTITATIVAS (ou NUMERICAS).´
Exemplo: Variavel Qualitativa: cor´
 Variavel Quantitativa: peso, no. de filhos´
3
Definição: Uma variavel quantitativa que pode assumir qualquer valor real chama-se Variavel´ ´
Continua.´
Por outro lado, aquelas que so podem assumir valores inteiros sao chamadas Variaveis´ ´~
Discretas.
Exemplo: Variavel Continua: peso´ ´
 Variavel Discreta: no. de filhos´
De modo geral, pode-se dizer que mensuracoes fornecem variaveis continuas e¸~ ´ ´
contagem (ou enumeracoes), variaveis discretas.¸~ ´
1.5 Apresentacao de Dados em Tabelas¸~
Esquema Geral:
 Titulo´
 ----------------------------------------------------------------
Cabecalho Variavel Freq. %¸ ´
 ----------------------------------------------------------------
 classe 1 F i  
 classe 2 F i  
 : : :
 classe k F i k k
 ---------------------------------------------------------------
 Total n 100,00 
 ---------------------------------------------------------------
Rodape Fonte:´ 
 Uma tabela estatistica deve ser auto-suficiente.´
Deve apresentar:
TITULO´
 - Deve ser objetivo e claro.
- E colocado na parte superior da tabela.´
- Deve indicar:
 - a natureza do fato estudado (o que?)
 - as variaveis escolhidas na analise do fato (como?)´ ´
 - o local em que o mesmo foi observado (onde?)
 - a epoca em que o mesmo foi observado (quando?)´
4
CABECALHO¸
- E a parte da tabela em que e designada a natureza do conteu´do de cada coluna (a´ ´
variavel, tipos de frequencias).´ ^
RODAPE´
E reservado para: Notas e Chamadas.´
Refere-se as observacoes pertinentes.¸~#
FONTE: Indica a entidade responsavel pela sua organizacao ou fornecedora dos dados e ano´ ¸~
da publicacao ou observacao do fato.¸ ¸~ ~
Observac¸o~es:
1) Nenhuma "célula ou casela" deve ficar em branco, apresentando sempre um no. ou sinal:
- (hifen), quando o valor numerico e nulo´ ´ ´
.... (reticencia), quando nao se dispoe de dado.^ ~ ~
? (interrogacao), quando ha du´vida quanto a exatidao do valor numerico.¸~ ~´ ´#
0 (zero), quando o valor numerico e muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada.´ ´
2) As tabelas devem ser fechadas no alto e embaixo por linhas horizontais.
Nao serao fechadas, a direita e a esquerda, por linhas verticais.~ ~ # #
E facultativo o emprego de tracos verticais para a separacao de colunas no corpo da´ ¸ ¸~
tabela.
3) Os totais e subtotais serao destacados.~
4) Em publicacoes que compreendem muitas tabelas, estas devem ser numeradas em ordem¸~
crescente, conforme a ordem de aparecimento.
Regra com base nas "NORMAS DE APRESENTACAO TABULAR" aprovadas pela XVIII¸ ~
Assembleia Geral do Conselho Nacional de Estatistica.´ ´
5
Exemplo de Tabela:
Titulo Tabela 1.1 Populacao Brasileira da Regiao Sul em 1965´ ¸~ ~
 -----------------------------------------------------------------
Cabecalho Estados Populacao %¸ ¸~
 -----------------------------------------------------------------
 Parana 7.000.000 43,75´ 
 Sta Catarina 3.000.000 18,75 
 R.G.do Sul 6.000.000 37,50 
 -----------------------------------------------------------------
 Total 16.000.000 100,00 
 -----------------------------------------------------------------
Rodape Fonte: IBGE - 1967.´ 
1.6 Apresentacao Grafica¸~ ´
Os graficos devem ser auto-explicativos;´
Devem ter sempre um titulo e fonte;´
Devem ser construidos em uma escala que nao desfigure os fatos ou as relacoes que se~ ~¸
deseja destacar;
Podem vir acompanhados de legenda, caso nao fique explicito o nome da classe no~ ´
grafico.´
As representacoes graficas das tabelas de frequencias podem ser atraves de diagramas¸~ ´ ´^
(graficos construidos sobre o plano cartesiano) mapas e figuras geometricas, unidimensionais´ ´´
ou bidimensionais.
Os diagramas, histogramas e poligonos de frequencias sao graficos representados sobre´ ^ ~ ´
o 1o. quadrante de um sistema de eixos cartesianos.
 Representa-se no eixo y os valores das frequencias e no eixo x os valores da variavel^ ´
(classes) em estudo.
6
Capítulo 2
Apresentação dos Dados Qualitativos
2.1 Apresentação Tabular
A constituicao das classes e imediata, ja que a variavel apresenta modalidades de¸~ ´ ´ ´
individualizacao espontanea.¸~ ^
As classes podem ser dispostas em ordem alfabetica ou, se desejar poderao ser´ ~
relacionadas em ordem crescente ou decrescente de frequencia.^
Exemplo: Tabela 1 : Assistencia Federal em 1985 aos governos locais^
 ---------------------------------------------------------------------------
 Auxilios Valores´
 (em milhoes de Dolares) %~ ´ 
 ----------------------------------------------------------------------------
 Sau´de 26.530 20%
 Educacao 18.108 13.5%¸~
 Transporte 18.075 13.5%
 Recursos Naturais 3.918 3% 
 Outros 7.625 6%
 Assistencia Social 27.430 20%^ 
 Assistencia a Infancia 3.669 3%^ ^ #
 Habitacao 6.156 5%¸~
 Seguro Social 9.980 7% 
 Geral 12.620 9%
 ------------------------------------------------------------------------------
 TOTAL 134.111 100% 
 ------------------------------------------------------------------------------
 Fonte: IBGE - 1967.
7
2.2 Apresentação Gráfica
2.2.1 Diagrama de Barras
Objetivo: Dar ideia de como se realacionam os valores da tabela a partir de dados observados.´
Construc¸a~o:
E representado por retangulos dispostos verticalmente, com base no eixo horizontal e´ ^
equidistantes.
A separacao entre qualquer dos retangulos deve ser menordo que a largura dos¸~ ^
retangulos.^
Considerando-se bases de tamanhos iguais aos diversos retangulos, as alturas devem^
indicar as frequencias correspondentes.^
Sugesta~o: As vezes, por motivos de espaco ou para facilitar a leitura, costuma-se usar graficos¸ ´
#
com as barras dispostas horizontalmente.
Isto ocorre no caso de legendas muito extensas ou distribuicao com muitas classes.¸~
8
9
2.2.2 Setograma (Pizza)
Objetivo: Comparar cada valor da tabela com o total.
 Utiliza-se de preferencia para representar proporcoes ou porcentagens.^ ¸~
Construc¸a~o:
Consiste de um circulo dividido em setores, cujas areas sao porporcionais as´ ´ ~ #
porcentagens dadas.
E ilustrado com valores percentuais e nao com valores absolutos. Para isso, e preciso´ ~ ´
transformar os valores absolutos em porcentagens (%) utilizando-se a regra abaixo:
360 -- 100%0
 -- i
Portanto, =  360 * i100
onde : angulo do setor^
 i : porcentagem correspondente a classe da tabela#
10
Observac¸a~o: Costuma-se colorir os setores de modo diferente, a fim de dar enfase aos^
tamanhos relativos de cada um.
2.2.3 Diagrama Linear
Objetivo: Dar ideia da evolucao do fenomeno.´ ¸~ ^
E empregado para representar tabelas temporais (dados dispostos por periodo de´ ´
tempo).
Construc¸a~o: E obtido marcando-se, no plano cartesiano, os pares ordenados dados´ 
 pelas coordenadas tempo e frequencia observada correspondente, e a^ 
 seguir ligando-se esses pontos por meio de uma linha (segmento).
11
2.2.4 Cartograma
12
Capítulo 3
Apresentação de Dados Quantitativos
Distribuição de Frequência
Os dados numericos podem ser representados numa tabela (quadro) de forma agrupada´
ou nao em intervalos.~
Costuma-se agrupar em intervalos os dados continuos.´
Porem, quando a amostra de dados discretos for muito grande, agrupamo-os tambem.´ ´
Nada impede de nao agruparmos os dados continuos, quando a amostra for pequena.~ ´
Exemplo: a) dados nao agrupados em intervalos~
 Nu´mero de Acidentes por dia na rodovia Dutra em Janeiro de 1977
 -----------------------------------------------------------------------------
 Nu´mero de acidentes/dia nu´msero de dias 
 -----------------------------------------------------------------------------
 0 10 
 1 7
 2 4
 3 5
 4 3
 5 2
 ---------------------------------------------------------------------------
 Total 31
 ---------------------------------------------------------------------------
 Fonte: DNER
b) dados agrupados em intervalos
 Altura dos Alunos da classe em marco de 1977¸
 ----------------------------------------------------------------------
 Alturas (m) Nu´mero de alunos 
 ----------------------------------------------------------------------
 1.50 -- 1.60 5 
 1.60 -- 1.70 15 
 1.70 -- 1.80 17 
 1.80 -- 1.90 3 
 ---------------------------------------------------------------------
 Total 40
 ---------------------------------------------------------------------
 Fonte: Secretaria da Escola
13
Sejam n: o tamanho da amostra e k: o nu´mero de intervalos.
ROL: e o arranjo dos dados (da amostra) em ordem crescente. E uma ordenacao dos dados.´ ´ ¸~
CLASSES: e um u´nico valor observado ou um intervalo representando os dados.´
FREQUENCIA ABSOLUTA SIMPLES DE UMA CLASSE ( F )^ i :
E o no. de vezes que o elemento aparece na amostra ou no. de elementos pertencentes a´
uma classe.

k
i=1
i F = n
FREQUENCIA RELATIVA DE UMA CLASSE ( f )^ i :
E dada por f = , i=1, 2, . . ., k´ i F n 
i
e geralmente e expressa em porcentagem.´
Observac¸a~o: f = 1.
k
i=1
i
FREQUENCIA ACUMULADA DE UMA CLASSE ( F )^ ac :
E a soma das frequencias das classes anteriores ate, e inclusive, a classe dada.´ ^ ´
Exemplo: As notas de 32 estudantes de uma classe estao descritas a seguir:~
 6.0 0.0 2.0 6.5 5.0 3.5 4.0 7.0
 8.0 7.0 8.5 6.0 4.5 0.0 6.5 6.0 
 2.0 5.0 5.5 5.0 7.0 1.5 5.0 5.0
 4.0 4.5 4.0 1.0 5.5 3.5 2.5 4.5
 Distribuicao das notas dos estudantes¸~
 ---------------------------------------------------
 notas F f Fi i ac
 ---------------------------------------------------
 0.0 -- 1.5 3 0.094 3
 1.5 -- 3.0 4 0.125 7
 3.0 -- 4.5 5 0.156 12
 4.5 -- 6.0 10 0.312 22
 6.0 -- 7.5 8 0.250 30
 7.5 -- 9.0 2 0.062 32
 ----------------------------------------------------
 Total 32 1 
 ----------------------------------------------------
14
Capítulo 4
Apresentação de Dados Não Agrupados em Intervalos
Neste caso, cada categoria ou classe corresponde a um determinado valor observado
(valor da amostra), isto e, identifica-se uma classe com um u´nico valor.´
4.1 Apresentação Tabular
Ilustrac¸a~o Nume´rica:
Suponhamos que estamos interessados no estudo do "no. de dias de internacao", de 20¸~
pacientes de um hospital.
Dados: 2 0 1 1 3 0 1 2 4 2 1 0 3 4 3 0 0 1 2 4
Rol: 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4
 Distribuicao do tempo de internacao num hospital¸ ¸~ ~
 ----------------------------------------------------------------
 no. de dias F f Fi i ac
 ----------------------------------------------------------------
 0 5 0.25 5
 1 5 0.25 10
 2 4 0.20 14
 3 3 0.15 17
 4 3 0.15 20
 ---------------------------------------------------------------
 Total 20 1.00
 --------------------------------------------------------------
 Fonte: SUS 1980
NOTA: Este tipo de tabela nao e aconselhavel quando estamos trabalhando com~ ´ ´ 
 amostras grandes.
15
4.2 Apresentação Gráfica
Os graficos dao uma ideia da forma da distribuicao, das medidas de posicao e dispersao´ ´~ ~ ~ ~¸ ¸
do fenomeno em estudo.^
4.2.1 Grafico em Bastao´ ~
Para sua construcao, marca-se no eixo das abscissas do sistema de coordenadas¸~
cartesiana os pontos referentes as classes da distribuicao de frequencias.¸~ ^#
Nestes pontos constroem-se perpendiculares cujos comprimentos sejam iguais as#
frequencias.^
16
4.2.2 Grafico de Frequencia Acumulada´ ^
17
Capítulo 5
Apresentação de Dados Agrupados em Intervalos
5.1 Apresentação Tabular
Regras Gerais para elaborar uma Distribuic¸a~o de Freque^ncias para dados agrupados em
intervalos.
1) Ordenar os dados.
2) Determinar o valor de R, onde:
R = maior valor observado - menor valor observado.
3) Calcular o no. de intervalos (k) atraves da formula:´ ´
k = 1 + 3.32*log (n) , k Z10 
4) Calcular o tamanho (h) de cada intervalo:
h = R k 
5) Calcular F , f , i=1, . . ., k e F para cada intervalo.i i ac
Ilustrac¸a~o Nume´rica:
Considere uma amostra de 14 recem-nascidos, onde se observou o peso:´
 4.3 3.7 2.5 2.8 3.0 2.2 3.5 3.7 2.1 2.4 2.7 2.4 3.3
Arranjar os dados numa Distribuicao de Frequencias.¸~ ^
Sol.:
 Rol: 2.1 2.2 2.4 2.4 2.5 2.7 2.8 3.0 3.3 3.5 3.7 3.7 4.3
 R = 4.3 - 2.1 = 2.2
n = 14
k = 1 + 3.32*log(14) = 4.8 k = 5~
h = = 0.44 h = 0.5~ 2.2 5 
18
 Distribuicao dos Pesos de Recem-Nascidos¸~ ´
 ----------------------------------------------------------------
 Pesos F f Fi i ac
 ----------------------------------------------------------------
 2.1 -- 2.6 5 0.36 5
 2.6 -- 3.1 3 0.21 8
 3.1 -- 3.6 2 0.14 10
 3.6 -- 4.1 2 0.14 12
 4.1 -- 4.6 2 0.14 14
 ---------------------------------------------------------------
 Total 14 1.00
 --------------------------------------------------------------Observac¸o~es:
1) As classes devem ser mutuamente exclusivas e exaustivas.
2) Devem ser evitadas classes do tipo "40 anos e mais", "menores de 20 anos"
3) Deve-se, sempre que possivel, utilizar intervalos com tamanhos iguais, o que permite uma´
comparacao perfeita das frequencias dos intervalos.¸~ ^
4) h deve ser expresso com um no. de casas decimais nao superior ao no. de casas dos dados,~
i.e., se os dados tem 3 casas decimais, h pode ter no maximo 3 casas decimais.´ ´^
5) Os dados agrupados passam a assumir o valor medio do intervalo. Portanto, quanto maior´
for o tamanho do intervalo, menor precisao se obtera do fenomeno analisado (i. e, maiores~ ´ ´^
serao as possibilidades de distorcao na analise estatistica).~ ~¸ ´ ´
6) O processo de agrupamento em intervalos, geralmente inutiliza muitos detalhes originais dos
dados.
Se nao obdecer um criterio para construcao, as medidas descritivas (que serao vistas a~ ~ ~´ ¸
seguir) podem distorcer muito dos dados coletados.
Sua vantagem esta no aspecto global obtido.´
19
5.2 Apresentação Gráfica
5.2.1 Histograma
Consiste de um conjunto de retangulos justapostos que tem:^
i) as bases sobre um eixo horizontal (eixo dos X) com centro no ponto medio dos intervalos e´
as larguras iguais as amplitudes dos intervalos.#
ii) cada retangulo do Histograma tem altura dada por: altura do retangulo = ^ ^ F h 
i
i
caso as amplitudes dos intervalos sejam diferentes.
Se todos os intervalos tiverem a mesma amplitude, toma-se as alturas dos retangulos^
numericamente iguais as frequencias dos intervalos.^#
Exemplo: Idade dos alunos da UNESP
 -------------------------------
 Idade Fi
 -------------------------------
 18 -- 22 11
 22 -- 26 6
 26 -- 30 2
 30 -- 34 1
 34 -- 38 2
 ------------------------------- 
 Total 22
 -------------------------------
20
5.2.2 Poligono de Frequencia´ ^
Consta de um poligono cujos vertices sao obtidos pela interseccao de cada ponto medio´ ´ ´~ ~¸
do intervalo e sua respectiva frequencia.^
Acrescenta-se os segmentos PQ e RS que vao ate os pontos medios imediatamente~ ´ ´
inferior e superior no eixo X e cujas frequencias sao nulas.^ ~
Exemplo:
O acrescimo dos segmentos PQ e RS se faz necessario, para que a area total delimitada´ ´ ´
pelo poligono e o eixo das abscissas seja proporcional a frequencia total da distribuicao.´ ^ ¸~#
Observac¸a~o: Pode-se tambem obte-lo, ligando-se os pontos medios dos topos dos retangulos´ ´^ ^
de um histograma.
Neste caso, o acrescimo dos segmentos PQ e RS se faz necessario, para que a soma das´ ´
areas dos retangulos do histograma seja igual a area total limitada pelo poligono de frequencia´ ´^ ^´#
e o eixo dos X.
21
5.2.3 Ogiva de Galton (Poligono de Frequencia Acumulada)´ ^
E u´til para determinacao das medidas separatrizes (mediana, quartil,...).´ ¸~
A Ogiva e a representacao grafica da frequencia acumulada de uma distribuicao de´ ´¸ ¸~ ~^
frequencias.^
E uma poligonal que parte do limite inferior do 1o. intervalo e para cada limite superior´
indica a frequencia acumulada do intervalo.^
Exemplo: ---------------------------------------------
 idades F Fi ac
 ---------------------------------------------
 18 -- 22 11 11
 22 -- 26 6 17
 26 -- 30 2 19
 30 -- 34 1 20
 34 -- 38 2 22
 ------------------------------------------------ 
 Total 22
 -----------------------------------------------
22
23
Capítulo 6
Dados Bivariados
Suponhamos que temos duas variaveis (caracteristicas observaveis) A e B. Um dos´ ´´
interesses da Estatistica e descobrir possiveis relacoes existentes entre as variaveis A e B.´ ´´ ´¸~
Exemplo: Podemos estar interessados em verificar a relacao existente entre fumante e¸~
cancer no pulmao.^ ~
6.1 Dados Qualitativos Bivariados
Exemplo: Afirma-se que certa droga e eficiente na cura de resfriados. Em um experimento com´
164 pessoas resfriadas essa droga foi dada a metade das pessoas sendo pilulas de acu´car dadas´ ¸#
a outra metade. As reacoes dos pacientes ao tratamento estao registradas na tabela abaixo:¸~ ~#
-----------------------------------------------------------------------------------------------
 Resultado Resultado Sem TOTAL
 Positivo Negativo Reacao¸~
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Droga 58 10 8 76
Acu´car 44 8 36 88¸
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Total 102 18 44 164
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Existe diferenca significativa nas reacoes produzidas pela droga e pelas pilulas de¸ ¸~ ´
acu´car?¸
Para verificarmos possiveis relacoes entre as duas variaveis qualitativas A e B podemos´ ¸~ ´
contruir tabelas equivalentes a tabela anterior com as frequencias relativas de cada categoria.^#
Exemplo: 1) Comparar os dois grupos (droga e acu´car) para varificar se as proporcoes em cada¸ ¸~
grupo sao iguais ou nao. Para isto contruimos a tabela:~ ~
-----------------------------------------------------------------------------------------------
 Resultado Resultado Sem TOTAL
24
 Positivo Negativo Reacao¸~
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Droga 58/76 10/76 8/76 76/76
Acu´car 44/88 8/88 36/88 88/88¸
-----------------------------------------------------------------------------------------------
 2) Comparar a droga e acu´car com suas respectivas reacoes:¸ ¸~
-----------------------------------------------------------------------------------------------
 Resultado Resultado Sem TOTAL
 Positivo Negativo Reacao¸~
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Droga 58/164 10/164 8/164 76/164
Acu´car 44/164 8/164 36/164 88/164¸
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Total 102/164 18/164 44/164 164/164
-----------------------------------------------------------------------------------------------
6.2 Dados Quantitativos Bivariados
Suponhamos que temos duas variaveis quantitativas X e Y onde foram observados n´
valores para cada variavel.´
Neste caso, os dados sao representados por n pares (X , Y ) , (X , Y ) , . . . , (X ,~     n
Y ) representados pela tabela:n
 X Y
 ----------
 X Y 
 X Y 
 : :
 X Yn n
 ----------
Numa analise estatistica preliminar podemos formular as seguintes questoes:´ ´ ~
i) As variaveis sao realacionadas?´ ~
ii) Qual e a forma de relacionamento entre as duas variaveis?´ ´
iii) Como podemos medir esta relacao?¸~
iv) Como podemos prever uma variavel a partir do conhecimento da outra?´
Se considerarmos X e Y separadamente, nao podemos responder a essas questoes.~ ~
25
Uma verificacao visual do relacionamento entre as duas variaveis X e Y pode ser dada a¸~ ´
partir de graficos de X versus Y (DIAGRAMA DE DISPERSAO).´ ~
26
Exemplo: A tabela abaixo nos da a idade e a pressao sanguinea correspondente a um grupo de´ ~ ´
12 mulheres.
Idade 56 42 72 36 63 47 55 49 38 42 68 60
 -------------------------------------------------------------------------------------------
 Pressao 147 125 160 118 149 128 150 145 115 140 152 155~
 Sanguinea´
Existe alguma relacao entre X e Y?¸~
Sol:
Uma inspecao do diagrama de dispersao acima nos revela a existencia de uma relacao¸ ¸~ ~ ~^
linear entre X e Y.
27
EXERCÍCIO: Considerando as informações sobre os alunos da disciplina de Inferência
Estatística da UEM, contidas na Tabela 01, abaixo, construa um gráfico adequado para
representar as variáveis:
a) sexo
b) estado civil
c) transporte
d) meio de informação segundo o sexo dos alunos
28
1 Lista de Exercícios deEstatística Descitiviaa
1) A tabela a seguir fornece os investimentos e reinvestimentos estrangeiros no Brasil nos anos
de 1973 a 1976:
Pais 1973 1974 1975 1976´
------------------------------------------------------------------------------------
EUA 1.717.387 2.022.477 2.395.222 2.901.246
RFA 520.776 709.767 871.352 1.118.029
Japao 318.260 598.024 841.162 1.005.100~
Suica 357.049 559.621 735.509 980.729´¸
Canada 360.152 401.363 410.839 482.032´
Inglaterra 324.477 401.088 430.252 420.674
Franca 205.467 241.942 300.066 326.261¸
-------------------------------------------------------------------------------------
Fonte: Revista Visao - 14/nov/77~
Construir: a) um diagrama de barras para os EUA; 
 b) um grafico de setores para 1976, referente aos 7 paises;´ ´
2) Os seguintes dados referem-se ao nu´mero de itens defeituosos na fabricacao de um´ ¸~
determinado produto, em 20 dias de observacao.¸~
 3, 4, 4, 5, 7, 6, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6.
Pede-se:
a) construir a distribuicao de frequencia;¸~ ^
b) construir o diagrama de Bastao e o grafico da freq. acumulada;~ ´
c) a ocorrencia de mais de 6 defeitos corresponde a que porcentagem do total de defeitos^
encontrados?
3) Os dados abaixo referem-se aos montantes (em milhares de dolares) de 32 emprestimos´ ´
pessoais em uma companhia financeira.
6.0 0.0 2.0 6.5 5.0 3.5 4.0 7.0
8.0 7.0 8.5 6.0 4.5 0.0 6.5 6.0
2.0 5.0 5.5 5.0 7.0 1.5 5.0 5.0
4.0 4.5 4.0 1.0 5.5 3.5 2.5 4.5
29
a) construir a distribuicao de frequencia;¸~ ^
b) construir o histograma, o poligono de frequencias e a ogiva de Galton;´ ^
c) qual a porcentagem dos individuos que tiveram menos de 4 mil dolares de emprestimos?´ ´ ´
4) A tabela a seguir retrata a producao e as vendas da indu´stria automobolistica no Brasil,¸~ ´
referente ao periodo 76/82, em unidades:´
Pais Producao Vendas´ ¸~
-----------------------------------------------
1976 985.469 974.594
1977 919.239 908.664
1978 1.068.194 1.067.343
1979 1.127.966 1.121.245
1980 1.165.206 1.118.610
1981 780.852 800.777
1982 859.254 861.207
------------------------------------------------
Fonte: ANFAVEA
Com base na tabela citada, elaborar:
a) grafico de Barras para producao e vendas;´ ¸~
b) grafico Linear para producao e vendas.´ ¸~
5) Completar os dados que faltam:
 ------------------------------------------------------
 Valores F f Fi i ac
 ------------------------------------------------------
 1 4 0.08 
 2 4
 3 0.16 16
 4 7 0.14
 5 5 28
 6 38
 7 7 0.14 45
 8
 ---------------------------------------------------------
30
6) Em cada um dos seguintes casos indique se os dados podem ser considerados como dados
qualitativos ou quantitativos (numericos), neste u´ltimo caso dizer se e continuo ou discreto.´ ´ ´
 a) Nu´mero de pulsacoes por minuto em adultos normais.¸~
 b) Lugar de nascimento de uma pessoa.
 c) Causa de obito de um individuo.´ ´
 d) Conteu´do de albumina no sangue.
 e) Nu´mero de atendimentos em um Pronto Socorro durante 24 horas.
 f) Aumento de Peso em cobaias submetidas a uma determinada dieta.
7) Montar uma tabela para representar o nu´mero de casos da molestia X, na area Z, 1970/1974´ ´
(dados hipoteticos), sabendo-se que em 1970 ocorreram 8.000 casos da doenca, em 1971´ ¸
7.600, em 1972 7.200, em 1973 7.300 e em 1974 teve-se 7.000 casos.
Construir os graficos que se julgar necessario.´ ´
8) A tabela seguinte mostra a populacao residente estimada, rural e urbana, para o Brasil, em¸~
milhoes de pessoas, de acordo com a Fundacao IBGE:~ ~¸
Ano 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979
-------------------------------------------------------------------------------
Pop. Urbana 56.6 59.0 61.5 64.1 66.7 69.5 72.3 75.2
-------------------------------------------------------------------------------
Pop. Rural 42.1 42.4 42.7 43.1 43.4 43.8 44.1 44.5
Representar os dados empregando um grafico linear e de barras.´
9) Segundo o Boletim Estatistico do IBGE, durante o ano de 1973, foram aplicadas as´
seguintes vacinas no Servico de Sau´de dos Postos, Estado do Rio de Janeiro: 81335 vacinas¸
antivariolicas, 23012 antiamarilicas, 12058 anticolericas, 2155 antitificas, 12276 de outras´ ´´
especies.´
a) Organize esses dados em uma tabela, indicando frequencias absolutas e percentagens.^
b) Construa um grafico de barras verticais e um grafico de setores.´ ´
10) Calcule a porcentagem de cada diagnostico para os dados apresentados na tabela abaixo.´
Faca um grafico de barras.¸ ´
31
Tabela 1: Diagnostico de biopsias de mama, feitas entre 1963 e 1972, inclusive, no´ ´
 Hospital dos Servidores do Estado, RJ.
 ---------------------------------------------------
 Diagnostico Freq.´
 ----------------------------------------------------
 Displasia 1.010 
 Tumor Benigno 344´ 
 Tumor Maligno 329´ 
 Inflamatoria 54´ 
 Diversos 288 
 ---------------------------------------------------
 Fonte: PIZA et alii (1977)
11) Num hospital foi estudado o nu´mero de gestacoes previas e o peso de 16 maes.¸~ ~´
 Os dados observados foram os seguintes:
 peso 69,1 57,3 72,7 54,3 68 72,5 58,7 64 62,1 65,9 60,6 49 59,3 66 45 60,4
 no. de gestacoes: 1 1 2 0 1 3 2 1 0 1 2 4 3 0 2 2¸~
 Elaborar uma distribuicao de frequencia e construir os graficos para cada conjunto de dados.¸~ ^ ´
32
Capítulo 7
Medidas Descritivas
7.1 Introdução
Uma outra maneira de se resumir os dados de uma variável quantitativa, além de tabelas
(distribuicoes de frequencias) e gráficos, é apresentá-los na forma de valores numéricos,¸~ ^
denominados medidas descritivas.
Agora estudaremos as medidas que possibilitem representar um conjunto de dados
quantitativos de forma resumida em termos de centralidade e variabilidade da amostra.
As medidas descritivas auxiliam a análise do comportamento dos dados.
Classificam-se as medidas descritivas como:
A) Medidas de Tendencia Central^
B) Medidas de Dispersao~
C) Medidas de Posicao (Separatrizes)¸~
D) medidas de assimetria e de curtose.
7.2 Medidas de Tendência Central
7.2.1 Introdução
As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem um ponto em
torno do qual se concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos
dados.
As medidas de tendência Central de maior uso sao:~
A) media aritimetica´ ´
B) mediana
C) moda
7.2.2 MEDIA ARITMETICA X´ ´
_
Seja x , x , . . . , x os dados amostrais e n: tamanho da amostra.  n
A MEDIA ARITMETICA X dos valores x , x , . . . , x e definida por:´ ´
_
´  n
X = 
_ x 
n

n
i=1
i
33
Exemplo: Sete pacientes foram escolhidos, ao acaso, em um hospital, onde se observou o
nu´mero de dias que estes permaneceram internados.
 Obteve-se: 1 8 4 5 4 3 2
Calcule a media aritmetica X (o tempo medio de permanencia no hospital).´ ´ ´
_
^
Solucao: X = = = = 3.85 = 4¸~
_
~
 x 
7 7 7
1 + 8 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 27 

7
i=1
i
X = 4 dias
_
Portanto, o tempo medio de permanencia no hospital e de 4 dias.´ ´^
Observac¸o~es:
1) Para o calculo de X com os dados da tabela acima, foi suposto que, todos os´
_
individuos com idades em um determinado intervalo tinham a idade dada pelo ponto medio do´ ´
intervalo, o que, em geral, nao corresponde a realidade (ver Bercho, pg. 72, 74).~ ´#
2) A media aritmetica nao pode ser calculada quando o 1o. ou o u´ltimo intervalo´ ´ ~
tiverem extremos indefinidos.
Observac¸o~es Gerais sobre X
_
: A media aritmetica de um conjunto de dados:´ ´
1) e da mesma forma da variavel considerada´ ´
2) Sempre existe e e u´nica(assume um u´nico valor)´
3) Sofre muito a influencia de valores extremos (muito grandes ou muito pequenos).^
7.2.3 MEDIANA (Med)
A Mediana e o valor central de um rol, isto e, a medida que divide o rol em duas partes´ ´
iguais.
Consideraremos dois casos:
i) - Quando n e´ i´mpar neste caso a mediana pertence ao rol.
Exemplo: Consideremos os dados 1 8 4 5 4 3 2 .
34
Solucao: Rol: 1 2 3 4 4 5 8¸~
Como n=7 e impar, entao o elemento que divide o rol em duas partes iguais e Med=4.´ ´´ ~
ii) Quando n e´ par : neste caso, a mediana e a media dos dois valores centrais.´ ´
Exemplo: Os dados abaixo representam os tempos de sobrevivencia (media) de 6 cobaias^ ´
submetidas a um experimento medico:´
3 15 46 64 126 623
Solucao: Rol: 3 15 46 64 126 623¸~
Med = = = = 55 X + X 2 2 2 
46 + 64 110( ) ( ) 
Observac¸o~es Gerais:
1) A mediana nao e afetada pela grandeza dos valores extremos (aberrantes) e sim pelo~ ´
nu´mero de elementos da amostra.
2) Se a distribuicao e assimetrica, a mediana e uma medida de posicao melhor do que a¸ ¸~ ~´ ´ ´
media aritmetica.´ ´
3) Sua grande desvantagem reside no fato de nao poder ser tratada algebricamente.~ ´
7.2.4 MODA (Mo)
 A MODA de um conjunto de dados amostrais e o valor (ou valores) mais frequentes no´
rol.
Observac¸a~o:
1) Pode haver mais de uma moda.
2) se "todos" os valores tem igual frequencia, diremos que o conjunto de dados nao tem^ ^ ~
moda.
Exemplo: i) 10 10 12 13 18
 Mo = 10 (conjunto unimodal)
35
 ii) 100 100 200 200 300 600
 Mo = 100 e Mo = 200 (conjunto bimodal)
iii) a) 1 2 3 4 5 6
 Mo (conjunto amodal)
 b) 1 1 3 3 5 5
 Mo
3) O fato de um conjunto de dados apresentar mais de uma moda pode ser um indicio´
de heterogeneidade dos dados.
4) Um aspecto importante a ressaltar e que podemos distinguir as flutuacoes acidentais´ ¸~
(outliers) da amostra dos verdadeiros valores modais.
7.2.5 RELACAO ENTRE MEDIA , MEDIANA E MODA¸ ~ ´
 Em uma distribuicao simetrica, observa-se que a Média Mediana Moda (Figura a)¸~ ´  
 Em uma distribuição assimétrica, observa-se que:
 i) Média Mediana Moda (Figura b) ou 
 ii) Média Mediana Moda (Figura c) . 
36
7.2.6 ESCOLHENDO UMA MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL^
Tendo a media, a mediana e a moda o mesmo objetivo, em que condicoes e´ ´¸~
recomendavel empregar cada uma dessas medidas?´
A media aritmetica e, de longe, a mais usada dentre as estatisticas de tendencia central,´ ´ ´ ´ ^
mas nem sempre e ela quem melhor representa um conjunto de dados.´
Por exemplo, suponhamos os dados 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 20.
A media aritmetica e X = 3.3 , enquanto a mediana e Med = 1.5 , o que e bem mais´ ´ ´ ´ ´
_
representativo, dado que a maior parte das observacoes e 1 ou 2.¸~ ´
O fato e que a media aritmetica e muito influenciada por valores extremos, tal como 20´ ´ ´ ´
no exemplo dado, enquanto que a mediana nao e afetada por esses valores.~ ´
Quando o tamanho da amostra e grande, esta desvantagem da media torna-se menos´ ´
importante.
A proposito de analises estatisticas, a media apresenta, sobre a mediana, a vantagem de´ ´ ´´
ser mais facil de manipular algebricamente.´ ´
A moda e a menos empregada.´
Um confronto mais alargado necessita do conceito de robustez, que infelizmente, nao~
cabe no presente estudo.
7.3 Medidas de Dispersão (ou de Variabilidade)
7.3.1 Introdução
Os metodos estatisticos dao especial enfase ao estudo da variacao.´ ´ ~ ~^ ¸
Uma medida de posicao, como a media por exemplo, por si so e insuficiente para¸~ ´ ´ ´
descrever uma populacao. Duas populacoes podem ter a mesma media, mas diferir muito no¸ ¸~ ~ ´
grau de variacao de seus valores.¸~
Consideremos as tres amostras: a) 4, 4, 4 b) 3, 4, 5 c) 0, 4, 8. Todas tem a mesma^ ^
media, ou seja, X = 4; mas na amostra a) nao existe variacao e a variacao em c) e maior do que´ ´
_ ~ ~ ~¸ ¸
em b). Sao portanto tres amostras de caracteristicas diferentes.~ ^ ´
 As medidas de dispersão auxiliam as medidas de tendência central a descrever o
conjunto de dados adequadamente.
As medidas de dispersao (ou medidas de variabilidade) sao medidas que permitem~ ~
quantificar a variacao, ou ainda o grau de afastamento (espalhamento), dos dados em torno da¸~
media. As medidas de dispersao de maior uso sao: i) variancia´ ~ ~ ^
 ii) desvio padrao.~
Observac¸a~o: De modo geral, se consideramos a variabilidade em torno de cada medida de
posicao, as medidas de dispersao servem para verificarmos a representatividade destas¸~ ~
medidas.
37
7.3.2 VARIANCIA AMOSTRAL (S )^ 
Seja x , x , . . ., x um conjunto de dados com media X = , define-se´
_
  n
 x 
n

n
i=1
i
VARIANCIA AMOSTRAL por:^
S = 


 
n
i=1
ix X
_
n 1

Uma formula analoga, e: S´ ´ ´ 



n
i=1
i
n
i=1
 xi
nx 
n 1


 
Exemplo: Calcular a variancia, S , da seguinte amostra: 5 8 10 12 15^ 
Sol: x x i i
 ---------------
 5 25
 8 64
 10 100
 12 144
 15 225
 ---------------
 50 558
Usando S = , tem-se

n
i=1
i
n
i=1
 xi
nx - 
n - 1


 
S = = 14.5 558 - 5 - 1 
50
5 

Portanto, S = 14.5.
7.3.3 DESVIO-PADRAO (S)~
Define-se DESVIO-PADRAO (S) como sendo a raiz quadrada positiva da variancia~ ^
(S ).
Observac¸o~es: 1) Por definicao S e S sao nao-negativos e podem assumir qualquer valor maior¸~ ~ ~
ou igual a zero. O valor "zero" e obtido quando todos os dados tem o mesmo valor, i.e.,´ ´^
quando nao ha variacao alguma entre os valores dos dados.~ ~´ ¸
38
2) O desvio-padrao tem as mesmas propriedades que a variancia e seu uso e as vezes preferido,~ ^ ´ #
uma vez que tem igual dimensao que os dados (mesma unidade de medida) enquanto que a~
variancia tem a dimensao do quadrado dos dados.^ ~
7.3.4 COEFICIENTE DE VARIACAO (DE PEARSON) (C.V.)¸ ~
E uma medida relativa do grau de concentracao dos dados em torno da media. E´ ´¸~ ´
definida por:
CV = . S X
_
onde S e o desvio-padrao e X e a media.´ ´ ´~
_
Observac¸a~o.: O CV independe das unidades em que foram medidos os dados.
Aplicac¸a~o: O coeficiente de variacao e uma medida valiosa para comparar a variacao (o grau¸ ¸~ ~´
de homogeneidade) entre dois conjuntos de dados (duas distrib. de Freq.) medidos em unidades
diferentes.
Ou ainda, quando apresentam medias diferentes, embora suas unidades de medidas´
sejam iguais.
Exemplo: Suponhamos que determinado fornecedor "A" de parafusos tenha enviado ao
Departamento de Compras de uma empresa uma amostra de 2000 parafusos, de comprimento
variando entre 101 e 113 mm. Efetuaram uma analise e encontrou-se:´
Comprimento medio do parafuso = 107.9 mm´
desvio-padrao do comprimento = 2.72 mm~
Admitindo-se um fornecedor "B", que apresentou um lote deste mesmo parafuso com o
mesmo no. de pecas:¸
Comprimento medio do parafuso = 108 mm´
desvio-padrao do comprimento = 1.08 mm~
Qual o lote que voce escolheria se fosse o comprador?^
Sol: Aplicando-se o CV = , temos: S X
_
 - para o fornecedor A, CV = = 0.0252 ou 2.52%A 2.72107.9
 - para o fornecedor B, CV = = 0.01 ou 1%B 1.08108
Pelos resultados, o lote do fornecedor (B) apresenta menor CV do que o lote do
fornecedor (A).
Logo, o lote escolhido seria do fornecedor (B).
39
7.3.5 RELACAO ENTRE AS MEDIDAS DE VARIABILIDADE DE DUAS¸ ~
DISTRIBUICOES DISTINTAS¸ ~
Examinando a figura a seguir podemos dizer:
a) o desvio-padrao da distribuicao A e maior do que o da distribuicao B, i. e,~ ~ ~¸ ¸´ ´
S S .A B
b) as medias sao iguais, i. e,´ ´~
X = X .
_ _
A B
c) o coeficiente de variacao da distribuicao A e maior do que o da distribuicao B,i. e,¸ ¸ ¸~ ~ ~´ ´
CV CV .A B
7.4 Separatrizes
Estas medidas são valores que ocupam posições no conjunto de dados, em rol,
dividindo-o em partes iguais e podem ser:
7.4.1 QUARTIS (Q )i
Os quartis dividem um conjunto de dados (ordenados de forma crescente) em quatro
partes iguais. Há três quartis correspondentes, respectivamente:
 --------------|---------------|---------------|---------------
 Q Q Q  
40
Exemplo 1: Amostra: 6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36
 Amostra ordenada: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49
  15
 2 40
 3 43
Exemplo 2: Amostra ordenada: 7, 15, 36, 39, 40, 41
  15
  2 39 36 37.5
 3 40
7.4.2 DECIS (D )i
Os Decis (D ) dividem o rol ou a distribuicao de freq. em 10 partes iguais.¸~i
 -----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----
 D D D D D D D D D    5 6 7 8 9
7.4.3 PERCENTIS (P )i
Os Percentis (P ) dividem o rol ou a distribuicao de freq. em 100 partes iguais.¸~i
 -----|-----|---------------|-------------------|-----|-----
 P P . . . P . . . P P   50 98 99
41
 A seguir são apresentados alguns dos percentis mais usados:
42
 Para os dados em rol, o cálculo das medidas separatrizes é dado por:
               
onde é a parte inteira de e a parte fracionária (ou decimal).   
43
2 Lista de Exercicios de Estatistica Descritiva´ ´a
1) Uma amostra de 20 trabalhadores na producao de uma pequena companhia apresentou os¸~
seguintes salarios para uma dada semana, em dolares:´ ´
$140 ; 140 ; 140 ; 140 ; 140 ; 140 ; 140 ; 140 ; 155 ; 155
 $165 ; 165 ; 180 ; 180 ; 200 ; 205 ; 225 ; 230 ; 240
Determinar a) media , mediana e moda´
 b) variancia , desvio-padrao e coeficiente de variacao^ ~ ~¸
 c) 1- e 3- quartis.o o
 d) Tabelar os dados acima e repetir os itens a) , b) e c).´
2) A tabela abaixo mostra a distribuicao, em toneladas, das cargas maximas suportadas por¸~ ´
certos cabos fabricados por uma companhia.
-----------------------------------------------
 Carga Maxima (ton.) N- de cabos´ o
 -----------------------------------------------
 9.3 -- 9.7 2
 9.7 -- 10.1 5
 10.1 -- 10.5 12
 10.5 -- 10.9 17
 10.9 -- 11.3 14
 11.3 -- 11.7 6
 11.7 -- 12.1 3
 12.1 -- 12.5 1
 -----------------------------------------------
 Total 60
Determinar: a) media , mediana e moda´
 b) variancia , desvio-padrao e coeficiente de variacao^ ~ ~¸
 c) 1- e 3- quartis.o o
 d) 4- decil e 80- percentilo o
3) Uma indu´stria de valvulas de televisao tem dois tipos de valvulas, A e B. As valvulas tem as´ ´ ´~ ^
duracoes medias de X = 1495 horas e X = 1875 horas, respectivamente, e os desvios¸~ ´
_ _
A B
padroes de S = 280 horas e S = 310 horas. Qual indu´stria produz valvulas mais~ ´A B
homogeneas?^
44
4) Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retangulos foram anotadas as frequencias^ ^
absolutas, localize a media, a mediana e a moda:´
5) Dada a figura a seguir (poligono de frequencia), o primeiro quartil da distribuicao sera?´ ^ ¸~ ´
6) A tabela seguinte fornece a distribuicao de frequencias das medicoes do nivel de calcio no¸ ¸~ ~^ ´ ´
soro (em mg/100ml) em uma amostra 15 adultos normais.
 Niveis de Frequencia´ ^
 Calcio____________________________´_____
 8,0----9,0 1 
 9,0----10,0 5 
 10,0----11,0 9 
 11,0----12,0 7 
 12,0----13,0 3__ _______________________________
 Total 25 
 Determinar as seguintes medidas: a) media´
 b) mediana
 c) moda
 d) variancia^
 e) Q , D e P 7 80
OBS: Q e o primeiro quartil D e o setimo decil P e o octagesimo percentil´ ´ ´ ´ ´ 7 80
45
7) Consideremos os seguintes dados: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 20
 Determine as medidas de tendencia central (media, moda e mediana) e a variancia.^ ^´
 Qual ou quais das medidas de tendencia central representam melhor os dados acima.^
8) Realiza-se uma prova de Estatistica para duas turmas, os resultados foram´
 os seguintes:
 -Turma A: X = 5 e = 2,5
_

 -Turma B: X = 4 e = 2
_

Qual turma que apresentou resultados mais homogeneos? Justifique.^
9) Em uma maternidade foram fornecidos os seguintes dados sobre peso, em quilos, de recem-´
nascidos prematuros:
 Peso ao nascer No. de prematuros 
 (em Kg) nascidos vivos_________ ____________________________________ __
 menos de 1,0 2 
 1,0---1,5 6
 1,5---2,0 9
 2,0---2,5 5
 mais de 2,5 3 ______________ _________________________________
 Total 25
Que medida de tendencia central descreve mais adequadamente a distribuicao?^ ¸~
Justifique sua resposta.
10) Na tabela abaixo estao os resultados de um teste psicologico aplicado a 200 adolescente:~ ´
 Pontos Frequencia^
 14,5 --- 24,5 10
 24,5 --- 29,5 24
 29,5 --- 34,5 38
 34,5 --- 39,5 54
 39,5 --- 44,5 22
 44,5 --- 49,5 18
 49,5 --- 54,5 22
 54,5 --- 59,5 12
 Total 200
 a) Quantos pontos, no minimo, o adolescente deve obter para que fique entre os 100´
melhores?
 b) Quantos pontos, no minimo, o adolescente deve obter para se classificar entre os 25%´
melhores?

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