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Energia Cinética, Trabalho e Teorema Trabalho-Energia Cinética

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Biotecnologia
ENERGIA
A energia é uma grandeza escalar, ou seja, possui intensidade e não possui direção e sentido. 
Ela é armazenada sob diferentes formas na natureza, como energia química, nuclear, cinética 
(energia armazenada no movimento), potencial (energia associada às posições relativas dos 
objetos), ...
ENERGIA CINÉTICA (K)
Energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um corpo. Quanto mais 
rapidamente um corpo estiver se movendo, maior será sua energia cinética.
Define-se a energia cinética de um objeto de massa m e velocidade v como sendo
K = 1
2
mv 2 .
Nota-se que se trata de uma grandeza escalar e sempre positiva, pois a velocidade na 
expressão aparece ao quadrado.
Unidade no Sistema Internacional de Unidades (SI): como todo tipo de energia, a energia 
cinética possui como unidade no SI o joule, simbolizado por J. 
O joule é definido como sendo a unidade de força (newton N) vezes a unidade de 
deslocamento (metro m). Assim, 1 N.m = 1 J.
TRABALHO (W)
O trabalho mecânico W é realizado por uma força sobre um corpo, alterando seu estado de 
energia.
Considere um corpo em movimento, e sobre ele age uma força. Se, a partir disso, a energia 
cinética do corpo aumentar, diz-se que houve transferência de energia do agente da força para o 
corpo; se a energia cinética do corpo diminuir, diz-se que houve transferência de energia do corpo 
para o agente da força.
O trabalho não é uma forma de energia, e sim uma grandeza relacionada à transferência de 
energia.
Unidade de trabalho no SI: joule, assim como as formas de energia.
Expressão para o trabalho:
Considere um corpo de massa m que se desloca na horizontal, como na figura abaixo. Num 
instante inicial, ele possui velocidade inicial vi e energia cinética Ki. Em instante posterior (final), 
possui velocidade final vf e energia cinética Kf.
 instante inicial instante final 
 v i v f 
 m m 
A mudança de velocidade do corpo, de vi para vf, deve-se à atuação sobre ele de uma força 
constante F, a qual é apresentada na figura a seguir. O deslocamento do corpo entre os instantes 
inicial e final é d e, na figura, tem orientação para a direita.
 instante inicial instante final 
 v i F v f 
 
 m m 
 d
A força F age sobre o corpo fazendo um ângulo ϕ com o deslocamento d. A expressão para o 
trabalho realizado por esta força F sobre o corpo que se desloca por uma distância d é
W = F d cos . 
Nota-se que a força F e o deslocamento d aparecem em módulo na expressão para o trabalho 
W, colaborando portanto com sinal positivo. No entanto, o trabalho pode ter valor negativo, o que é 
determinado pelo cosseno na expressão.
Se o trabalho for positivo, significa que houve transferência de energia do agente da força 
para o corpo; se o trabalho for negativo, houve transferência de energia do corpo de massa m para o 
agente da força.
Exemplo: Um bloco se desloca sob a ação da força de intensidade F = 6 N e da força de 
atrito de módulo Fa = 2 N, como indica a figura abaixo. 
 F F
 instante inicial instante final
 60 ° 60 °
 
 F a F a
 d
(a) Calcule o trabalho realizado por essas forças quando o bloco se desloca 1 m. 
(b) Calcule o trabalho total realizado sobre o bloco.
Solução:
(a) trabalho realizado por F: W F = F d cos60 ° = 6N 1m 0,5 = 3 J
 trabalho realizado por Fa: W F a = F d cos 180° = 2N1m−1 = −2 J
(b) trabalho total: W total = W F  W Fa = 3 J  −2 J  = 1 J
Qual o trabalho realizado pela força peso sobre o bloco do exemplo acima?
TEOREMA TRABALHO-ENERGIA CINÉTICA
Quando apresentamos a expressão para o trabalho, W=F d cos , dissemos que a energia 
cinética do corpo se alterava de um valor inicial Ki para um valor final Kf, devido à ação da força F. 
O Teorema Trabalho-Energia Cinética estabelece que esta variação da energia cinética (Kf – Ki) 
vale o trabalho realizado sobre o corpo, ou seja,
W = K f−K i ,
ou, expressando a variação da energia cinética como K = K f −K i , obtém-se
W = K .
Exemplo: Considere, no exemplo anterior, que o bloco está inicialmente em repouso. Qual é 
a sua velocidade final após percorrer a distância de 1 m, se possui massa de 2 kg?
Solução: Através do teorema do Trabalho-Energia Cinética, relacionamos o trabalho de 1 J 
realizado sobre o corpo com a variação da energia cinética:
W = K f−K i  1 J = K f−K i
A seguir, calculamos a energia cinética inicial, sabendo que no início o bloco estava em 
repouso, isto é, tinha velocidade inicial nula, vi = 0:
K i =
1
2
mv i
2=1
2
2 kg 02 = 0
Com isso, obtemos a energia cinética final:
1 J = K f −K i  1 J = K f −0  K f = 1 J
Finalmente, através da energia cinética final obtemos a velocidade final do bloco:
K f =
1
2
m v f
2  1 J = 1
2
2 kg v f
2  v f
2 = 1  v f = 1
m
s
POTÊNCIA
A potência está relacionada com a rapidez com que um trabalho pode ser executado. Quanto 
mais rápido um trabalho pode ser realizado por uma força, maior é a potência devido a esta força.
Se uma quantidade de trabalho W é executada num intervalo de tempo Δt, a potência média 
devido à força durante este intervalo é dada por
Pméd =
W
 t .
Unidade no Sistema Internacional de Unidades (SI): a unidade de potência no SI é a divisão 
da unidade de trabalho (joule) pela unidade de tempo (segundo), denominada watt, e é simbolizada 
por W. Portanto, 1 W = 1 J/s.
Uma unidade de energia bastante usada, que não pertence ao SI, e que envolve a unidade 
watt é o quilowatt.hora. Como o prefixo quilo é simbolizado por k, salientamos que 1 
quilowatt.hora = 1 kW.h = (1000 W)(3600 s) = 3,6 × 106 W.s = 3,6 MJ, onde M é o símbolo para o 
prefixo mega, que vale 106 = 1.000.000.
ENERGIA POTENCIAL (U)
A energia potencial é a energia associada às posições relativas de um sistema de objetos. 
Ela pode ser do tipo gravitacional, quando os objetos do sistema se atraem através de forças 
gravitacionais, e pode ser elástica, se a energia está associada à compressão ou alongamento de um 
objeto elástico. Há ainda a energia potencial elétrica, quando é através de forças elétricas que os 
objetos do sistema interagem entre si.
Energia Potencial Gravitacional (U)
A atração gravitacional de um objeto pela Terra tem associada uma energia potencial 
gravitacional.
 y1 
 y2y3 
 y4 
 y = 0
 solo (Terra) 
Na figura acima, mostra-se uma bola caindo pelos degraus de uma escada. À medida que a 
bola perde altura, a energia potencial gravitacional do sistema bola-Terra diminui.
Uma expressão para energia potencial gravitacional de um sistema do tipo Terra-objeto é 
dada por
U=m g y ,
sendo que m é a massa do objeto, y é a distância que separa o objeto da superfície da terra, e g é a 
aceleração da gravidade, com valor constante g = 10 m/s2.
Escolhemos o solo (chão) para a origem do eixo y (y = 0), onde também U = 0. 
Energia Potencial Elástica (U)
A energia potencial elástica costuma ser introduzida a partir de um sistema massa-mola 
como o da figura que segue.
 mola de constante elástica k 
 objeto de massa m 
 x
 sem atrito entre objeto e piso 
 x = 0 (posição de equilíbrio)
A expressão para a energia potencial elástica deste sistema é dada por
U x =1
2
k x2 ,
onde k é a constante elástica da mola (característica para cada mola) e x é a distância entre a posição 
onde a massa está em equilíbrio (sem ação de força elástica) e sua posição em determinado instante.
Energia Potencial Elétrica (Ue)
A interação entre cargas elétricas tem associada uma energia potencial elétrica. Um sistema 
composto por dois átomos que se reúnem para formar molécula diatômica possuem energia 
potencial que depende da posição relativa r entre eles. 
No gráfico abaixo, representa-se a energia potencial elétrica de molécula diatômica.
 Ue
 átomo 1 átomo 2
 
 r0 r r
No gráfico acima, apontou-se que a menor energia potencial elétrica do sistema é quando os 
átomos estão separados por uma distância r0. Esta é situação de equilíbrio do sistema. Pelas 
semelhanças entre este sistema e o sistema massa-mola, usam-se os resultados deste último para 
estudar sistemas mais complexos com interação entre átomos.
Todas as formas de energia química são basicamente de natureza elétrica. Cada molécula 
possui uma energia potencial elétrica que depende da posição relativa dos átomos que a formam. 
Numa reação química, os átomos recombinam suas posições, liberando ou absorvendo energia. 
As plantas armazenam energia através de reações químicas produzidas pela absorção de 
energia solar.
Exemplo: Calcule a energia potencial gravitacional do sistema bola-Terra, em cada vez que a 
bola bate na escada, conforme figura abaixo. A massa da bola é de 0,5 kg, e cada degrau mede 15 
cm de altura.
 (a) Ua = mgya = (0,5 kg)(10 m/s2)(5x0,15m) = 
 y = 3,75 J
 (b) Ub = mgyb = (0,5 kg)(10 m/s2)(4x0,15m) = 
 (a) 5º degrau = 3 J
 (b) 4º degrau (c) Uc = mgyc = (0,5 kg)(10 m/s2)(2x0,15m) = 
 = 1,5 J
 3º degrau
 (d) Ud = mgyd = 
 = (0,5 kg)(10 m/s2)(0x0,15m)
 (c) 2º degrau = 0 J
 1º degrau
 (d) 15 cm
 0 chão
Calcule também a variação da energia potencial do sistema bola-Terra, entre as posições da 
bola no quarto degrau e no segundo degrau, e entre as posições no quinto degrau e no chão.
Entre o quarto e o segundo degrau:
 ΔU = Uf – Ui = U2º degrau – U4º degrau = Uc – Ub = 1,5 J – 3 J = - 1,5 J
Entre o quinto degrau e o segundo chão:
 ΔU = Uf – Ui = Uchão – U5º degrau = Ud – Ua = 0 J – 3,75 J = - 3,75 J
Se a bola fosse jogada do chão para o quarto degrau, qual a variação da energia potencial 
neste caso?
 ΔU = Uf – Ui = U4º degrau – Uchão = Ub – Ua = 3 J – 0 J = 3 J
A energia potencial é nula onde é nulo o valor de y. Como a escolha do eixo y é arbitrária, o 
valor da energia potencial U calculada em algum ponto deste eixo não possui significado físico. De 
fato, o significado físico só está contido no valor da variação da energia potencial ΔU, o qual não 
depende da escolha do eixo y.
A relação entre o trabalho executado por determinada força ao longo de um deslocamento e 
a variação da energia potencial correspondente é dada por 
W = −U .
CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
A conservação de energia ocorre em sistemas isolados, isto é, sistemas em que não pode 
haver transferência de energia para ele ou retirada dele.
Como se conserva, a energia não sofre variações no valor total, ou seja,
E = 0 .
A lei da conservação de energia é enunciada como segue:
“ A energia total E de um sistema isolado não pode variar.”
Ou também
“Num sistema isolado, a energia pode ser transformada de uma forma para outra, mas a 
energia total do sistema permanece a mesma.”
CONSERVAÇÃO DE ENERGIA MECÂNICA
A energia mecânica Emec de um sistema é a soma das energias cinética e potencial dos corpos 
que compõem o sistema.
Emec = U  K
Exemplo: Considere uma bola com massa m = 0,5 kg caindo de uma posição inicial yi = 1,25 
m, onde está em repouso, até uma final, que será o chão, onde atinge a velocidade de 5 m/s. Vamos 
desconsiderar a resistência do ar, para que o sistema seja considerado isolado. Na figura a seguir, 
ilustra-se esta situação.
 y 
 
 instante inicial
 yi vi = 0 (parte do repouso)
 instante final
 yf = 0 vf > 0
 chão
- energias cinética e potencial no instante inicial: 
Ki = 0, pois vi = 0;
Ui = mgyi = (0,5 kg)(10 m/s2)(1,25 m) = 6,25 J
 -energias cinética e potencial no instante final:
Kf = (1/2)mv2 = (1/2)(0,5 kg)(5 m/s) = 6,25 J;
Ui = mgyi = 0, pois yi = 0
Nota-se que o valor da energia mecânica inicial (Emec)i = Ui + Ki = 6,25 J + 0 J = 6,25 J é o 
mesmo da energia mecânica final (Emec)f = Uf + Kf = 0 J + 6,25 J = 6,25 J. 
Assim, a energia mecânicase conservou, pois ΔE = (Emec)f – (Emec)i = 6,25 J – 6,25 J = 0.
Nota-se também que a energia potencial inicial Ui é igual à energia cinética final Kf. 
Interpreta-se este resultado como tendo ocorrido uma transformação de energia, da forma potencial 
para a cinética, à medida que a bola saiu de sua situação inicial e encaminhou-se para a situação 
final.
Exemplo: Calcular a energia cinética de uma bola a 50 cm do solo, se quando ela estava 
caindo a 2 m do solo sua velocidade era de 5 m/s. A massa da bola é de 0,8 kg.
Solução: Usamos lei da conservação de energia.
E = 0
Emec f − Emeci = 0
U f  K f  − U i  K i = 0
U f  K f − U i − K i = 0
Calculando estas energias:
U i = mgyi = 0,8 kg 10 m / s
22 m = 16 J
K i =
1
2
mv i
2 = 1
2
0,8kg 5m / s2 = 10 J
U f = mgy f = 0,8kg 10m / s
20,5 m = 4 J
Substituindo estes valores de energias na lei de conservação:
4 J  K f − 16 J − 10 J = 0
K f = 22 J
Nota que, com este valor da energia cinética, podemos obter a velocidade a 50 cm do solo.

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