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Exercicio 3 Pf de uma viga simplesmente apoiada com um balanco

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1 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1012 – SEGURANÇA ESTRUTURAL Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Exercício resolvido – Determinação da probabilidade de falha (Pf) de uma 
viga simplesmente apoiada com uma extremidade em balanço submetida a cargas 
concentradas. 
 
A viga da Figura 1 é feita de aço ASTM A 36, com tensão de escoamento 
fy,k = 250000 kN/m2 = 250 MPa (valor característico inferior, correspondente ao 
quantil de 5%). A função densidade de probabilidade da tensão de escoamento (fy) 
do material é Normal (Gaussiana) e o desvio padrão vale: DPfy = 16640 kN/m2. 
Considerando que a tensão de escoamento (fy) do material é a única variável 
aleatória do problema, determinar: 
 a) O coeficiente de variação da tensão de escoamento (CVfy = DPfy / μfy); 
b) O valor da carga “P” para que o índice de confiabilidade (β) seja igual a 
3,72. Lembrar que a probabilidade de falha Pf = Φ ( - β ) = Prob [ fy ≤ σmax ]. 
 
 
 
 
 
Figura 1: Viga bi apoiada com uma extremidade em balanço. 
 
Solução: 
a) Para determinar o coeficiente de variação da tensão de escoamento do 
aço, primeiro deve ser determinado o seu valor médio ( fyμ ): 
fy(5%)fyky, . f σξ−μ= 
16640 . 1,645 250000 fy −μ= 
2
fy kN/m 277372,8 =μ 
 
2 m 2 m 1 m 
P (kN) P (kN) 
x z 
y 
40 cm 
12 cm 
y 
2 
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ECC 1012 – SEGURANÇA ESTRUTURAL Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Então, o coeficiente de variação CV deve ser calculado por: 
6% 0,06 
 277372,8 
 16640 
 
 
 CV
fy
fy
fy ===μ
σ= 
 
b) Inicialmente devem ser calculadas as reações nos apoios, através das 
equações da estática, e traçados os diagramas de esforço cortante e de momento 
fletor, em função de P (Figura 2), para que possam ser determinadas as tensões 
normais e de cisalhamento máximas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Configuração deformada, diagrama de esforço cortante e diagrama de momento fletor da 
viga bi apoiada com uma extremidade em balanço. 
 
– 1,00 P 
+ 0,50 P 
+ 0,25 P 
– 0,75 P 
+ 1,0 P 
0,25 P 1,75 P 
P P 
P P 
3 
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ECC 1012 – SEGURANÇA ESTRUTURAL Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Sendo σmax a tensão normal máxima que ocorre na viga, a probabilidade de 
falha Pf é: 
Pf = Prob [ fy ≤ σmax ] 
 
Como é dado no problema que o índice de confiabilidade β = 3,72, tem-se: 
Pf = Φ ( – β ) = Φ ( – 3,72) → da tabela de áreas da função normal padrão. 
 
Assim: 
Φ ( – 3,72) = 10–4 
 
Então: Pf = Prob [ fy ≤ σmax ] = 10–4. 
 
Para que a Pf seja igual a 10–4 = 0,0001 = 0,01% (ou a confiabilidade seja 
igual a 1 – 10–4 = 0,9999 = 99,99%), deve-se ter ξ = 3,72 (em valor absoluto): 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Função densidade de probabilidade normal (ou Gaussiana) da variável aleatória fy. 
 
fy(0,01%)fymax . σξ−μ=σ 
16640 . 3,72 277372,8 max −=σ 
2
max kN/m 215472 =σ 
σmax 
Frequência 
normalizada 
fy 
f.d.p. normal (ou Gaussiana) da VA fy com 
média μfy = 277372,8 
e desvio padrão σfy = 16640 
μfy = 277372,8 
Pf = 10–4 
Pf = área hachurada 
4 
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ECC 1012 – SEGURANÇA ESTRUTURAL Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Da resistência dos materiais, a tensão normal máxima σmax que pode ocorrer 
na viga, na seção com momento máximo, na fibra mais afastada da linha neutra, 
pode ser calculada por: 
 W
 M y. 
 I 
 M 
z
max
max
z
max
max ==σ 
onde: Iz é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo “z”; 
 ymax é a distância da fibra mais afastada até a linha neutra da seção 
transversal; 
 Wz = Iz / ymax é o módulo resistente (ou módulo de resistência) elástico da 
seção transversal. 
 
Para a seção transversal retangular com base b = 0,12 m e altura h = 0,40 m, 
têm-se: 
12
 h . b I
3
z = e 6
 h . b W
2
z = 
P . 312,5 
 
6
 0,40 . 0,12 
 P . 1 
 
6
 h . b 
 M 
W
 M y 
I
 M 22
max
z
max
max
z
max
max ====⋅=σ 
 
Então: 
kN 689,5 
 312,5 
 215472 
 312,5 
 P max ==σ= 
 
Conclusão: 
Para uma carga P = 689,5 kN aplicada sobre a viga do exercício, construída 
com aço ASTM A 36, cuja tensão de escoamento é a única V.A. do problema, com 
média μfy = 277372,8 kN/m2, CVfy = 6% e f.d.p. normal (ou Gaussiana), a 
probabilidade de ruína ou probabilidade de falha (Pf) será de 10–4 ou 0,01% e a 
confiabilidade será de 1 – 10–4 ou 99,99%. 
 
5 
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ECC 1012 – SEGURANÇA ESTRUTURAL Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Exercício para resolver 
 
Com o valor de P calculado no exercício anterior verificar se a tensão de 
cisalhamento de escoamento ( eτ ) não é ultrapassada pela tensão máxima de 
cisalhamento na viga ( maxτ ). 
Adotar: ye f 0,6 ⋅=τ , pois pelo critério de Von Mises: 
 . 3 0 f 2xyVMy τ+=σ= → ye f 3 
 1 =τ 
Então: ye f 0,6 ⋅≅τ 
 
Para determinar a tensão de cisalhamento máxima na viga, utilizar: 
 
 Q 
I b 
M
z
somax
max ⋅
⋅=τ 
onde: Qmax é o esforço cortante máximo na viga; 
 Mso é o momento estático da área acima ou abaixo da fibra em relação a 
linha neutra, na seção onde ocorre o Qmax; 
 b é a dimensão da base da seção transversal retangular; 
 Iz é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo “z”.

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