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CHICHORRO, J.F.; BAUER, M.O.; SCHMIDT, P.B. – NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA 1 I - REVISÃO DE SOMATÓRIO E PRODUTÓRIO 1. SOMATÓRIO 1.1. Introdução Os operadores somatórios são instrumentos importantes na estatística e de uso indispensável para simplificar a representação da operação de adição nas expressões algébricas. O somatório é representado pela letra grega ∑ (sigma). A expressão ∑ = n 1i iX , lê-se somatório de Xi ( X índice i), com i variando de 1 até n, onde X assume cada valor da série, enquanto que i é o índice que determina o número de ordem (ou seqüência) de valor do somatório, ou seja: Para a seqüência (1, 2, 3, ..., n) podemos representar: X1 = 1 → primeiro termo; X2 = 2 → segundo termo; ..................................... Xn = n → n-ésimo termo. Para indicarmos a soma dos Xi valores de uma seqüência, ou a soma dos valores de uma variável X, utilizamos o somatório. Assim, a soma de X1 ; X2 ;....; Xn pode ser representada por: ; X+....+X+X X n21 n 1i i =∑ = onde: i = 1; 2; 3; ...; n. Para uma série de 10 valores, 1 e 10 são denominados de limites do somatório, inferior e superior, respectivamente. Exemplo de Aplicação: Num teste da disciplina de estatística aplicada, para uma turma de 10 alunos, observou-se o seguinte conjunto de notas: X = 2; 0; 8; 10; 6; 4; 6; 5; 3; 9 Determinar: a] ∑ = =+++++++++== 10 1 1021 53 9 3 5 6 4 6 10 8 0 2 X+....+X+X i iX , Soma simples b] 20 10 8 0 2 X+X+X+X X 4321 4 1i i =+++==∑ = c] ∑ = =++== 10 8 1098 17 9 3 5 X+X+X i iX d] ∑ = =+++=+++== 8 5 22222 8 2 7 2 6 2 5 2 113 25 36 16 36 5 6 4 6 X+X+X+X i iX , Soma de quadrados (SQ) e] 676 (26) 6) 10 8 0 (2 X 22 25 1i i ==++++= ∑ = , Quadrado da soma CHICHORRO, J.F.; BAUER, M.O.; SCHMIDT, P.B. – NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA 2 1.2. Número de termos do somatório (NT) O número de termos ou parcelas de um somatório (NT) pode ser obtido por: NT = (LS − LI) + 1 Se o somatório está sujeito a r restrições (r termos eliminados) basta fazer: NT = (LS − LI) + 1 − r 1.3. Propriedades do Somatório 1ª – Sendo K uma constante, o somatório de um valor constante é igual ao produto do número de termos pela constante, ou seja: ∑ = =++++= n 1i n.K K ... K K K K Exemplo: Seja o valor constante K =4, ter-se-á então: ∑ = ==++++= 5 1i 20 5.4 4 4 4 4 4 4 2ª - O somatório de um produto de uma constante K por uma variável que depende do somatório é igual ao produto do valor constante pelo somatório da variável, ou seja: XK KX n 1i i n 1i i ∑∑ == = ∑ ∑ = = =+++=+++== n 1i n 1i nn21n21i XK )X ... X K(X KX ... KX KX KX Exemplo: Seja o valor constante K = 5 e { }9 ; 3 ; 5 ; 6 ; 4 6; ; 10 ; 8 ; 0 ; 2 = X , ter-se-á então: ( )9 . 5 3 . 5 5 . 5 6 5. 4 . 5 6 . 5 10 . 5 8 . 5 0 5. 2 . 5 5X10 1i i +++++++++=∑ = = =∑ = X5 10 1i i 5 ( 9 3 5 6 4 6 10 8 0 2 +++++++++ ) 265. 53 . 5 == 3ª – Sendo X e Y duas variáveis, a distributiva do somatório em relação à soma algébrica, será: ( ) Y X YX n 1i i n 1i i n 1i ii ∑∑∑ === +=+ ( )∑ = + n 1i ii YX =++++++++= ) Y (X ... ) Y (X ) Y (X ) Y (X nn332211 ) Y ... Y Y (Y )X ... X X (X n321n321 +++++++++= ∑∑ == += n 1i i n 1i i Y X Exemplo: CHICHORRO, J.F.; BAUER, M.O.; SCHMIDT, P.B. – NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA 3 Sejam duas variáveis X e Y, sendo essas as notas obtidas em álgebra linear por 10 alunos do curso de matemática. { }9 ; 3 ; 5 ; 6 ; 4 6; ; 10 ; 8 ; 0 ; 2 = X { }6 ; 4 ; 1 ; 3 ; 5 7; ; 10 ; 0 ; 2 ; 8 = Y Tem-se então: ∑ = = 10 1i i 53X e ∑ = = n 1i i 46Y 99 6) (9 4) (3 1) (5 3) (6 5) (4 7) (6 )10 (10 0) (8 2) (0 8) (2 ) Y (X 10 1i ii =+++++++++++++++++++=+∑ = 4ª - O quadrado da soma é diferente da soma dos quadrados, ou seja; ≠ ∑∑ == n 1i 2 i 2n 1i i XX Senão vejamos: 2809 53 9) 3 5 6 4 6 10 8 0 (2 X 22 210 1i i ==+++++++++= ∑ = 371 )9 3 5 6 4 6 10 8 0 (2 X 2222222222 10 1i 2 i =+++++++++= ∑ = Portanto, 3712809 ≠ . 5ª - O produto das somas é diferente da soma dos produtos, ou seja: ≠ ∑∑∑ === n 1i ii n 1i i n 1i i Y.XY . X , comprovando a propriedade para os conjuntos X e Y, onde: { }9 ; 3 ; 5 ; 6 ; 4 6; ; 10 ; 8 ; 0 ; 2 = X { }6 ; 4 ; 1 ; 3 ; 5 7; ; 10 ; 0 ; 2 ; 8 = Y ∑ = n 1i iX = 53 e ∑ = n 1i iY = 46, logo: 243846 . 53Y . X 10 1i i 10 1i i == ∑∑ == 267 6) . (9 4) . (3 1) . (5 3) . (6 5) . (4 7) . (6 10) . (10 0) . (8 2) . 0( 8) . (2 Y.X 10 1i ii =+++++++++= ∑ = Portanto, 2438 ≠ 267 6ª - Os somatórios múltiplos de um produto são iguais ao produto dos somatórios separadamente. Comprovando a propriedade para um somatório duplo com os conjuntos: { }9 ; 3 ; 5 ; 6 ; 4 6; ; 10 ; 8 ; 0 ; 2 = X { }6 ; 4 ; 1 ; 3 ; 5 7; ; 10 ; 0 ; 2 ; 8 = Y CHICHORRO, J.F.; BAUER, M.O.; SCHMIDT, P.B. – NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA 4 = ∑∑∑∑ === = n 1j n 1i i n 1i j n 1j i Yj . XYX ( ) ( ) ( )∑∑ = = ++++++++++++= 4 1i j 4 1j i 10.80.82.88.810.00.02.08.010.20.22.28.2YX ( ) 40010.100.102.108.10 =+++ 40020.20YX 4 1i 4 1i ii ==∑∑ = = , logo: 400 = 400. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Desenvolva os somatórios: a) =∑ = n 1i iX b) =∑ = 6 3i iX c) =∑ = 5 1i iX 2) Escreva sob a forma de somatório: a) X1 + X2 + X3 + X4= b) X1 + X2 +X +...+ X7= c) X4 + X5 + X6 + X7= d) X5 + X6 +...+ X10= 3) Dada a sequencia (2; 5; 7; 10; 12; 13; 15) e sendo xi o termo geral, determine os valores de X1, X2, X3, ..., X7. 4) Calcule, considerando a sequencia do exercício anterior: a) =∑ = 7 1i iX b) =∑ = 4 1i iX c) =∑ = 7 3i iX d) =∑ = 6 4i iX CHICHORRO, J.F.; BAUER, M.O.; SCHMIDT, P.B. – NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA 5 2. PRODUTÓRIO O produtório é simbolizado pela letra pi (pi), do alfabeto grego. É obtido pela expressão i n 1i X∏ = e lê-se produtório ou o produto de Xi com i variando de 1 até n, onde i é o índice e determina o número de ordem de cada parcela do produto, ou seja: n321i n 1i X . ... . X . X . X X =∏ = , com i = 1, 2, 3, ..., n, sendo 1 e n denominados de limites do produtório. Exemplo: Efetuar as operações seguintes para o conjunto: { }9 ; 3 ; 5 ; 6 ; 4 ; 6 ; 10 ; 8 ; 0 ; 2 = X a] 0 9 . 3 . 5 . 6 . 4 . 6 . 10 . 8 . 0 . 2 X i 10 1i ==∏ =b] 1920 4 . 6 . 10 . 8 X i 6 3i ==∏ = c] 14400 5 . 6 . 4 X 2222i 8 6i ==∏ = Fatos: 1) b1 . b2 . .... bn = i n 1i b∏ = 2) b. b. b....b = b n 1i ∏ = = bn 3) i n 1i n n321 n n21i n 1i XcX....X.X.XccX.....cX.cXcX = = ∏===∏ 4) !nn....3.2.1i n 1i ==∏ = 5) ∑∏ == =+++== n 1i in21n21i n 1i XlogXlog...XlogXlog)X....X.Xlog(Xlog 6) ( )( )( ) ( ) ( ) === ∏∏∏ === n 1i i n 1i in321n321nn332211i n 1i i YX)Y......Y.Y.Y.(X.....X.X.XYX......YX.YX.YXYX CHICHORRO, J.F.; BAUER, M.O.; SCHMIDT, P.B. – NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA 6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Seja X uma variável assumindo os seguintes valores: { }8 ; 4 ; 9 ; 6 ; 2 ; 1 ; 0 ; 3 ; 2 ; 5X = a) ∑ = 10 1i iX b) ∑ = 10 1i 2 iX c) 210 1i iX ∑ = d) 110 10 X X 210 1i i10 1i 2 i − − ∑ ∑ = = e) ( )∑ = − 10 1i i 4X f) ( )∑ = − 10 1i 2 i 4X g) ( ) 110 4X 10 1i 2 i − −∑ = h) 10 X 10 1i i∑ = 2) Sabendo-se que ∑ = −= 5 1i i 6X e ∑ = = 5 1i 2 i 12X , calcule: a) ( )∑ = + 5 1i i 5 X4 b) ( )∑ = 5 1i ii 2-XX c) ( )∑ = − 5 1i 2 i 3 X 3) Desenvolver e calcular: a) ( )∑∑ = = ∗+ 6 2j 3 1i jbi b) ( )∑∑ = = − 2 1j 5 1i ji c) ( )∑∑ = = + 2 0j 2 1i 23ji d) ∑∑ = = 8 0j 7 1i cb e) ∑∑ = = 5 1j 4 1i 2i 4) Utilizando os dados da Tabela abaixo, calcule: i j 1 2 3 4 1 8 7 5 9 2 4 0 10 2 a) ∑ = 2 1i 1iX b) ∑ = 4 1j j1X c) ∑∑ = = 2 1i 4 1j ijX d) ∑ ≠ = 4 3j 1j jX e) ∑ = 3 2j j2X f) ∑ ≠ = 4 2j 1j j2X 1 g) ∏ ≠ = 4 3j 1j j1X6 h) ∏ ≠ = 4 2j 1j j2X
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