Cálculo Integral - Lista de Exercícios

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Ca´lculo Integral - 2013.2
Lista II
outubro - 2013
Equipe de Matema´tica, Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia, UFMA - Campus Cidade Universita´ria
Outras Substituic¸o˜es
1 Calcule:
(a)
∫
dx
x2 + 2x + 5
(b)
∫
dx
x2 + 2x
(c)
∫
dx
3x2 − x + 1
(d)
∫
3x − 2
x2 − 4x + 5 dx
(e)
∫
x2
x2 − 6x + 10 dx
(f)
∫
dx√
x − x2
(g)
∫
3x − 6√
x2 − 4x + 5 dx
(h)
∫
x
5x2 − 2x + 1 dx
(i)
∫
dx
x
√
x2 + x − 1
dx
(j)
∫
(x − 1)2
x2 + 3x + 4
dx
(k)
∫
dx
x2 + px + q
dx
(l)
∫
dx
x
√
1 − x2
dx
(m)
∫
dx
(x − 1)√x2 − 2
dx
(n)
∫ √
x − x2 dx
(o)
∫
x
x4 − 4x2 + 3 dx
(p)
∫
ex√
1 + e2 + e2x
dx
(q)
∫
ln x
x
√
1 − 4 ln x − ln2 x
dx
(r)
∫ √
x2 + 2x + 5 dx
(s)
∫ √
2 − x − x2 dx
(t)
∫
cos x
sin2 x − 6 sin x + 12 dx
(u)
∫
sin x√
cos2 x + 4 cos x + 1
dx
(v)
∫
1√
cx + d
dx, cd , 0.
(w)
∫
1
x
√
cx + d
dx, c , 0.
(x)
∫
1
(x + 2)
√
x + 1
dx.
(y)
∫
1
(2x + 1)
√
x + 1
dx.
2 Ache as integrais:
(a)
∫
x3√
x − 1dx
(b)
∫
dx√
x + 1 +
√
(x + 1)3
(c)
∫ √
x − 1
3
√
x + 1
dx
(d)
∫ √
x
x + 2
dx
(e)
∫ √
x + 1 + 2
(x + 1)2 − √x + 1dx
(f)
∫
dx
(2 − x)√1 − x
(g)
∫ √
x
1 + 3
√
x
dx
(h)
∫
dx
3 +
√
x + 2
(i)
∫
2x5 + 3x2√
1 + 2x3
dx
(j)
∫
dx√√
x + 1
(k)
∫
dx
2 3
√
x +
√
x
(l)
∫
dx√
2x − √x + 4
(m)
∫ 3√1 + 4√x
√
x
dx
(n)
∫
dx
1 − sin x + cos x
(o)
∫
3
2 cos x + 1
dx
(p)
∫
dx
(cot 2x)(1 − cos 2x)
(q)
∫
5
6 + 4 sec x
dx
(r)
∫
1
(x2 + 5x + 4)
√
x + 1
dx.
(s)
∫
1
(x2 + 2x + 1)
√
x + 3
dx.
(t)
∫
1
(x2 + 2x + 1)
√
x + 1/2
dx.
(u)
∫
1
(x2 + x + 1)
√
x + 2
dx.
3 Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
x2√
x2 − x + 1
dx
(b)
∫
x5√
1 − x2
dx
(c)
∫
x6√
x2 + 1
dx
(d)
∫
dx
(x + 1)3
√
x2 + 2x
(e)
∫
x2√
x2 − x + 1
dx
(f)
∫
x2 + x + 1
x
√
x2 − x + 1
dx
4 Usando a substituic¸a˜o z = tan 12x, prove que∫
csc xdx = ln
√
1 − cos x
1 + cos x
+ C
5 Calcule:
(a)
∫
dx
3 + 5 cos x
(b)
∫
cos x
1 + cos x
dx
(c)
∫
dx
8 − 4 sin x + 7 cos x
(d)
∫
dx
sin x + cos x
(e)
∫
sin x
1 − sin x dx
(f)
∫
dx
cos x + 2 sin x + 3
(g)
∫
3 sin x + 2 cos x
2 sin x + 3 cos x
dx
(h)
∫
1 + tan x
1 − tan x dx
(i)
∫
dx
1 + 3 cos2 x
(j)
∫
dx
3 sin2 x + 5 cos2 x
(k)
∫
sin x
(1 − cos x)3 dx
(l)
∫
cos 2x
cos4 x + sin2 x
dx
Volumes
1 Determine o volume de uma cunha, cortada de um cilindro circular por um plano que,
passando pelo diaˆmetro da base, esta´ inclinado em relac¸a˜o a ela, formando um aˆngulo
α.
2 Encontre o volume de uma piraˆmide de base quadrada com lado L e cuja altura e´ h.
3 Encontre o volume do so´lido S descrito:
2
(a) A base de S e´ um disco circular de raio r. As secc¸o˜es transversais paralelas a` base,
sa˜o quadrados.
(b) A base de S e´ uma regia˜o elı´ptica limitada pela curva 9x2 + 4y2 = 36. As secc¸o˜es
transversais perpendiculares ao eixo Ox sa˜o triaˆngulos iso´sceles retos com hipote-
nusa na base.
(c) A base de S e´ uma regia˜o parabo´lica {(x, y)
∣∣∣x2 ≤ y ≤ 1}. As secc¸o˜es transversais
perpendiculares ao eixo Oy sa˜o triaˆngulos equila´teros.
(d) A base de S e´ uma regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (3, 0) e (0, 2). As secc¸o˜es
transversais perpendiculares ao eixo Oy sa˜o semicı´rculos.
4 Uma tigela tem o formato de um hemisfe´rio com diaˆmetro de 30 cm. Uma bola com
diaˆmetro de 10 cm e´ colocada dentro da tigela e, depois despeja-se a´gua ate´ uma pro-
fundidade de h centı´metros. Encontre o volume de a´gua na tigela.
5 Calcule o volume do elipso´ide, formado pela rotac¸a˜o da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, em torno do
eixo Ox.
6 Ache o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo Oy da regia˜o limitada
pela curva y = ln 2x, pelo eixo Ox e pela reta x = e.
7 Encontre o volume do corpo formado pela rotac¸a˜o em torno da reta y = −p, da regia˜o
limitada pela para´bola y2 = 2px e pela reta x = p/2.
8 Achar o volume dos corpos, formados pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas linhas
y = exp x, x = 0, x = 1 e y = 0, em torno:
(a) do eixo Ox; (b) do eixo Oy.
9 Determine o volume do obelisco, cujas bases paralelas sa˜o retaˆngulos de lados A,B e
a, b, sendo a altura igual a h.
10 Sobre as cordas da astro´ide x2/3 + y2/3 = a2/3, paralelas ao eixo Ox, construı´ram-se
quadrados, cujos lados sa˜o iguais aos comprimentos das cordas e os planos em que
se encontram sa˜o perpendiculares ao plano xOy. Determine o volume do corpo que
formam estes quadrados.
11 Um cı´rculo deforma´vel se desloca de tal forma que um dos pontos de sua circunfereˆncia
descansa sobre o eixo Oy, o centro descreve a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, enquanto que o plano
do cı´rculo e´ perpendicular ao eixo Oy. Calcule o volume do corpo formado por este
cı´rculo.
12 O plano de um triaˆngulo mo´vel permanece perpendicular ao diaˆmetro fixo de um cı´rculo
de raio a. A base do triaˆngulo e´ a corda desse cı´rculo, enquanto que seu ve´rtice resvala
por uma reta paralela ao diaˆmetro fixo, que se encontra a uma distaˆncia h do plano
do cı´rculo. Determine o volume do corpo (chamado cono´ide) formado pelo movimento
deste triaˆngulo desde um extremo do diaˆmetro ao outro.
Valor Me´dio de uma func¸a˜o
1 Encontre o valor me´dio da func¸a˜o no intervalo dado.
3
(a) f (x) = x2, [−1, 1]
(b) g(x) = cos x, [0, pi/2]
(c) h(r) = 3/(1 + r)2, [1, 6]
(d) f (θ) = secθ tanθ, [0, pi/4]
2 Em cada item, [I] encontre o valor me´dio da func¸a˜o no intervalo dado, [II] encontre c tal
que fme´d = f (c), [III] esboce o gra´fico de f e um retaˆngulo cuja a´rea e´ a mesma que a
a´rea sob o gra´fico de f .
(a) f (x) = (x − 3)2, [2, 5]
(b) f (x) =
√
x, [0, 4]
(c) f (x) = 2 sin x − sin 2x, [0, pi]
(d) f (x) = 2x/(1 + x2)2, [0, 2]
3 Se f e´ contı´nua e
∫ 3
1
f (x) dx = 8, mostre que f assume o valor 4 pelo menos uma vez no
intervalo [1, 3].
4 Encontre os valores de b tais que o valor me´dio de f (x) = 2 + 6x − 3x2 no intervalo [0, b]
e´ igual a 3.
5 Em uma certa cidade, a temperatura (em ◦F) t horas depois das 9 horas foi aproximada
pela func¸a˜o
T(t) = 50 + 14 sin
pit
12
Calcule a temperatura me´dia durante o perı´odo entre 9 h e 21 h.
6 A densidade linear de uma basta˜o de 8 m de comprimento e´ 12/
√
x + 1 kg/m, onde x e´
medido em metros da ponta do basta˜o. Encontre a densidade me´dia do basta˜o.
A´reas de Superfı´cies de revoluc¸a˜o e Comprimento de Arco
1 Achar a a´rea da superfı´cie formada pela rotac¸a˜o da parte da tangento´ide y = tan x,
compreendida entre x = 0 e x =
pi
4
, em torno do eixo Ox.
2 Achar a a´rea da superfı´cie de revoluc¸a˜o da curva x = 14 y
2 − 12 ln y em torno do eixo OX,
compreendida entre y = 1 e y = e.
3 Ache o comprimento do arco da curva y = x
2
3 do ponto (1, 1) a (8, 4).
4 Ache o comprimento de arco da curva y =
2
3
(x − 5) 32 do ponto x = 6 ao ponto x = 8.
5 Calcule a a´rea da superfı´cie gerada pela rotac¸a˜o em torno do eixo Ox, do gra´fico da
func¸a˜o dada.
(a) f (x) = cosh x, −1 ≤ x ≤ 1
(b) f (x) =
√
R2 − x2, −R ≤ x ≤ R, R > 0
(c) y = x2, 0 ≤ x ≤ 1
(d) y =
√
x, 1 ≤ x ≤ 4
6 Calcule o comprimento do gra´fico da func¸a˜o dada.
4
(a) f (x) = ln x, 1 ≤ x ≤ e
(b) f (x) = ex, 0 ≤ x ≤ 1
7 Quantos metros de chapa de ferro sa˜o necessa´rios para construir um arco AB, de forma
parabo´lica, sendo A e B sime´tricos com relac¸a˜o ao eixo de simetria da para´bola e com as
seguintes dimenso˜es: 2 m a distaˆncia de A a B e 1 m a do ve´rtice ao segmento AB.
8 Determineo comprimento de um arco do ciclo´ide
x = a(θ − sinθ) e y = a(1 − cosθ),
0 ≤ θ ≤ 2pi. Um ciclo´ide e´ a curva formada por um ponto P na circunfereˆncia de um
cı´rculo que rola sobre uma reta, como o eixo Ox, sem deslizar (Esboce a curva).
9 Determine o comprimento da curva
x = ln(sec t + tan t) − sin t e y = cos t, 0 ≤ t ≤ pi/3
10 Uma partı´cula se desloca no plano com equac¸o˜es parame´tricas x = x(t) e y = y(t).
Sabe-se que, para todo t,
dx
dt
= 2(cm/s),
d2y
dt2
= −2(cm/s2) e dy
dt
∣∣∣∣
t=0
= 4(cm/s).
Sabe-se ainda, que no instante t = 0 a partı´cula encontra-se na posic¸a˜o (0, 0). Determine
a distaˆncia percorrida pela partı´cula entre os instantes t = 0 e t = T, onde T e´ o instante
em que a partı´cula volta a tocar o eixo Ox. Como e´ a trajeto´ria descrita pela partı´cula?
Uso das Coordenadas Polares
1 Dado que a equac¸a˜o polar de um gra´fico e´ r2 = 4 sin 2θ, ache a equac¸a˜o cartesiana.
2 Ache a equac¸a˜o polar do gra´fico dada sua equac¸a˜o cartesiana.
(a) x2 + y2 = a2
(b) y2 = 4(x + 1)
(c) (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2)
(d) x3 + y3 − 3axy = 0
(e) x + y = 1
(f) x2 − y2 = 16
(g) 2xy = a2
3 Ache a equac¸a˜o cartesiana do gra´fico tendo a sua equac¸a˜o polar.
(a) r2 = 2 sin 2θ
(b) rcosθ
(c) r cosθ = −1
(d) r6 = r2 cos2 θ
(e) r =
6
2 − 3 sinθ
4 Ache os pontos de intersecc¸a˜o das duas curvas r = 2− 2 cosθ e r = 2 cosθ. Fac¸a esboc¸os
de seus gra´ficos.
5 Ache a a´rea da regia˜o limitada por um lac¸o do gra´fico da equac¸a˜o dada.
5
(a) r = 3 cosθ
(b) r = 4 cos 3θ
(c) r2 = 4 sin 2θ
(d) r = 2 − sinθ
(e) r = 4 sin2 θ cosθ
(f) ρ2 = cosθ
6 Ache a a´rea da regia˜o limitada pelo gra´fico da equac¸a˜o r = θ de θ = 0 a θ = 32pi.
7 Ache a a´rea da intersecc¸a˜o das regio˜es limitadas pelos gra´ficos das duas equac¸o˜es dadas.
(a)
{
r = 2
r = 3 − 2 cosθ
(b)
{
r = 3 sin 2θ
r = 3 cos 2θ
(c)
{
r = 4 sinθ
r = 4 cosθ
(d)
{
r2 = 4 sin 2θ
r =
√
2
8 Ache a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva dada no ponto, cujo valor de θ e´ indicado.
(a) r = 2 sinθ;θ = 16pi (b) r = 6 + 2 sinθ;θ =
5
6pi (c) r = 3 − 2 cosθ;θ = 23pi
9 (a) Escreva, em coordenadas polares, a equac¸a˜o da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 tomando como
polo a origem e como eixo polar o semieixo Ox.
(b) Escreva, em coordenadas polares, a equac¸a˜o da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 tomando como
polo o foco F = (c, 0), c > 0, e como eixo polar a semireta FA onde A = (a, 0), a > 0.
(Fac¸a e = ca e ρ = a − ec)
10 Sejam F1 e F2 dois pontos distintos do plano e seja k a metade da distaˆncia de F1 a F2. O
lugar geome´trico dos pontos P do plano tais que PF1 · PF2 = k2 denomina-se lemniscata
de focos F1 e F2.
(a) Tomando-se F1 = (−k, 0) e F2 = (k, 0), determine a equac¸a˜o, em coordenadas carte-
sianas, da lemniscata.
(b) Passe para coordenadas polares a equac¸a˜o obtida no item (a) tomando para polo a
origem e Ox como eixo polar. Desenhe a curva.
11 Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares.
(a) ρ = θ, 0 ≤ θ ≤ pi
(b) ρ = 1 + cosθ, 0 ≤ θ ≤ pi
(c) ρ = 1/θ, 1 ≤ θ ≤ √3
(d) ρ = e−θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi
(e) ρ = secθ, 0 ≤ θ ≤ pi/3
(f) ρ = θ2, 0 ≤ θ ≤ 1
Centro de massa
1 Ache o centro´ide da regia˜o com os contronos indicados.
(a) A para´bola y = 4 − x2 eo eixo x.
(b) A para´bola x = 2y − y2 e o eixo y.
(c) As curvas y = x3 e y = 4x no primeiro quandrante.
6
(d) As urvas y = x2 e y = x3.
2 Ache o centro de massa da laˆmina limitada pela para´bola 2y2 = 18 − 3x, pelo eixo y, se
a densidade superficial de massa em qualquer ponto (x, y) for
√
6 − x kg/m2
3 A regia˜o limitada pelas curvas y = −4/√x, y = 4/√x e as retas x = 1 e x = 4 e´ girada em
torno do eixo Oy, gerando um so´lido.
(a) Determine o volume do so´lido;
(b) Determine o centro de massa de uma placa fina que cobre a regia˜o se a densidade
da placa no ponto (x, y) for δ(x) = 1/x;
(c) Esboce a placa e mostre o centro de massa em seu esboc¸o.
4 Prove que a distaˆncia do centro´ide de um triaˆngulo a qualquer lado do triaˆngulo e´ igual
a um terc¸o da altura daquele lado.
5 (Teorema de Pappus) Considere o conjunto
A = {(x, y) ∈ R2
∣∣∣ a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)}
onde f e g sa˜o supostas contı´nuas em [a, b] e 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para cada x ∈ [a, b]. Mostre
que o volume do so´lido, obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo Ox do conjunto A, e´ igual
ao produto da a´rea de A pelo comprimento da circunfereˆncia descrita pelo centro de
massa de A.
6 (Teorema de Pappus para a´rea de superfı´cie de Revoluc¸a˜o) Suponha f (x) ≥ 0 e com
derivada contı´nua em [a, b]. Mostre que a a´rea da superfı´cie, obtida pela rotac¸a˜o em
torno do eixo Ox do gra´fico de f , e´ igual ao produto do comprimento do gra´fico de f
pelo comprimento da circunfereˆncia descrita pelo centro de massa do gra´fico de f .
7 Determine o centro de massa do conjunto −1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ (x + 1)2. (Sugesta˜o:
Resolva o problema no plano (u, y), com u = x + 1.)
Integrais Impro´prias
1 Determine se cada integral e´ convergente ou divergente. Avalie aquelas que sa˜o con-
vergentes.
(a)
∫ +∞
1
dx
(3x + 1)2
(b)
∫ +∞
4
e−y/4 dy
(c)
∫ +∞
0
cos2 αdα
(d)
∫ +∞
−∞
xe−x
2
dx
(e)
∫ 2
0
z2 ln z dz
(f)
∫ 4
0
dx
x2 + x − 6
(g)
∫ 1
0
ln x√
x
dx
(h)
∫ +∞
0
x arctan x
(1 + x2)2
dx
(i)
∫ +∞
1
dx
(3x + 1)2
(j)
∫ 1
0
dx√
1 − x2
(k)
∫ 1
−1
ex
ex − 1 dx
(l)
∫ 3
0
dx
x
√
x
(m)
∫ +∞
0
sin x
x
dx
7
2 Use o Teorema da Comparac¸a˜o para determinar se a integral e´ convergente ou diver-
gente.
(a)
∫ +∞
1
cos2 x
1 + x2
dx
(b)
∫ +∞
1
2 + e−x
x
dx
(c)
∫ +∞
1
dx
x + e2x
(d)
∫ +∞
1
x√
1 + x6
dx
(e)
∫ pi/2
0
dx
x sin x
dx
(f)
∫ 1
0
e−x√
x
dx
3 A integral
∫ +∞
0
dx√
x(1 + x)
e´ impro´pria por duas razo˜es: o intervalo [0,+∞) e´ infinito e o
integrando tem uma descontinuidade infinita em 0. Avalie-a expressando-a como soma
de integrais do Tipo 2 e do Tipo 1, como a seguir:∫ +∞
0
dx√
x(1 + x)
=
∫ 1
0
dx√
x(1 + x)
+
∫ +∞
1
dx√
x(1 + x)
4 Encontre os valores de p para os quais a integral converge e avalie a integral para aqueles
valores de p.
(a)
∫ 1
0
dx
xp
(b)
∫ +∞
e
dx
x(ln x)p (c)
∫ 1
0
xp ln x dx
5 A velocidade me´dia das mole´culas em um ga´s ideal e´
v =
4√
pi
( M
2RT
)3/2 ∫ +∞
0
v3e−Mv
2/(2RT) dv
onde M e´ o peso molecular do ga´s; R, a constante do ga´s; T, a temperatura do ga´s; e v, a
velocidade molecular. Mostre que
v =
√
8RT
piM
6 Os astroˆnomos usam uma te´cnica chamada estereografia estelar para determinar a den-
sidade das estrelas em um aglomerado estelar a partir da densidade (bidimensional)
observada, que pode ser analisada a partir de uma fotografia. Suponha que em um
aglomerado esfe´rico de raio R a densidade das estrelas dependa somente da distaˆncia r
do centro do aglomerado. Se a densidade estelar aparente for dada por y(s), onde s e´ a
distaˆncia planar observada do centro do aglomerado e x(r) e´ a densidade real, pode ser
mostrado que
y(s) =
∫ R
s
2r√
r2 − s2
x(r) dr
Se a densidade real de estrelas em um aglomerado for x(r) = 12 (R − r)2, encontre a
densidade aparente y(s).
7 Mostre que
∫ +∞
0
x2e−x
2
dx =
1
2
∫ +∞
0
e−x
2
dx.
8
8 Mostre que, se a > −1 e b > a + 1 enta˜o a seguinte integral e´ convergente:
∫ +∞
0
xa
1 + xb
dx
9 Considere a regia˜o R = {(x, y) ∈ R2
∣∣∣ x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1/x}. Calcule o volume do corpo
obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo Ox. Mostre que a a´rea da superfı´cie e´
infinita. (A superfı´cie obtida dessa forma e´ conhecida como trombeta de Gabriel.)
Outras aplicac¸o˜es
1 Um tanque1 tem o formato de um cone circularinvertido de altura 10 m e raio da base
4 m e esta´ cheio de a´gua ate´ uma altura de 8 m. Calcule o trabalho necessa´rio para
esvaziar o tanque bombeando toda a a´gua pelo topo do tanque. (A densidade da a´gua
e´ de 1000 kg/m3.)
2 Uma placa2 plana triangular com dois lados iguais, base de 6 pe´s e altura de 3 pe´s, esta´
submersa verticalmente, com a base virada para cima, 2 pe´s abaixo da superfı´cie de uma
piscina. Determine a forc¸a exercida pela a´gua contra um lado da placa.
3 Um tanque horizontal e retangular de peixes com base de 2 × 4 pe´s e altura de 2 pe´s
(dimenso˜es interiores) e´ enchido com a´gua doce ate´ a altura de 2 pol abaixo do topo.
(a) Determine a forc¸a do fluido contra cada lado e extremidade do tanque.
(b) Se o tanque for fechado e deitado (sem derramamento), de modo que uma das
extremidades seja a base, o que isso faz com as forc¸as de fluido nos lados retangu-
lares?
4 As extremidades verticais de um cocho sa˜o quadrados com lados medindo 3 pe´s.
(a) Determine a forc¸a do fluido contra as extremidades quando o cocho esta´ cheio.
(b) Em quantas polegadas voceˆ tem que baixar o nı´vel de a´gua no cocho para reduzir
a forc¸a de fluido em 25%?
Transformada de Laplace
1 Se f : [0,+∞) −→ R e´ contı´nua, a Transformada de Laplace de f e´ a func¸a˜o F definida por
F(s) =
∫ +∞
0
f (t)e−st dt
e o domı´nio de F e´ o conjunto de todos os nu´meros s para os quais a integral converge.
Calcule a Transformada de Laplace das seguintes func¸o˜es:
(a) f (t) = 1 (b) f (t) = et (c) f (t) = t
2 Mostre que, se 0 ≤ f (t) ≤ Meat para t ≥ 0, onde M e a sa˜o constantes, enta˜o a Transfor-
mada de Laplace F(s) existe para s > a.
1ver Stewart, vol. 1, pa´g. 414
2ver Thomas, vol. 1, pa´g. 491
9
3 Suponha que 0 ≤ f (t) ≤ Meat e 0 ≤ f ′(t) ≤ Keat para t ≥ 0, onde f ′ e´ contı´nua. Se a
Transformada de Laplace de f e´ F(s) e a transformada de Laplace de f ′ e´ G(s), mostre
que
G(s) = sF(s) − f (0), s > a
4 Encontre a transformada de Laplace de f (t) = cos at, onde e´ uma constante real.
5 (A func¸a˜o Gama) A func¸a˜o gama e´ denotada por Γ(p) e e´ definida pela integral
Γ(p + 1) =
∫ +∞
0
e−xxp dx
(a) Mostre que a integral converge para todo p > −1.
(b) Mostre que, para todo p > 0, Γ(p + 1) = pΓ(p).
(c) Mostre que Γ(1) = 1.
(d) Mostre que, para todo inteiro positivo n, Γ(n + 1) = n!.
(e) Prove que, para p > 0, p(p + 1) · · · (p + n − 1) = Γ(p + n)/Γ(p)
(f) Sabendo que Γ(1/2) =
√
pi, determine Γ(3/2) e Γ(11/2).
6 Considere a transformada de Laplace de t→ tp, onde p > −1.
(a) Mostre que L{tp} =
∫ +∞
0
e−sttp dt = Γ(p + 1)/sp+1, para s > 0.
(b) Mostre que, L{tn} = n!/sn+1.
(c) Mostre que L{t−1/2} = 2√
s
∫ +∞
0
e−x
2
dx, para s > 0.
(d) Calcule L{t−1/2} sabendo que ∫ +∞
0
e−x2 dx =
√
pi/2.
(e) Prove que, para s > 0, p(p + 1) · · · (p + n − 1) = Γ(p + n)/Γ(p)
(f) Sabendo que L{t1/2} = √pi/2s3/2.
7 Encontre L−1{F(s)} se:
(a) F(s) =
3
s2 + 4
(b) F(s) =
2s − 3
s2 − 4 (c) F(s) =
8s2 − 4s + 12
s(s2 + 4)
8 Se a func¸a˜o f e´ definida por f (t) = sin t, para 0 ≤ t < pi/4 e f (t) = sin t + cos(t − pi/4),
para t ≥ pi/4, encontre L{ f (t)}.
9 Suponha que F(s) = L{ f (t)} existe para s > a ≥ 0.
(a) Mostre que, se c > 0 e´ uma constante, enta˜o L{ f (ct)} = 1
c
F
(s
c
)
.
(b) Mostre que, se k > 0 e´ uma constante, enta˜o L−1{F(ks)} = 1
k
f
( t
k
)
.
(c) Mostre que, se a > 0 e b sa˜o constantes, enta˜o L−1{F(as + b)} = 1
a
e−bt/a f
( t
a
)
.
10
10 Seja f : [0,+∞)→ R uma func¸a˜o perio´dica de perı´odo T > 0, isto e´, tal que f (t) = f (T + t)
para todo t ≥ 0. Mostre que
L{ f (t)} =
∫ T
0
e−st f (t) dt
1 − e−sT
Refereˆncias
[1] Boyce, W.E., DiPrima, R.C., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems.
7th Edition, John Wiley & Sons, 2001.
[2] Demidovitch, H.L., Problemas e Exercı´cios de Ana´lise Matema´tica. Editora Mir Moscou, 6a.
Edic¸a˜o, 1987.
[3] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Ca´lculo. Volume 1, Rio de Janeiro, LTC, 5a. Edic¸a˜o, 2001.
[4] Guidorizzi, H.L., Um Curso de Ca´lculo. Volume 2, Rio de Janeiro, LTC, 5a. Edic¸a˜o, 2001.
[5] Sharma, A.K., Elementary Integral Calculus. DPH Mathematics Series, Discovery Publishing
House, New Delhi, 2005.
[6] Stewart, J., Ca´lculo. Volume 1, Sa˜o Paulo, Cengage Learning, 6a. Edic¸a˜o, 2011.
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