CVVOC - Aula 2

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CVVOC 
 
08/03 – AULA 02 – James Stewart – CAP 14 = DERIVADAS PARCIAIS 
Ex. 30, 37 ao 44, 45, 46, 53 ao 58 Profa Silvania 
 
 
Ex30. Relacione a função dado os gráficos e, a seguir, justifique: 
 
 
 
 
 
a) 
yxy)f(x, 
 = VI 
Como tanto x como y estão em 
módulo, a função só terá 
projeções positivas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
y xy)f(x, 
 = V 
Se x=0, z=0 ou se y=0, z=0 
 
 
 
 
 
 
c) 
22
yx1
1
y)f(x,


 = I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
222 )y(xy)f(x, 
 = IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
2y)(xy)f(x, 
 = II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
)yxsen(y)f(x, 
 = III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex37-44. Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de nível: 
 
37. f(x,y) = xy 
As curvas de nível são xy=k. Para k=0 as curvas 
correspondem aos eixos x e y; se k>0, as curvas 
correspondem a hipérboles no 1º e 3º quadrantes; se 
k<0, as hipérboles estarão no 2º e 4º quadrantes. 
 
38. f(x,y) = x2-y2 
As curvas de nível são k=x2-y2. Para k=0 as curvas 
correspondem a y=±x; se k>0, as curvas correspondem 
a hipérboles cortando os eixos ±x; se k<0, as hipérboles 
estarão cortando os eixos ±y. 
 
 
 
 
 
39. f(x,y) = y – ln x 
As curvas de nível são y – ln x = k ou y = ln x + k 
 
 
40. f(x,y) = ex/y 
As curvas de nível são ex/y= k ou equivalentemente y = 
x ln k (x≠0), que corresponde a uma família de linhas 
com inclinação ln k (k>0) exceto a origem. 
 
 
 
 
 
41. f(x,y) = x+y 
As curvas de nível são k=x+y desde que x+y≥0. Logo 
k2=x+y, ou y=-x+k. 
 
 
42. f(x,y) = y sec x 
As curvas de nível são k=ysecx ou y=kcosx desde que 


n
2
x 
onde n é um número inteiro. 
 
 
43. f(x,y) = x-y2 
As curvas de nível são k=x-y2 ou y2=x-k correspondem a 
uma família de parábolas com vértice em (k,0). 
 
 
 
 
44. f(x,y) = y/(x2+y2) 
Se k=y/(x2+y2)  x2+y2-y/k=0  x2+(y-1/2k)2=1/4k2, as 
curvas de nível correspondem a uma família de círculos 
com centro (0,1/2k) e raio 1/2k (exceto a origem). 
 
 
Ex45-46. Faça o esboço do diagrama de contornos, do gráfico da função e, a seguir, compare-os: 
Ex 45. f(x,y) = x2 + 9y2 
O mapa de contorno consiste nas curvas de nível k=x2+9y2, uma família de 
elipses onde para k=0 corresponde à origem. 
 
O gráfico f(x,y) é a superfície z=x2+9y2, uma parabolóide elíptica.Se nós 
visualizarmos a elevação de cada elipse k=x2+9y2 do mapa de contorno para o 
plano z=k, teremos um traço horizontal que indica a forma do gráfico da 
função.  
 
Ex 46. 2
4y-
2
9x-36y)f(x, 
 
O mapa de contorno consiste nas curvas de nível 
k=36-9x2-4y2  9x2+4y2 =36-k2, k≥0, uma família de 
elipses onde para k=6 corresponde à origem. 
 
 
 
O gráfico f(x,y) é a superfície z=36-9x2-4y2, uma semi 
elipsóide. Se nós visualizarmos a elevação de cada 
elipse k=36-9x2-4y2 do mapa de contorno para o 
plano z=k, teremos um traço horizontal que indica a 
forma do gráfico da função. 
 
 
Ex53-58. Case a função (a) com seu gráfico (indicado por A-F na página 899) e (b) com seus mapas de contorno 
(indicados por I-VI). Dê razões para sua escolha. 
 
53. 22
yx senz 
 
 
Justificativa: esta função é constante em qualquer círculo centrado na origem (0,0), uma descrição que 
corresponda só B e III. 
 
 
54. 2222 yxeyxz  
 
Justificativa: esta função é a mesma, se trocarmos x com y, assim seu gráfico é simétrico em relação ao plano 
x = y. Também z (0,0) = 0, e os valores abordados, como usar os pontos mais distantes da origem. Estas 
condições são preenchidas apenas por C e II. 
 
 
55. 
22 4yx
1
z


 
 
Justificativa: a função aumenta sem limites como usamos pontos mais próximos à origem, uma condição 
preenchida apenas por F e V. 
 
 
56. 
23xyxz 3 
 
 
Justificativa: ao longo das linhas y=±1/3 e x=0, esta função é 0, uma condição preenchida apenas por A e VI. 
57. 
y sen x senz 
 
 
Justificativa: esta função é periódica tanto em x quanto em y, com período 2 em cada variável, uma 
descrição que corresponda só a D e IV. 
58. 
4
y
xsenz
2
2 
 
 
Justificativa: esta função é periódica ao longo do eixo-x e aumenta à medida que 
y
aumenta, uma descrição 
que corresponda só a E e I.