Apostila de Tratamento de Dados

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
ÁREA DE TECNOLOGIA E COMPUTAÇÃO 
 
DISCIPLINA: Tratamento de Dados CÓDIGO: 503559 
PROFESSOR: Wanderlei O. Gonsalez 
 
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Introdução 
 
Modelo Científico: 
 
É uma representação lógica, um conjunto de mecanismos virtuais que permite a 
representação de um fenômeno. 
 
Modelo mecanístico: 
 
 São aqueles construídos a partir do conhecimento físico básico em que relaciona 
as variáveis. 
 Exemplos: corrente elétrica através de um fio de cobre (I = E/R) 
Corrente = voltagem/resistência 
Movimento linear: um veículo se movimentando em linha reta a velocidade constante 
(V= d/t) 
 
Modelo empírico: 
 
 São aqueles que resultam da aplicação da experimentação e não do 
conhecimento científico teórico do fenômeno. 
 Exemplos: determinação da massa molecular média 
Mn = f (V, C, T) 
 Série de Taylor: 
Mn = β0 + β1 V + β2C + β3T + ε 
 
 
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Β’s – parâmetros desconhecidos 
ε é o termo adicionado ao modelo para considerar que os dados observados não seguem 
exatamente o modelo mecanicista. 
 
O que é Método Científico? 
É o conjunto de etapas ordenadamente dispostas a serem executadas na 
investigação de um fenômeno. 
Etapas: 
1) Observação / Experimentação – Observação das órbitas dos planetas / 
Experimentação física com corpos 
2) Análise 
3) Hipóteses – Existe uma força regular e calculável de atração entre duas 
massas 
4) Teste Experimental 
5) Modelo – Lei da Gravitação F = g.m.n/d² 
6) Generalização (lei) – Dois corpos se atraem em proporção direta às suas 
massas e inversa ao quadrado da distância entre si. 
 
Estatística 
 
É um conjunto de técnicas metódicas através das quais se pode uniformizar a 
coleta, organização, resumo, apresentação, descrição e análise de observações (dados), 
possibilitando conclusões válidas para a tomada de decisões. 
O termo também é usado para designar os próprios dados ou resultados deles 
derivados, tais como médias. 
Exemplo: estatística de empregos, de acidentes. 
 
 
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O termo tratamento surgiu com a experimentação agrícola e servia para designar 
o que estava em comparação: fertilizantes, defensivos, variedades, etc. Hoje tem 
significado mais geral. 
A estatística pode ser dividida em duas classes: 
1) Estatística descritiva 
São os procedimentos que visam à coleta, tabulação e descrição de conjuntos de 
observações que podem ser quantitativos ou qualitativos. 
2) Estatística indutiva ou inferencial 
Constituem-se nos métodos de análise de observações que visam testar 
hipóteses experimentais e estimar características populacionais com base em uma 
amostra. 
Tipos: 
 
Estatísticas paramétricas e não-paramétricas 
 
Paramétricas: São aquelas que atendem a certos pressupostos como 
normalidade da distribuição e homogeneidade de variância dos dados. 
 
Não-Paramétricas: Também chamada de livre de distribuição e que não atende 
as técnicas paramétricas de análise. 
A principal desvantagem do procedimento não-paramétrico diz respeito ao 
menor poder das estatísticas comparado ao paramétrico. O poder de um teste representa 
a capacidade de rejeitar uma hipótese nula quando ela é falsa. 
 
 
 
 
 
 
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População e amostra 
População ou universo: É o grupo completo de unidades elementares em estudo, 
por exemplo, objetos, indivíduos, etc... 
A população pode ser finita ou infinita. 
Finita: quantidade de indivíduos de uma cidade. 
Infinita: todos os resultados (cara ou coroa) em sucessivos lances de uma 
moeda. 
Amostra: É um subgrupo de unidades elementares selecionados numa 
população, isto é, uma pequena parte da população em análise. 
Uma amostra representativa tem as mesmas características da população de 
onde foi retirada. 
Amostra aleatória: é quando uma amostra de tamanho n retirada de uma 
população é uma das possíveis e igualmente prováveis combinações de n unidades 
elementares que podem ser retiradas de uma população. 
 
Formação de amostras aleatórias 
 
Consiste em atribuir um número a cada elemento da população, escrever esses 
números em pedaços de papel, colocá-los em uma urna e, após retirá-los dali, 
misturando-os bem antes de cada extração. 
 
Amostras com e sem reposição 
 
Quando o número extraído é reposto para novo sorteio ele pode ser mais de uma 
vez escolhido denomina-se amostragem com reposição e quando só pode aparecer uma 
vez chama-se amostragem sem reposição. 
 
 
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Outro processo é o uso de tabelas de números aleatórios, especialmente 
construídos para essa finalidade. 
Quando usar amostragem: 
- Economia 
- Tempo 
- Confiabilidade dos dados 
- Operacionalidade 
Quando não é interessante usar amostragem: 
- População pequena 
- Característica de fácil mensuração 
- Necessidade alta precisão 
- Exercícios 
1) Exercício: Estimar nº palavras do texto. 
2) Exercício: Uso da tabela de nº aleatórios: altura dos alunos. 
A tabela é confeccionada por sucessivos sorteios. 
Não há uma forma específica para extração dos números da tabela. 
1) Extrair uma amostra de tamanho cinco (n=5); 
2) Tomar cinco nº aleatórios do conjunto de {01,02,03,04.....35} Os alunos associados 
a esses números formarão a amostra. Usa-se a primeira linha, por exemplo, excluindo-
se os valores fora do conjunto e os que se repetirem. 
 
Tamanho de uma Amostra Aleatória Simples 
 
a) Desconhecendo N: 
no = 1/(Eo)2 
N = tamanho da população 
n = tamanho da amostra 
 
 
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no = primeira aproximação para o tamanho da amostra 
Eo = erro amostral tolerável 
b) Conhecendo N: 
n = N x no/N + no 
Exemplos: 
1) Em uma empresa que produz-se 4000 peças/dia. Deseja-se controlar a 
qualidade por inspeção visual. Quantas peças devem ser avaliadas com um erro 
amostral de 2,5 %? 
Resolução: 
no = 1/(0,025)2= 1.600 peças 
n = 4000 x 1600/4000 + 1600 = 1.143
 
2) Se a empresa reduzir a amostragem para 500 peças. Qual o tamanho do erro 
amostral? 
Resolução: 
500 = 4000 x no /4000 + no 
 
2000000 + 500 no = 4000 no 
2000000 = 4000 no -500 no 
2000000 = 3500 no 
 no =571,43 
571,43= 1/(E0)2= 1.600 peças 
E0 = 0,042 ou 4,2% 
 
Fontes de erros: 
- População acessível diferente da população alvo. 
- Erros de mensuração. 
- Falta de resposta. 
 
 
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Variáveis 
 
 Uma variável é um símbolo (A, X, x,) que pode representar uma 
propriedade ouatributo, assumindo um conjunto de valores chamado de 
domínio da variável. É uma característica da unidade elementar que pode ter 
valores diferentes entre as unidades medidas. 
 
Classificação das Variáveis 
 
No caso da variável assumir apenas um valor ela é chamada de 
constante. 
 
1) Quantitativas (numérica): São aquelas medidas numa escala numérica. 
Podem ser: 
a) Variável discreta: É aquela que tem valor dentro de uma 
faixa finita (ou infinita contável). Exemplos: n◦ de toques no 
teclado, n◦ de peças defeituosas, quantidade de pessoas no 
planeta. 
b) Variável contínua: É aquela que pode assumir qualquer valor 
finito ou infinito entre dois dados. Exemplos: Temperatura, 
pressão, comprimento, peso, densidade, altura. 
 
2) Qualitativas (categórica): São aquelas não numéricas. 
 
a) Nominais: Não possuem ordenamento nem hierarquia. 
Exemplo: tipo de processo, tipo de material. 
 
 
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b) Ordinais: São semelhantes as nominais, porém incluem uma 
hierarquia. Exemplo: Grau – melhor, excelente ou intensidade 
– Muito, forte, etc... 
 
3) Sequência temporal: São aquelas em que é considerado o fator tempo. 
 
a) Séries temporais: Quando é considerada a sequência 
temporal. Exemplo: n◦ de peças injetadas no dia, gasto de 
energia no mês. 
b) Variáveis cruzadas: Quando não é considerada a série 
temporal. Exemplo: Média de peças produzidas no mês por 
injetora. 
 
Variável aleatória: É uma função que atribui um número real para cada 
resultado no espaço amostral de um experimento aleatório. 
Modelo – Y = f.X 
Y =Variável Dependente 
X =Variável Independente 
f =Função = Parâmetros + Relacionamentos Internos do Modelo Científico 
 
Variáveis Independentes: 
 
São aquelas que se introduz intencionalmente para verificar-se a relação 
entre suas variações e o comportamento de outras variáveis, isto é, 
correspondem àquilo em função do qual se deseja conseguir realizar previsões 
e/ou obter resultados. São provocadas por ações do pesquisador quando da 
realização do experimento. 
 
 
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Variáveis Resposta ou Dependentes: 
 
São aquelas cujo comportamento se quer verificar em função das 
oscilações das variáveis independentes, ou seja, correspondem àquilo que se 
deseja prever e/ou obter como resultado. Ocorrem em função da realização do 
experimento, sendo o resultado do mesmo. 
 
Variáveis Espúrias ou de Controle: 
 
São variáveis que não são diretamente objeto de estudo, porém também 
interferem na relação entre as variáveis independentes e as dependentes. 
São resultado de fenômenos ocasionais não previstos e interferem no resultado 
do experimento. Devem ser controladas (temperatura ambiente, umidade etc..). 
 
Variáveis Intervenientes: 
 
É o fator ou propriedade que, teoricamente, afeta o fenômeno observado. 
Esse fator, no entanto, ao contrário das outras variáveis, não pode ser 
manipulado ou medido. É um fator hipotético, teórico, não concreto. (KÖCHE, 
2000) 
 
Escala de medição das variáveis 
 
a) Nominal: É a escala mais elementar de medida. As observações 
(dados) são agrupadas em categorias ou classes, sendo que os 
 
 
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valores para representar são arbitrários, não tendo significado 
numérico (apenas um rótulo). 
Exemplos: 
Variável Valores 
Processo 1,2, etc... 
Peça 1 ou A, etc... 
Membro do grupo 1 = experimental, 2 = placebo e 3 = rotina 
Gênero 1 = masculino, 2 = feminino 
 
 
b) Ordinal: As informações são codificadas conforme a posição que 
ocupam no conjunto de dados (postos) e os valores não são 
arbitrários e devem respeitar a hierarquia existente entre as 
categorias. A distância entre as categorias é desconhecida. 
Exemplos: 
Variável Valores 
Matéria-prima A = melhor, B = regular, C = ruim 
Processo 1 = alto desempenho, 2 = baixo desempenho 
Posição sócio-econômica 1 = baixo, 2 = médio e 3 = alto 
Escala de atitudes 1 = concorda plenamente, 2 = concorda, 3 = discorda, 4 
= discorda completamente 
 
Obs.: Não se pode estabelecer relações do tipo adição, por exemplo. 
 
c) Intervalar: O valor zero é arbitrário e não representa a ausência da 
característica mensurada. A diferença entre duas medidas permite a 
 
 
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comparação, isto é, quanto uma medida avaliada é maior ou menor 
do que a outra. 
Podem ser continuas ou discretas. 
Exemplo: Medida de temperatura na escala Celsius. 
 
d) Razão: É a escala mais completa de mensuração porque possibilita 
todas as operações matemáticas na análise de dados. È semelhante a 
intervalar, porém o zero representa a característica avaliada. 
Exemplo: Escala de temperatura Kelvin, peso, pressão sanguínea. 
A escolha da escala determina os procedimentos matemáticos e o tipo de 
estatística a ser utilizada. Na escala nominal calcular o valor médio não tem 
significado algum sobre o conjunto de dados. 
Dependendo do número de variáveis simultaneamente analisadas pode-
se ter os seguintes tipos de análises: 
 
1) Análise univariada 
 
A variável é tratada isoladamente através da exploração detalhada das 
observações que visa, por exemplo, testar a normalidade da distribuição dos dados ou 
identificar valores discrepantes em relação ao conjunto observado. 
 
2) Análise bivariada 
 
A análise visa observar a relação entre duas variáveis. Logo, é antecedida 
pela análise univariada. 
Exemplo: resistência a flexão entre uma peça moldada por injeção ou por 
compressão. 
 
 
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3) Análise multivariada 
 
Visa estabelecer relações simultâneas entre mais de duas variáveis. 
Exemplo: Avaliação da resistência a flexão entre peças moldadas por processos 
diferentes e com alterações nos parâmetros. 
 
Arredondamento de dados 
 
Considera-se o seguinte procedimento para o arredondamento de dados: 
a) Quando o algarismo à direita do último dígito que se quer arredondar 
for inferior a 5, 50, 500..., apenas desprezam-se os demais dígitos à direita. 
Exemplos: 
1) 72,43 = 72,4 
2) 72,8146 = 72,81 
 
 b) Quando o algarismo à direita do último dígito for maior que 5, 50, 
500..., adiciona-se uma unidade ao último dígito representado e desprezam-se os 
demais dígitos à direita. 
Exemplos: 
1) 83,579 = 83,58 
2) 4,18676 = 4,187 
 
 c) Quando o algarismo à direita do último dígito for 5, 50, 500...: 
 
- Adiciona-se uma unidade ao último dígito representado e desprezam-se os 
demais dígitos à direita, se esse dígito for originalmente ímpar. 
 
 
 
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Exemplos:1) 14,15 = 14,2 
2) 317,135 = 317,14 
 
- Quando o último dígito for originalmente par ou zero desprezam-se os demais 
dígitos à direita. 
Exemplos: 
1) 18,25 = 18,2 
2) 317,005 = 317,00 
3) 116.500.000 = 116.000.000 
 
Notação Científica ou Notação Exponencial 
 
 É empregada a potência de 10 (dez) para facilitar a escrita de números 
com muitos zeros, antes ou depois da vírgula. 
Exemplo: 
1) 100 = 1 
2) 101 = 10 
3) 102 = 100 (10 x10) 
4) 103 = 1000 (10 x10 x 10) 
5) 10-1 = 0,1 
6) 10-2 = 0,01 
7) 10-6 = 0,000001 
8) 31416 = 3,1416 x 104 
9) 0,00000000000425 = 4,25 x 10-12 
 
 
 
 
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Algarismos significativos 
 
 É todo conjunto de dígitos necessários para expressar uma medida de 
acordo com a precisão desejada. 
Exemplo: 
1) 4,55 = 3 algarismos significativos 
2) 4,5500 = 5 algarismos significativos 
3) 0,00015 = 1,5 x 10-4 = 2 algarismos significativos 
4) 0,0001500 = 1,500 x 10-4 = 4 algarismos significativos 
Os números que resultam de enumerações ou de contagens, ao contrário das 
medições, são exatos, logo tem uma quantidade ilimitada de algarismos 
significativos. 
 
EXATIDÃO (ACURÁCIA) DE MEDIÇÃO: Grau de concordância entre o 
resultado de uma medição e um valor verdadeiro do mensurando. 
PRECISÃO DE MEDIÇÃO: Grau de concordância entre resultados de medição 
obtidos sob as mesmas condições (repetitividade). O termo não está sendo mais 
usado em metrologia. Ambos os termos são um conceito qualitativo. 
Precisão instrumental: representa o número de dígitos após a vírgula. 
Exemplo: 
8 ±1 mL (proveta graduada grande) 
8,0 ± 0,1 mL (proveta graduada pequena) 
8,00 ± 0,01 mL (bureta) 
Nos textos é comum escrever simplesmente: 8 ml; 8,0 mL; 8,00 mL, 
pois fica implícito que há uma incerteza de uma unidade no último dígito (1 mL; 
0,1 mL; 0,01 mL). 
 
 
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O método pelo qual é indicado o grau de confiança numa medida é 
freqüentemente descrito em termos de algarismos significativos. Logo, em 8,00 
mL há três algarismos significativos. Cada um dos três dígitos em 8,00 tem 
significado experimental. Assim há dois algarismos significativos em 8,0 mL e 
um algarismo significativo em 8 mL. 
 
Como se determina os algarismos significativos: 
1) Todos os dígitos diferentes de zero são significativos. Há três algarismos 
significativos em 5,37cm e quatro em 4,293 cm. 
 2) Zeros entre dígitos diferentes de zero são significativos. Há três algarismos 
significativos em 106 g ou em 1,02 g. 
 3) Zeros além da vírgula decimal no final de um número são significativos. 
Como indicado acima, há dois algarismos significativos em 8,0 mL e três em 8,00 mL. 
4) Zeros que precedem o primeiro dígito diferente de zero em um número não 
são significativos. Numa medida de massa de 0,002 g há apenas um algarismo 
significativo - o "2" no final. Os zeros servem apenas para fixar a posição da vírgula 
decimal, ficando evidenciado quando expressamos a massa com notação exponencial 
(científica), então tem-se: 0,002 g como 2 x 10-3 g. 
5) Outros zeros a direita serão significativos dependendo do histórico do 
número. 
 
 Cálculos para propagação da incerteza: 
 
A incerteza relativa do resultado não pode ser menor que a menor 
incerteza relativa dos dados. 
a) Adição ou subtração 
 Exemplo: 5,852 + 45,3587 = 51,2107=51,211 
 
 
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b) Divisão e multiplicação 
Exemplo: Qual a molaridade de 25,0 mL de HCl 0,0887 molar, quando for 
diluído em um balão de 100mL, classe A. 
M1 V1 = M2 V2 
M2 = 25 mL x 0,0887 mmol.mL-1 / 100,00mL 
M2 = 0,022175 
Cálculo da incerteza relativa: 
IR = IA / VA, onde: 
IR = Incerteza relativa 
IA = Incerteza absoluta 
VA = Valor absoluto 
 
IR (25,0) = 0,1/ 25,0 = 0,004 x 103 = 4ppt (partes por mil) 
IR (0,0887) = 0,0001/ 0,0887 = 1,12ppt 
IR (100,00) = 0,01/ 100,00 = 0,1ppt 
Qual o valor para expressar resultado: 
M2 = 0,02 IR (0,02) = 500ppt 
M2 = 0,02217 IR (0,02217) = 0,45ppt 
M2 = 0,0222 IR (0,0222) = 4,5ppt 
M2 = 0,022175 IR (0,022175) = 0,045ppt – esta incerteza não pode 
ser dada porque ela não pode ser inferior a certeza do balão. 
 
Coleta de dados (Tipos de Pesquisa) 
Métodos de coletas de dados: 
1) Estudo observacional – Pesquisa de levantamento de dados (Survey) 
 Os dados são coletados à medida que vão sendo observados ou por meio 
da análise dos registros históricos disponíveis. 
 
 
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2) Delineamento de experimento 
O experimento é planejado para observação dos fenômenos estudados, 
onde as variáveis de entrada são controláveis e os dados de saída são medidos 
para avaliação e conclusões sobre as relações de causa e efeito. 
 
 Coleta de dados 
 
 - Definir população ou amostra 
- Dados primários – coletados diretamente. 
- Dados secundários – buscar fontes, referências. 
- Definir as variáveis 
1) Quantitativa: exemplo – nº peças produzidas 
2) Qualitativa: exemplo – aprovada ou rejeitada 
- Organizar (codificar) 
- Apresentação dos dados 
a) Organizar cada variável isoladamente (análise univariada) 
Facilita identificar a variabilidade dos dados, descrever a amostra e verificar 
suposições, previamente. 
b) Distribuição de frequências (escalas nominais e ordinais) 
c) Representação tabular e gráfica 
Gráfica 
Dados categorizados: Dados quantitativos: 
Gráfico de barras Diagrama de pontos 
Gráfico de setores Histogramas 
Gráfico de barras múltiplas Polígonos de frequências 
 Ramo e folhas 
 
 
 
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- Listar as categorias 
- Listar a freqüência para cada categoria 
- Percentagens 
Distribuição de freqüências 
Quando se tem grandes quantidades de dados costuma-se agrupá-los em classes 
ou categorias e determina-se o n° de elementos pertencentes a cada classe, que se 
chama de frequência de classe. 
 Determinação do n° de classes: k ≈ 1+ 3,3 log (n) 
Ou: k ≈ √n 
Intervalos de classes: São os extremos limites de classe. Exemplo: 151-158. 
 Limites reais de classe: Obtém-se adicionando-se ao limite superior de um 
intervalo de classe o limite inferior da classe seguinte e dividindo-se por 2: 
 Exemplo: (159 + 158)/ 2 = 158,5 
Amplitude de classe: É a diferença entre os limites reais superior e inferior dessa 
classe. 
 Exemplo: 158,5 – 150,5 = 8 
1. Acumulada 
A frequência total de todos os valores inferiores ao limite superior de um dado 
intervalo de classe é chamada de frequência acumulada, incluindo o próprio 
intervalo. 
Exemplo: 
Altura (cm) Nº de alunos 
151 – 158 5 
159 – 166 18 
167 – 174 42 
175 – 182 27 
183 – 190 8 
 
 
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A frequência acumulada do intervalo de alunos com altura de 167 a 174 é: 
5 + 18 + 42 = 65 
Significando que 65 estudantes têm alturas inferiores a 174,5 cm. 
2. Relativa 
 A frequência relativa de uma classe é a frequência da classe dividida pelo total 
de todas as classes, geralmente expressa em percentagem. 
No exemplo acima é 42 %. 
Tipos de curvas de freqüência 
a) Simétrica (forma de sino) 
São aquelas em que as observações equidistantes do ponto central máximo 
tem a mesma frequência. 
b) Assimétrica ou desviada 
A cauda da curva de um lado da ordenada máxima é mais longa que do 
outro. Se for do lado direito chama-se desviada a direita ou assimetria positiva, caso 
contrário assimetria negativa. 
c) Curva em formato J ou J invertido 
O ponto da ordenada máxima ocorre em uma das extremidades. 
d) Curva em formato U 
Tem ordenadas máximas em ambas as extremidades. 
e) Curva bimodal 
A curva possui dois máximos. 
f) Multimodal 
A curva possui mais de dois máximos. 
 
 
 
 
 
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Exemplo: peças com defeito (dados categorizados) 
Código: 1 – Sem defeito 2 – Tolerável 3 – Defeituosa 
Resultados: 
3 3 2 2 3 1 3 3 3 2 2 1 2 2 3 2 3 3 3 3 
3 3 3 2 2 3 1 3 2 3 3 2 3 1 1 1 3 3 3 3 
 
- Representação tabular e gráfica 
Tabular 
Categoria Frequência Percentagem 
1 – Sem defeito 6 15,0 
2 – Tolerável 11 27,5 
3 – Defeituosa 23 57,5 
Total 40 100,0 
 
 
 
 
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 21 
Gráfico de barras 
 
Representam-se os valores da variável no eixo das abscissas e suas as 
freqüências ou % no eixo das ordenadas. 
Pode ser para as variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas discretas. 
 
Diagrama Circular (pizza ou setores) 
 
Este tipo de gráfico adapta-se muito bem para as variáveis qualitativas 
nominais. 
 
 
 
Gráfico de barras 
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
1
2
3
Ca
te
go
ria
Frequência
 
 
 
 
 
 
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 22 
Gráfico de setores 
6
1123
1
2
3
 
 
Histograma 
 
 Constitui-se de retângulos contíguos baseado nas faixas de valores da variável 
e com área igual à freqüência relativa da respectiva faixa. 
 Assim, a altura de cada retângulo é chamada de densidade de freqüência ou 
simplesmente densidade. 
Polígono de freqüências 
 Semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das 
classes. 
Distribuição de frequências (escalas intervalares ou razões): 
Exemplo: Nº de pessoas residentes no domicílio considerando uma amostra de 
40 residências do bairro A. 
Dados: 4 4 4 5 4 1 2 3 6 4 6 4 4 6 3 5 3 4 4 4 
 5 5 5 4 8 4 5 3 4 5 5 2 5 2 6 8 3 5 5 3 
 
 
 
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 23 
Tabular 
Nº de Pessoas Frequência 
de 
Residências 
Percentagem 
1 1 2,5 
2 3 7,5 
3 6 15,0 
4 13 32,5 
5 11 27,5 
6 4 10,0 
7 0 0,0 
8 2 5,0 
Total 40 100,0 
 
Histograma 
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4 5 6 7 8
No. de pessoas residentes
Fr
eq
u
ên
ci
a 
de
 
re
si
dê
n
ci
as
Série1
 
 
 
 
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 24 
Polígono de freqüências 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ramos e folhas 
É utilizado para pequena quantidade de dados (<100), fornecendo a 
distribuição de frequência e preservando a magnitude dos valores. Os dados são 
colocados em ordem crescente. 
Exemplo: 
Taxa de rejeito por máquina (injetora) 
Dados 
32,3; 62,2; 10,3; 22,0; 13,1; 9,9; 11,9; 20,0; 36,4; 23,5; 18,0; 22,6; 20,3; 38,3; 
19,6; 27,2; 28,9; 18,4; 27,3; 21,7; 23,7; 13,9; 36,3; 32,9; 29,7; 25,4; 23,8; 15,7; 
17,0; 39,2; 22,7; 29,9; 18,3; 33,0 
Reescrevendo com os algarismos mais relevantes. 
32; 62; 10; 22; 13; 9; 11; 20; 36; 23; 18; 22; 20; 38; 19; 27; 28; 18; 27; 21; 23; 
13; 36; 32; 29; 25; 23; 15; 17; 39; 22; 29; 18; 33 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4 5 6 7 8
No. pessoas
Fr
eq
u
ên
ci
a
 
 
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 25 
1) O 1º. algarismo é colocado do lado esquerdo do traço, formando ramos. 
2) O 2º. algarismo é colocado do lado direito do traço, formando as folhas. 
 
0 - 9 
1 – 0 3 1 8 9 8 3 5 7 8 
2 – 2 0 3 2 0 7 8 7 1 3 9 5 3 2 9 
3 – 2 6 8 6 2 9 3 
4 - 
5 - 
6 – 2 
 
0 - 9 
1 – 0 1 3 3 5 7 8 8 8 9 
2 – 0 0 1 2 2 2 3 3 3 5 7 7 8 9 9 
3 – 2 2 3 6 6 8 9 
4 - 
5 - 
6 - 2 
Unidade = 1 
0 – 9 representa 9 
62 discrepante 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 26 
Retirando os valores discrepantes e duplicando nº de ramos. 
0. - 9 
1* – 0 1 3 3 
1** - 5 7 8 8 8 9 
2* – 0 0 1 2 2 2 3 3 3 
2 **– 5 7 7 8 9 9 
3* – 2 2 3 
3 **– 6 6 8 9 
 
MEDIDAS DA TENDÊNCIA CENTRAL 
 
A média é um valor característico ou representativo de um conjunto de 
dados. Como esse valor (média) tende a se localizar num ponto central, dentro 
do conjunto de dados, ordenados por ordem de grandeza, são chamados de 
medidas de tendência central. 
Média aritmética: 
 
Logo: 
 
Exemplo: 10, 15, 20, 42 
X = 21,75 
 
 
 
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 27 
Mediana: 
A mediana de um conjunto de valores, ordenados em ordem de 
grandeza, é o valor médio ou a média aritmética dos dois valores centrais. 
 
Exemplo 1: 3,4,4,5,6,8,8,8,10 
Mediana = 6 
Exemplo 2: 5,5,7,9,11,12,15,18 
Mediana = 9+11=20/2=10 
Moda: 
A moda de um conjunto de valores é aquele que ocorre com maior 
freqüência (o valor mais comum). 
A moda pode não existir e se houver pode não única. 
Exemplo1: 2,3,5,7,9,9,9,10,10,11,12,18 
Moda = 9 (unimodal) 
Exemplo2: 4,6,10,15,20 
Moda = não há (amodal). 
Exemplo 3: 2,3,5,5,5,5,5,9,10,11,11,11,11,23,28 
Moda = 5 e 11 (nesse caso se chama bimodal) 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Dispersão ou variação é o grau em que os dados tendem a dispersar-se 
em torno de um valor médio. 
Amplitude total: É a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto 
de dados. 
Exemplo: 10, 25, 30, 30, 45, 25, 10, 12 
Amplitude total:10 – 45 
 
 
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 28 
Desvio médio: num conjunto de N números X1+ X2 + X3 + ...+ XN é 
definido por: 
 
Média = 10 + 25 + 30 +30+45 +25 +10 +12/8 = 23,375 
D.M = (10-23,375) + (25–23,375)+(30-23,375)+(30-23,375)+(45–
23,375)+(25-23,375)+(10–23,375)+(12– 23,375) 
Considere em módulo: 
D.M. = |13,375|+|1,625|+|6,625|+ |6,625|+ |21,625|+ |1,625|+ |-13,375|+ 
|11,375| / 8 = 76,25/8=9,53 
 
Variância: é a média aritmética dos desvios quadráticos. 
 
 S2 = 130,98 
 
Desvio padrão: 
No conjunto de dados X1+ X2 + X3 + ...+ XN é dado por S (população) e 
calculado por: 
 
Exemplo: S=11,44 
Variância da amostra: 
 
 
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 29 
 
Desvio padrão da amostra: 
 
 
 Exemplo: Notas dos alunos: 4 5 5 6 6 7 7 8 
 
 Média: 6 
 Desvios em relação a média: -2 -1 -1 0 0 1 1 2 
 Desvios quadráticos: 4 1 1 0 0 1 1 4 
S2 = (4+1+1+0+0+1+1+4)/(8-1)=1,71 
S = 1,31 
Coeficiente de Variação (CV) 
 
É definido como o quociente entre o desvio padrão e a média. Geralmente é 
expresso em percentual. 
 
 
 
O CV é uma medida adimensional e possibilita comparar resultados com 
unidades de medidas diferentes. Quando a média é próxima a zero a comparação fica 
prejudicada. 
Exemplo: 
Experimento 1: média= 5,15 e s= 0,08 
Experimento 2: média= 13,8 e s= 1,5 
 
 
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 30 
Qual o mais preciso? 
CV= 1,55 
CV= 10,87 
 
 
PROBABILIDADE: 
 
Conceito: É o estudo da aleatoriedade e da incerteza. 
Espaço Amostral (S ou Ω) 
O espaço amostral S associado a um dado experimento é o conjunto de dados 
das possíveis ocorrências de um experimento aleatório. 
Experimento aleatório: É um experimento que pode fornecer resultados 
diferentes, mesmo que repetido toda vez da mesma maneira. 
 
PROBABILIDADE 
É o estudo da aleatoriedade e da incerteza. 
 
Espaço Amostral (S ou Ω) 
O espaço amostral S associado a um dado experimento é o conjunto de dados 
das possíveis ocorrências de um experimento aleatório. 
 
Experimento aleatório: 
É um experimento que pode fornecer resultados diferentes, mesmo que repetido 
toda vez da mesma maneira. 
Evento 
É todo e qualquer subconjunto de um espaço amostral finito (experimento 
aleatório). 
 
 
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 31 
Evento simples: Constitui-se de um único resultado. 
Evento composto: Consiste em mais de um resultado. 
Exemplo: Jogo de dados 
S = {1,2,3,4,5,6} 
A = {2,4,6} – face par 
B = {1,3,5} – face ímpar 
C = {1} – pode ocorrer só 
D = {7} ou {Ø} – evento impossível 
 
Teoria dos conjuntos 
 
a) União de dois eventos A e B – A U B é lida “A união B” é o 
evento que se constitui em todos os resultados que estão no evento A ou B ou em 
ambos, isto é, todos os resultados estão em pelo menos um dos eventos. 
b) Intersecção dos dois eventos A e B – A∩B é lida “A 
intersecção B” é o evento que se constitui de todos os resultados em ambos A e B. 
c) Complemento de um evento A, representado por A’, é o 
conjunto de todos os resultados do espaço amostral que não estão contidos em A. 
Exemplo: A = {0,1,2,3,4}, B = {3,4,5,6} e C= {1,3,5} 
AUB = {0,1,2,3,4,5,6} 
A∩B = {3,4} 
AUC = {0,1,2,3,4,5} 
A∩C = {1,3} 
A’ = {5,6} 
{AUC}’ = {6} 
 
Definição: A probabilidade de um evento (E) ocorrer (sucesso) de h maneiras 
 
 
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 32 
diferentes, num total de n modos possíveis é dada por: 
p = Pr {E} = h/n 
h = nº de ocorrências favoráveis ao evento para os quais pode ocorrer 
n = nº de possíveis ocorrências do evento 
A não ocorrência (insucesso) do evento é dada por: 
q = Pr {não E} = (n-h)/n = 1 – h/n = 1 = 1-Pr {E} 
Logo: p + q = 1 ou Pr {E}+ Pr {não E}= 1 
O evento “não E” pode ser representado Ē, ou Ẽ ou ~E. 
0 ≤ Pr {E}≤1 
Exemplo: 
Num lance de dados pode ocorrer o nº 3 ou 4. 
As possibilidades são 6: S = {1,2,3,4,5,6} 
Não havendo vício (dado honesto) podem existir 6 maneiras igualmente prováveis. 
Logo: p = 2/6 = 1/3 então: 
q = 1- p, assim q = 1- 1/3 = 2/3 
Quando todos os elementos do espaço amostral tem a mesma chance de 
acontecer, o espaço amostral é chamado de conjunto equiprovável. 
Exemplos: 
1) No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um 
evento A ? 
S = {ca, co} = 2 
A = {ca} = 1 P (A) = 1/2 = 0,5 = 50% 
2) No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em 
um evento A ? 
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = 6 
A = { 2, 4, 6 } = 3 P(A) = 3/6 = 0,5 = 50% 
 
 
 
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 33 
Eventos independentes 
 São considerados eventos independentes quando a ocorrência de um 
deles não altera a probabilidade do outro. 
 A probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem 
simultaneamente é o produto das probabilidades individuais. 
 
Eventos Mutuamente Excludentes 
Dois ou mais eventos são mutuamente excludentes quando a realização de um 
exclui a realização do(s) outro(s). 
Exemplo: O evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa". 
Se dois eventos são mutuamente excludentes, a probabilidade de que um ou 
outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: 
P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2) 
 
Probabilidade condicional 
 Se um evento E1 e E2 são dois eventos, a probabilidade de E2 acontecer, 
depois de E1 ter acontecido, é dada por Pr { E2\E1}, chama-se de probabilidade 
condicional de E2, após E1 ter acontecido. Quando E1 afetar a probabilidade da 
ocorrência de E2 chama-se de eventos dependentes. 
P (E2\ E1) = P(E1 ∩ E2)/ P(E1), sendo P(E1) ≠ 0 
Exemplo: Em um cesto contendo 4 bolas brancas e 6 bolas vermelhas qual a 
probabilidade de: 
a) Em sorteios sucessivos com reposição de retirarmos uma bola branca 
no primeiro sorteio? 
b) Em sorteios sucessivos com reposição de retirarmos uma bola branca 
no segundo sorteio? 
c) Em sorteio simultâneo sem reposição de retirarmos uma bola branca 
 
 
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 34 
no primeiro sorteio? 
d) Em sorteio simultâneo sem reposição de retirarmos uma bola branca 
no segundo sorteio? 
3) Duas cartas de baralho, bem embaralhado, de 52 cartas. Qual a probabilidade 
de ambas serem ases, se a primeira for: 
a) Recolocada 
b) Não recolocada 
 
Resumo 
Axiomas da probabilidade: 
1) P (E) = 1 
2) P (Ø) = 0 
3) P (Ẽ) = 1 – P (E) 
4) P (E1 U E2) = P (E1) + P (E2)- P (E1 ∩ E2) – se pelo menos um. 
5) P (E1 ∩ E2) = P (E1) x P (E2) – eventos independentes. 
 
Distribuição de probabilidade discreta 
 
Se uma variável X pode assumir um conjunto discreto de valores X1, X2,..., Xk, 
com probabilidades p1, p2,..., pk, respectivamente, sendo p1 + p2 + ...+ pk=1, diz-
se que está definida uma distribuição de probabilidade discreta de X. 
A função p(X) que assume os valores p1 + p2 + ...+ pk para X1, X2,..., Xk 
chama-se de função de probabilidades ou freqüência de X. Como X pode 
assumir certos valores com dadas probabilidades denomina-se de variável 
aleatória discreta ou casual ou estocástica. 
 
 
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 35 
As distribuições de probabilidade podem ser consideradas uma forma 
teórica ou de limite ideal de distribuições de frequências relativas, quando o 
número de observações é elevado. 
Assim, pode-se considerar que as distribuições de probabilidade se 
referem a populações, enquanto as distribuições de frequências relativas 
representam amostras delas extraídas. 
 
 Distribuição de probabilidade continuas 
 
A variável X analisada para a distribuição de probabilidade discreta pode 
assumir um conjunto de valores contínuos, logo o polígono de frequências 
relativas de uma amostra torna-se, no caso teórico ou limite de uma população, 
uma curva contínua. 
A equação da curva: Y = p (X). 
A área total limitada por essa curva e pelos eixos dos X é igual a 1, 
sendo que a área compreendida entre as verticais X = a e X = b dá a 
probabilidade de X estar no intervalo a e b assim formulado: 
P {a < X < b} 
A função p (X) chama-se de função de densidade de probabilidade. 
Representação: É representada por uma função, não negativa com a área 
formada entre os eixos das abscissas e a curva dessa função igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 36 
 
Exemplo 1: Medidas de ângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere-se o círculo trigonométrico, medidas dos ângulos em graus, a partir 
de uma data origem. Se o deslocamento se der no sentido anti-horário. Sendo X a 
variável que indica o ponto em que ponteiro pára (é aleatória continua, porque existem 
infinitos pontos entre 0º e 360º). 
Qual a probabilidade de X assumir um valor entre 0º e 90º? 
0≤ X < 90 
 
P (0≤ X < 90) = ¼ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 37 
Exemplo 2: Faixas de estaturas. 
É razoável supor que todas as pessoas tenham a mesma altura numa curva de 
distribuição? Ou seja, a curva é uma constante? 
- 190 a 200 cm 
- 165 a 175 cm – mais provável 
 
Qual o modelo para essa situação? Distribuição normal de probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual a probabilidade de uma pessoa ter mais de 180 cm? 
 
Definição: Seja x uma variável aleatória continua definida no conjunto dos números 
reais. Se a variável apresentar uma f.d.p. dada por: 
 
 
 
 
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 38 
Então x tem distribuição normal com parâmetros µ = média e σ2 = variância 
A área da curva é: 
 
 
Curva normal reduzida 
 
Para facilitar a obtenção da área sob a curva normal transforma-se a variável com 
média zero e desvio padrão 1. 
Z = (x - µ)/σ 
Z é um valor padronizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a estatura x = 180 cm 
Com µ = 170 e σ = 10 
Z= 180 -170/10 =1 então P (x > 180) = P (z > 1) = 0,1587 ou 15,87% 
 
 
 
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 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 40 
TESTES ESTATÍSTICOS 
 
O teste estatístico dá ao pesquisador condições de fazer inferências. 
Assim pode-se afirmar com base no teste, que a média de um experimento A é 
diferente de um experimento B para a amostra. Então, pode-se concluir que 
resultados similares ao da amostra provavelmente serão os mesmos da 
população, em determinado nível de significância. 
O que é significância? 
Em estatística significância é sinônimo de muito provável que um 
resultado similar ao que foi obtido na amostra possa ser verificado para toda a 
população se essa tivesse sido avaliada. Porém, “muito provável” não significa 
certamente. Logo, todo teste estatístico está associado há algum tipo de erro. 
A probabilidade da ocorrência de erro é o nível de significância. 
Os testes estatísticos servem para testar hipóteses no que diz respeito à 
população. 
Hipótese estatística: é uma suposição, alegação ou afirmação sobre o 
valor de um único parâmetro (característica de uma população ou característica 
de uma distribuição de probabilidade) sobre os valores de vários parâmetros ou 
sobre a forma de uma distribuição de probabilidade inteira. 
Exemplo: Uma matéria-prima nova B é analisada para determinação do 
teor de umidade, sendo que das várias amostras é calculada a média que é 
comparada com outra já aprovada e em uso A pela mesma metodologia. 
O técnico pode fazer duas suposições: a primeira é de que a média do 
teor de umidade da matéria-prima B é igual a da A, não só da amostra. Esta 
hipótese denomina-se de hipótese de nulidade e indica-se por H0. 
H0 = as médias são iguais. 
 
 
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 41 
A segunda suposição é de que as médias das matérias-primas A e B, não 
só das amostras, é diferente. A essa hipótese denominamos de hipótese 
alternativa e indica-se por H1. 
H1 = as médias são diferentes. 
Para decidir por uma das hipóteses o técnico submete seus dados a um 
teste estatístico. Se escolher por uma das hipóteses pode estar cometendo um 
erro. Porém, ele não sabe, quando está tomando a decisão se está ou não 
cometendo erro. A isso a estatística chama de nível de significância do teste e é 
indicado pela letra grega α, logo o nível significância é a probabilidade de 
rejeitar H0, quando H0 é verdadeira. A escolha de α é arbitrária. 
 
Resumindo: 
H0 – Hipótese de trabalho de nulidade 
- É descrita em termo de parâmetros populacionais. 
- É uma negação daquilo que se quer provar. 
- Apresentada em termos de igualdade de parâmetros populacionais. 
H1 – Hipótese alternativa 
- É aquilo que o pesquisador que provar. 
- É a própria hipótese da pesquisa. 
- Apresentada em termos de desigualdades de parâmetros populacionais. 
Quando os dados mostrarem evidência suficiente de que a hipótese H0 é falsa, o 
teste a rejeita, aceitandoem seu lugar a chamada hipótese alternativa, H1. Assim, o teste 
de hipótese é um método que usa os dados da amostra para decidir se a hipótese de 
nulidade deve ser descartada. 
 
 
 
 
 
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 42 
Probabilidade de significância ou valor “p” 
 
 É a probabilidade da estatística de um teste acusar um resultado tanto ou mais 
distante do esperado. O valor “p” demonstra o quanto estranho é o resultado observado 
na amostra comparado a H0. Assim quanto menor o valor de p maior a evidência para 
rejeitar H0. O p também indica o risco de se tomar a decisão errada, caso se rejeite H0. 
Regra geral para decisão de um teste estatístico: 
 p > α aceita H0 
p ≤ α rejeita H0 
 
Erros do tipo I e II 
 
 Se uma hipótese for rejeitada quando deveria ser aceita (H0 é verdadeira), temos 
erro do tipo I, portanto conclui-se que existe algum tipo de efeito quando, na verdade, 
não existe. Porém, se for aceita uma hipótese que deveria rejeitada (H0 é falsa) temos 
um erro do tipo II, logo se conclui que não há efeito quando na verdade existe. 
Sumarizando: o valor “p” ou nível de significância observado é o menor nível 
de significância em que H0 seria rejeitada. 
 
Teoria das Pequenas Amostras 
 
 Quando o tamanho da amostra é maior que 30 (n>30) denominamos-se de 
“grandes amostras”. As distribuições amostrais de diversas estatísticas são 
aproximadamente normais, no entanto quanto maior o n melhor a aproximação. Logo, 
para n<30, denominadas de pequenas amostras, aproximação a normal fica prejudicada. 
 
 
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 43 
Assim, para distribuições amostrais menores do que 30 aplica-se a chamada teoria das 
pequenas amostras ou teoria exata da amostragem, porque os resultados são válidos 
tanto para as pequenas, quanto para as grandes amostras. 
 Quando n é pequeno, S provavelmente não está próximo de σ, sendo que a 
variabilidade na distribuição Z se deve a aleatoriedade do numerador e do denominador, 
então a probabilidade de: 
 
será mais dispersa que a distribuição normal padronizada. 
 Se uma variável aleatória X, normalmente distribuída em uma população, sendo 
o desvio padrão desconhecido (σ) pode-se comparar a média amostral X com a média 
da população (µ), empregando s no lugar de σ por meio da estatística t. 
 A família de distribuições de probabilidade resultante é chamada de distribuição 
t com n-1 graus de liberdade (gl). 
 
Distribuição de “Student” t 
 
 A estatística é definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 44 
GRAUS DE LIBERDADE 
 
Graus de liberdade (gl) é um parâmetro da distribuição t que pode ser qualquer 
número real maior que zero. 
Determinando-se o gl define-se uma condição particular da família de 
distribuições t. Uma distribuição t com um gl menor tem mais área nas caudas da 
distribuição que uma distribuição com um gl maior. 
 Quanto menor o número de gl, mais aplainada (platicúrtica) é a forma da 
distribuição, resultando em maior área nas caudas da distribuição. 
 
 
Tabela dos valores de Zc 
 
Limite de 
confiança 
99,73 99 98 96 95,45 95 90 80 68,27 50 
Zc 3,00 2,58 2,33 2,05 2,00 1,96 1,645 1,28 1,00 0,6745 
 
 
 
 
 
 
 
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 45 
Resumo das propriedades das distribuições t: 
 
 - Cada curva tν possui forma de sino com média zero; 
 - Toda curva tν tem maior dispersão que a curva normal padronizada Z; 
 - Na medida em que ν
 
aumenta a dispersão da curva tν correspondente 
diminui e 
- Na medida em que tν → ∞ a sequência das curvas tν se aproxima da 
curva normal padronizada, isto é, pode-se chamar a curva Z de curva t
 
com gl = 
∞. 
 
Valor crítico (tα, ν): 
 
 É o número no eixo da abscissa para o qual a área sob a curva t com gl 
 
ν à 
direita de tα, ν é α. 
Exemplo: Seja t0,05, 15, verifica-se a coluna α = 0,05 e procura-se a linha ν = 15, onde 
encontra-se o valor correspondente de 1,753. 
 
Erro ou variabilidade amostral 
É a diferença entre a estimativa da estatística (amostra) e o parâmetro 
(população). 
Efeito do “azar”: Na noção de amostra deve-se ter presente que pode-se perder 
algo da população da qual foi retirada, logo pode não representar a população. 
Para minimizar o efeito do “azar” as estimativas são sempre feitas em termos de 
um certo nível de significância (α). 
 
 
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 46 
Intervalo de confiança 
 
 O intervalo de confiança de 100 (1 - α) % para µ é: 
 
 
Tabela resumo para avaliação da média de uma população – Anexo – I. 
 
Exemplo 1: Desejando verificar a eficácia de um programa de prevenção de acidentes 
de trabalho o ministério do trabalho implementou o programa em 10 empresas, 
randomicamente. Os dados de redução de acidentes são os seguintes: 
Empresa Redução de 
acidentes (%) 
A 20 
B 15 
C 23 
D 11 
E 29 
F 5 
G 20 
H 22 
I 18 
J 17 
Média (x) 18 
SD (s) 6,65 
 
 
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 47 
Qual o objetivo da pesquisa? Estimar parâmetro, isto é, extrapolar os dados da amostra 
(empresas analisadas) para a população (todas as empresas). 
Resolução: 
Erro padrão da média: 
 
 
Sx = 6,65/√10 = 2,10 
 
t (tabelado com α = 0,05) = 2,262 
µ = 18 ± 2,262 x 2,10 = 4,75 ≈ 4,8 
µ = 18 ± 4,8 % 
 
 
 
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 48 
 
 
DELINEAMENTOS DE EXPERIMENTOS 
 
Para planejar um experimento é necessário definir a unidade experimental e a 
variável a ser analisada. Também é importante definir o tipo de tratamento em 
 
 
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 49 
comparação e a maneira de designar os tratamentos. Em determinadas situações não é 
interessante o tratamento por processo aleatório. 
 
Experimentos inteiramente ao acaso 
 
Só podem ser efetuados quando as unidades estudadas são similares. Similares 
implica dizer que necessariamente não precisam ser “iguais”. Devem ter características 
comuns que os enquadrem no mesmo grupo. 
Exemplo: Avaliação das propriedades mecânicas de uma peça injetada. Elas poderão 
ter cores diferentes, porém deverão ter saído na mesma máquina, com o mesmo 
material e com as mesmas condições de processamento, porém alterando-se um 
parâmetro a cada vez. 
 Outro exemploé um remédio sendo ministrado a um grupo de pessoas de 
mesmo sexo, peso e que no início do teste tenham uma variação bastante baixa. 
O tratamento nesse tipo de experimento é comum o mesmo número de 
repetições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 50 
 
Experimentos inteiramente ao acaso com número diferente de repetições 
 
 Pode-se adotar dois tipos de procedimento: 
a) Dividir a amostra em grupos de tamanho iguais e descartar as amostras que 
excedem, quando são números ímpares. 
b) Utilizar um grupo de controle de tamanho maior, porque dependendo do 
estudo precisa-se fazer mais repetições. 
 
 
 
 
 
 
 
Experimentos Fatoriais 
 
São empregados quando se deseja analisar os efeitos de dois ou mais tipos de 
tratamentos no mesmo experimento. Os tratamentos são denominados de fatores e o 
experimento chama-se de fatorial. 
Exemplo: O efeito da temperatura e da concentração de certa substância na 
velocidade de uma reação química. Os fatores são temperatura e concentração. 
Pode-se ter diferentes categorias para um fator, que se chama de níveis. 
No exemplo pode-se ter temperaturas de 20 e 25ºC e duas concentrações 30 e 40 
ppm. 
Os experimentos fatoriais facilitam o estudo das interações entre fatores. 
Tipos de experimentos fatoriais: 2 x 2, 3 x 3. 
 
 
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 51 
Dentro das etapas da pesquisa: 
1) Formula-se uma pergunta ou hipótese da pesquisa. 
2) Planeja-se a coleta dos dados e um teste paramétrico. 
Testes estatísticos: 
- Dados quantitativos: as hipóteses são apresentadas em termos de médias. 
- Dados qualitativos: as hipóteses são apresentadas em termos de proporções ou 
probabilidade de eventos. 
Quadro dos testes estatísticos para dados contínuos 
Amostra única 
Teste t (para uma amostra) 
Teste dos sinais 
Paramétrico 
Dados pareados 
Teste t para dados pareados 
Teste dos sinais 
Teste dos sinais de Wilcoxon 
Paramétrico 
Não paramétricos 
Idem 
Dados independentes (2 
grupos) 
Teste t para amostras independentes 
Teste U de Mann-Whitney 
Teste de Wilcoxon para soma de 
postos 
Paramétricos 
 
Não paramétricos 
Idem 
Dados independentes (mais de 
2 grupos) 
Análise de variância (ANOVA) 
Teste de post-hoc 
Variação entre grupos 
Variação no grupo 
Teste de Kruskall-Wallis 
Paramétrico 
 
Idem 
Idem 
Idem 
Não paramétrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de variância – One Way (ANOVA) 
 
A análise da variância ou ANOVA é um teste de hipóteses de médias de duas 
ou mais populações numéricas (distribuições) ou dados de experimentos em que se 
emprega mais de dois tratamentos. É um procedimento muito útil para comparar. 
A comparação entre mais de dois grupos pode ser feita com sucessivas 
comparações pelo teste t independente, contudo aumenta a possibilidade do erro 
do tipo II. 
 
 
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 53 
O objetivo da análise variância é verificar se as amostras foram retiradas 
de populações com o mesmo valor de média. 
Se as médias forem diferentes entre si deve-se perguntar: por quê as 
médias da amostras são diferentes? 
Pode-se dividir a variabilidade total em dois grupos ou fontes de 
variabilidade: 
a) O primeiro grupo de variabilidade se deve as populações ser 
realmente diferentes e se chama variabilidade entre grupos. 
Quanto maior a variabilidade entre grupos maior a evidência de que haja 
diferenças entre as populações das quais originaram as amostras. 
b) O segundo grupo de variabilidade é resultado das diferenças 
dentro de cada amostra e se chama variabilidade dentro do grupo. Quanto maior 
a variabilidade dentro do grupo maior a dificuldade para concluir que as populações 
sejam diferentes. 
Premissas da análise da variância: 
- As populações têm a mesma variância. 
- As amostras são retiradas de populações com distribuição normal. 
- As amostras são aleatórias e independentes. 
 
O teste de hipótese é o seguinte: 
- A hipótese de nulidade H0 afirma que as k populações tem a mesma 
média. 
- A hipótese alternativa H1 diz que nem todas as médias das k 
populações são iguais, pelo menos duas médias são diferentes. 
O poder do teste reflete a probabilidade de rejeitar a hipótese de 
nulidade, quando esta é falsa, sendo geralmente expresso em percentagem. 
 
 
 
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 54 
 Fatores que influem no poder do teste: 
- Tamanho da amostra 
O poder do teste aumento com o tamanho da amostra. 
- Variabilidade das observações 
O poder do teste aumenta quanto menor a dispersão das observações. 
- Nível de significância 
O poder do teste aumenta, quando o nível de significância é maior. Por 
exemplo, a possibilidade de se detectar um efeito real aumenta, quando se adota 
um nível de significância em 5%, em comparação a um nível de 1%. 
Do ponto de vista prático, na medida em que aumenta o tamanho da 
amostra é possível adotar nível de significância menor para observar o mesmo 
efeito desejado.Ver gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 55 
A questão da normalidade 
 
Para avaliar se os dados coletados têm distribuição normal com média 
zero o pesquisador deve fazer uma análise do que se chama de análise dos 
resíduos (erros). 
Calcular os resíduos: e = x – x e representar os resíduos em um gráfico. 
Este procedimento tem o inconveniente de ser gráfico, não possibilita 
associar a um nível de probabilidade de que a distribuição dos erros não é 
normal. 
A pressuposição de normalidade pode ser transformada em hipótese e 
pode ser testada. 
Os testes desse tipo chamam-se de testes de aderência, sendo os mais 
conhecidos os de χ2, Kolmogorov-Smirnov, e o de Shapiro-Wilks. 
Quando a análise dos resíduos revela uma distribuição muito diferente da 
normal, deve-se investigar a causa dos valores discrepantes. Muitas vezes, são 
devido a erros na coleta das informações. 
Na disciplina será abordado o teste F que é bastante robusto, isto é, 
pequenas transgressões a pressuposição de normalidade de que os erros têm 
distribuição normal são comuns e não afetam de modo significativo, os 
resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Distribuição F 
 
 
 
 
F0 = Fator observado 
S2b = Variância entre 
S2w = Variância dentro 
Exemplo: 
 
Para comparar a produtividade de quatro variedades de milho, um 
engenheiro agrônomo selecionou vinte mudas similares e plantou a variedade A 
em cinco canteiros, a variedade B em outros cinco canteiros e assim 
sucessivamente até completar as vinte mudas. A seleção das variedades das 
mudas foi por sorteio. O experimento foi feito com 5 repetições. 
A produção de cada muda para as diversas variedades está representada 
abaixo: 
 
 
 
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 57 
 Produção de milho em kg/100m2 
Variedades 
A B C D 
25 31 22 33 
26 25 26 29 
20 28 28 31 
23 27 25 34 
21 24 29 28 
Média 23 27 26 31 
 
 
Variáveis: 
- A produção pode ser diferente na mesma variedade devido a fatores 
não controlados: qualidade da semente, posição da semente no solo, exposição 
ao vento, etc... 
- Entre variedades diferentes pode ser atribuída tanto a fatores aleatórios 
como a resultado mesmo de variação de produtividade diferente em função da 
variedade. 
A questão é: qual a diferença entre as médias de produção será 
suficientemente grande para evidenciar que essas variedades tem produtividades 
estatisticamente diferentes? 
Análise de variância 
 
A comparação será entre a variação devido aos tratamentos (variedades) 
com a variação devido ao acaso (erro ou também chamado de resíduo). 
 
 
 
 
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 58 
Cálculos 
 
Notação convencionada: 
∑T = Somatório total dos totais de cada tratamento (∑x) 
k – Tratamento 
r – repetições 
Graus de liberdade: 
de tratamento: k -1 
do total: n-1, com n = kr 
do resíduo: (n-1) - (k-1) = n-k 
O valor C (correção) é a soma do total das observações elevada ao 
quadrado e dividido pelo número de observações. 
C = (∑x)2/ n 
A soma de quadrados total: 
SQT = ∑x2 - C 
A soma de quadrados de tratamentos: 
SQTr = (∑T2 / r) - C 
A soma de quadrados de resíduo: 
 SQR = SQT - SQTr 
O quadrado médio de tratamentos: 
QMTr = SQTr / k-1 
Quadrado médio de resíduo: 
QMR = SQR / n-k 
O valor de F: 
F = QMTr / QMR 
 
 
 
 
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 59 
Ver apêndice – I: teste de normalidade. 
 Ver apêndice – II: Teste Post Hoc de Scheffé para a produtividade 
 
 
 
 
 
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 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uso do Excel (exemplo das variedades) 
 
 
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 62 
Passo a passo para o cálculo da ANOVA fator único 
- Abrir planilha Excel; 
- Ferramentas; 
- Suplementos; 
- Na janela aberta – marcar: ferramentas de análise; 
- Depois de instalado o pacote de ferramentas de análise; 
- Volte no ícone ferramentas; 
- Abra "análise de dados"; 
- Na janela selecione: ANOVA fator único; 
- Na janela aberta: clique em "intervalo de entrada"; 
- Com o mouse selecione o intervalo de dados (agrupado por colunas); 
- Escolha o alfa desejado (0,05); 
- No ícone opções de saída – escolha uma das opções; 
- Clique em "OK"; 
 
Conclusão: 
 Quando o Fo (observado/calculado) é menor ou igual ao Fc (crítico/tabelado) a 
hipótese Ho é verdadeira. 
Quando o Fo (observado/calculado) é maior ao Fc (crítico/tabelado) a hipótese 
Ho é recusada, adotando a hipótese alternativa H1. 
 
Relação entre variáveis 
 
 A correlação é uma medida estatística, a qual indica o grau de associação entre 
duas séries de dados, isto é, determina à medida que, conhecendo-se uma variável, se 
possam fazer previsões a respeito de outra. 
 
 
 
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 63 
Ver tabela para escolha do tipo de coeficiente em função da escala de medida – Anexo 
II. 
 O coeficiente por meio do qual se pode determinar a intensidade e o sentido da 
relação é chamado de correlação linear simples ou correlação de Pearson, representado 
geralmente por “r”. 
 O valor de “r” é adimensional, somente indica o grau de proximidade entre os 
pares de observação. 
 O intervalo vai de -1 (correlação perfeitamente negativa) a +1 (correlação 
perfeitamente positiva). O sinal expressa o sentido da relação, ou seja, o que ocorre 
com uma variável, quando a outra sofre variação. 
 Quando o “r” é zero assume-se que não há relação entre as variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É importante destacar que o valor “r” é válido somente para a amplitude de 
variação de x e y, observada na amostra, portanto não se pode extrapolar o valor da 
correlação para outra amostra, visto que a amplitude de x e y poderá ser diferente. 
 
 
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 64 
Outro aspecto é de que “r”não reflete uma relação de causa e efeito, mostra 
apenas a existência de uma relação linear entre o par bivariado. 
 
Coeficiente de correlação linear simples (correlação de Pearson) 
 
Quando que “r” não é a medida de correlação adequada? 
- A relação entre as variáveis não é linear. 
- Existem possíveis valores discrepantes no conjunto de dados sob análise. 
- Os dados abrangem mais de uma observação da mesma variável em cada 
amostra (medidas repetidas). 
- Os dados compreendem subgrupos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 65 
Exemplo: 
Caso x y 
1 96,00 81,00 
2 98,00 72,00 
3 84,50 65,50 
4 82,00 62,00 
5 70,50 53,00 
6 76,00 57,30 
7 81,00 62,50 
8 70,10 55,00 
9 74,50 54,00 
10 79,50 63,00 
11 77,00 52,00 
12 91,00 69,00 
13 81,90 65,00 
14 76,50 55,00 
15 63,50 49,00 
16 81,40 62,00 
17 88,50 75,00 
18 76,50 60,00 
19 87,00 69,00 
20 85,50 68,00 
 
Considerando-se a hipótese de que o valor de “r” igual a zero, isto é, não há 
relação entre as variáveis. 
Calcular o valor de “r”? 
Se a mostra for grande (n>200) transforma-se o valor “r” em t de acordo com a 
equação: 
t = √(n-2) / (1-r2),onde n é o grau de liberdade. 
Como a amostra tem n < 200 usa-se a tabela de coeficiente de correlação de valores 
críticos numa prova bi-caudal com nível de significância α = 0,05. 
r = 1.258,83 / 1.401,99 x 1.320,27 = 0,92 
 
 
 
 
 
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 66 
Uso do Excel 
 
Passo a passo para o cálculo da Correlação linear simples 
- Abrir planilha Excel; 
- Abra "análise de dados"; 
- Na janela selecione: Correlação; 
- Na janela aberta: clique em "intervalo de entrada"; 
- Com o mouse selecione o intervalo de dados (agrupado por colunas); 
- No ícone opções de saída – escolha uma das opções; 
- Clique em "OK"; 
 
De acordo com a tabela de valores críticos no nível de significância 0,05, temos 
r = 0,4438 para o GL = 18. Assim, o “r” crítico é inferior ao calculado, portanto há 
evidência suficiente para rejeitar a hipótese de nulidade, concluindo-se que há relação 
entre as duas variáveis. 
Regressão linear simples 
 
O coeficiente de correlação não tem capacidade de explicar o comportamento de 
uma variável em relação à outra. Apenas informa sobre a magnitude e o sentido da 
relação entre elas. 
Na regressão linear simples assume-se que a maior parte das mudanças que 
podem correr com a variável y depende das mudanças que acontecem em outra variável 
x. 
O comportamento de dependência de y em relação à x pode ser representado e 
definido por uma linha entre essas variáveis. A linha que representa a regressão de y 
sobre x chama-se de linha de regressão. 
 
 
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A regressão entre x e y mais elementar que se pode analisar é a que há somente 
uma variável dependente e outra independente por isso denomina-se regressão linear 
simples. 
Reta de regressão 
 
É representada pela equação: 
y = a + bx, onde y é a variável dependente (resposta ou resultado), x é a variável 
independente (preditora ou explanatória), “a” é o valor de y, quando x = 0, sendo 
chamada a linha estimada de interceptação entre as variáveis e “b” representa a 
inclinação da linha de interceptação, isto é, indica quanto muda em y, quando varia os 
valores x. 
No modelo matemático de reta ajustada se observa que: 
- Para um único valor de x podem ocorrer um ou mais valores de y. 
- Existe apenas um y médio calculado para cada de x, contudo há observações 
que não são pontos da reta. 
- Para cada valor de x há uma diferença entre o valor observado e o valor médio 
calculado para y. A essa diferença denominamos desvio ou resíduo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Além do conceito de resíduo temos como pressupostos: 
a) As variáveis devem ser quantitativas em escala intervalar ou razão. 
b) As variáveis x e y devem ter relação linear. 
c) Deve haver apenas um par de observações para cada amostra. 
d) Os valores residuais devem ter a mesma variabilidade (variância constante) 
para todos os valores ajustados de y. 
e) A variável x deve ser determinada (mensurada) sem erro. 
Determinação dos coeficientes “a” e “b”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
 
Caso x y 
1 100,00 81,00 
2 101,00 72,00 
3 104,00 65,50 
4 103,00 62,00 
5 96,00 53,00 
6 98,50 57,30 
7 100,50 62,50 
8 93,80 55,00 
9 96,10 54,00 
10 99,10 63,00 
11 94,20 52,00 
12 98,90 69,00 
13 105,90 65,00 
14 91,70 55,00 
15 89,50 49,00 
16 99,00 62,00 
17 108,90 75,00 
18 92,10 60,00 
19 98,00 69,00 
20 105,00 68,00 
 
Uso do Excel 
Passo a passo para o cálculo da Regressão 
- Abrir planilha Excel; 
- Abra "análise de dados"; 
- Na janela selecione: Regressão; 
- Na janela aberta: clique em "intervalo y de entrada"; 
- Na janela aberta: clique em "intervalo x de entrada"; 
- Nível de confiança alfa desejado (95%); 
- No ícone opções de saída – escolha uma das opções; 
- Nos ícones sobre a análise de resíduos, clique naqueles de interesse; 
- Clique em "OK"; 
 
 
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Análise de Variância e regressão 
 
A Anova permite identificar à proporção de variabilidade de y que pode ser 
explicada ou atribuída a regressão, assim como a variabilidade remanescente que se 
chama de erro residual ou variabilidade não esclarecida pela regressão. 
Quanto menor a variabilidade residual maior será a proporção da variabilidade 
em y que é explicada pela regressão, isto é, mais próximos serão os pontos no diagrama 
de dispersão em relação à linha de regressão. 
Se a inclinação da linha de regressão é zero, assume que não há relação linear 
entre x e y, ou seja, a variação em x não provoca efeito em y. Logo, a hipótese 
estatística de nulidade, na regressão linear, se baseia em que a linha de regressão linear 
é igual a zero (o valor b=0 na equação y= a +bx). 
Pode-se utilizar, basicamente, duas formas de testar essa hipótese: analisar o 
valor da estatística F ou a distribuição t. 
Será utilizado exemplo da tabela acima para o cálculo do valor de F. 
Hipóteses: 
H0 = inclinação da linha de regressão é igual a zero (b=0). 
H1 = inclinação da linha de regressão é diferente de zero (b≠0). 
 
 
Conclusão: 
 
y = -51,25+1,15x 
 
Fo = 17,34 
Ftabelado = 0,0005 
Como o Fo é maior que o Ftabelado a evidência suficiente para rejeitar a 
hipótese de nulidade que a inclinação da linha de regressão é zero 
 
 
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ANEXO I 
 
 
 
ANEXO II 
Tabela para escolha do tipo de coeficiente em função da escala de medida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APÊNDICE I 
 
 
 
 
APÊNDICE II 
 
Teste Post Hoc de Scheffé para a produtividade 
Comparações múltiplas – Variável dependente: Variedade x produtividade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Produtividade 
Variedade 
Probabilidade de 
Significância 
A B 0,17 
 C 0,39 
 D 0,00 
B A 0,17 
 C 0,95 
 D 0,17 
C A 0,39 
 B 0,95 
 D 0,06 
D A 0,00 
 B 0,17 
 C 0,06