DISCIPLINA DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS

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Mecânica dos Sólidos 2013
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Mecânica dos Sólidos 2013
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UNIVERSIDADE DO ZAMBEZE
CURSO DE MECATRÔNICA
2O ANO
DOCENTE: JOSÉ ZECA,
 
ENGO Mecanico FEUP 1992
Msc Planeamento e Desenvolvimento Regional 2010-UCM 
contacto 82 ou 845782820 
email: zezeca07@yahoo.com.br
zezeca07@gmail.com
DISCIPLINA DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Mecânica dos Sólidos 2013
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Mecânica dos Sólidos 2013
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Mecânica dos Sólidos 2013
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Programa da disciplina de Mecanica dos Solidos 2013
Introdução. Noções e Axiomas fundamentais;
Sistemas de forças de equilíbrio;
Cálculo de estruturas isostáticas;
Treliças no plano e no espaco. Centro de Gravidade;
Trajectória, velocidade e aceleração do ponto material;
Movimento composto dum ponto;
Cinemática do corpo sólido;
Dinámica do ponto material livre e ligado;
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Programa da disciplina de Mecanica dos Solidos 2013
Equações diferenciais de movimentos;
Moimento oscilatório;
Os momentos de inércia do corpo rigido;
Teoremas gerais da dinâmica; 
Dinâmica do movimento do sólido rígido;
Elementos de Mecânica Analítica;
Princípio de D‘Alembert e deslocamentos virtuais;
Equação geral da dinâmica. Equações de Lagrange.
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Equilíbrio dos Sistemas de forças 
(Aplicados ao ponto e aos sólidos) 
Introdução:
Dentre todos os fenómenos físicos, os do movimento, pela sua simplicidade, são os que mais se destacam. Além de mais simples, os fenómenos do movimento têm importância fundamental porque servem de explicação a inúmeros outros: o calor, o som e a própria luz são consequências de movimentos 'ocultos' à nossa percepção. 
A parte da Física que estuda o movimento e suas causas chama-se Mecânica. Didaticamente, reserva-se a denominação Cinemática, para o estudo dos movimentos e Dinâmica, para o estudo de suas causas.
 
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Equilíbrio dos Sistemas de forças 
(Aplicados ao ponto e aos sólidos)
Um caso particular de movimento é o repouso --- movimento nulo. Há repouso quando os agentes causadores do movimento se compensam ou equilibram. Daí se dizer que um corpo em repouso está em equilíbrio. A parte da Mecânica que estuda as condições em que há equilíbrio chama-se Estática. 
Segundo o estado de agregação da matéria (no corpo em estudo), variam as condições de equilíbrio, e temos: a estática dos sólidos, dos líquidos e a dos gases. 
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Equilíbrio dos Sistemas de forças 
(Aplicados ao ponto e aos sólidos)
1. Noção elementar de força Essa noção está associada ao esforço muscular, no acto de empurrar ou puxar um objecto.
 
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Equilíbrio dos Sistemas de forças 
(Aplicados ao ponto e aos sólidos)
2. Noção física de força 
Força é o agente físico, de características vectoriais, responsável pelas deformações dos corpos (conceito estático) ou pela modificação de seus estados de repouso ou movimento (conceito dinâmico).
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Equilíbrio dos Sistemas de forças 
(Aplicados ao ponto e aos sólidos)
Exemplo de noção física da força
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Equilíbrio dos Sistemas de forças 
(Aplicados ao ponto e aos sólidos)
3. Classificação das forças quanto à natureza Quanto à natureza do agente que a determina, classificamos em: 
a) força muscular - (pela mão); b) força gravitacional - (força peso); c) força magnética - (pelos ímãs e eletroímãs); d) força eletrostática - (pelas cargas elétricas em repouso); e) força eletromagnética - (pelas correntes elétricas); f) força elástica - (pelas molas e fluidos sob pressão); g) etc.
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	Cargas externas e esforços em estruturas isostáticas
Vigas
Definição:
As vigas são peças lineares, definidos como, uma peça em que uma das dimensões é consideravelmente superior às outras duas e
que pode ser encarada como gerada por uma figura geométrica plana que se desloca ao longo de uma linha recta ou curva, mantendo-se perpendicular a essa linha.
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vigas
Normalmente as vigas são barras prismáticas, longos de eixo rectilíneo e secção transversal constante fig1.
A análise das vigas têm como objectivo o cálculo das reacções externas e os esforços internos.
Classificação das vigas de acordo como são apoiadas:
Vigas isostáticas: viga simplesmente apoiada, viga simplesmente apoiada com consola e viga em consola Fig 3
Vigas hiperstáticas: viga bi-encastrada, viga encastrada-simplesmente apoiada e viga contínua. Fig4
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Cálculo das Reacções Externas nas vigas
As reacções externas (reacções nos apoios causadas por cargas externas fig2) podem ser determinadas a partir do diagrama de corpo livre da viga/estrutura (fig 8 d), sempre que a viga/estrutura é globalmente isostática.
é fundamental que um sistema estrutural esteja em equilíbrio e seja estável
Este equilíbrio vai depender das cargas ou acções que actuam na estrutura e das reações que os vínculos das estruturas proporcionam
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Cálculo das Reacções Externas nas vigas
Portanto, é necessário reconhecer estes vínculos e os tipos de força ou reação que cada um vai admitir.
Tipos de vínculos:
1	Articulado Movel Fig 5
2	Articulado Fixo Fig 6
3	Encastramento Fig 7
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Cálculo das Reacções Externas nas vigas
As acções que actuam sobre as vigas (representáveis por forças e/ou momentos) podem ser: 
1	concentradas ou 
2	distribuídas. Fig 2 e tabela 1
Equacoes de Equilibrio
 somatória de todas as cargas na horizontal igual a zero (2.1) 
 somatória de todas as cargas na vertical igual a zero (2.2) 
 somatória de todos os momentos fletores igual a zero (2.3)
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Calculo de esforcos internos da viga numa seccao transversal
Conhecidas as forças de acção e reacção que solicitam uma viga, interesse agora determinar como estas cargas actuam numa secção transversal arbitrária, com vista a verificação da segurança. 
Se uma viga está em equilíbrio sob acção das forças actuantes e as reacções qualquer parte da viga obtida fazendo um corte pelo um ponto que pertence a viga está em equilíbrio se além destas forças se adicionam as forças de ligação da outra parte. 
As forças de ligação da outra parte através da secção que as separa e chamam-se esforços numa secção. Fig 8
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Calculo de esforcos internos da viga numa seccao transversal
As forças de ligação internas existentes no ponto C Fig8 podem ser determinadas pelo método das secções: fazendo um corte pela viga e representando as forças de ligação correspondentes a um encastramento.
Como as forças internas correspondem a ligação entre partes de um corpo rígido (viga) estes representam os esforços na secção transversal C, isto é:
A força reacção HC chama-se esforço normal, a linha de acção coincide com o eixo da viga;
A força reacção vertical VC representa o esforço de corte ou esforço transverso cuja linha de acção é normal a eixo da viga; 
O momento (reacção) MC é o esforço momento flector.
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Calculo de esforcos internos da viga numa seccao transversal
Convenção dos sinais
Para estabelecer a convenção dos sinais dos esforços considere-se uma secção transversal numa barra, obtida com a intersecção com um plano normal ao eixo da barra.
Os sentidos positivos dos esforços são representados nas faces positivos (esquerda) e negativos (direita) das secções para o caso 3D e plano. Fig9
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Diagramas de esforços
Para verificar a segurança de uma viga/estrutura é necessário conhecer qual é a secção em que actuam os esforços mais elevados.
Esta tarefa é facilitada com o traçado da variação dos esforços ao longo do eixo da viga, obtendo-se os diagramas dos esforços
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Diagramas de esforço transverso e momento flector
Metodologia de resolução dos problemas
Para traçar os diagramas dos esforços numa viga, devem ser seguidos os seguintes passos:
1. Identificar o sentido positivo do eixo (x3 ou z);
2. Desenhar o diagrama de corpo livre da viga e utilizar esse diagrama para calcular as reacções;
3. Considerar uma secção arbitrária S a uma distância x ao longo do eixo da viga para cada intervalo de configuração constante das forças exteriores (aplicadas e reacções) e fazer corte através deste ponto. Para cada intervalo e ponto:
 
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Diagramas de esforço transverso e momento flector
Metodologia de resolução dos problemas,Continuacao
-Escolher a parte à esquerda ou à direita da secção S (normalmente escolha-se a parte mais conveniente) e desenhar o diagrama do corpo livre correspondente, representando as forças exteriores actuantes e as forças interiores (esforços) em S.
	 -Utilizar esse diagrama para determinar os esforços na secção S em função da sua posição x, tendo em conta os sinais positivos de cada esforço.
Para obter os diagramas dos esforços representam-se as funções obtidas para cada intervalo.
Veja exemplos: pag 27
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Treliças
As treliças são um tipo de estrutura usado em engenharia normalmente em projectos de pontes e edifícios. Uma treliça é uma estrutura composta de barras rectas articuladas nas juntas. 
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Treliças
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Treliças
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Treliças
Uma das vantagens dos sistemas estruturais treliçados:
-	Estruturas planas e espaciais muito leves
-	As treliças são constituídas pela associação de barras que são unidas umas as outras em pontos chamados de nós, e que formam figuras geométricas estáveis. 
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Treliças
Do ponto de vista estático as treliças funcionam através de esforços simples de tracção ou compressão das barras 
É importante também entender que as cargas ou acções devem ser sempre aplicadas nos nós das treliças para evitar que as barras sejam submetidas à flexão.
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Treliças
Hipóteses de Cálculo: 
1) As barras que formam a treliça ligam-se por meio de articulações sem atrito. 
2) As cargas e as reacções são aplicadas somente nos nós da treliça. 
3) O eixo de cada barra coincide com a recta que une os centros das articulações nas extremidades. 
4) As barras são solicitadas somente por esforço normal.
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Treliças
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Condição necessária, mas não suficiente, para que uma treliça seja isostática: 
2n = b + v 
n = número de nós na treliça, incluindo os vínculos externos; 
b = número de barras da treliça; 
v = número total de reacções dos vínculos externos; 
b + v indica o número de incógnitas do problema. 
Logo, a condição necessária é de que o número de equações seja igual ao número de incógnitas 
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Exemplo:
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Enquanto a treliça da esquerda é isostática, a da direita não o é, pois a malha BCFE é deformável (hipostática), não tendo condições de permanecer em equilíbrio (a não ser sob carregamentos particulares). O trecho ABED é hiperestático. 
Assim, a condição “2n = b + v” é necessária, mas não suficiente, pois além de verificada esta condição é preciso que as malhas sejam triangulares.
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Existem muitos métodos que permitem determinar os esforços internos nas barras das treliças. 
-“Processo de Cremona e
-“Métodos dos Nós”. (vamos usar este).
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Métodos dos Nós
Depois de conhecido o carregamento actuante no sistema treliçado é necessário determinar as reacções de apoio da treliça. 
Para determinação dos esforços internos, tracção ou compressão, nas barras das treliças é necessário considerar os nós individualmente e aplicar as equações de equilíbrio no nó em questão. 
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Notar que os sistemas concêntricos de forças os nós devem ter no máximo duas barras com esforços desconhecidos de cada vez. 
Portanto, para solucionar os esforços internos nas barras das treliças é necessário iniciar o cálculo por um nó que tenha no máximo duas barras de esforços desconhecidos. 
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
O desenho do sistema de forças em cada nó é um recurso que facilita a visualização das cargas que chegam e saem do nó em questão 
Calcula-se o equilíbrio das forças no nó usando as duas condições de equilíbrio 
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
∑Fx=0 (Somat. das forças na horizontal é igual a 0). (2.4)
∑Fy=0 (Somat. das forças na veritical igual a 0). (2.5)
O método dos nós determina o sentido dos esforços internos das barras de um sistema treliçado. Entretanto, é recomendável que o sentido dos esforços desconhecidos seja previsto observando as condições do nó em questão. 
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
1 - Aplicando as equações da estática (2.1), (2.2) e (2.3), para determinação das reacções de apoio: 
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2. Começando por um nó com no máximo duas barras, o nó “A” por exemplo.
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Decompondo FAE nos eixos x e y: 
x 0,707xFAE ; 
y 0,707xFAE
Usando as equações de equilíbrio (2.4) e (2.5): 
∑ Fx = 0 :0,707xFAE + FAB = 0 :FAB = -0.707xFAE = - 0.707x(-5,30) = 3,75 kN 
∑ Fy = 0 :3,75 + 0,707.FAE = 0 : FAE = -3,75/0,707 = -5,30 kN 
3 – Solucionando outro nó com no máximo duas forças desconhecidas, o nó “E” por exemplo, 
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Decompondo as cargas 5,30 kN e FEB nos eixos x e y: 
x 5,30x0,707 = 3,75 e 0,707xFEB ; 
y 5,30x0,707 = 3,75 e 0,707.FEB 
- Usando as equações de equilíbrio (2.4) e (2.5) 
∑ Fx = 0 :3,75 + 0,707xFEB + FEF = 0 :FEF = – 3,75 – 0.707x2,475 = – 5,50 kN 
∑ Fy = 0 :3,75 – 2 – 0,707.FEB = 0 FEB = 1,75/0,707 = 2,475 kN 
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4 – Solucionando outro nó com no máximo duas forças desconhecidas, o nó “B” por exemplo, 
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Decompondo as cargas 2,475 kN e FBF nos eixos x e y: 
x 2,475x0,707 = 1,75 e 0,707xFBF ; 
y 2,475x0,707 = 1,75 e 0,707xFBF 
Usando as equações de equilíbrio (2.4) e (2.5) 
∑Fx = 0 -3,75 - 1,75 + FBC + 0,707xFBF = 0 :FBC = 5,50 – 0,707x( –2,475)= 7,25 kN 
∑ Fy = 0 1,75 + 0,707xFBF = 0 :FBF = – 1,75/0,707 = – 2,475 kN 
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5. Solucionando o nó “F” 
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Decompondo as cargas 2,475 kN e FFC nos eixos x e y: 
x 2,475x0,707 = 1,75 e 0,707xFFC ; 
y  2,475x0,707 = 1,75 e 0,707xFFC 
Usando as equações de equilíbrio (2.4) e (2.5) 
∑Fx = 0 :5,50 + 1,75 + FFG + 0,707xFFC = 0 :FFG = –7,25 – 0,707x( -3,182) = – 5kN 
∑Fy = 0 :1,75 – 4 – 0,707xFFC = 0 :FFC = – 2,25/0,707 = – 3,182 kN 
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6.	Solucionando o nó “C” 
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Decompondo as cargas 3,182 kN e FCG nos eixos x e y: 
x 3,182x0,707 = 2,25 e 0,707xFCG ;
 y 3,182x0,707 = 2,25 e 0,707xFCG 
- Usando as equações de equilíbrio (2.4) e (2.5) 
∑Fx = 0 : – 7,25 + 2,25 + FCD + 0,707xFCG = 0 : FCD = 5 – 0,707x3,182 = 2,75kN 
∑Fy = 0 : – 2,25 + 0,707xFCG = 0 : FCG = 2,25/0,707 = 3,182 kN 
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Solucionando o nó “G” 
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TRELIÇAS ISOSTÁTICAS
Decompondo as cargas 3,182 kN e FGD nos eixos x e y: 
x 3,182x0,707 = 2,25 e 0,707.FGD ; 
y 3,182x0,707 = 2,25 e 0,707xFGD 
Usando as equações de equilíbrio (2.4) e (2.5) 
∑Fx = 0 : 5 + 1,5 - 2,25 + 0,707xFGD = 0 : FGD = – 4,25/0,707 = – 6,01kN 
∑Fy = 0 :– 2 – 2,25 – 0,707xFGD = 0 :FGD = – 4,25/0,707 = – 6,01 kN 
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Depois de calcular todos os esforços internos é interessante mostrar o desenho da treliça com todos eles, intensidade e sentido 
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