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Cônicas Quádricas e Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

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4. Cônicas e Quádricas
4.1. Cônicas
As cônicas são curvas planas obtidas pela seção do cone
por planos. Por essa razão tais curvas são também
chamadas de seções cônicas.
 Iremos estudar as curvas citadas na figura abaixo:
Circunferência
 Elipse
 Parábola
 Hipérbole 
 De acordo com a posição do plano seccionador a curva
obtida pode ser elipse, parábola, circunferência ou
hipérbole.
 OBS:
 Consideramos cônicas no plano XOY.
4.2. Elipse
Sejam F1 e F2 pontos distintos tais que
d (F1,F2)=2c,c>0=||F1,F2|| e aER, a>c
Elipse é o lugar geométrico dos pontos
P=(x,y)+d(P1,F2)=2a
 y
 B2
 b. a
 0. a
F1. C F2. A2
A1
-a
Onde:
. F1 e F2 são os focos da elipse;
. 2c=d(F1,F2) é a distância focal;
. O ponto médio do segmento F1F2 é o centro da elipse;
. A1=(-a,0), A2=(a,0)
.B1=(completar)
.F1=(-c,0), F2=(c,0)
.A1, A2, B1, B2 são os vértices da elipse;
. A1A2, B1B2 são os eixos da elipse;
.||F1P||,||F2P|| são os raios focais;
. e=c/a<1 é a excentricidade da elipse
Equação explicita da elipse:
Considere F1=(-c,0), F2=(c,0), c>0 c,aER
Então
d(P1F1)+d(P1F2)=2a<=>d(P1F1)=||PF1||=
||F1-P||=||(-c,0)-(x,y)||
||(-c-x,-y)||= sqrt[(c+x)^2+y^2]
Sqrt[(x+c)^2+y^2]+sqrt[(x+c)^2+y^2]=2a
Onde:
a=semi-eixo maior e
b=semi-eixo menor
3) Excentricidade é um parâmetro associado a qualquer
cônico que mede o seu desvio em relação a circunferência.
 Circunferência: e=0
 Elipse: 0<e<1
 Parábola: e=1
 Hipérbole: e>1
Exemplos:
1) Escreva a equação da elipse sabendo-se que
 e o eixo maior mede 34.
2) Encontre a equação da elipse de focos F1=(-1,0),
F2=(1,0) e uma das vértices é (0, 2 )
4.2 - Elipse
semi-eixo maior = a
semi-eixo menor = b
distância focal = 2c
excentricidade = e= <1
a) Eixo maior no eixo OX:
b) Eixo maior no eixo OY:
Área=A=πab π=3,14
Circunferência 
 A circunferência de raio r>0 e centro C=(p,q) é o lugar
geométrico dos pontos P=(x,y) satisfazendo
 onde P pertence a circunferência
Isto é,
 Como já sabemos, a circunferência é um caso particular
de elipse.
 A equação da Elipse com centro na origem:
para circunferência: a=b=r
 A equação 1 é a equação da circunferência de C=(0,0)
e raio r=a=b.
 OBS: 1) Se F =F =C
então a circunferência é uma elipse de centro C e raio
r=a=b e além disso tem excentricidade nula, pois C=0
2) Equação paramétrica:
X=a+r cos(t)
Y=b+r sen(t)
3) Equação Geral:
4) Perímetro = p=2πr
 diâmetro = d=2r
Onde π=3,14
5) Círculo: É a área interna delimitada pela
circunferência
Área=πr
4.3 - Hipérbole 
 Sejam F e F pontos distintos tais que
 Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais
que
Onde:
. F e F são os focos;
 é a distância focal;
. O ponto médio de F F é o ponto médio da hipérbole.
A simplificação da equação
nos conduz a:
Representação geométrica:
Onde:
 São os vértices da
hipérbole
Obs: A equação
mostra que
 Isto é,
. Para x>0, a hipérbole esta abaixo da reta y=b/a x e
acima da reta y=-b/a x
. Para x<0, a hipérbole está abaixo da reta y=-b/a x e
acima da reta y=b/a x
Essa retas são assíntotas da hipérbole.
O estudo sobre hipérboles pode ser resumido como:
Eixo conjugado: Oy
Eixo transverso: OX
Retângulo Fundamental
Eixo conjugado: OX
Eixo transverso: OY
09/05/2012
4.4. Parábola 
 Sejam r uma reta e F um ponto, ambos do plano XOY.
 A parábola com diretriz r e foco F é o lugar geométrico
dos pontos P=(x,y) tais que d(P,r)=d(P,F).
 Parábola definida como o conjunto dos pontos que são
eqüidistantes devem ponto dado (foco) e de uma reta dada
(diretriz)
Onde:
F=foco
V=(0,0) vértice
r=diretriz
Equação da Parábola com
r:x=-a e F=(a,0),a>0 Sejam P =(-a,0), P =(-a,1)
e P=(x,y) Parábola
OBS: 1) Parábola possui eixo único de simetria reflexiva,
o qual passa através do seu foco (F) e é perpendicular a
diretriz (r).
2) OX é o eixo de simetria da parábola.
3) V=(0,0) é o vértice da parábola.
4) Gráfico
Outras equações:
2º Caso:
3º Caso:
4º caso:
Superfícies quadráticas 
 As quadráticas são superfícies do espaço XOYOZ
(tridimensional) obtidas pelo estudo da equação geral do
segundo grau:
onde A,B,C,D,E,F,G,H,I,J são constantes fixadas.
 De acordo com os valores atribuídos as constantes
A,B,C,D,E,F,G,H,I, J as superfícies quadráticas podem ser:
4.5. Cilindros;
4.6. Superfície de revolução;
4.7. Elipsoide;
4.8 e 4.9. Dois tipos de Hiperbolóides;
4.10 e 4.11. Dois tipos de Parabolóides;
4.12. Cones quadráticos;
Esfera;
 Nossa tarefa é estudar em detalhe cada uma dessas
quádricas.
 Superfícies - As superfícies quadráticas são as regiões
formadas quando as cônicas se movimentam no espaço.
 A partir da equação geral do 2º grau nas três variáveis
x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.
Apresentaremos algumas equações das quádricas:
 Equação: 
 Observemos que todos sinais são negativos então o
lugar geométrico da equação é vazio, então existem 3
possibilidades:
- todos positivos;
- 2 negativos e 1 positivo;
- 2 positivos e 1 negativo.
Superfícies Quádricas:
1. Elipsóide
1.1. Elipsóide de Revolução
1.1.1. Esfera
2. Parabolóide Elíptico
2.1. Parabolóide de Revolução
(formato semelhante taça)
3. Parabolóide Hiperbólico (formato semelhante sela)
4. Hiperbolóide de uma Folha
5. Hiperbolóide de duas Folhas
4.1. Cone
6. Cilindro elíptico
7. Cilindro Circular
8. Cilindro hiperbólico
9. Cilindro parabólico
Verificar material PDF - MAT011 - Aulas "p.20 4.5.
Cilindros
4.11. Parabolóide hiperbólico
Tem equação
4.12. Cone quádrico
 Um hiperbolóide degenerado possui a equação 
 Se a=b então esta equação irá fornecer um cone
circular se a=b um elíptico (não de revolução).
4.13. Mudança de coordenadas
 Observe a figura:
Vê-se que temos 2 sistemas de coor-
denadas: xOy e x'O'y' ambas
ortogonais.
 A resolução de certos problemas geométricos requer a
mudança de um sistema para outro. Há três formas de
passar de um sistema O, i,j,k para O',u ,u ,u :
1) Translação de eixos: Consiste em mudar a origem, isto
é, substituir o sistema O,i,j,k para O',i,j,k
2) Rotação de Eixos: substituir o sistema O, i,j,k por outro
O,u ,u ,u onde {i,j,k} e {u ,u ,u } são bases ortonormais.
3) Rotação seguida de translação de eixos: Substituir um
sistema o,i,j,k por outro O', v ,v , v
Pergunta: Dado as coordenadas (x,y,z), (x',y',z') de um
ponto P nos sistemas (O,i,j,k),(O',u ,u , u ),
respectivamente, qual é a relação entre (x,y,z) e (x',y',z')?
4.14. Translação e Rotação entre Eixos
 Exemplo: As coordenadas de P=(1,2-1) no sistema
(O',i,j,k) com O'=(2,1,3). Encontre a coordenada de P no
sistema (O,i,j,k)
Rotação: Pará 2 sistemas (O,i,j,k),(O,u ,u ,u ) as
coordenadas (x',y',z') relacionam-se com (x,y,z) como
segue:
4.15. Aplicações às equações do 2º grau em R
Consideremos a equação do 2º grau do tipo
(*) Ax +By +Cz +Dx+Ey+Fz+G=0
Afirmação 1 - Se A=0, então é possível transladar o
sistema (O,i,j,k) para um sistema (O',i,j,k) tal que (*),
no novo sistema não contenha o termo do 1º grau na
coordenada x.
Teorema 1 - é possível dar o sistema (O=(0,0,0),i,j,k) para
um sistema (O=(a,b,c),i,j,k) de modo que a equação
Ax +By +Cz+Dx+Ey+Fz+G=0 se expressa como
A'x' +B'y' +C'z' +G'=0 se A=0,B=0,C=0
Prova
X=x'+a
y=y'+b
Z=z'+c
Teorema 2 - Se a equação do 2º grau for da forma
então existe um sistema (O',u ,u , u ) tal que (*) se
escreve como
Lista de exercícios 3 - Xerox
Capitulo 4
Entregar até 20/06 (Prova) - 5exercícios 5 ptos extra
5. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
5.1. Corpo Algébrico
 Indicaremos os números complexos de C. Estamos
interessados em conjuntos K de números complexos que
possuem as seguintes propriedades:
1. Se os números x e y pertencem ao conjunto K, então a
soma x+y e o produto xy também pertencem a K.
2.se o número x pertence a K, então seu simétrico - x
também pertence a K. Além disso, se x for um número
nao-nulo de K, então seu inverso x Também pertence a K
3. O conjunto K contém os números 0 e 1.
 Os conjuntos K de números complexos que possuem
essas propriedades chamam-se corpos.
Exemplos:
Observação:
 O conjunto N de todos os números inteiros positivos e o
conjunto Z de todos os números inteiros relativos não são
corpos, pois, a propriedade 2 não vale.
5.2. Os Espaços K
 Vimos anteriormente, a partir do corpo R dos números
reais, os espaços euclidianos R . Se KCC é um corpo
qualquer, podemos, de maneira análoga, definir os
espaços K como o conjunto de todas n-uplas ordenadas
x=(x ,...,x ) de números do corpo K.
Definições:
Soma das n-uplas: Seja x=(x ,x ,...,x ) e y=(y ,y ,..., y ),
então a soma será:
X+y=(x +y ,...,x +y )
Produto por Escalar: Se c é um número de K, então
Cx=(cx ,cx ,...,cx )
 Podemos verificar que a soma e o produto por escalares,
assim definidos em K , satisfazem as mesmas
propriedades algébricas que a soma e o produto por escalar
do R .
Teorema. Se x,y,z são n-uplas de K e c,d são números de
K, então:
Produto interno
Seja x=(x ,x ,...,x ) e y=(y ,y ,...,y ) de K , o produto
interno é definido por:
X.y=x y +...+x y
 Produto interno possui as três primeiras propriedades
do produto interno do R .
Teorema: Se x,y,z, são n-uplas de K e c é um número de
K, então:
 Observe que, como estamos usando números complexos,
X.X pode não ser um número real, como também X.X<0 e
X.X=0 com X=0.
Exemplo: Sejam X=(0,1+i), Y=(1,2i) e Z=(1,i).
Encontre:
 Assim, o produto interno de K não é, em geral, positivo
definido. Porém, é não degenerado, isto é, possui a
seguinte propriedade:
4. Se X.Y=0 para toda n-upla Y de K , então X=0.
Observação: Combinação linear, dependência e
independência linear, subespaços e bases são definidos
para K da mesma maneira como definimos para R.
Chamaremos as n-uplas de K, indiferentemente, de
pontos ou vetores.
 O conjunto de vetores {E ,...,E } é a base natural de K .
5.3. Matrizes
 As matrizes são generalizações naturais das n-uplas.
Sejam K um corpo e m,n inteiros positivos. Uma matriz
mxn, com elementos no corpo K, é um quadro A da
forma:
 O número A chama-se o elemento de ordem ij de A.
 A i-nésima linha da matriz A é a n-upla.
 A j-ésima coluna de A é a m-upla.
 Logo, uma matriz mxn possui m linhas e n colunas.
Exemplos:
Representação de matrizes
Matéria da prova (20/5)
Capitulo 4 - Cônicas e Quádricas
Capitulo 5 - Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
Formulário: somente capitulo 4, sem as formulas básicas
30/05
Tipos de Matrizes:
a) Matriz Retangular: uma matriz na qual m=n é
determinada retangular.
b) Matriz Quadrada: matriz na qual m=n. OBS: Pode
ser representada por Amxn ou simplesmente An.
c) Matriz Coluna: A matriz ordem m por 1 
d) Matriz Linha: A matriz ordem 1 por n.
e) Matriz Diagonal: A matriz quadrada A=[a ] que tem
os elementos a =0, quando i=j. OBS: Diagonal
Principal. Os elementos a , em que i=j constituem a
diagonal principal.
Diagonal secundária - elementos a em que i+j=n+1,
constituem a diagonal secundária.
f) Matriz Escalar: matriz quadrada onde a diagonal
principal tem elementos iguais entre si e os elementos
a =0 para i=j.
g) Matriz Unidade ou Identidade: é a matriz escalar que
tem elementos a =1 se i=j.
h) Matriz Nula: matriz onde aij=0.
i) Matriz Triangular superior: matriz quadrada onde
aij=0 quando i>j.
j) Matriz Triangular Inferior: Matriz quadrada onde
aij=0 quando i<j.
k) Matriz Simétrica: Dizemos que uma matriz é
simétrica quando a matriz triangular superior é igual a
sua transposta.
l) Matriz transposta: dada a matriz A=[aij] dizemos que
a matriz é transposta para A=[aji], ou seja, tocamos
linha por coluna.
 Seja Amxn então A é nxm.
m) Matriz Simétrica: matriz quadrada A é simétrica se
A=A e anti-simétrica A=-A.
Teorema - Se A e B são matrizes mxn e c é um escalar em
K então
Exercícios 
1) Verifique se as matrizes são simétricas ou anti-
simétricas:
2) Relacione as matrizes com a coluna ao lado:
3) Desenvolva uma matriz 2x3 tal que
Operações de Matrizes
 O conjunto de todas as matrizes mxn com elementos
em um corpo K será indicado por M ( K).
 Definiremos adição e produto por escalar em M ( K) de
maneira análoga ao que foi feito para K
 Sejam A e B matrizes mxn. A matriz soma A+B é
definida por (A+B) = A +B , 1<i<m e 1<j<n
OBS: A soma das matrizes é uma generalização natural
da soma de n-uplas.
A matriz nula mxn comporta-se em Mmn( K) da mesma
maneira que o vetor nulo em K : se A é uma matriz
qualquer em Mmn( K), então 0+A=A+0=A.
 Se A é uma matriz em Mmn( K) e c é um número
qualquer em K, a matriz c A é definida por
 Isto é, o elemento de ordem ij da matriz cA é c
multiplicado pelo elemento de ordem ij de A.
 Observe que se A é uma matriz qualquer então
A+(-1)=0. A matriz (-1) A é geralmente indicada por
-A.
 A adição e o produto por escalares definidos em
Mmn(K) têm as mesmas propriedades que as referidas
operações possuem em K, isto é, vale o Teorema 1 de 5.2.

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