Lista De Apoio2

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Ca´lculo Integral - 2013.2
Lista de Apoio
07 - 10 - 2013
Equipe de Matema´tica, Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia, UFMA - Campus Cidade Universita´ria
1 (Substituic¸a˜o trigonome´trica) Calcule:
(a)
∫ √
3 + 4x2 dx
(b)
∫ √
2x − x2 dx
(c)
∫ √
5 − 4x2 dx
(d)
∫
x2√
1 − x2
dx
(e)
∫
1
x2
√
1 + x2
dx
(f)
∫
x2
√
1 − x2 dx
2 (Integrais do tipo
∫
P(x)
(x−a)(x−b) dx) Calcule:
(a)
∫
x3 − 1
(x − 1)2 dx
(b)
∫
2x + 1
x2 − 5x + 6 dx
(c)
∫
t4 + 5
t2 − 3t + 2 dt
(d)
∫
x2 + 3
x2 − 9 dx
3 (Primitivas de func¸o˜es racionais com denominadores do tipo (x−a)(x−b)(x−c)) Calcule:
(a)
∫
x4 + x + 1
x3 − x dx (b)
∫
x + 1
x(x − 2)(x + 3) dx
4 (Primitivas de func¸o˜es racionais cujos denominadores apresentam fatores irredutı´veis
do 2o grau) Calcule:
(a)
∫
4x + 1
x2 + 6x + 8
dx (b)
∫
9x2 − 5x + 4
3x2 − x + 1 dx (c)
∫
4x2 + 17x + 13
(x − 1)(x2 + 6x + 10) dx
5 (Integrais de produtos de seno e cosseno) Calcule:
(a)
∫
sin 7x cos 3xdx (b)
∫
cos3 xdx (c)
∫
sinmx cosnxdx
6 Seja n > 1 um nu´mero inteiro. Mostre que
(a)
∫
sinn xdx =
1
n
sinn−1 x cos x +
n − 1
n
∫
sinn−2 xdx
(b)
∫
cosn xdx =
1
n
cosn−1 x sin x +
n − 1
n
∫
cosn−2 xdx
7 Sejam I ⊆ R um intervalo e f : I −→ R uma func¸a˜o contı´nua.
(a) Usando a mudanc¸a de varia´vel u = sin x, mostre que∫
f (sin x) cos xdx =
∫
f (u) du
(b) Usando a mudanc¸a de varia´vel u = cos x, mostre que∫
f (cos x) sin xdx =
∫
f (u) du
(c) Calcule
∫
sin x
cos5 x
dx
(d) Calcule
∫
(1 +
√
sin x) cos3 xdx
8 (Integrais de poteˆncias de seno e cosseno) Calcule:
(a)
∫
sin5 xdx
(b)
∫
sin4 xdx
(c)
∫
cos4 xdx
(d)
∫
cos4 3x sin2 4xdx
(e)
∫
sin3 2x cos5 xdx
(f)
∫
cos3 2x sin4 5xdx
9 Se n > 1 e´ um nu´mero inteiro, mostre que∫
tann xdx =
1
n − 1 tan
n−1 x −
∫
tann−2 xdx
e calcule
(a)
∫
tan5 3xdx. (b)
∫
sec3 x tan5 xdx
2