Matrizes: Definição e Representação

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É importante que o aluno perceba o seu papel no processo de aprendizagem da 
disciplina de matemática, assumindo uma postura dinâmica e participativa. Não basta ao 
aluno sentar-se em sala de aula e ouvir a explicação do professor. É impossível aprender a 
jogar tênis apenas assistindo de camarote. Assim também com a matemática: é necessário 
treino, exercícios e efetiva participação pessoal. 
A matemática é uma disciplina que propicia a formação do raciocínio. E para a maioria 
das atividades profissionais é o raciocínio a principal ferramenta de trabalho (ajuda na 
coerência do pensamento). 
 
As disciplinas matemáticas no curso de engenharia são muito importantes para 
disciplinas futuras, que tem como pré-requisito ou fazem uso de seus conceitos. 
(Engenheiros, contudo, em ramos específicos de atividade precisam calcular, construir 
modelos, testar hipóteses, levando a profundas pesquisas em campos matemáticos). 
 
A aprendizagem de conceitos de Álgebra Linear como Matrizes, Sistemas Lineares e 
Transformação Linear está atrelada às relações existentes com outras disciplinas da 
graduação como Circuitos Elétricos, Processamento de Sinais, Teoria Eletromagnética, dentre 
outras. Também pudemos identificar a busca pela formação do engenheiro conceitual e 
generalista que prime por conhecimentos matemáticos vinculados à pesquisa. 
 
1 – MATRIZES 
1.1 – DEFINIÇÃO DE MATRIZ 
Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com colunas (verticais) e linhas 
(horizontais). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir 
qualquer valor natural inteiro, menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o número 
de colunas. 
Representação de uma matriz: 
 
 
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Observe que a matriz acima tem ao lado indicando o número de linhas e o de colunas 
da matriz, o exemplo esta indicado 3 x 3 que lê assim a matriz é de ordem três por três. E 
cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento. 
Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la? 
Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 
x 2: 
 
 
O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna. 
O elemento 2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna. 
 
Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos 
definidos, representamos da seguinte forma: 
 
 
a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas). 
 
 
Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna. 
 
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De uma forma geral, uma matriz Amxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suas 
dimensões e sua representação genérica é a seguinte: 
 
Usamos as palavras "tamanho" ou "dimensão" ou "ordem" para dizer quantas linhas e 
colunas uma matriz possui. Use-se letra maiúscula para representá-la: 
 pode usar ( ) tb!!! 
Cada elemento da matriz A é representada pela mesma letra em minúsculo e é seguido 
de dois números subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha onde o elemento se 
encontra e o segundo o número da coluna, ou seja, o elemento a23 encontra-se na segunda 
linha e terceira coluna. 
 
Representação dos elementos da matriz: aij 
 
Representação de uma matriz: A = [aij] 
(Dessa forma, [aij], com i variando de 1 a m e j variando de 1 a n, representa 
abreviadamente a matriz A, ou melhor, representa qualquer matriz A de ordem m por n. 
 
Ordem da Matriz (notação): A(m,n) ou A(mxn) ou Amxn ou Am,n. 
Ex: A(3,4) – matriz de ordem 3 por 4. 
 
Exemplo 1: Dadas as matrizes: 
 
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a) Determine a ordem de cada matriz acima. 
b) Determine os elementos: a12, c23, e21, a22, d12. 
 
 
Exemplo 2: Escreva a matriz A = (ai j)2 x 3 tal que ai j = 2i + j. 
A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim: 
 
 
Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender 
da equação dada no enunciado: ai j = 2i + j. 
Então iremos calcular cada elemento sabendo que: 
i é a linha que o elemento pertence. 
j é a coluna que o elemento pertence. 
 
a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1 
a11 = 3 a21 = 5 
a12 = 2 . 1 + 2 a22 = 2 . 2 + 2 
a12 = 4 a22 = 6 
a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3 
a13= 5 a23 = 7 
 
Então os elementos que pertencem a matriz A são: 
 
 
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. 
 
1 – MATRIZES __ 9 
→ Matriz Retangular 
Uma matriz na qual m ≠ n é denominada retangular. 
→ Matriz-Coluna 
A matriz de ordem n por 1 é uma matriz-coluna. Exemplo: matriz “E” do exercício 1.1. 
Observação: A matriz-coluna de ordem n por 1 pode representar as componentes (a1, 
a2, a3, ..., an) de um vetor V do espaço vetorial E de dimensão n. Por esse motivo essa matriz 
é denominada vetor-coluna. 
→ Matriz-Linha 
A matriz de ordem 1 por n é uma matriz-linha. 
Observação: é denominada também de vetor-linha. 
 
1.2 – MATRIZ QUADRADA 
É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Neste caso, diz-
se que a matriz é de ordem n, onde n é o número de linhas e colunas da matriz (ou a ordem é 
n por n). 
 Neste exemplo a matriz A é de ordem 3. 
 
 - Diagonal principal e diagonal secundária. 
 
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1 
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1) 
 
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A 
principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. 
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“ n – ordem da matriz quadrada” 
Uma diagonal de uma matriz quadrada é a linha que une um canto dessa matriz ao 
canto oposto. A diagonal principal une o canto superior esquerdo ao canto inferior direito e a 
diagonal secundária une os restantes cantos. Por exemplo, na matriz 
 
a diagonal principal é formada pelos números 1, 5 e 9 e a diagonal secundária é 
formada pelos números 7, 5 e 3. 
 
- Matriz Diagonal. 
A matriz quadrada A = [aij] que tem os elementos aij = 0 quando i ≠ j é uma matriz 
diagonal. 
Uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são nulos chama-se 
uma matriz diagonal. A soma dos elementos da diagonal principal chama-se o TRAÇO DA 
MATRIZ. (se a matriz não for quadrada, o “traço” não pode ser definido) 
 
 
 
- Matriz Escalar. 
A matriz diagonal que tem os elementos aij iguais entre si para i = j é uma matriz 
escalar. 
Ex: (ordem 4) 
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- Matriz Unidade ou Identidade 
- é uma matriz ESCALAR porque todos os números da diagonal principal são iguais (= 
1); 
- é uma matriz DIAGONAL porque os outros elementos que não estão na diagonalprincipal são zero. 
A matriz escalar de qualquer ordem que tem os elementos aij = 1 para i = j é uma matriz 
unidade. 
Indica-se a matriz unidade por In, ou simplesmente por I. ( “i” maiúsculo) 
 
 
 
1.3 – MATRIZ ZERO 
Uma matriz zero (ou matriz nula) é a matriz cujos elementos aij são todos nulos. 
Exemplo: 
 
1.4 – IGUALDADE DE MATRIZES 
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os 
elementos que ocupam a mesma posição são iguais: (Duas matrizes A = [aij] e B = [bij], de 
ordem (m,n), são iguais se, e somente se, aij=bij.) 
1 – MATRIZES __ 12 
 
 
Exemplo: Calcule os valores de x, y e z para que as matrizes A e B sejam iguais. 
 
É possível a matriz ser igual a A para algum valor de X e y? 
Justifique sua resposta. 
 
Equação quadrática ou equação do segundo grau é toda sentença matemática 
aberta da forma: onde a, b e c são coeficientes. A quantidade x é chamada de incógnita. 
A restrição imposta de ser a diferente de zero é de imediata compreensão: com efeito, 
se a = 0, a equação em causa deixará de ser do segundo grau, passando a ser tão-somente 
uma equação do primeiro grau. Também se pode dizer que é restrição necessária pelo fato de 
o coeficiente a figurar no denominador da fórmula que resolve a equação quadrática, o que, 
contudo, é fato posterior. 
Solução da equação quadrática: A Fórmula de Bhaskara 
A fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação 
quadrática (de 2º grau). Tem esse nome por ter sido divulgada pelo astronômo indiano 
Bháskara de Akaria, no século XII, em seu livro Lilavat. Sua descoberta porém é atribuída aos 
babilônios antigos, e sua formalização ao matemático persa Al-Khwarizmi. 
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 Então tem-se por definição de módulo que: 
 
 
 
 
Portanto, 
1 – MATRIZES __ 14 
 
 [editar] Propriedades matemáticas 
Delta 
O polinômio dentro da raíz da fórmula resolvente é chamado de delta ou 
discriminante. 
 
Dessa forma, a fórmula resolvente pode ser escrita na forma: 
 
De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação. 
 Se , a equação terá duas raízes reais e distintas. 
 Se , a equação terá uma raíz dupla. 
 Se , a equação terá duas raízes complexas. (parte real e parte imaginária) 
O delta também é usado no estudo do sinal de uma função quadrática. 
 
 
1.5 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
A soma de duas matrizes A = [aij] e B = [bij], de ordem (m,n), é uma matriz C = [cij] tal 
que: cij = aij + bij. 
A soma de duas matrizes A e B só será possível se as duas matrizes tiverem a 
mesma dimensão e é definida como cij = aij + bij, onde C é matriz obtida da soma das 
matrizes A e B. A subtração de duas matrizes A e B é definida de modo análogo, onde cij = 
aij - bij. 
 
A diferença A - B de duas matrizes de ordem (m,n) é uma matriz C tal que: cij = aij - bij. 
 
1 – MATRIZES __ 15 
Propriedades da adição de matrizes 
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades 
para a adição: 
a) comutativa: A + B = B + A 
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C) 
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n 
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0 
 
Exemplo: Dadas as matrizes . Calcule (A + B), (A – B) 
e (B – A). 
 
1.6 – PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR 
Certas grandezas ficam determinadas apenas por um número real, acompanhado pela 
unidade correspondente. Por exemplo: 5 kg de massa, 10 m2 de área, 12 cm de largura. Tais 
grandezas são chamadas de escalares. Outras grandezas necessitam além do número real 
(magnitude), também de uma direção e de um sentido. Exemplificando: a velocidade, a 
aceleração, o momento, o peso, o campo magnético, força, deslocamento, etc. São 
grandezas vetoriais. 
Grandeza vetorial: vetor : módulo, direção (x,y,z) e sentido. 
Ex 1: aceleração da gravidade (g) tem módulo 9,8m/s2, diração radial e sentido para o 
centro do planeta Terra. (coordenadas esféricas). 
Ex 2: Um carro qualquer tem velocidade de 50Km/h, na direção do eixo dos x e no 
sentido de crescimento do eixo da esquerda para a direita. 
Se α é um escalar, o produto de uma matriz A = [aij] por esse escalar é uma matriz B = 
[bij] tal que: bij = αaij. 
Multiplicar uma matriz por uma constante (k), implica em multiplicar todos os elementos 
da matriz pela constante, isto é, um elemento qualquer da matriz 
para todo i e j. 
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Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar 
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem 
as seguintes propriedades: 
a) associativa: x (yA) = (xy) A 
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x (A + B) = xA + xB 
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) A = xA 
+ yA 
d) elemento neutro: xA = A, para x=1, ou seja, A=A 
 
Exemplo: Seja a matriz . Calcule 2A, (1/2)A, e – A. 
 
 
1.7 – PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA 
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus 
respectivos elementos. 
 Assim, o produto das matrizes A = (aij) m x p e B = (bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em 
que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos 
correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. 
 
1 – MATRIZES __ 17 
Para multiplicar duas matrizes é sempre necessário que o número de colunas da 
primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz resultante do 
produto de duas matrizes terá sempre o mesmo número de linhas da primeira matriz e o 
mesmo número de colunas da segunda matriz. 
 
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada 
Cij. 
 1ª linha e 1ª coluna 
 
 1ª linha e 2ª coluna 
 
 2ª linha e 1ª coluna 
 
 
 
 2ª linha e 2ª coluna 
 
 Assim, . 
1 – MATRIZES __ 18 
 Observe que: 
 
Observe que: (B.A) 
 
 Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade 
comutativa. 
Mas: A + B = B + A 
 
Exemplo: Multiplique as seguintes matrizes: 
 
 
 
 
 
Comutatividade da Multiplicação de Duas Matrizes: 
- A existência do produto AB não implica a existência do produto BA 
1 – MATRIZES __ 19 
Exemplo: 
A (3, 5 ) * B ( 5 , 6 ) = C (3,6) 
Entretanto, o produto 
B ( 5 , 6 ) * A (3 , 5 ) = não existe 
- Mesmo quando as multiplicações A*B e B*A são possíveis, os dois produtos são, em 
geral, diferentes: 
 A ( 4, 3 ) * B ( 3 , 4 ) = C (4,4) 
B ( 3 , 4 ) * A (4, 3 ) = D(3,3) 
 O produto AB = C é uma matriz de ordem (4,4), enquanto o produto BA = D é uma 
matriz de ordem (3,3) 
-Ainda que A e B fossem matrizes quadradas de ordem n, os produtos AB e BA seriam 
também matrizes quadradas de ordem n, e ainda assim, em geral, seriam diferentes. 
Exemplo: 
e 
AB = = 
BA = = 
Os produtos AB e BA são diferentes, logo a multiplicação de duas matrizes não é 
comutativa. 
 
Casos Especiais: 
1º caso: Multiplicação pela matriz I (identidade) de mesma ordem 
Sejam as matrizes quadradas 
e 
AI = = 
1 – MATRIZES __ 20 
IA= = 
Como se vê: 
AI = IA = A 
Dadas duas matrizes A e I, de mesmo ordem n, a multiplicação dessas matrizes é 
comutativa e a matriz produto é igual à matriz A 
 
2º caso: Matriz Inversa 
Matriz inversa 
 
 
Sejam as matrizes quadradas: 
e 
AB = = 
BA = = 
Como se vê: 
AB = BA = I 
A matriz B que satisfaz à essa condição, diz-se inversa de A e se representa por A-1. 
AA-1 = A-1A = I 
1 – MATRIZES __ 21 
Assim, para saber se, duas matrizes A e B, uma é inversa da outra, basta multiplicar 
uma pela outra e verificar se o produto é a matriz I. 
Nesse caso, dizemos que B é inversa de A e se representa por A-1 ( ou que A é inversa 
de B e se representa por B-1). 
Se A é inversível, a sua inversa é única. Se B e B' são inversas de A, então B = B'. 
 
Sabemos calcular o inverso de um número real e o inverso de uma matriz segue o 
mesmo conceito. Quando queremos encontrar o inverso de um número real temos que nos 
orientar pela seguinte definição: 
Sendo t e g dois números reais, t será inverso de g, se somente se, t . g ou g . t for 
igual a 1. 
Quando um número real é inverso do outro, indicamos o inverso com um expoente -1: 
1 / 5 = 5-1, dizemos que 1 /5 é o inverso de 5, pois se multiplicarmos 1 / 5 . 5 = 1 
Dizemos que uma matriz terá uma matriz inversa se for quadrada e se o produto das 
duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem das outras. 
 
Exemplo 1: 
Verifique se a matriz A = e a matriz B = são inversas entre si. 
Para que seja verdade o produto A . B = I2. 
 
Portanto, concluímos que as matrizes A e B não são inversas. 
 
Exemplo 2: 
Verifique se as matrizes G= e K= são inversas entre si. 
1 – MATRIZES __ 22 
Para que seja verdade o produto de G . K = I3 
 
Portanto, concluímos que as matrizes G e K são inversas entre si. 
 
Propriedades da Multiplicação de Uma Matriz por Outra: 
1. Dadas as matrizes A, B, C de ordem (m,n), (n,p) e (p,r), respectivamente, tem-
se: (AB)C = A (BC) (associativa) 
2. Dadas as matrizes A, B, C de ordem (n,p), (n,p) e (m,n), respectivamente, tem-
se: C(A+B) = CA + CB (distributiva em relação à adição) 
3. Dadas as matrizes A e B de ordem (m,n) e (n,p), respectivamente, tem-se para 
todo número l : (l A)B = A(l B) = l (AB) 
4. A multiplicação matricial não é, em geral, comutativa. A*B não é sempre igual 
B*A 
5. Dadas duas matrizes A e B, se o produto delas for a matriz zero [0], não é 
necessário que A ou B sejam matrizes zero. 
Exemplo: 
 
 Entretanto, se AB=0 qualquer que seja B, então A = 0. Do mesmo modo, se AB=0 
qualquer que seja A, então B=0. 
 
1.8 – MATRIZ TRANSPOSTA 
Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as 
linhas por colunas ou as colunas por linhas. 
1 – MATRIZES __ 23 
A matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, é a matriz AT, de ordem n por m. 
A matriz transposta é obtida permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice. 
 
Exemplo: 
 
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. 
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 
2ª coluna de At. 
 
Propriedades da Matriz Transposta: 
I) ( A + B )T = AT + BT 
II) (l A)T = l AT 
III) (AT)T = A 
IV) (AB)T = BTAT 
As propriedades I, II e III são imediatas. A propriedade IV será verificada por meio do 
exemplo que segue. 
 
Demonstrar que a propriedade IV é verdadeira: 
Sejam as matrizes 
 
O produto A(3,2) x B(2,2) existe e é de ordem (3,2), isto é (AB)(3,2): 
1 – MATRIZES __ 24 
 
 
 
Confirma-se por tanto a propriedade IV. 
 
1.9 – MATRIZ SIMÉTRICA 
Uma matriz quadrada S= [ai,j] é simétrica se ST = S. 
É quando a matriz transposta é igual à matriz (A = At). Ou seja, os elementos da 
diagonal principal de A e At são iguais. 
Observações: 
- Se A = [ai,j] é uma matriz simétrica, os elementos dispostos simetricamente em 
relação á diagonal principal são iguais, isto é: aij = aji. 
- O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta AT é uma matriz simétrica. 
Exemplo: 
 
S = AAT = 
S = ST 
 
1.10 – MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA 
Uma matriz quadrada A= [ai,j] é anti-simétrica se AT = - A. 
Exemplo: 
Provar que a matriz A 
1 – MATRIZES __ 25 
é anti-simétrica. 
Solução: 
 
isto é: AT = - A 
Se A = [ai,j] é uma matriz anti-simétrica, os elementos dispostos simetricamente em 
relação à diagonal principal são opostos e os elementos da diagonal principal são nulos. 
 
 
 
Exemplo: Quais das matrizes são simétricas e quais são anti-simétricas? 
 
 
1.11 – MATRIZ ORTOGONAL 
Uma matriz M cuja inversa coincide com a transposta é denominada matriz ortogonal. 
M-1 = MT 
Isto é: 
M . MT = MT . M = I (matriz identidade) 
Exemplo: 
Provar que a matriz M abaixo é uma matriz ortogonal. 
1 – MATRIZES __ 26 
 
Solução: 
 
observando que M = MT, vem: 
 
tendo em vista que: 
MMT = MTM = I 
Isto é: 
MT = M-1 
A matriz M é ortogonal. 
 
1.12 – MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR 
A matriz quadrada A = [aij], que tem os elementos aij = 0 para i > j, é uma matriz 
triangular superior. 
Exemplo 
 
 
Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal principal são 
zeros é chamada de matriz triangular superior. 
1 – MATRIZES __ 27 
 
 
1.13 – MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR 
A matriz quadrada A = [aij], que tem os elementos aij = 0 para i < j, é uma matriz 
triangular inferior. 
Exemplo 
 
 
Uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal principal são 
zeros é chamada de matriz triangular inferior. 
 
Propriedades: 
1. A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior. 
2. A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior. 
 
1.14 – POTÊNCIA DE UMA MATRIZ 
Uma matriz quadrada A = [aij] pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que 
resulta dessas n operações, e que se representa por An é chamada potência n da matriz A. 
 
1 – MATRIZES __ 28 
Exemplo: 
Se 
a. 
b. 
 
 
1.15 – EXERCÍCIOS 
Exercício 1.1) Sejam as matrizes:Encontre: 
a) A + B 
b) A C 
c) B C 
d) C D 
e) D A 
f) D B 
1 – MATRIZES __ 29 
g) – A 
h) – D 
i) 2A – 2B 
j) T TC A 
Respostas: 
 
 
Exercício 1.2) Seja . Calcule A2 e A3. 
Respostas: 
A . A = 7 0 
 0 7 
 
A. A. A = -14 7 
 21 14 
 
 
Exercício 1.3) Sejam as matrizes . 
Encontre: 
a) T TA B 
b) T TB A 
1 – MATRIZES __ 30 
c) (A + B)2 
d) A2 
e) B2 
Respostas: 
 
 
Exercício 1.4) 1. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes das seguintes ordens: 
A4x5 B4x5 C5x2 D4x2 E5x4 
Determine qual das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão 
definidas, dê a ordem da matriz resultante. 
a) B A 
b) A C D  
c) A E B  
d) A B B  
e)  E A B  
f)  E A C  
g) TE A 
h)  TA E D  
Respostas: 
 
 
Exercício 1.5) Considere as matrizes: 
 
Calcule (quando possível): 
a) D + E 
b) D – E 
1 – MATRIZES __ 31 
c) 5A 
d) -7C 
e) 2B – C 
f) 4E – 2D 
g) -3 (D + 2E) 
h) A – A 
i) tr(D) 
j) tr(D – 3E) 
k) 4 tr(7B) 
l) tr(A) 
m) 2AT + C 
n) ½ CT - (1/4)A 
o) DT ET – (ED)T 
p) BT (CCT – ATA) 
q) B2 
Respostas: 
 
f) 22 -6 8 
-2 4 6 
10 0 4 
 
 
1 – MATRIZES __ 32 
n) -(1/4) (3/2) 
 (9/4) 0 
 (3/4) (9/4) 
 
Exercício 1.6) Ache X, dadas . 
a) X – 2A + 3B = 0 
b) 2X = A – B 
c) 2(A + 2B) = 3X 
d) 2 (A – B + X) = 3(X – A) 
Respostas: 
a) 5 4 b) 1 1 
 3 5 1 (3/2) 
 
c) -(2/3) (4/3) d) 7 10 
 (10/3) 4 13 18 
 
Exercício 1.7) Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i – j. 
 
 
Exercício 1.8) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e AT sua transposta, determine 
A, tal que A = 2 AT. 
 
 
Exercício 1.9) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = AT e é dita anti-simétrica 
se AT = - A, onde AT é a matriz transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em 
verdadeira ou falsa as duas afirmações: 
(01) A + AT é uma matriz simétrica. 
(02) A – AT é uma matriz anti-simétrica. 
 
 
1 – MATRIZES __ 33 
Exercício 1.10) Se uma matriz quadrada A é tal que AT = - A, ela é chamada matriz 
anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e: 
 
Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente: 
a) -4, -2 e 4 
b) 4, 2 e -4 
c) 4, -2 e -4 
d) 2, -4 e 2 
e) 2, 2 e 4 
 
 
Exercício 1.11) Se então, necessariamente: 
a) x = y = 0 
b) x = y = m = n = 0 
c) x = y e m = n 
d) y = - 2x e n = - 2m 
e) x = - 2y e m = - 2n 
 
 
Exercício 1.12) Na confecção de 3 modelos de camisas (A, B e C) são usados botões 
grandes (G) e pequenos (P). O número de botões por modelos é dado pela tabela: 
 
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado 
pela tabela: 
1 – MATRIZES __ 34 
 
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho. 
 
 
Exercício 1.13) Sobre as sentenças: 
I) O produto das matrizes 3 2 2 1x xA B é uma matriz 3 x 1. 
II) O produto das matrizes 5 4 5 2x xA B é uma matriz 4 x 2. 
III) O produto das matrizes 2 3 3 2x xA B é uma matriz quadrada 2 x 2. 
É verdade que: 
a) Somente I é falsa. 
b) Somente II é falsa. 
c) Somente III é falsa. 
d) Somente I e III são falsas. 
e) I, II e III são falsas. 
 
 
Exercício 1.14) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então: 
a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3; 
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3; 
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3; 
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B; 
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B. 
 
 
1 – MATRIZES __ 35 
Exercício 1.15) Sejam as matrizes então c23 vale: 
a) 3 
b) 14 
c) 39 
d) 84 
e) 258 
 
 
Exercício 1.16) Considere a matriz A de ordem 4×5 tal que aij = 2i + j. Calcule a soma 
dos elementos da segunda linha dessa matriz. 
Resposta: 35 
 
 
Exercício 1.17) Uma indústria eletrônica de ponta fabrica determinado equipamento 
em dois modelos P e Q. Na montagem do aparelho tipo P são utilizados 6 transistores, 9 
capacitores e 11 resistores, e no modelo Q, 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores (veja 
a tabela 1). Essa mesma indústria recebeu as seguintes encomendas para os meses de 
janeiro e fevereiro: 
a) 8 aparelhos do modelo P e 12 do modelo Q para o mês de janeiro; 
b) 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q para o mês de fevereiro (veja a tabela 
2). 
 
1 – MATRIZES __ 36 
Tabela 1 P Q 
Transistor 6 4 
Capacitor 9 7 
Resistor 11 10 
Tabela 2 Janeiro Fevereiro 
P 8 10 
Q 12 6 
 
Tabela 3 Janeiro Fevereiro 
Transistor ? ? 
Capacitor ? ? 
Resistor ? ? 
 
Determine a matriz (tabela 3) que registra o total de transistores, capacitores e 
resistores que serão utilizados para atender às encomendas de cada mês? 
 
Solução: A tabela 1 é um exemplo de matriz do tipo 3×2. A tabela 2 é um exemplo de 
matriz de ordem 2×2. A multiplicação destas matrizes resulta na tabela 3 que é uma matriz 
3×2. 
A multiplicação de matrizes é esquematizada pela transposição das linhas da primeira matriz 
para a multiplicação em correspondência de cada elemento das colunas da segunda, seguida 
da soma dos resultados. 
 
Tabela 3 Janeiro Fevereiro 
Transistor 6×8 + 4×12 6×10 + 4×6 
Capacitor 9×8 + 7×12 9×10 + 7×6 
Resistor 11×8 + 10×12 11×10 + 10×6 
Tabela 3 Janeiro Fevereiro 
Transistor 48 + 48 60 + 24 
Capacitor 72 + 84 90 + 42 
Resistor 88 + 120 110 + 60 
 
Tabela 3 Janeiro Fevereiro 
Transistor 96 84 
Capacitor 156 132 
Resistor 208 170 
Resposta: 
96 84 
156 132 
208 170 
 
Exercício 1.18) Calcular os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais. 
 m2 - 40 n2 + 4 41 13 
A = e B = 
 6 3 6 3 
1 – MATRIZES __ 37 
Resposta: m = +/- 9 e n = +/- 3 (igual ao exercício 2, pg 394 / Alfredo e Paulo) 
 
Exercício 1.19) Calcular m e n para que a matriz B seja inversa da matriz A. 
 
 m -22 5 22 
A = e B = 
 -2 n 2 9 
 
Resposta: m = 9 e n = 5 (igual ao exercício 27, pq 397 / Alfredo e Paulo) 
 
Exercício 1.20) Dadas as matrizes: 
 2 -7 1 1
3
 2 2
3
 
 1 2 8 
A = 3 4 2 B = C = 0 1 2 
 5 -9 6 2 2
3
 
1
3
 0 0 4 
 
 2 -3 1 1 0 0 4 0 0 
D = 0 2 -1 E = -1 3 0 F = 1 -1 0 
 0 0 3 -2 -1 2 -1 -3 -2 
I) Calcular (A + AT) e classificar a matriz encontrada. (simétrica) 
II)Classificar (A – AT). (anti-simétrica) 
III) Classificar B BT. (ortogonal) 
IV) Classifique CD. (triangular superior) 
V) Classifique EF. (triangular inferior) 
Respostas: 
I) 4 -4 6 
-4 8 -7 Simétrica 
6 -7 12 
 
II) 0 -10 -4 
10 0 -7 Anti-simétrica 
4 -11 0 
1 – MATRIZES __ 38 
 
III) Ortogonal 
 
 IV) 2 1 23 
0 2 5 Triangular superior 
0 0 12 
 
V) 4 0 0 
-1 -3 0 Triangular inferior 
-11 -5 -4 
 
Exercício 1.21) Dadas as matrizes . Calcule: 
  1A B  . 
Resposta: 
 (1/2) 3 
-3 -8