Vetores-Geometria analítica. Aula 4

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Produto Vetorial
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Produto Vetorial
Para definir o produto vetorial entre dois vetores é indispensável distinguir o que são bases positivas e bases negativas
Para isso, considere uma base do espaço {v1, v2 , v3} e um observador
O observador deve estar com os pés em um plano que contém representantes de v1 e v2 (os dois primeiros vetores da base)
v3 (o terceiro vetor da base), esteja dirigido para os seus olhos
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Produto Vetorial
No exemplo considere OA =v1 e OB =v2
Considere agora, a rotação de menor ângulo em torno de O, que torna o vetor v1 ( o primeiro vetor da base) com mesmo sentido do vetor v2 ( o segundo vetor)
Se esta rotação for no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio (anti-horário), dizemos que a base é positiva
 Caso contrário (sentido horário), a base é negativa.
Assim, a base {v1, v2 , v3}, do exemplo, é positiva
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A base {v2 , v1, v3} é positiva?
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E {v3 , v2 , v1}?
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Produto Vetorial
Note que nem sempre o observador está no mesmo semi-espaço que nós 
Neste caso, o sentido da rotação que ele verá é contrário ao que nós vemos
Para ilustrar este fato, desenhe em uma folha de papel dois vetores LI com a mesma origem e considere uma rotação que torna um deles com mesmo sentido do outro
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Produto Vetorial
A folha de papel pode ser considerada com um plano, assim, a folha
de papel divide o espaço em dois semi-espaços
Note que, em um desses semi-espaços vemos esta rotação com um sentido. Se mudarmos de semi-espaço vemos esta rotação com um sentido contrário ao anterior
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Esta observação é útil na identificação de bases positivas e negativas, quando o observador não está no mesmo semi-espaço que nós
Por exemplo, ao analisar a base {v2 , v1,- v3} vemos a rotação no sentido horário, porém o observador, por estar no semi-espaço distinto do qual nos encontramos, vê esta rotação no sentido anti-horário
Portanto esta base é positiva.
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Exemplo
Considere o sistema {O, i, j, k}
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Exemplo
Quais as bases positivas e negativas?
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Exemplo
As bases {i , j, k}, { j, k, i} e {k, i , j} são positivas.
As bases { j, i , k}, {i , k, j} e {k, j, i} são negativas.
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Produto Vetorial
Definição: Sejam u e v vetores não colineares.
O produto vetorial de u por v, indicado u x v, é um vetor, tal que:
| u x v |= | u | | v | sen(u, v)
O vetor u x v é ortogonal ao plano que contém representantes dos vetores u e v
A base {u, v, u x v} é positiva
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Exemplo
Sejam u e v vetores com representantes no plano alpha , onde | u |= 2, | v |= e (u, v) = 30º
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| u x v | = | u || v | sen 30º=
=2 ½ =
| v x u | = | v | | u |sen 30º=
½ 2 =
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Exemplo
|u x v| = |v x u|, mas estes vetores são opostos
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Exemplo 3
Dada a base ortonormal positiva {i, j, k}
i x i= j x j= k x k= 0
i x j= k, j x k =i e k x i= j
j x i =-k, k x j=- i e i x k=- j
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Interpretação Geométrica
Consideremos o paralelogramo ABCD,
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Interpretação Geométrica
Sabemos que a área S desse paralelogramo é:
S = base x altura, ou seja S = | AB | × h.
Do triângulo AMD, temos:
h =| AD | sen teta
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Interpretação Geométrica
S = | AB | |AD | sen teta
S =| AB x AD|
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Interpretação Geométrica
Encontre a área do triângulo ABD
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S = |AB | |AD | sen teta
S =|AB x AD|
Logo a área do triângulo é |AB x AD|/2
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Exemplo 4
Encontre a área do paralelogramo, onde A(1,1,0), B(0,1,2) e C(4,1,0)
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| AB| =| (-1,0,2)| = 
| AD| =| (4,0,-2)|= 2
Cos(AB,AD) = (AB.AD)/(|AB||AD|) = -4/5
Sen2x + cos2 x =1
Sen(AB,AD)=3/5
S = 3/5 2 = 6 u.a.
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Propriedades
Considere u, v e w vetores quaisquer e t um número real
1) u x v = v x u
2) (t v) x u = v x(t u) = t (v x u) 
3) u x (v + w)= u x v + u x w
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Expressão cartesiana do produto vetorial
Dados uma base ortonormal positiva {i, j, k} e dados os vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2 , y2 , z2 )
u x v = (x1i + y1j + z1k) x (x2i + y2j + z2k)
=(x1x2 ) ixi + (x1y2 ) ixj + (x1z2 ) ixk+
 +(y1x2 ) jxi + (y1y2 ) jxj + (y1z2 )jxk+
 +(z1x2) kxi + (z1y2 ) kxj+ (z1z2) kxk
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Expressão cartesiana do produto vetorial
u x v = (y1z2-y2z1)i + (z1x2-z2x1)j + (x1y2-x2y1)k
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Exemplo 5
Dados os vetores u = (1,2,3), v = (3,1,2) e w = (2,4,6), calcule:
u x v = ?
u x w = ? 
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Exemplo 5
Dados os vetores u = (1,2,3), v = (3,1,2) e w = (2,4,6), calcule:
u x v = (4-3) i + (9-2) j + (1-6) k = (1,7,-5)
u x w = (12-12)i+(6-6)j+(4-4)k = (0,0,0)=0
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Exemplo 6
Observe os paralelogramos ABCD e ABC’C
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Exemplo 6
S e S’ são as áreas dos paralelogramos ABCD e ABC’C, respectivamente
Determine a relação de S e S’
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Exemplo 6
S e S’ são as áreas dos paralelogramos ABCD e ABC’C, respectivamente
S =| AB x AD|
S’ =| AB x AC|
| AB x AC|= | AB x (AB+ BC) |=
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Exemplo 6
| AB x(AB +BC)|= | AB x AB + AB x BC|
=| 0 + AB x AD|
= | AB x AD| = S
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Exemplo 7
Determine a área S do retângulo, onde A(1,0,2), C(- 2,3,3) e AB° = (-1,0,0)
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S =| AB x AC| e AC = (- 3,3,1)
Como AB _ BC, temos que AB= projABº AC =(-3,0,0)
S =| (- 3,3,1)x(- 3,0,0)| =| ( 0,-3, 9 )| =