Equações Diferenciais Pariciais

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Universidade Federal de Alagoas – UFAL
Centro de Tecnologia – CTEC
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – PPGEC
Disciplina: Métodos Matemáticos para Engenharia (EES-100)
Professor: Eduardo Nobre Lages (enl@ctec.ufal.br)
2
Introdução
Exemplos:
2
2
2
2
2
x
uc
t
u
∂
∂=∂
∂ Equação de onda unidimensional
2
2
2
x
uc
t
u
∂
∂=∂
∂ Equação do calor unidimensional
0
y
u
x
u
2
2
2
2
=∂
∂+∂
∂
Equação de Laplace bidimensional
)y,x(f
y
u
x
u
2
2
2
2
=∂
∂+∂
∂
Equação de Poisson bidimensional
0
z
u
y
u
x
u
2
2
2
2
2
2
=∂
∂+∂
∂+∂
∂
Equação de Laplace tridimensional
3
Introdução
0
y
u
x
u
2
2
2
2
=∂
∂+∂
∂
Equação de Laplace bidimensional
Possíveis soluções
22 yx)y,x(u −= ( )22 yxln)y,x(u +=ycose)y,x(u
x=
Notar os formatos diferentes das soluções da EDP.
O formato da solução fica definido no instante de se 
considerar as condições de contorno.
4
Vibração de Cabos
Equilíbrio de forças na direção horizontal:
constanteTcosTcosT 21 ==β=α
Equação de movimento na direção vertical:
2
2
12 t
uxsenTsenT ∂
∂Δρ=α−β
5
Vibração de Cabos
2
2
1
1
2
2
t
u
T
x
cosT
senT
cosT
senT
∂
∂Δρ=α
α−β
β
2
2
t
u
T
xtantan ∂
∂Δρ=α−β
2
2
xxx t
u
T
x
x
u
x
u
∂
∂Δρ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
Δ+
2
2
xxx t
u
Tx
u
x
u
x
1
∂
∂ρ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
Δ Δ+
ρ=∂
∂=∂
∂ Tc onde 
x
uc
t
u 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
u
Tx
u
∂
∂ρ=∂
∂
0xlim →Δ
6
Vibração de Cabos
ρ=∂
∂=∂
∂ Tc onde 
x
uc
t
u 2
2
2
2
2
2
 t tempoo todopara 0)t,L(u e 0)t,0(u ==
)x(g
t
u e )x(f)0,x(u
0t
=∂
∂=
=
Equação de movimento
Condições de contorno
Condições iniciais
7
Vibração de Cabos
Método da Separação de Variáveis:
GF
t
u
2
2
&&=∂
∂ GF
x
u
2
2
′′=∂
∂)t(G)x(F)t,x(u =
Substituindo na EDP
GFcGF 2 ′′=&& ou
F
F
Gc
G
2
′′=&& )(constante k=
0kFF =−′′ 0kGcG 2 =−&&
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de 2a Ordem
8
Vibração de Cabos
Estudo da Viabilidade da Constante k:
BxA)x(F0F0kFF +=⇒=′′⇒=−′′
K = 0
Aplicando as condições de contorno 0)x(F0BA =⇒==
K > 0
xx2 BeAe)x(F0FF0kFF μ−μ +=⇒=μ−′′⇒=−′′
Aplicando as condições de contorno 0)x(F0BA =⇒==
K < 0
⎩⎨
⎧
=+
=+′′
0GpcG
0FpF
22
2
&&
9
Vibração de Cabos
K < 0
⎩⎨
⎧
=+
=+′′
0GpcG 
0FpF
22
2
&&
)pxsen(B)pxcos(A)x(F +=⇒0FpF 2 =+′′
Aplicando as condições de contorno:
0A0)0(F0)t(G)0(F0)t,0(u =⇒=⇒=⇒=
0)pLsen(B0)L(F0)t(G)L(F0)t,L(u =⇒=⇒=⇒=
se- tem trivial),não (solução 0B que Para ≠
positivo) inteiro (com 
L
np0)pLsen( π=⇒=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π=⇒ x
L
nsenB)x(F nn
10
Vibração de Cabos
L
cn onde 
)tsen(D)tcos(C)t(G
n
nnnnn
π=λ
λ+λ=⇒0GpcG 2n2 =+&&
Combinando as soluções:
)t(G)x(F)t,x(u nnn =
( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ πλ+λ= xLnsen)tsen(B)tcos(A)t,x(u nnnnn
Pela validade do Princípio da Superposição:
∑∞
=
=
1n
n )t,x(u)t,x(u
( )∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ πλ+λ=
1n
nnnn xL
nsen)tsen(B)tcos(A)t,x(u
11
Vibração de Cabos
Determinação das constantes de integração pelas condições iniciais:
)x(fx
L
nsenA)0,x(u
1n
n =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π=∑∞
=
)x(gx
L
nsenB
t
u
1n
nn
0t
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ πλ=∂
∂ ∑∞
==
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
π=⇒
L
0
n dxxL
nsen)x(f
L
2A
∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
π
π=⇒
L
0
n dxxL
nsen)x(g
cn
2B
12
Inicialização
> restart:with(plots):
Variáveis gerais do modelo
> L:=2:
> c:=10^6:
Condições iniciais
> f:=x->interp([0,L/3,2*L/3,L],[0,1,2,0],x):
> plot(f(x),x=0..L);
> g:=x->0:
Coeficientes da solução
> p:=n->n*Pi/L:
> A:=n->2/L*int(f(x)*sin(p(n)*x),x=0..L):
> B:=n->2/(c*n*Pi)*int(g(x)*sin(p(n)*x),x=0..L):
Autofunção
> un:=(x,t,n)->sin(p(n)*x)*(A(n)*cos(c*p(n)*t)+B(n)*sin(c*p(n)*t)):
Solução geral
> u:=(x,t,N)->add(un(x,t,n),n=1..N):
Visualização da solução
> N:=4:
> a:=seq(animate(un(x,t,i),x=0..L,t=0..2*L/c,frames=100,color=red),i=1..N):
> at:=animate(u(x,t,N),x=0..L,t=0..2*L/c,frames=100,color=black):
> display({a,at});
Vibração de Cabos
13
Vibração de Membranas
Componentes de forças internas:
x
1T
x
1T
x
2T
x
2T
y
2T
y
1T
xβ
xβ
xα
xα
y)ou x(
y)ou x(
2y)ou x(
y)ou x(
1 cos)xou y(T e cos)xou y(T βΔΔαΔΔ−(H)
y)ou x(
y)ou x(
2y)ou x(
y)ou x(
1 sen)xou y(T e sen)xou y(T βΔΔαΔΔ−(V)
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Vibração de Membranas
Equilíbrio de forças na direção X:
tetanconsTcosT cosTcosyT cosyT x
x
2x
x
1x
x
2x
x
1 ==β=α⇒βΔ=αΔ
Equilíbrio de forças na direção Y:
tetanconsTcosT cosTcosxT cosxT y
y
2y
y
1y
y
2y
y
1 ==β=α⇒βΔ=αΔ
( ) ( )yy2yy1xx2xx122 senxTsenxTsenyTsenyTtuyx βΔ+αΔ−+βΔ+αΔ−=∂∂ΔΔρ
Equação de movimento na direção transversal:
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
β
βΔ+α
αΔ−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
β
βΔ+α
αΔ−=∂
∂ΔΔρ
y
y
2
y
y
2
y
y
1
y
y
1
x
x
2
x
x
2
x
x
1
x
x
1
2
2
cosT
senxT
cosT
senxT
cosT
senyT
cosT
senyT
t
u
T
yx
y
tantan
x
tantan
t
u
T
yyxx
2
2
Δ
β+α−+Δ
β+α−=∂
∂ρ
ρ=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂=∂
∂ Tc onde 
y
u
x
uc
t
u 2
2
2
2
2
2
2
2
15
0kFFF yyxx =−+ 0kGcG 2 =−&&
Vibração de Membranas
Condições de contorno e iniciais (membrana retangular):
GF
t
u
2
2 &&=∂
∂
GF
y
u
GF
x
u
yy2
2
xx2
2
=∂
∂
=∂
∂Método da Separação de Variáveis:
)t(G)y,x(F)t,y,x(u =
Substituindo na EDP
( )GFGFcGF yyxx2 +=&& )(constante k=
 tempoqualquer t para membrana da contorno no 0u =
)y,x(g
t
u e y)f(x,y,0)u(x,
0t
=∂
∂=
=
ou
F
FF
Gc
G yyxx
2
+=&&
16
Vibração de Membranas
Estudo da Viabilidade da Constante k:
Em estudo semelhante ao que foi feito para o caso de cabos, para que a 
equação diferencial parcial apresente uma solução não trivial a constante k 
deve ser negativa (-p2).
Resolvendo a equação diferencial parcial em coordenadas espaciais:
Emprega-se mais uma vez o Método da Separação de Variáveis, ou seja, 
admite-se F(x,y)=H(x)Q(y).
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−= Qp
dy
Qd
Q
1
dx
Hd
H
1 2
2
2
2
2
2r−=
Constante negativa definida em 
estudo equivalente ao da 
definição da constante anterior
2222
2
2
2
2
2
rps onde 0Qs
dy
Qd e 0Hr
dx
Hd −==+=+
)sysen(D)sycos(C)y(Q e )rxsen(B)rxcos(A)x(H +=+=
17
Vibração de Membranas
Condições de contorno:
x
y
a
b
Apoiada nos quatro cantos
0C0)0(Q0)t(G)0(Q)x(H)t(G)0,x(F)t,0,x(u:1 =⇒=⇒===
1
2
0)sbsen(D0)b(Q0)t(G)b(Q)x(H)t(G)b,x(F)t,b,x(u:2 =⇒=⇒===
3
0A0)0(H0)t(G)y(Q)0(H)t(G)y,0(F)t,y,0(u:3 =⇒=⇒===
4
0)rasen(B0)a(H0)t(G)y(Q)a(H)t(G)y,a(F)t,y,a(u:4 =⇒=⇒===
(u=0)
18
Vibração de Membranas
Para soluções não triviais:
b
ns e 
a
mr nm
π=π=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π= y
b
nsenx
a
msenE)y,x(F mnmn
Resolvendo a equação diferencial ordinária temporal:
0GpcG 22 =+&& ( ) ( )
2
2
2
2
mn
mnmnmnmnmn
b
n
a
mc onde 
tsenJtcosI)t(G
+π=λ
λ+λ=⇒
Solução geral com aplicação do Princípio da Superposição:
( ) ( )[ ] ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ π⎟⎠⎞⎜⎝⎛ πλ+λ=∑∑
∞
=
∞
=
y
b
nsenx
a
msentsenBtcosA)t,y,x(u
1m 1n
mnmnmnmn
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Vibração de Membranas
Determinação das constantes de integração pelas condições iniciais:
)y,x(f)0,y,x(u =
)y,x(g
t
u
0t
=∂
∂
=
∫ ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
π⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π=⇒
b
0
a
0
mn dxdyyb
nsenx
a
msen)y,x(fab
4A
∫ ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛
π⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π
λ=⇒
b
0
a
0mn
mn dxdyyb
nsenx
a
msen)y,x(g
ab
4B
Série dupla de Fourier
20
Inicialização
> restart:with(plots):
Variáveis gerais do modelo
> a:=4:
> b:=2:
> c:=sqrt(5):
Condições iniciais
> f:=(x,y)->0.2*(4*x-x^2)*(2*y-y^2)+0.4*sin(2*Pi*x/a)*sin(3*Pi*y/b):
> plot3d(f(x,y),x=0..a,y=0..b);
> g:=(x,y)->0:
Coeficientes da solução
> lambda:=(m,n)->c*Pi*sqrt(m^2/a^2+n^2/b^2):
> A:=(m,n)->4/(a*b)*int(int(f(x,y)*sin(m*Pi*x/a)*sin(n*Pi*y/b),x=0..a),y=0..b):
> B:=(m,n)->4/(a*b*lambda(m,n))*int(int(g(x,y)*sin(m*Pi*x/a)*sin(n*Pi*y/b),x=0..a),y=0..b):
Autofunção
> umn:=(x,y,t,m,n)->(A(m,n)*cos(lambda(m,n)*t)+B(m,n)*sin(lambda(m,n)*t))*sin(m*Pi*x/a)*sin(n*Pi*y/b):
Solução geral
> u:=(x,y,t,M,N)->add(add(umn(x,y,t,m,n),n=1..N),m=1..M):
Visualização da solução
> M:=10:
> N:=10:
> animate3d(u(x,y,t,M,N),x=0..a,y=0..b,t=0..2*Pi/lambda(1,1),scaling=CONSTRAINED);
Vibração de Membranas