calculo1 lista3

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3ª Lista de Cálculo I 
 
 
1) Verifique se a função 2x xy e xe= + é 
solução da equação diferencial: 
 
'' 4 ' 4 xy y y e− + = 
 
2) Determine A e B para que a função 
cosy Asenx B x= + seja solução da 
equação diferencial: 
 
(4) 4 ''' 6 '' 4 'y y y y y senx+ + + + = 
 
3) Verifique se a função ( )y sen senx= 
é solução da equação diferencial: 
 
2'' ' cos 0y y tgx y x+ ⋅ + ⋅ = 
 
4) Verifique se existe '(0)f , onde: 
 
1/
, se 0
( ) 7
4 x
senx x
f x x
e−
≤

= 
 −
 
 
5) Calcule '(0)f , onde: 
 
³ | |
, se 0
( )
0, se 0
sen x
x
f x x
x

≠
= 
 =
 
 
6) Verifique se a função cosxy e x−= é 
solução da equação diferencial: 
 
(4) 4 0y y+ = 
 
 
7) Determine a equação da normal à 
curva dada por 4 2 2 0y x y x y− + − = no 
ponto de ordenada 1 e abscissa não-
nula. 
 
8) Se ye xy e+ = , calcule ''y no ponto 
de abscissa nula. 
 
9) Considere uma função definida impli-
citamente por 3 3 3 0x y xy+ − = . 
Calcule ''y no ponto 
2 4
,
3 3
 
 
 
. 
 
10) Determine as equações das tan-
gentes ao círculo 2 2 52x y+ = que são 
paralelas à reta2 3 6y x+ = . 
 
11) Determine os quatro pontos da 
Lemniscata de Bernoulli, de equação: 
 
2 2 2 2 2( )x y x y+ = − , 
 
nos quais as retas tangentes são hori-
zontais. 
 
 
12) Seja ( )y f x= dada implicitamente 
por 1 yy xe= + , onde 2y ≠ . Calcule ''y . 
Dê a resposta em função de y apenas. 
 
13) Verifique se existem retas tangen-
tes à hipérbole 2 24 9 36x y− = que se-
jam paralelas à reta 2 5 10x y+ = . 
 
14) A altura de um cone está diminuin-
do à taxa de 3 cm/s, enquanto que seu 
raio aumenta à razão de 2 cm/s. 
Quando o raio mede 4cm e a altura 
mede 6 cm, qual a razão de variação 
do volume do cone? (lembre-se: como 
a altura h diminui, 3
dh
dt
= − , e como o 
raio r aumenta, 2
dr
dt
= ) 
 
15) Um homem de 1,80 m de altura 
está a 12 m da base de um poste de 
luz com 20 m de altura e caminha em 
direção ao poste a uma velocidade de 
4,0 m/s. Com que taxa o comprimento 
de sua sombra está diminuindo? 
16) Quando duas resistências elétricas 
1 2 e R R são ligadas em paralelo, a re-
sistência total R é dada por: 
 
1 2
1 1 1
R R R
= + 
 
Se 1 2 e R R aumentam à razão de 
0,01Ω /s e 0,02Ω /s respectivamente, 
qual a taxa de variação de R no 
instante em que 1 30R = Ω e 2 90R = Ω ? 
 
17) Despeja-se areia sobre um monte 
em forma de cone, à taxa constante de 
1,4 m³/min. As forças de atrito na areia 
são tais que a altura do monte é sem-
pre igual ao raio de sua base. Com que 
velocidade a altura do monte aumenta 
quando ele tem 1,5m de altura? 
 
18) Uma pedra é atirada num lago, 
produzindo uma série de ondas circula-
res e concêntricas. Se o raio da onda 
mais externa cresce uniformemente a 
uma velocidade de 6 m/s, ache a taxa 
de crescimento da área de água em 
agitação, quando o raio da onda é 20m. 
 
19) Às 15 horas, o navio A está a 17 
milhas ao sul do navio B. Se o navio A 
navega para oeste a 24 mi/h e o navio 
B navega para o sul a 16 mim/h, com 
que velocidade se separam os dois 
navios às 15:30? 
 
20) A seção reta de um túnel tem a 
forma de um retângulo encimado por 
um semicírculo. O perímetro da seção 
é igual a 18 cm. Determine o raio do 
semicírculo para a área da seção ser 
máxima. 
 
 
 
21) Um cavalo corre, a 20km/h, ao 
longo de uma circunferência, onde em 
seu centro há uma lâmpada. No ponto 
de partida da corrida do cavalo está 
situada uma cerca, que segue a dire-
ção da tangente à circunferência 
referida. 
 Com que velocidade desloca-se a 
sombra do cavalo, ao longo da cerca, 
no momento em que este percorreu 1/8 
da circunferência? 
 
22) Uma calha horizontal possui 20 m 
de comprimento e tem uma seção trian-
gular isósceles de 8 cm de base, no 
topo, e 10 cm de profundidade. 
 
 
Devido a uma forte chuva, a água em 
seu interior está se elevando à razão 
de 0,5 cm/min, no instante em que está 
a 5 cm de profundidade. Com que velo-
cidade o volume de água, em seu inte-
rior, está crescendo neste instante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
 
 1) É solução; 2) A = – 1/4, B = 0; 3) É Solução; 
 
 
 4) não existe '(0)f ; 5) 0; 6) É solução 7) 2y x= − + ; 
 
 
 8) 2e− ; 9)
162
''
125
y = − ; 10) 3 2 26 0x y+ ± = 
 
 11) 
6 2 6 2 6 2 6 2
, , , , , e ,
4 4 4 4 4 4 4 4
       
− − − −              
       
; 
 
 12) 
2
3
(3 )
''
(2 )
ye y
y
y
−
=
−
; 13) Não existem; 14) Aumenta de 16π cm³/s; 
 
 
 15) Diminui à taxa de 0,3956m/s 16) 36,875 10 / s−× Ω 
 
 
 17) 0,198 m/min 18) 240π m²/s 19) Se distanciam à taxa de 9,6 mi/h; 
 
 
 20)
18
2,52
4
m
π
≈
+
 21) 40km/h; 22) 4000cm³/min