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1 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ECC 1012 – SEGURANÇA ESTRUTURAL Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM Exercício resolvido – Determinação da probabilidade de falha (Pf) de uma viga simplesmente apoiada com uma extremidade em balanço submetida a cargas concentradas. A viga da Figura 1 é feita de aço ASTM A 36, com tensão de escoamento fy,k = 250000 kN/m2 = 250 MPa (valor característico inferior, correspondente ao quantil de 5%). A função densidade de probabilidade da tensão de escoamento (fy) do material é Normal (Gaussiana) e o desvio padrão vale: DPfy = 16640 kN/m2. Considerando que a tensão de escoamento (fy) do material é a única variável aleatória do problema, determinar: a) O coeficiente de variação da tensão de escoamento (CVfy = DPfy / μfy); b) O valor da carga “P” para que o índice de confiabilidade (β) seja igual a 3,72. Lembrar que a probabilidade de falha Pf = Φ ( - β ) = Prob [ fy ≤ σmax ]. Figura 1: Viga bi apoiada com uma extremidade em balanço. Solução: a) Para determinar o coeficiente de variação da tensão de escoamento do aço, primeiro deve ser determinado o seu valor médio ( fyμ ): fy(5%)fyky, . f σξ−μ= 16640 . 1,645 250000 fy −μ= 2 fy kN/m 277372,8 =μ 2 m 2 m 1 m P (kN) P (kN) x z y 40 cm 12 cm y 2 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ECC 1012 – SEGURANÇA ESTRUTURAL Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM Então, o coeficiente de variação CV deve ser calculado por: 6% 0,06 277372,8 16640 CV fy fy fy ===μ σ= b) Inicialmente devem ser calculadas as reações nos apoios, através das equações da estática, e traçados os diagramas de esforço cortante e de momento fletor, em função de P (Figura 2), para que possam ser determinadas as tensões normais e de cisalhamento máximas. Figura 2: Configuração deformada, diagrama de esforço cortante e diagrama de momento fletor da viga bi apoiada com uma extremidade em balanço. – 1,00 P + 0,50 P + 0,25 P – 0,75 P + 1,0 P 0,25 P 1,75 P P P P P 3 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ECC 1012 – SEGURANÇA ESTRUTURAL Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM Sendo σmax a tensão normal máxima que ocorre na viga, a probabilidade de falha Pf é: Pf = Prob [ fy ≤ σmax ] Como é dado no problema que o índice de confiabilidade β = 3,72, tem-se: Pf = Φ ( – β ) = Φ ( – 3,72) → da tabela de áreas da função normal padrão. Assim: Φ ( – 3,72) = 10–4 Então: Pf = Prob [ fy ≤ σmax ] = 10–4. Para que a Pf seja igual a 10–4 = 0,0001 = 0,01% (ou a confiabilidade seja igual a 1 – 10–4 = 0,9999 = 99,99%), deve-se ter ξ = 3,72 (em valor absoluto): Figura 3: Função densidade de probabilidade normal (ou Gaussiana) da variável aleatória fy. fy(0,01%)fymax . σξ−μ=σ 16640 . 3,72 277372,8 max −=σ 2 max kN/m 215472 =σ σmax Frequência normalizada fy f.d.p. normal (ou Gaussiana) da VA fy com média μfy = 277372,8 e desvio padrão σfy = 16640 μfy = 277372,8 Pf = 10–4 Pf = área hachurada 4 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ECC 1012 – SEGURANÇA ESTRUTURAL Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM Da resistência dos materiais, a tensão normal máxima σmax que pode ocorrer na viga, na seção com momento máximo, na fibra mais afastada da linha neutra, pode ser calculada por: W M y. I M z max max z max max ==σ onde: Iz é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo “z”; ymax é a distância da fibra mais afastada até a linha neutra da seção transversal; Wz = Iz / ymax é o módulo resistente (ou módulo de resistência) elástico da seção transversal. Para a seção transversal retangular com base b = 0,12 m e altura h = 0,40 m, têm-se: 12 h . b I 3 z = e 6 h . b W 2 z = P . 312,5 6 0,40 . 0,12 P . 1 6 h . b M W M y I M 22 max z max max z max max ====⋅=σ Então: kN 689,5 312,5 215472 312,5 P max ==σ= Conclusão: Para uma carga P = 689,5 kN aplicada sobre a viga do exercício, construída com aço ASTM A 36, cuja tensão de escoamento é a única V.A. do problema, com média μfy = 277372,8 kN/m2, CVfy = 6% e f.d.p. normal (ou Gaussiana), a probabilidade de ruína ou probabilidade de falha (Pf) será de 10–4 ou 0,01% e a confiabilidade será de 1 – 10–4 ou 99,99%. 5 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ECC 1012 – SEGURANÇA ESTRUTURAL Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM Exercício para resolver Com o valor de P calculado no exercício anterior verificar se a tensão de cisalhamento de escoamento ( eτ ) não é ultrapassada pela tensão máxima de cisalhamento na viga ( maxτ ). Adotar: ye f 0,6 ⋅=τ , pois pelo critério de Von Mises: . 3 0 f 2xyVMy τ+=σ= → ye f 3 1 =τ Então: ye f 0,6 ⋅≅τ Para determinar a tensão de cisalhamento máxima na viga, utilizar: Q I b M z somax max ⋅ ⋅=τ onde: Qmax é o esforço cortante máximo na viga; Mso é o momento estático da área acima ou abaixo da fibra em relação a linha neutra, na seção onde ocorre o Qmax; b é a dimensão da base da seção transversal retangular; Iz é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo “z”.
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