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Ca´lculo 1 – 2S2013
Professor: Alireza Mohebi Ashtiani (Ali)
(Prazo de Entrega: dia da Prova 1, na sala de prova)
1. Considere a func¸a˜o f(x) =
x
x− |x| .
(a) Determine f(−2), f(−1), f(0), f(1) e f(2);
(b) Determine Dom(f);
(c) Construa o gra´fico de f(x); Encontre limx→0 f(x)
(d) Determine Im(f);
(e) A func¸a˜o f(x) e´ pare ou ı´mpar? Por queˆ?
(f) A func¸a˜o f(x) e´ crescente ou decrescente?
(g) A func¸a˜o f(x) tem inversa? Por queˆ?
(h) Sendo g(x) = x3, determine fog(1) e fog(−1).
2. Seja f(x) uma func¸a˜o qualquer. Prove que esta func¸a˜o pode ser reescrita como uma soma de duas func¸o˜es, uma
par e outra ı´mpar.
3. Calcule o limite, se existir:
(a) lim
x→1
√
x− 1, (b) lim
x→3
x4 − 81
x− 3 , (c) limx→0
|x|
x
, (d) lim
x→1+
√
2− x
x− 1 ,
(e) lim
x→4
x2 + 2ex−4 + 1, (f) lim
x→3
x2 + 5x− 4
x2 − 5 , (g) limx→−3
x2 + 2x− 3
x + 3
,
(h) lim
x→6
x2 − 36
x− 6 , (i) limx→1
x2 − 1
x2 + 3x + 2
, (j) lim
x→−2
x2 + 32
x + 2
, (k) lim
x→2
x− 2√
2x− 4 .
(l) lim
x→2
x− 4√
x− 2 , (m) limx→0
x√
2−√2− x, (n) limx→−2−(x+3)
|x + 2|
x + 2
, (o) lim
x→−2
ln(x + 3)
x + 2
.
4. Calcule o limite, se existir:
(a) lim
x→+∞
2
x− 1 , (b) limx→+∞
x2 + 3x + 3
3x2 − 3 , (c) limx→−∞
3x− 10
4x3 + 2x2 + x
, (d) lim
x→+∞
√
x− 3
2x2 + 6
,
(e) lim
x→+∞
√
4x + 3
2 + x
, (f) lim
x→+∞
√
x2 + 1− x, (g) lim
x→+∞
1√
x
,
(h) lim
x→+∞ 2 +
1√
x
, (i) lim
x→−∞ e
−x, (j) lim
x→+∞(1−
1
x
)3, (k) lim
x→−∞(3 + e
− 1x ).
(l) lim
x→−∞ ln(x
2−1), (m) lim
x→−∞
x2 + x + 1
(x + 1)3 − x3 , (n) limx→+∞
√
x2 + x + 1
x + 3
, (o) lim
x→−∞
√
x2 + x + 1
x + 3
.
(p) lim
x→−∞
2x2 − 3x− 5√
x4 + 1
, (q) lim
x→+∞
2x2 − 3x− 5√
x4 + 1
, (r) lim
x→−∞
5x3 − 2x2 + 1
x + 7
, (s) lim
x→−∞
(3x + 3)3
2x(3x + 1)(4x− 1) .
5. Sabe-se que limx→0
senx
x
= 1. Encontre os seguintes limtes
(a) lim
x→0
sen2x
2x
, (b) lim
x→0
sen8x
7x
, (c) lim
x→0
sen2x
sen3x
, (d) lim
x→0
sen2x
x
,
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Câmpus Cornélio Procópio
APS 1 – Valendo 2 pontos
6. Encontre as ass´ıntotas verticais e horizontais das func¸o˜es abaixo
(a) y =
1
x− 1 , (b) y =
2x2 + x− 1
x2 − 1 , (c) y =
x
x2 − 1 , (d) y =
x + 4
x− 3 , (e) y = x
2+ex.
7. Mostre que
(a) lim
x→0
(1 + 3x)
4
x = e12, (b) lim
x→0
(1 +
4
7
x)
1
x = e
4
7 , (c) lim
x→0
(1− x) 1x = e−1.
8. Suponha que −1 ≤ g(x) ≤ 1, encontre
lim
x→∞
x2(2 + g2(x))
x + 100
.
9. Suponha que f e g sa˜o duas func¸o˜es cont´ınuas tais que f(3) = 8 e limx→3(2f(x) + 4g(x)) = 8. Encontre g(3).
10. Explique por que a func¸a˜o e´ descont´ınua no nu´mero dado a.
f(x) =
{
x2−1
x−1 , se x 6= 1,
1, se x = 1
, (a = 1) g(x) =
{
ex, se x < 0
x2, se x ≥ 0 , (a = 0) h(x) =

cosx, se x < 0
0, se x = 0, (a = 0)
1− x2, se x > 0.
11. Determine as constantes a, b e c de modo que as func¸o˜es
f(x) =

3x, se x < 0
ax + b, se x = 0
−6x, se x > 0
, g(x) =
{
cx2 + 4, se x 6= 1
lnx + 2, se x = 1
sejam contnuas.
Vale lembrar que o Teste 1 (de apenas uma questa˜o) sera´ realizado na u´ltima aula desta semana.
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