Apostila de Fisica Experimental I

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FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA
ENSINANDO E APRENDENDO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Experimental I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
ÍNDICE 
 
 
 
1a PARTE: INTRODUÇÃO 
 
1. MEDIDAS FÍSICAS......................................................................................................... 3 
2. GRÁFICOS ..................................................................................................................... 9 
3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 15 
4. ÁREAS E VOLUMES .................................................................................................... 16 
5. UNIDADES MECÂNICAS ........................................................................................... 19 
6. SISTEMAS DE UNIDADES........................................................................................... 21 
7. TABELA TRIGONOMÉTRICA....................................................................................... 23 
 
 
2a PARTE: EXPERIÊNCIAS 
 
 
1 - PAQUÍMETRO ....................................... 20 
2 - MICRÔMETRO ....................................... 26 
3 - MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFOR- 
 MEMENTE VARIADO (MRUV) 
 
....................................... 
 
29 
4 - MOVIMENTO DE PROJÉTIL ....................................... 31 
5 - ATRITO ....................................... 33 
6 - EQUILÍBRIO DE FORÇAS CONCOR- 
RENTES 
 
....................................... 
 
35 
7 - EQUILÍBRIO DE FORÇAS NÃO 
CONCORRENTES 
 
....................................... 
 
38 
8 - DEFORMAÇÃO ELÁSTICA - MOLAS ....................................... 40 
9 - COLISÕES ....................................... 45 
 
 
 3
 
1.MEDIDAS FÍSICAS 
 
 
1.1. INTRODUÇÃO: 
 
 A Física é chamada uma ciência exata. Entretanto, nas práticas de 
laboratório, em geral, os instrumentos não fornecem medidas exatas. Quando medimos o 
comprimento de uma peça metálica com uma régua de plástico, num dia frio (5oC) 
encontramos um certo valor. Agora, se medirmos o mesmo comprimento da mesma peça 
metálica, num dia quente (40o) poderemos observar uma pequena diferença da medida 
anterior. É importante e necessário fazer um curso de Física Experimental e tentar 
descobrir e estimar os erros de medição existente. 
 
 
1.2. MEDIDAS E ERROS: 
 
 a) Grandezas - Não hesitaremos em dizer que o comprimento e o tempo 
são grandezas. Também não teremos dúvida em afirmar que a grandeza comprimento é 
de espécie diferente da grandeza tempo. Mas não podemos definir "GRANDEZA" ou 
"ESPÉCIE DE GRANDEZA". São conceitos primitivos. 
 
 b) Medida de Grandeza 
 
 
A medida de uma grandeza é o número de vezes que ela representa a unidade padrão. 
 
 
POR EXEMPLO: Cinco metros (5m) é um comprimento cinco vezes a unidade padrão de 
comprimento (1m). 
 
 c) Dispersão - Teoricamente, todas as vezes que medirmos uma grandeza 
com uma mesma unidade encontraremos um mesmo resultado. Praticamente, tal não se 
dá: cada vez que realizarmos a medida de uma mesma grandeza com uma mesma 
unidade encontraremos, em geral, um resultado diferente dos anteriores. Este fato é 
denominado "DISPERSÃO DAS MEDIDAS" . A dispersão das medidas ocorre por erros 
de medição. 
 
 d) Erros - A operação de medir uma grandeza, supõe a priori que ela tenha 
um valor verdadeiro, não obstante as dificuldades lógicas que aparecem, quando se trata 
de estabelecer com rigor o significado deste conceito. 
 Não existem, e nem poderiam existir instrumentos que nos permitam medir 
sem erro algum, uma grandeza física. 
 Assim sendo, com as restrições que o caso exige, necessitamos do conceito 
do "valor verdadeiro" de uma grandeza, ao menos como hipótese de trabalho. O que 
importa no nosso caso é destacar que a medida de uma grandeza física, "difere sempre 
algo" do valor verdadeiro da mesma, isto é, em toda medição sempre ocorre um erro. 
 4
 De um modo geral os erros podem ser classificados em três categorias 
básicas: 
 
 d.1. Erros grosseiros 
 
 
Ocorrem por falta de cuidado ou por falta de prática do observador. 
 
 
Exemplos: 
 - Erros de cálculo: 3
2 
+ 2
4 
 = 9 + 16 = 24 
 - Erros de leitura: ler 928 onde na realidade é 982 
 - Erros de paralaxe: ler a posição do ponteiro diante de uma escala sem ter o 
cuidado de fazer a visada perpendicularmente ao plano da escala. 
 
 d.2. Erros sistemáticos 
 
Ocorrem por imperfeições do observador, do instrumento de medição ou do método 
usado 
Caracterizam-se por ocorrerem sempre no mesmo sentido e conservarem, em medições 
sucessivas, o mesmo valor 
 
Exemplos: 
 - Do observador: erro por deficiência de visão. 
 - Do instrumento de medição: utilização de escalas em temperaturas 
diferentes daquela em que foi aferida. 
 - Do método usado: determinação do peso de um corpo no ar em lugar de 
fazê-lo no vácuo. 
 
 d.3. Erros acidentais 
 
 
 Ocorrem ao acaso, sendo imprevisíveis ou desconhecidos, quaisquer que sejam 
os observadores, os instrumentos de medição e os métodos usados. 
 
 
 
1.3. TEORIA DOS ERROS: 
 
 Ela procura indicar, a partir de uma série de medidas, qual o "valor mais 
provável" da grandeza e, ao mesmo tempo, estimar o valor que deve ser atribuído à 
diferença entre o valor real (teórico, correto ou exato) da grandeza e este valor mais 
provável. 
 
 5
 a) Valor mais provável de uma grandeza (M) 
 
 O valor mais provável de uma grandeza, medida diversas vezes, é a média 
aritmética das medidas encontradas, desde que, todas elas sejam obtidas pelo mesmo 
observador, com o mesmo instrumento de medida e usando o mesmo método. 
 
Analiticamente, escrevemos. 
 
M
A
N
i
i
N
=
=
å
1
 
 
onde Ai é o valor da medida de ordem i; 
 N é o número de medidas. 
 
 b) Erro real ou resíduo (Ei) 
 
 
É a diferença entre o valor mais provável da grandeza e o valor da medida considerada. 
 
 
Analiticamente, escrevemos: 
 
Ei = M - Ai 
 
 c) Erro absoluto ( ) 
 
 
É o valor absoluto do erro real. 
 
Analiticamente, escrevemos: 
 
= | Ei | = | M - Ai | 
 
 d) Erro relativo (Er ) 
 
 
É a razão entre o erro absoluto e o valor mais provável da grandeza. 
 
 
Analiticamente, escrevemos: 
 
 
 Er = --------------- = --------------- 
 M M 
 
 
| M - Ai | 
 6
e) Erro percentual (Ep ) 
 
 
É o erro relativo expresso em percentagem 
 
 
Analiticamente, escrevemos: 
 
Ep = Er x 100% 
 
 f) Precisão (p) 
 
 
A precisão de uma medida é o inverso do erro relativo. 
 
 
Analiticamente, escrevemos: 
 
rE
1
P = 
 
 Os erros percentuais ou relativos permitem comparar as precisões das 
medidas de grandezas de valores muito diferentes e mesmo de espécie diferentes. 
 
1.4. PRECISÃO DAS MEDIDAS 
 
Por mais preciso que seja um instrumento com que se efetua uma medida, 
sempre existe uma diferença entre o valor encontrado e o valor da grandeza. Vejamos 
alguns exemplos abaixo: 
 
 a) A medição de comprimento de um fio com uma régua calibrada em 
centímetros, isto é, a menor divisão é 1cm: 
 
 
 
 
 
 
 
 Como se vê na figura, a extremidade final do fio está entre 5 e 6 cm, e no 
caso não se pode determinar o valor exato. 
 Então o comprimento do fio poderia ser 5,2 cm ou 5,3 cm ou 5,4 cm, pois 
todos seriamcoerentes com a precisão do instrumento usado (uma régua em cm). 
 Portanto, os algarismos 2, 3 e 4 foram simplesmente estimados, pois eles 
não existem na escala. Esses algarismos estimados, serão chamados de algarismos 
duvidosos. 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 7
 Note que no caso seria um absurdo dizer que o comprimento do fio seria 
5,34 cm, pois, se o 3 já é duvidoso o que podemos dizer do 4. Logo, uma medida só pode 
conter um algarismo duvidoso. 
 
 b) A medição do comprimento de um fio com uma régua calibrada em 
milímetros. A menor divisão é 1mm. O comprimento do fio está entre 5,3cm e 5,4cm. 
Você poderia estimar para o comprimento 5,34 ou 5,35cm, onde os algarismos 4 e 5 são 
os duvidosos. 
 No exemplo (a), a leitura foi 5,3cm, o algarismo duvidoso é o 3 e a menor 
divisão do instrumento foi o centímetro. No caso (b), a leitura foi 5,35cm = 53,5mm, o 
algarismo duvidoso é o cinco (5) e a menor divisão do instrumento foi o milímetro. 
 Da análise dos exemplos, pode-se concluir que: 
 
 
O algarismo duvidoso é um múltiplo de um décimo da menor divisão do instrumento. 
 
 
 Em Física, a exatidão das medidas depende profundamente da precisão do 
instrumento usado. Portanto, note que 5,3cm e 5,35cm são medidas de uma mesma 
medição, obtidas com instrumentos de precisões diferentes. Aqui, 5,3cm ¹ 5,30cm, pois 
no primeiro valor o 3 é duvidoso, enquanto no segundo, o 3 é exato e o 0 é duvidoso. 
Assim são valores fisicamente diferentes, embora matematicamente iguais. Veja a 
ilustração a seguir: 
 
a medida 5,3cm comparada com 5,30cm 
 
 algarismo algarismo 
 duvidoso duvidoso 
 
 algarismo 
 correto 
 
1.5. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
 
São os algarismos que compõem uma medida, contados a partir do primeiro 
diferente de zero até o algarismo duvidoso. 
 
EXEMPLOS: 
0,056cm - tem 2 algarismos significativos e o 6 é o duvidoso. 
0,567cm - tem 3 algarismos significativos e o 7 é o duvidoso. 
1254m - tem 4 algarismos significativos e o 4 é o duvidoso. 
 
1.5.1. ADIÇÃO - SUBTRAÇÃO - MULTIPLICAÇÃO - DIVISÃO 
 
Nas operações acima, devemos levar em conta a precisão das medidas, pois o 
resultado da operação efetuada deve conter a mesma precisão da medida menos precisa. 
 8
Assim sendo, o resultado da operação efetuada deve conter o mesmo número de casas 
decimais da medida menos precisa. E um arredondamento se faz necessário. Veja os 
exemplos abaixo: 
 
 1. Somar 5,3cm com 47,563cm 
 
 5,3cm , têm uma casa decimal 
 47,563 cm , têm três casas decimais 
 52,863cm 
 
Como o resultado não deve expressar uma precisão maior do que qualquer 
uma das medidas efetuadas, devemos arredondar o resultado, para no caso acima, 
conter somente uma casa decimal. 
assim 52,863cm 
arredondado, fica 52,9cm 
 
2. Multiplique 5,6cm por 42,3cm 
 
 5,6cm , tem uma casa decimal 
 42,3cm , têm uma casa decimal 
 236,88 
que arredondado, fica 
 236,9cm , com uma casa decimal. 
 
 
 9
 
2.GRÁFICOS 
 
 Uma breve discussão será dada sobre a técnica "GRÁFICOS". Através dos 
gráficos, pode-se rapidamente visualizar como um evento se comporta diante de outro(s). 
Exemplos: Como a inflação varia com o tempo; Como a velocidade de um auto varia com 
o tempo; O crescimento populacional de uma nação; A produção agrícola de uma região; 
A mortalidade infantil de um país, etc... Dos exemplos citados vê-se que a técnica 
"GRÁFICOS" é de boa utilidade em todos os campos de conhecimento. Vamos iniciar a 
introdução sobre gráficos, estudando o caminhar de uma pessoa numa sala quadrada 
plana, de largura L. Na figura-1, ele iniciou a sua trajetória no canto A, passou por P e 
terminou no canto B. O ponto A foi a origem do movimento, o ponto P representa uma 
posição qualquer de sua trajetória na sala e o ponto B é o fim do percurso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se imaginarmos dois eixos (direções) perpendiculares entre si, e uma escala de 
medidas em cada eixo, podemos recompor exatamente o caminhar da pessoa na sala 
(fig. 1). Na figura-2, temos dois eixos perpendiculares, um HORIZONTAL, chamado de 
eixo-x e o outro, o VERTICAL, chamado de eixo-y. Onde x e y representam quaisquer 
grandezas (informações). Assim, cada ponto P da trajetória da pessoa caminhando na 
sala, pode ser localizado, conhecendo-se a posição x e a posição y, conhecidas como as 
coordenadas do ponto P na sala (ou no caso, na trajetória). 
 Então, um ponto Po da trajetória (chamada de curva) precisa de duas coordenadas 
(xo, yo) para ser localizado, e vice-versa. Conhecidas as coordenadas (xo, yo) podemos 
localizar o ponto Po na curva da seguinte forma: levantamos duas perpendiculares, uma 
paralela ao eixo-y e cortando perpendicularmente o eixo-x em x = xo e a outra paralela ao 
eixo - x e cortando perpendicularmente o eixo-y na posição y = yo. A interseção das duas 
perpendiculares é o ponto Po. Observe que x e y representam quaisquer valores nos 
eixos x e y respectivamente. E no caso, x e y são distâncias. 
P 
Eixo - y (cm) 
 L = 6cm 
 
 Fig. 1 
 7 
 6 
 5 
 4 
 3 
 2 
 1 
 P 
0 1 2 3 4 5 6 
EIXO - x (cm) 
Fig. 2 
 A 
 B 
 10 
Exemplo: Uma pessoa caminhando numa sala, anotou o seguinte conjunto de 
valores para x e y em alguns pontos de sua trajetória. Vê os valores na tabela-1. Trace 
dois eixos perpendiculares entre si, x e y, estabeleça uma escala em cada eixo e marque 
os pontos (x, y) da tabela. Depois, una com uma linha todos os pontos (x, y). A curva 
traçada é no caso particular, uma reta. Veja a figura 3. 
 
TABELA - 1 
 
x (m) y (m) 
1,0 2,0 
2,0 4,0 
2,5 5,0 
3,0 6,0 
4,0 8,0 
5,0 10,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3 
 
 A equação dessa curva (reta) é, 
 
y = mx 
 
onde m é o coeficiente angular da reta, isto é, 
 
2
2
4
35
610
tgm ==
-
-
=q= , e, 
 
y = 2x 
 
Eixo - y(m) 
10 
 8 
 6 
 4 
 2 
 0 1 2 3 4 5 6 Eixo - x(m) 
q 
(10 - 6) = 4 
(5 - 3) = 2 
 11 
 A equação da curva fornece a coordenada y, se a coordenada correspondente x for 
conhecida, e vice-versa. Dessa forma, a equação da curva nos dá o par de coordenadas 
de cada ponto (x,y). No presente exemplo, a pessoa andou em linha reta e segundo a 
relação. 
 
y = 2x. 
 
 Após conhecer as coordenadas de vários pontos de um evento, proceda da 
seguinte forma para traçar o gráfico. 
 
a) Escolha escalas convenientes em cada eixo, de acordo com os valores 
disponíveis das coordenadas. 
b) Trace dois eixos perpendiculares entre si. 
c) Marque em cada eixo as coordenadas do ponto, que são as 
informações que dão a evolução do evento. 
d) Baseado nas escalas, trace os pontos, levantando perpendiculares aos 
eixos a partir dos valores das coordenadas dos pontos. A interseção de cada par de 
perpendiculares, constitui o ponto associado com as coordenadas do próprio ponto. 
e) A união dos pontos assim traçados fornece a curva que descreve a evolução 
do evento estudado em qualquer situação,antes, durante e depois do conjunto de pontos 
disponíveis. 
A seguir traçaremos alguns gráficos, baseados nas coordenadas dos pontos 
dados nas tabelas. 
Ex. 01: Marque num gráfico, os pontos da tabela, onde a posição x de um 
objeto varia com o tempo t num percurso retilíneo. 
 
 TABELA 2 
 
 PONTO t (s) x (m) 
 A 0 3 
 B 1 7 
 C 2 11 
 D 3 15 
 E 4 19 
 F 5 23 
 
 
 
 
 
 
 Eixo - x (m) 
 20 
 16 
12 
 8 
 4 A 
 0 1 2 3 4 5 6 
 B 
 C 
 D 
 E 
 F 
 q 
Eixo - t (seg) 
Fig. 4 
 12 
 Observe que as escalas nos dois eixos, tempo e posição são diferentes, mas 
convenientes aos valores das coordenadas dos pontos dados (obtidos). 
 Se ligarmos os pontos por uma linha, teremos uma curva que descreve o 
movimento do objeto em função do tempo, fig. 4. A equação da curva obtida é do tipo: 
 
x = xo + mt 
 
onde xo é o valor de x quando t = 0, chamado de ordenada do gráfico e m é o coeficiente 
angular da curva, no caso uma reta, e dado por 
 
4
3
12
25
1123
tgm ==
-
-
=q= 
 
 Note que, quando t = 0, x = xo = 3, tanto pelo gráfico como pela tabela. 
Assim a equação da reta se torna. 
 
x = 3 + 4t 
 
Ex. 02: Marque os pontos e trace o gráfico da posição x de um corpo em função do 
tempo. Considere os pontos da tabela. 
 
 
 TABELA 3 
 
PONTO t(s) x(m) 
A 0 0 
B 1 2 
C 2 8 
D 3 18 
E 4 32 
F 5 50 
 
 
 
 
 Observe as escalas diferentes nos dois eixos. Note que, as ordenadas dos 
pontos no eixo-x são marcadas em função da escala adotada. Não há necessidade de se 
intercalar os valores de x no eixo. 
 Note também que, como os eixos são perpendiculares, as linhas tracejadas 
(dos pontos) e perpendiculares a um eixo são paralelas ao outro. Do gráfico, poderemos 
saber em qual instante o corpo passa pela posição x = 15m, da seguinte forma: A partir da 
ordenada x = 15m, tira-se uma paralela ao eixo-t até cortar o gráfico (curva), e desse 
30 
 25 
 20 
 E 
 
 10 
 8 
D 
 C 
 B 5 2 
A 0 1 2 3 4 5 6 Eixo - t (seg)
 Eixo - x (m) 
Fig. 5 EIXO DAS ABSCISSAS 
 13 
ponto, baixa-se uma perpendicular até ao eixo-t (direção paralela ao eixo-x), e da escala 
do eixo, determina-se o valor da abscissa t = ?. Esse processo é utilizado quando se 
deseja intercalar ou extrapolar informações na evolução do evento estudado. 
 
 A curva do gráfico da figura 5, é uma parábola e cuja equação geral podia 
ser, 
 
x = at
2
 + b. 
 
 Como na tabela 3, quando t = 0 temos x = 0, então a ordenada b = 0 nesse 
evento. O coeficiente a da equação tirada da tabela é a = 2. Assim a curva parabólica da 
figura é, 
 
x = 2t
2
 
 
Ex. 03: Marque os pontos da tabela 4, e trace a curva correspondente. 
 
 TABELA 4 
 
 
Ponto 
 Velocidade 
v(m/s) 
 Tempo 
t(s) 
 A 7,5 0 
 B 12,0 2 
 C 12,5 4 
 D 18,0 6 
 E 19,5 8 
 F 23,0 10 
 G 25,0 12 
 H 27,0 14 
 
 
 
 
A tabela 4, apresenta a velocidade de um corpo em movimento retilíneo em 
diferentes instantes de tempo. A figura 6 é o gráfico correspondente. Note que a curva 
traçada, tentou compensar as pequenas variações dos pontos. Uns para cima e outros 
para baixo. Como se pode observar, o processo gráfico constitui um procedimento de se 
obter um comportamento médio da evolução de um dado evento. É uma operação 
matemática de se tirar a evolução média do desenvolvimento de um acontecimento. 
Você já deve ter visto em seu curso de Física I, o seguinte: 
Eixo das Ordenadas 
velocidade v(m/s) 
 30 
 25 
 20 
 15 
10 
 5 
A 
 B C 
 D E 
 F 
 G 
H 
 0 
 0 2 4 6 8 10 12 14 
Eixo das Abscissas - tempo t(s) 
Fig. 6 
 14 
a) Num gráfico espaço versus tempo a inclinação da curva em cada ponto (instante), é a 
velocidade do móvel. 
b) Num gráfico velocidade versus tempo a área sob a curva é o espaço percorrido e 
a inclinação da curva fornece a aceleração. 
c) Num gráfico aceleração versus tempo, a área sob a curva é igual a variação de 
velocidade no intervalo de tempo correspondente. 
 15 
 
3.FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
 
y r
x
q
 
 
Seno (triângulo de lados r, x e y) 
 
sen q = 
cateto oposto 
hipotenusa
 Þ 
r
y
sen =q 
 
Co-seno 
 
cos q = 
cateto adjacente 
hipotenusa
 Þ 
r
x
cos =q 
 
Tangente 
 
tan q = 
cateto oposto 
cateto adjacente
 Þ 
x
y
tan =q 
 
 
Ângulos Complementares - São dois ângulos cuja soma é igual a p / 2 radianos ou 90o. 
 
q + µ =p 
 
Obs.: O seno de um ângulo é igual ao co-seno do seu complemento. 
 
sen q = cos ( 2
p - q) Ex.: sen 30o = cos 60o. 
 
 
 16 
Ângulos Suplementares - São dois ângulos cuja soma é igual a p radianos ou 180o. 
 
q + d = p 
 
Obs.: a) O seno de um ângulo é igual ao seno do seu suplemento 
 
sen q = sen ( p - q ) Ex.: sen 120o = sen 60o 
 
b) O co-seno de um ângulo é igual a menos o co-seno do seu suplemento 
 
cos q = - cos ( p - q ) Ex.: cos 150o = - cos 30o 
 
c) A tangente de um ângulo é igual a menos a tangente do seu suplemento. 
 
tan q = - tan ( p - q ) Ex.: tan 135o = - tan 45o 
 
LEI DOS CO-SENOS 
 
Em um triângulo qualquer o quadrado de um dos lados é igual a soma dos 
quadrados dos outros dois menos o duplo produto desses dois lados pelo co-seno do 
ângulo que eles formam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.ÁREAS E VOLUMES 
 
1 - Quadrado 
 
 2aQ 
ladoa
áreaQ
=
þ
ý
ü
=
=
 
 
 
 
 
 
2 - Retângulo 
 
 abR 
 alturab
basea
áreaR
=
ï
þ
ï
ý
ü
=
=
=
 
 
c2 = a2 + b2 – 2 a b cos g 
Qa
Rb
a
ba
c
ab
g
 17 
3 - Triângulo 
 
 
 
 
2
h b
T 
 alturah
baseb
áreaT
*
=
ï
þ
ï
ý
ü
=
=
=
 
 
 
 
4 - Trapézio 
 
 
 
 
2
h
)Bb(Tz 
 alturah
maior base B
menor baseb
áreaTz
+=
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
=
=
=
=
 
 
 
 
 
5 - Círculo 
 
 r2 P e r S 
 perímetro P
raior
áreaS
2 p=p=
ï
þ
ï
ý
ü
=
=
=
 
 
 
 
 
 
b
h
T
B
b
h Tz
S C
r
 18 
 
VOLUMES ( V ) 
 
 
1 - Paralelepípedo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Cilindro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Esfera 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h Cd 
 Cd = volume 
 h = altura 
 Ab = área da base 
 Cd = Ab . h 
P 
E 
 c 
r 
 E = volume 
 r = raio 
 E = 4 p r3 
 3 
 a 
 b 
 P = volume 
 a = aresta 
 b = aresta 
 c = aresta 
 P = a. b . 
c 
 19 
 
5.UNIDADES MECÂNICAS 
 
UNIDADES E MEDIDAS 
 
Medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie, tomada para 
termo de comparação, ou para unidade. A operação ou as operações que se fazem para 
determinar o valor de uma grandeza física denomina-se medição e o resultado de uma 
medição chama-se medida. 
O resultado da comparação de uma grandeza com outra da mesma espécie 
( unidade ) é uma quantidade expressa por um número que se chama valor numérico da 
grandeza. Logo: Número = grandeza. 
unidade 
Medições diretas - São aquelas em que o valor da grandeza se obtém, pela leitura do 
instrumento ou aparelho com que se faz a medição. Ex.: a medição da distância de dois 
pontos com a régua. 
Medições indiretas - São aquelas em que o valor da grandeza se obtém combinando os 
resultados de duas ou mais medições de outras grandezas. Ex.: a medição da densidade 
de um corpo medindo a massa e o volume do corpo e dividindo o resultado da primeira 
medição pelo volume da segunda. 
Grandezas mensuráveis - É aquela que é capaz de ser expressa por símbolos 
matemáticos, isto é, é aquela que pode ser medida. Para isso, tornam-se indispensáveis 
duas condições. 
a) Ser possível estabelecer a igualdade ou desigualdade dessa grandeza com outra 
qualquer da mesma espécie. 
b) Poder realizar-se a adição dessa grandeza com outra da sua espécie. Assim, os 
comprimentos, as massas, as forças são grandezas mensuráveis, nas quais se torna 
bem evidente não só a possibilidade de se somar, como, de entre elas estabelecer 
relações de igualdade ou desigualdade. 
 
Grandezas não mensuráveis - São aquelas que falta uma, pelo menos, das condições 
anteriores. Como o exemplo de grandezas não mensuráveis, podemos citar a 
temperatura e a dureza. 
Relações entre medidas e unidades - 
1a ) Duas grandezas de mesma natureza estão na mesma razão que suas medidas. 
Sejam G1 e G2 duas grandezas de mesma natureza. Designemos por n1 e n2, 
respectivamente, as medidas de G1 e G2 com uma unidade U. Tem-se pois: 
G1 = n1 U ( 1 ) 
G2 = n2 U ( 2 ) 
Dividindo, ordenadamente, a igualdade ( 1 ) pela igualdade ( 2 ), resulta: 
 
 
 
G 1 = n 1 
G2 n2 
 
 20 
2a ) A medida de uma grandeza varia na razão inversa das unidades em que foi 
comparada. 
Seja G uma grandeza que medida respectivamente com as unidades U1 e U2, tem 
por medida n1 e n2, respectivamente. 
Tem-se, pois: G1 = n1 U1 ( 4 ) 
 G2 = n2 U2 ( 5 ) 
 
Comparando ( 4 ) e ( 5 ), resulta: 
 
 
n1U1 = n2U2 = ( 6 ) 
 
 
Esta expressão nos mostra que, mudando-se a unidade de medida, o valor numérico 
da grandeza variará na razão inversa do valor da grandeza escolhida para unidade. 
Da relação ( 6 ), tiramos: 
 
 
 
 
 
Quando se muda de unidade, a nova medida de uma grandeza é igual ao produto da 
antiga medida pela relação entre a antiga unidade e a nova. 
 
GRANDEZAS FÍSICAS 
 
As grandezas físicas podem ser classificadas em duas categorias, a saber: 
grandezas fundamentais e grandezas derivadas. 
Grandezas Fundamentais - São aquelas das quais temos uma noção intuitiva, e que não 
podemos definir a partir de outras grandezas mais simples. 
Em Mecânica consideramos como grandezas fundamentais as seguintes: 
Comprimento, massa e tempo ou comprimento, força e tempo. 
 
Grandezas Derivadas - São aquelas que podem ser definidas a partir das grandezas 
fundamentais por meio de expressões analíticas denominadas equações de definição. 
Fórmulas de Definição - É uma expressão analítica que estabelece a relação entre o 
valor de uma grandeza e os valores de outras grandezas das quais a primeira depende. 
Ex.: 
a) Área de um retângulo: S = ab 
b) Energia Cinética: Ec = ½ mv2 
Símbolos Dimensionais [ G ] 
Comprimento - [ s ] = L Tempo - [ t ] = T 
Massa - [ m ] = M Força - [ f ] = F 
 n 1 = U 2 
 n2 U1 
 
 n1 = n2 U 2 = ( nova medida ) : ( antiga medida ) 
( antiga unidade ) 
 U1 ( nova unidade ) 
 21 
 
 
EQUAÇÕES DIMENSIONAIS 
 
Aproveitando as relações conhecidas entre as grandezas físicas e sem atender 
aos coeficientes numéricos que nelas figuram, é fácil estabelecer para cada grandeza 
uma equação que exprime simbolicamente a relação de dependência entre a grandeza 
considerada G e as grandezas fundamentais, comprimento L, massa M e tempo T. Esta 
relação denomina-se equação dimensional. 
[ ] = Lp Mq Tr , na qual p, q e r são números inteiros ou fracionários, positivos ou 
negativos. 
Se forem p = q = r = 0, diz-se que é uma grandeza adimensional, isto é, sem dimensão. 
As fórmulas de dimensão indicam as operações, a efetuar para medir uma 
grandeza, a partir das unidades fundamentais. 
Exemplos: 
a) A equação V = abc dá as dimensões do volume 
[ V ] = L. L. L Þ [ V ] = L3 
b) A equação V = e/t dá as dimensões da velocidade 
[ V ] = L Þ [ V ] = LT-1 
 T 
c) A equação F = ma dá as dimensões da força 
[ F ] = MLT-2 
 
6.SISTEMAS DE UNIDADES 
 
O conjunto de unidades escolhidas para medir as grandezas encontradas em 
cada campo da física formam um sistema de unidades. 
Um sistema de unidades é constituído por: 
a) Unidades fundamentais - escolhidas e definidas arbitrariamente. 
b) Unidades derivadas - deduzidas das unidades fundamentais por meio de expressões 
analíticas denominadas equações de definição. 
c) Unidades práticas - são múltiplas ou submúltiplas das unidades fundamentais ou 
derivadas. 
As unidades fundamentais devem satisfazer as condições seguintes: a) 
Conservar os mesmos valores em todos os tempos. b) Ser independentes umas das 
outras. 
 
 22 
Grandeza Símbolo Equação de Equação Sistema de Unidades 
 definição dimensional C G S ( SI ) 
M K S 
M K S Relações 
Comprimento x, y, z - L cm m m 
Área A x . y L2 cm2 m2 m2 
Volume V x . y . z L3 cm3 m3 m3 
Tempo t - T s s s 
Massa m - M g kg utm 1kg = 103 g - utm 
Velocidade V x/t LT-1 cm/s m/s m/s 
Aceleração a v/t LT-2 cm/s2 m/s2 m/s2 
Força f ma MLT-2 d . gf N kgf 1 gf = 980d - 1N = 105d - 1kgf = 9,8N 
Trabalho W f.x ML2T-2 erg J kgm 1 J = 107 erg - 1 kgm = 9,8 J 
Potência P w/t ML2T-3 erg/s watt 
( w ) 
kgm/s 
Impulso I f . t Mol T-1 d . s N . S kgf . s 
Movimento 
Linear 
Q mv MLT-1 g cm/s kgf m/s utm m/s 
 
 
S060.962/i 
FUNDAÇÃO EDSON QUEIROZ
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA
ENSINANDO E APRENDENDO
 
7.TABELA TRIGONOMÉTRICA 
Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg 
 
1o 
2o 
3o 
4o 
5o 
 
6o 
7o 
8o 
9o 
10o 
 
11o 
12o 
13o 
14o 
15o 
 
16o 
17o 
18o 
19o 
20o 
 
21o 
22o 
23o 
24o 
25o 
 
26o 
27o 
28o 
29o 
30o 
 
31o 
32o 
33o 
34o 
35o 
 
36o 
37o 
38o 
39o 
40o 
 
 
0,017 
0,035 
0,052 
0,070 
0,087 
 
0,105 
0,122 
0,139 
0,156 
0,174 
 
0,191 
0,208 
0,225 
0,242 
0,259 
 
0,276 
0,292 
0,309 
0,326 
0,342 
 
0,358 
0,375 
0,391 
0,407 
0,423 
 
0,438 
0,454 
0,469 
0,485 
0,500 
 
0,515 
0,530 
0,545 
0,559 
0,574 
 
0,588 
0,602 
0,616 
0,629 
0,643 
 
 
1,000 
0,999 
0,999 
0,998 
0,996 
 
0,995 
0,993 
0,990 
0,988 
0,985 
 
0,982 
0,978 
0,974 
0,970 
0,966 
 
0,961 
0,956 
0,951 
0,946 
0,940 
 
0,934 
0,927 
0,921 
0,914 
0,906 
 
0,899 
0,891 
0,883 
0,875 
0,866 
 
0,857 
0,848 
0,839 
0,829 
0,819 
 
0,809 
0,799 
0,788 
0,777 
0,766 
 
 
0,017 
0,035 
0,052 
0,070 
0,0870,105 
0,123 
0,141 
0,158 
0,176 
 
0,194 
0,213 
0,231 
0,249 
0,268 
 
0,287 
0,306 
0,325 
0,344 
0,364 
 
0,384 
0,404 
0,424 
0,445 
0,466 
 
0,488 
0,510 
0,532 
0,554 
0,577 
 
0,601 
0,625 
0,649 
0,675 
0,700 
 
0,727 
0,754 
0,781 
0,810 
0,839 
 
 
46o 
47o 
48o 
49o 
50o 
 
51o 
52o 
53o 
54o 
55o 
 
56o 
57o 
58o 
59o 
60o 
 
61o 
62o 
63o 
64o 
65o 
 
66o 
67o 
68o 
69o 
70o 
 
71o 
72o 
73o 
74o 
75o 
 
76o 
77o 
78o 
79o 
80o 
 
81o 
82o 
83o 
84o 
85o 
 
 
0,719 
0,731 
0,743 
0,755 
0,766 
 
0,777 
0,788 
0,799 
0,809 
0,819 
 
0,829 
0,839 
0,848 
0,857 
0,866 
 
0,875 
0,883 
0,891 
0,899 
0,906 
 
0,914 
0,921 
0,927 
0,934 
0,940 
 
0,946 
0,951 
0,956 
0,961 
0,966 
 
0,970 
0,974 
0,978 
0,982 
0,985 
 
0,988 
0,990 
0,993 
0,995 
0,996 
 
 
0,695 
0,682 
0,669 
0,656 
0,643 
 
0,629 
0,616 
0,602 
0,588 
0,574 
 
0,559 
0,545 
0,530 
0,515 
0,500 
 
0,485 
0,469 
0,454 
0,438 
0,423 
 
0,407 
0,391 
0,375 
0,358 
0,342 
 
0,326 
0,309 
0,292 
0,276 
0,259 
 
0, 242 
0,225 
0,208 
0,191 
0,174 
 
0,156 
0,139 
0,122 
0,105 
0,087 
 
 
1,036 
1,072 
1,111 
1,150 
1,192 
 
1,235 
1,280 
1,327 
1,376 
1,428 
 
1,483 
1,540 
1,600 
1,664 
1,732 
 
1,804 
1,881 
1,963 
2,050 
2,145 
 
2,246 
2,356 
2,475 
2,605 
2,747 
 
2,904 
3,078 
3,271 
3,487 
3,732 
 
4,011 
4,332 
4,705 
5,145 
5,671 
 
6,314 
7,115 
8,144 
9,514 
11,430 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 24 
41o 
42o 
43o 
44o 
45o 
0,656 
0,669 
0,682 
0,695 
0,707 
0,755 
0,743 
0,731 
0,719 
0,707 
0,869 
0,900 
0,933 
0,966 
1,000 
86o 
87o 
88o 
89o 
 
0,998 
0,999 
0,999 
1,000 
 
0,070 
0,052 
0,035 
0,017 
14,301 
19,081 
28,636 
57,290 
 
 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 25 
EXPERIÊNCIA No 1 
 
 
 
PAQUÍMETRO 
 
 
1. OBJETIVO: Uso do PAQUÍMETRO nas medições precisas de comprimento, 
profundidades e diâmetros. 
 
 
2. INTRODUÇÃO TEÓRICA: 
 
 
DESCRIÇÃO DO PAQUÍMETRO 
 
O paquímetro é um instrumento de alta precisão, que pode ser utilizado nas 
medidas de: comprimento, espessuras de lâminas, diâmetro interno e externo de tubos, 
diâmetros de fios, profundidade de cavidades e etc... 
O paquímetro é formado por uma régua metálica com duas escalas principais: 
uma na parte inferior em milímetros e outra em polegadas na parte superior da régua. O 
paquímetro também possui um CURSOR que desliza suavemente ao longo da régua 
metálica. 
Impresso no cursor, existem duas escalas, chamadas NÔNIOS: uma na parte 
inferior do cursor, para leituras de frações de milímetros e outra na parte superior para 
leituras de frações de polegadas. Também fixo no cursor (deslocando-se com o mesmo), 
existe uma haste, empregada nas medições de profundidades. A figura retrata um 
paquímetro com todos os detalhes. 
 
 
 
 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 21 21 
 Freqüentemente, o mecânico necessita medir com grande 
rigor ou precisão. Se for exigida uma aproximação de medida da 
ordem de 1/10 de milímetro, o instrumento que deve usar na 
medição é o Paquímetro, também chamado Calibre Vernier ou 
Calibre de Cursor. 
 A aproximação da medida se obtém por meio de uma graduação 
especial, o Vernier, gravada numa peça móvel, O Cursor. Há diferentes 
tipos de vernier, para milímetro e para polegada, conforme a 
aproximação da medida. 
PAQUÍMETRO 
Paquímetro é um instrumento de medida de precisão (fig. 1), feito geralmente de aço inoxidável. 
 
 
COMO SE MEDE COM O PAQUÍMETRO 
 A fig. 1 - 2 mostra um exemplo do uso mais freqüente do 
paquímetro, indicando como segurar a peça e o instrumento. A 
pressão do dedo polegar contra o impulsor deve ser suave, para 
que o encosto móvel dê contacto com a peça, sem ficar forçado. 
 LEITURA 
 Lêem-se, na escala, os milímetros, até antes do “zero” do vernier 
(na fig. 1: 19mm). Depois, contam-se os traços do vernier, até o que 
coincide com um traço da escala (na fig. 1: 6o traço). Exemplo da 
leitura na fig. 1: 19,6mm. 
INCH (palavra inglesa, significa POLEGADA) Medida interna 
Orelha Orelha 
 Fixador 
Cursor 
Escala Haste 
 Haste de 
profundidade 
 Medida de 
profundidade Escala 
 Impulsor 
 Cursor 19,6mm 
Vernier (mm) 
 Encosto fixo 
Encosto 
móvel 
 Bico fixo 
Bico móvel Medida 
externa Fig. 1 - 1 
Paquímetro com vernier de 1/10mm 
 (Desenho em tamanho natural) 
Fig. 1 - 2 
 0 4 8 1_ 
 128 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 
 0 10 
 
 8_ mm 
10 
 INCH 
Vernier(pol
) 
 INCH 
 
21 
 
 
 
 
USO DO NÔNIO 
 
O NÔNIO consiste numa pequena régua graduada, móvel ao longo de uma 
escala, chamada PRINCIPAL, e é empregado nas medições que envolvem frações da 
unidade da escala principal. Na figura 2, vê-se uma escala principal em “mm” e um 
nônio que pode medir frações de mm. O comprimento total do nônio, medido na escala 
principal é de 9mm. Como na figura o nônio está dividido em 10 partes, cada parte vale: 
 
9
10
0 9
mm
mm= , 
 
 
 
 
 
Fig. 2 
 
 
Com o zero do nônio coincidindo com o zero da escala principal, vê-se que a 
distância entre o traço vertical indicado por “1” na escala principal e o traço indicado por 
“1” no nônio é de: 
 
(1 - 0,9) mm = 0,1mm 
 
Já a distância entre o traço “2” da escala principal e o traço “2” do nônio é de: 
 
(2 - 2 x 0,9)mm = (2 - 1,8)mm 
 = 0,2mm 
 = 2 x 0,1mm 
 
Na figura 3, fizemos o traço “3” do nônio coincidir com o traço “3” da escala 
principal. Então a distância entre o traço zero da escala principal e o traço zero do nônio, 
é de: 
 
3 x 0,1mm = 0,3mm 
 
ESCALA PRINCIPAL (mm) 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
NÔNIO 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 23 
 
 
 
 Fig. 3 
 
Note que, no caso do nônio das figuras 2 e 3, a diferença entre cada parte da 
escala principal e cada parte do nônio, é de 
 
0,1mm 
 
essa diferença entre as partes é o menor comprimento mensurável pelo paquímetro das 
figuras 2 e 3, e constitui portanto sua PRECISÃO. 
Colocado em termos de equação, tem-se que: 
 
PRECISÃO DO PAQUÍMETRO (menor valor mensurável) = (UMA PARTE DA ESCALA 
PRINCIPAL) - (UMA PARTE DO NÔNIO) 
 
Fazendo: P = Precisão 
C = Comprimento do nônio 
n = Número de divisões do nônio 
N = Valor de cada parte do nônio 
 
Teremos: 
 
 P mm N P mm
C
n
= - = -1 1 
 
 
 
Medição de uma peça, utilizando uma escala principal em mm e um nônio do 
tipo da fig. 2 (cada parte valendo 0,9mm). A diferença entre as partes (da escala 
principal e do nônio) é igual a 0,1mm. Na figura 4, a peça está entre o zero da escala 
principal e o zerodo nônio. A extremidade da peça, vista na escala principal, está entre o 
2 e o 3. A parte que excede aos 2mm da peça é determinado com o emprego do nônio. 
 
 
ESCALA PRINCIPAL (mm) 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
NÔNIO 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 24 
 
 
 
 Fig. 4 
 
 
Como a parte excedente, é exatamente igual a distância entre o 2 da escala 
principal e o zero do nônio, e o traço do nônio que coincide com um dos traços da escala 
principal é o 3, então o excedente é 
 
3 x 0,1mm = 0,3mm 
 
e a medida exata da peça é 
 
2,3mm 
 
 
 
Em termos de equação, a medida da peça poderia ser obtida, do seguinte 
modo: como o traço 5 da escala principal coincide com o traço 3 do nônio, temos que: 
 
5 partes da escala principal = (comprimento x da peça) + (3 partes do nônio) 
ou 
5 = x + 3 x 0,9, onde: uma parte da escala principal = 1mm. 
 uma parte do nônio = 0,9mm 
logo 
x = 5 - 3(1 - 0,1) 
= (5 - 3) + 3 x 0,1 
= 2 + 0,3 donde x = 2,3mm 
 
Como foi visto, a diferença entre cada parte da escala principal e da do nônio, é 
a precisão “P” do instrumento (Menor medida mensurável). 
 
ESCALA PRINCIPAL 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
NÔNIO 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 25 
 
USO DO PAQUÍMETRO 
 
a) Determine a precisão de um paquímetro 
 
 
 
 
a) Feche o paquímetro, isto é, o zero da escala principal coincidindo com o zero do 
nônio; 
b) Verifique o comprimento do nônio usando a escala principal inferior de seu 
paquímetro; 
c) Verifique em quantas partes o nônio é subdividido; 
d) Determine o comprimento de cada parte do nônio, dividindo o seu comprimento, item 
b, pelo número de subpartes do nônio, item c; 
e) Cálculo da precisão P do paquímetro (diferença entre as partes). Normalmente a 
escala inferior do paquímetro é em milímetro, isto é, cada parte da escala principal é 
igual a 1mm. Seja N o valor de cada parte da escala do nônio, item d. Então a 
precisão P do paquímetro é: 
P = 1mm - N diferença entre as partes. 
= mm 
Note que “P” é a menor medida que o seu paquímetro pode efetuar. 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 
Mitutoyo 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 26 
 
EXEMPLO DE LEITURA 
 
Coloque a peça entre o zero da escala principal e o zero do nônio. Chame de 
L0 o maior valor inteiro da peça, lido na escala principal do paquímetro, e que fica 
imediatamente antes da extremidade final da peça. O comprimento total L da peça é: 
 
L = L0 + (a parte excedente). 
 
Calcule a parte excedente assim: Verifique qual a ordem do traço “n” do 
nônio que melhor coincide com qualquer um dos traços da escala principal, e a 
parte excedente = n. precisão (diferença das partes) 
 = n. P 
 
 
Logo o comprimento L da peça é: 
 
L = L0 + nP 
 
 
 
 
 
 
3. MATERIAL NECESSÁRIO: 
a) Paquímetro 
b) Peças, fios e cilindros 
20,76mm 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
Mitutoyo 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 27 
EXPERIÊNCIA No 2 
 
 
MICRÔMETRO 
 
1. OBJETIVO: 
Obtenção de medidas de comprimento com o uso do micrômetro. 
 
2. INTRODUÇÃO TEÓRICA: 
2.1. INTRODUÇÃO 
Quando se deseja medir comprimentos, com precisão de ordem de 0,01 a 
0,001mm, usa-se o micrômetro, também chamado de palmer; destina-se a medir 
diâmetro de fios, espessura de chapas de lâminas, etc. 
O micrômetro é composto de uma parte curva, o arco que contém o encosto e 
a haste, além de um fixador; solidário ao arco há um cilindro chamado bainha, 
contendo uma graduação em milímetros ou em polegadas, conforme o modelo de 
micrômetro, e o tambor, com uma graduação circular. 
 
 
 
2.2. FUNCIONAMENTO DO MICRÔMETRO - (Micrômetro de precisão 0,01mm) 
A haste é fixada ao tambor através de uma parte rosqueada, chamada 
parafuso micrométrico, de passo igual a 0,5mm, que gira em uma porca. Isto 
significa que para cada volta completa do tambor, a haste desloca-se 0,5mm na 
direção de seu eixo. Como o tambor está dividido em 50 partes iguais, pode-se medir 
qualquer deslocamento da ordem de 0,01mm, pois 0,5mm/50 = 0,01mm. 
 
2.3. PRECISÃO 
tambor do divisões de Número
Passo
 Precisão = 
 
1 
 2 
 ARCO 
 FIXADOR 
 BAINHA 
 TAMBOR 
1 - HASTE 
2 - ENCOSTO 
 15 
 10 
5 
 0 1 
0 - 25mm 0,01mm 
Mitutoyo 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 28 
 
2.4. DESLOCAMENTO AXIAL ( D ) 
 
D = (Número de voltas ) x ( Passo ) 
 
 
2.5. MANUSEIO DO MICRÔMETRO 
O primeiro passo antes de usar o micrômetro consiste em zerar o instrumento. 
Para tal, é necessário fazer tocar a haste no encosto, girando o tambor por sua parte 
rugosa. Quando isto ocorre, o zero da escala do tambor deverá coincidir com a linha 
horizontal da escala da bainha. Caso contrário, terá que ser feita correção nas leituras 
subseqüentes. 
O segundo passo é girar o tambor, entre o polegar e o indicador; até que a 
abertura permita a colocação do objeto a ser medido. Deve-se ter o cuidado para que o 
objeto fique bem colocado, a fim de se evitar uma falsa medida. O terceiro passo 
consiste em girar o tambor no sentido contrário ao da operação anterior até que o 
tambor deslize sem avançar axialmente. A leitura poderá então ser feita. 
 
 
2.6. LEITURA DO MICRÔMETRO 
A bainha contém duas graduações em milímetros: a superior e a inferior à linha 
horizontal, sendo que a graduação inferior indica os “ meio-milímetros”. Leia a medida 
do micrômetro da forma seguinte: 
1. Verifique quantos milímetros há entre o zero da escala superior e o tambor; 
2. Verifique se há algum traço da escala inferior entre o último traço da escala 
superior e o tambor; 
3. Obtenha o valor do traço da escala do tambor que coincide com a linha 
horizontal da bainha; 
4. Coloque o número obtido na primeira instrução seguida de uma vírgula; se 
não houver o traço que indica meio milímetro na instrução 2, ponha após a 
vírgula o valor do traço da instrução 3. Caso haja o traço da 2, acrescente 50 
ao valor do traço da instrução 3 e coloque o resultado após a vírgula. 
 
 
EXEMPLO DE LEITURA 
 
 
 
 
 
1. 7mm na escala superior 
2. há o traço na escala inferior 
3. traço 11; 50 + 11 = 61 
4. resultado: 7,61mm 
 0 5 15 
 10 
 5 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 29 
Verifique as leituras dos exemplos abaixo: 
 
 
 
Leitura = 4,20mm 
 
 
 
 
 
Leitura = ( ) - complete 
 
 
 
 
3. MATERIAL NECESSÁRIO: 
a) 1 micrômetro 
b) esferas 
c) fios 
 
 0 1 2 3 4 30 
20 
10 
 0 1 2 3 
 20 
10 
0 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 30 
 
EXPERIÊNCIA No 3 
 
 
 
 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) 
 
1. OBJETIVO: 
Determinar a aceleração do movimento de um corpo num plano inclinado. 
 
2. INTRODUÇÃO TEÓRICA: 
O MRUV tem como características, trajetória retilínea e aceleração constante 
diferente de zero. 
Equações do Movimento: 
a) equação da velocidade: v = v ( t ) 
 
 
 
 
b) equação da posição - x = x ( t ) 
 
 
 
 
c) equação de Torricelli v = v ( x ) 
 
 
 
 
3. MATERIAL NECESSÁRIO: 
a) cronômetro 
b) plano inclinado ( calha ) 
c) esferad) régua 
 
4. PROCEDIMENTO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 v = vo ± a.t 
 x = xo + vot ± 1/2. a.t2 
 v2 = v2o ± 2.a.x 
 q 
 h 
Fig. 1 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 31 
PROCEDIMENTO I 
Determinaremos a aceleração de um móvel num plano inclinado (fig. 1), 
medindo-se o tempo t de percurso para uma distância x conhecida. Meça o tempo t 
para os valores de x indicados na tabela 1, e anote-os na mesma. Obs.: X é medido a 
partir da extremidade inferior da calha. 
 
** Vê a tabela 1 no procedimento experimental 
 
Para xo = 0 e vo = 0, teremos da equação x = xo + vot + ( ½ ) at2 que 
 
 a
x
tmedio
=
2
2 
 
 
PROCEDIMENTO II 
Determinaremos a aceleração de um móvel num plano inclinado ( fig. 2 ), medindo-se “x” 
e “h”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela 2a Lei de Newton, temos 
 
S F = ma Þ Px = ma Þ Psen q = ma 
 
e mgsen q = ma a = gsen q 
 
 
Como sen q = =
h
x
a g
h
x
, . 
 
 
Para os valores de “x” indicados na tabela 2, meça os valores correspondentes de h. 
 
 
 N 
 h 
Py 
P 
 q 
Fig. 2 
 q 
 Px X 
teremos 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 32 
 
EXPERIÊNCIA No 4 
 
 
MOVIMENTO DE PROJÉTIL 
 
1 - OBJETIVO: 
Determinar as grandezas do movimento 
 
2 - INTRODUÇÃO TEÓRICA: 
Movimento de projétil consiste no estudo da composição de dois movimentos 
independentes; um movimento na horizontal, uniforme e um outro na vertical, 
uniformemente variado. Veremos apenas o caso do projétil lançado horizontalmente, 
como mostra a figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Equação de velocidade 
v v cons te
v g t pois v
v v
v
v
x o
y oy
x y
y
x
= =
= =
= +
=
ì
í
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
tan
. , 0
2 2v
tg q
 
 
b) Equação da posição 
x v t
y g t
x=
=
ì
í
î
.
/ .1 2 2
 
 
no caso, 
yo = voy = 0 
 y 
Vo 
 x 
 Y 
 
 Vx 
 q 
 Vy V 
Fig. 1 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 33 
 
3. MATERIAL NECESSÁRIO: 
a) calha curva 
b) esfera 
c) anteparo 
d) papel ( branco e carbono ) 
e) régua 
 
3.1. PROCEDIMENTO TEÓRICO - I 
Monte a estrutura como indica a figura 2 e abandone a esfera, sempre da mesma 
altura H, 5 vezes. Meça, em seguida, no anteparo os cinco valores correspondentes de 
y e anote-os na tabela 1. 
 TABELA 1 
 
x = cm 
y1 
y2 
y3 
y4 
y5 
 
 
 
O valor médio de y, é dado por: 
5
yyyyy
y 54321
++++
= Þ 
5
 
y = \ cm y = 
 
3.2 PROCEDIMENTO TEÓRICO - II 
Monte a estrutura como indica a figura 3; abandone a esfera cinco vezes sempre 
da mesma altura H. Meça os resultados de x e anote-os na tabela 2. 
 TABELA 2 
 
y = cm 
x1 
x2 
x3 
x4 
x5 
 
 
 
O valor médio de x, é calculado por: 
5
xxxxx
x 54321
++++
= Þ 
5
 
x = \ cm x = 
 
Fig. 2 
 V0 
 
 y 
Fig. 3 
 vo 
 y 
x 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 34 
EXPERIÊNCIA No 5 
 
 
ATRITO 
 
1. OBJETIVO: 
Determinar o coeficiente de atrito estático entre um corpo e a superfície onde 
ele se apóia. 
 
2. INTRODUÇÃO TEÓRICA: 
Força de atrito é a resistência oferecida por uma superfície quando sobre ela, 
move-se ou tenta-se mover um corpo. 
A força de atrito é de dois tipos: 
a) Força de atrito estático - É a oposição ao movimento sem que este ocorra. 
b) Força de atrito cinético - É a oposição ao movimento quando este ocorre. 
A força de atrito estático varia de zero ( seu valor mínimo ) até ao valor do 
produto m . N ( seu valor máximo ), m é o coeficiente de atrito estático entre o corpo e a 
superfície e N é a força normal que a superfície exerce sobre o corpo, ou seja: 
0 £ Fe £ m e . N 
 
A força de atrito cinético é sempre igual ao valor do produto m e N, onde m e é o 
coeficiente de atrito cinético e N é a força normal que a superfície exerce sobre o 
corpo, ou seja: 
Fe = m eN 
 
A figura 1 ilustra as forças que atuam num corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROCEDIMENTO I: 
Determinação do coeficiente de atrito estático num plano horizontal. 
No esquema mostrado na figura 2, temos: 
 
 
 
 
 
N = Força normal 
P = Força peso 
F = Força externa 
FA = Força atrito 
 
( estático/cinético ) 
Fig. 1 
Fig. 2 
 ® 
 ® 
 ® 
 ® 
 
 ® ® 
 ® 
 FA 
 F 
 N 
 N 
P 
 FA F 
 P 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 35 
 
O bloco de peso P
®
 está em repouso sobre o plano horizontal que faz uma 
reação normal N
®
. Puxe o corpo lentamente na horizontal através de um dinamômetro 
que permite ler a força F
®
 aplicada ao bloco para tentar movê-lo. Ao aplicar a força 
horizontal F
®
 surge a força de atrito Fe
®
, de intensidade igual a F, mesma direção e 
sentido contrário. 
 
Na iminência do movimento, temos: 
 
Fe = me N Þ m e = 
F
N
e 
como Fe = F e N = P, teremos: 
 
 
 
 
 
PROCEDIMENTO II 
Determinação do coeficiente de atrito estático num plano inclinado. Coloque o 
bloco sobre a prancha horizontal. Em uma das extremidades, levante-a lentamente até o 
bloco ficar na eminência do movimento, como indica a figura 3. 
Então na eminência do movimento as forças atuantes são as indicadas na 
figura 3. Como o bloco ainda está em repouso, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fe = Px Þ m e N = Px Þ m e = 
P
N
x , temos que: N = Py 
m e = 
y
x
P
P
 Þ m e = 
ccosP
csenP
q
q
 Þ m e = 
ccos
csen
q
q
 Þ m e = tgqc 
 
3. MATERIAL NECESSÁRIO: 
a) blocos 
b) dinamômetro 
c) prancha 
d) transferidor 
 m e = 
F
P
 
Fig. 3 
 N Fe 
 Px 
 Py 
 P q 
 q 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 36 
EXPERIÊNCIA No 8 
 
 
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA - MOLAS 
 
1. OBJETIVO: 
Determinar a constante elástica “K” de uma mola e de uma associação de 
molas. 
 
2. INTRODUÇÃO TEÓRICA: 
Os corpos materiais, quando sujeito à ação de forças, sofrem deformações. 
Estas deformações guardam relações com as forças que as produziram. A 
dependência entre a força aplicada e a deformação é uma lei física. 
Tomemos como exemplo uma mola helicoidal, submetida à ação de duas 
forças axiais, aplicadas nos seus externos. Conforme o sentido das forças, a mola 
poderá sofrer uma distensão (alongamento) ou uma compressão (encurtamento). Em 
qualquer caso, se a intensidade da força aplicada é relativamente pequena, observa-se 
que F a DX onde F é a força aplicada e DX a deformação ou variação de 
comprimento. Isto é, 
F = K . DX (Lei de Hooke) 
O fator de proporcionalidade K depende da estrutura do corpo deformado 
(mola) e é chamado “constante elástica” da mola. 
Se a força deformante for aumentando, chegará um ponto em que a relação 
acima (dependência linear) não é mais válida. Diz então, que o corpo (mola) 
ultrapassou o limite da elasticidade. 
 
PROCEDIMENTO 
Monte a estrutura como indica a figura 1. 
 
 
 
 
 
 
K 
Fig. 1 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 37 
PROCEDIMENTO 
Determinação da constante elástica da mola através da Lei de Hooke. 
Anote na tabela 1 o nível do pratoporta-pesos em relação a régua. Em 
seguida coloque pesos sucessivos (aferidos) e leia para cada peso a deformação 
correspondente da mola. Calcule a constante “K” pela equação P = K . Dx e complete a 
tabela 1. 
TABELA 1: 
Pi ( gf ) Dx = ( x - xo )cm Ki ( gf / cm ) 
 
 
 
 
 
 
A constante de “ K ” da mola será: 
 
Þ=Þ
++++
=
 
K 
N
K...KKK
K n321 =K __________ 
 
 
ASSOCIAÇÃO DE MOLAS 
Nas deduções seguintes serão usadas molas de mesmo comprimento. 
(idênticas). 
a) Associação em série 
A deformação total da associação é a soma das deformações de cada uma 
das molas. (Veja a figura 1). 
Pela Lei de Hooke 
 
F Kx= , temos 
F K x x
F
K
F K x x
F
K
1 1 1 1
1
1
2 2 2 2
2
2
= =
= =
 
 
x x x e F F F= + = =1 2 1 2 
 
x
F
K
F
K
= +1
1
2
2
 ou 
 
mola 1 
Mola 2 
K1 
K2 
DX 
 F 
Fig. 2 
MOLA 1: 
MOLA 2: 
Logo: 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 38 
( )x
K K
F i= +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1 1
1 2
. 
 
Uma única mola que sofre a mesma deformação, quando a força aplicada é F, 
denomina-se mola equivalente. Nesta mola tem-se: 
 
F K x= D 
ou 
x
K
F=
1
. ( 2 ) 
 
Comparando ( 1 ) e ( 2 ), vem 
 
 
1 1 1
1 2K K K
= + 
 
Onde K é a constante da mola equivalente 
 
 
PROCEDIMENTO 
Determinação da constante K da associação em série. 
Monte a estrutura como indica a figura 3. 
 
 
 
Determinação da constante elástica da associação através da Lei de Hooke. 
Anote na tabela 2 o nível do prato porta-pesos em relação a régua. Em 
seguida coloque pesos sucessivos (aferidos) e leia para cada peso a deformação 
correspondente da mola. Calcule a constante “K” pela equação P = K . Dx e complete 
a tabela 2. 
 
 
K1 
K2 
 Dx 
 ( a ) Fig. 3 ( b ) 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 39 
TABELA 2 
Pi ( gf ) x = ( x - xo )cm Ki ( gf / cm ) 
 
 
 
 
 
 
 
A constante “ K ” da mola será: 
 
K
K K K K
N
K
n=
+ + + +
=1 2 3
. . .
 
 
b) Associação em paralelo 
Façamos a mesma deformação para cada mola da associação em paralelo, 
mostrada na figura abaixo. 
 
 
F K x
F K x
1 1
2 2
=
=
 
 
( )F F F F K K x= + == = +1 2 1 2 . ( I ) 
Na mola equivalente: F Kx= ( II ) 
De ( I ) e ( II ), vem: 
 
K K K= +1 2 
 
onde K é a constante elástica da mola equivalente. 
 
 
 X0 
1 2 
 Dx 
x 
 a b 
F
®
MOLA 1: 
MOLA 2: 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 40 
PROCEDIMENTO 
Determinação da constante K da associação em paralelo. Monte a estrutura 
como indica a figura 4a. 
 
 
 
Determinação da constante elástica da associação através da Lei de Hooke. 
Anote na tabela 3 o nível do prato porta-pesos em relação a régua. Em 
seguida coloque pesos sucessivos (aferidos) e leia para cada peso a deformação 
correspondente da mola. Calcule a constante “K” pela equação P = K . Dx e complete 
a tabela 3. 
TABELA 3 
Pi ( gf ) Dx = ( x - xo )cm K1 ( gf / cm ) 
 
 
 
 
 
 
A constante “K” da mola será 
 
K
K K K K
N
K
n=
+ + + +
=1 2 3
. . .
 
 
3. MATERIAL NECESSÁRIO 
a) Molas 
b) Prato porta-pesos 
c) Massas aferidas (pesos) 
d) Hastes 
 K 
 Xo 
Dx 
 X 
 ( a ) Fig. 4 ( b ) 
 
 
T0049Apost./2000.1/N 41