Exercícios de Cálculo Integral

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Ca´lculo Integral - 2013.2
Lista I
Setembro - 2013
Equipe deMatema´tica, Bacharelado emCieˆncia eTecnologia, UFMA -CampusCidadeUniversita´ria
Primitivas
1 Determine y = f (x), com x ∈ R, tal que f ′(x) = −2x f (x) e f (0) = 1.
(Resp.: f (x) = e−x2)
2 Seja x 7−→ f (x), com x ∈ R, uma func¸a˜o duas vezes diferencia´vel tal que f ′′(x)+ f (x) = 0,
para todo x ∈ R. Se g(x) := f ′(x) sin x − f (x) cos x, prove que g e´ constante.
3 Sejam f , g : R −→ R duas func¸o˜es diferencia´veis. Suponha que f (0) = 0 e g(0) = 1 e que,
para todo x,
f ′(x) = g(x) e g′(x) = − f (x).
(a) Mostre que, para todo x ∈ R,
( f (x) − sin x)2 + (g(x) − cos x)2 = 0
(b) Conclua que f (x) = sin x e g(x) = cos x.
4 Sejam f , g : R −→ R duas func¸o˜es diferencia´veis e tais que, para todo t ∈ R,
f ′(t) = 2g(t) e g′(t) = − f (t)
Suponha, ainda, que f (0) = 0 e g(0) = 1. Prove que, para todo t, o ponto ( f (t), g(t))
pertence a` elipse
x2
2
+ y2 = 1.
5 Calcule:
(a)
∫
(x2 + x + 1)dx
(b)
∫
(x + 1/x3)dx
(c)
∫
(a + bx)dx, a e b constantes.
(d)
∫
(
√
x + 1/x2)dx
6 Seja α , 0 um nu´mero real fixado. Calcule:
(a)
∫
sin(αx)dx (b)
∫
cos(αx + 2013)dx
7 Calcule:
(a)
∫
(x + 3ex)dx
(b)
∫
(e2x + e−2x)dx
(c)
∫
(sin 3x − cos 5x)dx
(d)
∫
(1/x + e2012x)dx
(e)
∫
( 3
√
x + cos 2013x)dx
(f)
∫
(e2x + e−2x)dx
8 Verifique que
(a)
∫
1√
1 − x2
dx = arcsin x + k, −1 < x < 1.
(b)
∫
1
1 + x2
dx = arctan x + k.
9 Determine y := y(x), com x ∈ I ⊆ R, tal que:
(a)
dy
dx
= 3x3 − 2 e y(0) = 2.
(b)
dy
dx
= sin 3x − 2 cos 2x e y(0) = 1.
(c)
dy
dx
= e−x + 1/x e y(1) = 1.
(d)
dy
dx
= 1/x − 1/x2 e y(1) = 2.
10 Uma partı´cula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = t−3, t ≥ 0. Sabe-se que,
no instante t = 3, a partı´cula encontra-se na posic¸a˜o x = 2.
(a) Qual a posic¸a˜o da partı´cula no instante t?
(b) Determine a posic¸a˜o da partı´cula no instante t = 2.
(c) Determine a acelerac¸a˜o.
11 Uma partı´cula desloca-se sobre o eixo Ox com func¸a˜o de posic¸a˜o x = x(t), t ≥ 0.
Determine x = x(t), sabendo que:
(a)
dx
dt
= 2t2012 − 1 e x(0) = 2.
(b)
d2x
dt
= sin 2t, v(0) = 1 e x(0) = 0.
(c)
d2x
dt
= e−t+1/(t+1), v(0) = 0 e x(0) = 1.
(d)
dx
dt
= 1/(1 + t2) e x(0) = 1.
12 Esboce o gra´fico da func¸a˜o y = y(x), com x ∈ R, sabendo que
(a)
dy
dx
= 2x − 1 e y(0) = 0.
(b)
d2y
dx
= −2 cos 2x, y′(0) = 0 e y(0) = 1.
2
(c)
d2y
dx
= e−x + 1/(x + 2), y′(0) = −1 e y(0) = 0.
(d)
dy
dx
= 1/(2 + x2) e y(0) = 0.
13 Um objeto e´ lanc¸ado para cima com velocidade inicial v0 metros por segundo a partir
de um ponto s0 metros acima do solo. Mostre que
[v(t)]2 = v20 − 2g[s(t) − s0],
onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade.
14 Se um mergulhador de massa m permanece na ponta de um trampolim de comprimento
L e densidade linear ρ, o trampolim toma a forma da curva y = f (x), em que
EIy′′ = mg(L − x) + 1
2
ρg(L − x)2
onde E e I sa˜o constantes positivas que dependem do material do trampolim e g < 0 e´ a
acelerac¸a˜o da gravidade.
(a) Encontre uma expressa˜o para a forma da curva.
(b) Use f (L) para estimar a distaˆncia horizontal a` ponta do trampolim.
15 (Revisa˜o) Se um proje´til for disparado com um velocidade inicial v em um aˆngulo de
inclinac¸a˜o θ a partir da horizontal, enta˜o sua trajeto´ria, desprezando a resisteˆncia do ar,
e´ uma para´bola
y = (tanθ)x − g
2v2 cos2 θ
x2, 0 ≤ θ ≤ pi/2
Generated by CamScanner from intsig.com
3
(a) Suponha que o proje´til seja disparado da base de um plano que esta´ inclinado de
um aˆngulo α, α > 0, a partir da horizontal, como mostrado na figura. Mostre que
o alcance do proje´til, medido no plano inclinado, e´ dado por
R(θ) =
2v2 cos2 θ sin(θ − α)
g cos2 α
(b) Determine θ tal que R seja ma´ximo.
(c) Suponha que o plano esteja em um aˆngulo α abaixo da horizontal. Determine o
alcance R e o aˆngulo segundo o qual o proje´til deve ser disparado para maximizar
R.
16 A densidade linear de um cabo de comprimento 1 m e´ dado por ρ(x) = 1/
√
x, em
gramas por centı´metro, onde x e´ medido em centı´metros a partir da extremidade do
cabo. Encontre a massa do cabo.
17 Um carro e´ freado com uma desacelerac¸a˜o constante de 5 m/s2, produzindo marcas de
freagem medindo 60 m antes de parar completamente. Qua˜o ra´pido, o carro estava
viajando quando o freio foi acionado pela primeira vez?
Integral de Riemann
Ca´lculo de a´reas
Primitivas imediatas
Te´cnicas de Integrac¸a˜o
Aplicac¸o˜es
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