Trabalho Dimensionamento de Laje

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Prova 1 Concreto Armado - 1 Autor: Thiago de Souza Queiroz FASAR - Engenharia Civil – 2016 Conselheiro Lafaiete 
 
 
Caso 3 
L 1 
Caso 8 
L 2 Caso 4 L 3 
lx 
ly 
Caso 7 
L 4 
lx 
lx 
lx 
ly 
ly 
ly 
Caso 4 
L 6 ly 
lx 
Caso 8 
L 5 
Caso 8 
L 7 
Caso 4 
L 8 
ly 
ly 
lx 
lx 
lx 
ly 
 1-Discretização das lajes e identificação do caso de cada uma: 5,05 
5,85
 
4,00 3,85 
5,15
 
5,85
 
4,15
 
4,00 3,85 
3,50
 
3,00
 
4,15
 
 
 
LAJE CASO Ly(m) Lx(m) λ Ѱ2 Ѱ3 d(m) h(m)
1 3 5,85 5,05 1,16 1,66 25 0,122 0,157
2 8 5,85 4,00 1,46 1,87 25 0,086 0,121
3 4 5,15 3,85 1,34 1,66 25 0,093 0,128
4 7 5,85 4,00 1,46 1,73 25 0,092 0,127
5 8 3,85 3,50 1,10 1,97 25 0,051 0,086
6 4 4,15 4,00 1,04 1,78 25 0,090 0,125
7 8 3,85 3,00 1,28 1,91 25 0,063 0,098
8 4 4,15 3,85 1,08 1,97 25 0,078 0,113
2 - Pré dimensionamento das alturas das lajes  Dados: Concreto C25  Brita 1  Aço CA-50  Classe 2 de agressividade ambiental  Espessura do cobrimento C = 2,0 cm  Carga Acidental ( q – 2,0 kn/m²)  Laje maciça  Considerando ø = 10 mm = 1 cm 
Fórmulas: ݀ ൌ ୪୶Ѱଶ .Ѱଷ ; ߣ ൌ ୪୷௟௫ ; ݄ ൌ ݀ ൅ ቄ∅ଶ ൅ ∅ ൅ ܿቅ 
* ݄ ൌ ݀ ൅ ቄ∅ଶ ൅ ∅ ൅ ܿቅ = ቄଵଶ ൅ 1 ൅ 2ቅ = 3,5 cm *ቄ∅ଶ ൅ ∅ ൅ ܿቅ = 0,035 m 
∑ ݀݅௜଼ୀଵ = 0,674 ; d = ଴,଺଻ସ ଼ = 0,08425m D Adotada (d) 8,5cm 
∑ ݄݅௜଼ୀଵ = 0,954 ; h = ଴,ଽହସ ଼ = 0,11925m Altura da Laje Adotada (h) 12 cm Onde: Obs: se λ > 2 “Armada em uma direção” Se λ ≤ 2 “ Armada em duas direções” = Todas as lajes estão nesta condição 
h d ∅ 
 
 
3 – Cálculos das cargas atuantes a) Peso próprio: g= c x Ɣ concreto g = 0,12 x 25 kN/m³ = 3,0 kN/m² b) Contrapiso: g contr = Ɣ concreto x c g contr = 0,03 x 19 kN/m³ = 0,57 kN/m² c) Revestimento g rev = Ɣ rev x c g rev = 0,02 x 19 kN/m³ = 0,38 kN/m² d) Piso Cerâmico: NBR 6120 = 0,15 kN/m² e) Cargas acidentais: (Considerando que haverá movimentação de pessoas com acesso externo) NBR 6120 q = 2,0 kN/m² P = Carga total nas lajes P= g + q P = 3,0 + 0,57 + 0,38 + 0,15 + 2,0 = 6,1 kN/m² Obs.: Nesta situação todas as lajes terão mesma carga atuante a suportar “P= 6,1 kN/m²” 
 
 
4 – Verificação das flechas a) Para duas combinações: (Carga total) 
(q+g) = ௟௫ ሺ௖௠ሻଶହ଴ b) Para carga acidental: (Carga acidental) (q) = ௟௫ ሺ௖௠ሻଷହ଴ 
 Cálculo das Flechas 
ܽ ൌ ܲ. ݈ݔସܧ. ݄ଷ .
∝
100  P – Carregamento uniforme distribuído sobre as lajes  lx – Menor vão da laje  E – Módulo de deformidade do concreto  h – Altura ou espessura da laje (média)  ∝ - Tabela 7.2 * (g+q)= 6,1 kN/m² * q = 2,0 kN/m² h= 12 cm = 0,12 m E = 0,85 Eci = 0,85 x ( 5.600 . ඥ݂ܿ݇ ) Cimento C-25 “ Considerando E = 21.287.000 kN/m² 
LAJE Lx(cm)
1 505
2 400
3 385
4 400
5 350
6 400
7 300
8 385 1,54
1,14
0,86
1,10
1,54
1,60
1,40
1,60
1,20
CARGA TOTAL CARGA ACIDENTAL
2,02
1,60
1,44
1,14
1,10
1,14
1,00
 
 
LAJE CASO Lx(m) λ α (g+q) (mm) (g+q)lim(mm) q q(lim)
1 3 5,05 1,16 3,82 4,12 20,2 1,35 14,40
2 8 4,00 1,46 2,62 1,11 16 0,36 11,40
3 4 3,85 1,34 3,92 1,43 15,4 0,47 11,00
4 7 4,00 1,46 3,73 1,58 16 0,52 11,40
5 8 3,50 1,10 2,04 0,51 14 0,17 10,00
6 4 4,00 1,04 2,67 1,13 16 0,37 11,40
7 8 3,00 1,28 2,42 0,33 12 0,11 8,60
8 4 3,85 1,08 2,91 1,06 15,4 0,35 11,00
 “Igualando a maior flecha das lajes (flecha L1 para carga total) com a flecha limite correspondente”  a máx = 20,2 mm = 0,0202 m *** Isolando “h” temos: 
݄ ൌ ඨܲ. ݈ݔସܧ. ܽ .
∝
100
య 
 Cálculo das novas alturas para ( a= 0,0202 m) L1 h1 = 7,06 cm L5 h5 = 3,52 cm L2 h2 = 4,57 cm L6 h6 = 4,59 cm L3 h3 = 4,97 cm L7 h7 = 3,03 cm L4 h4 = 5,14 cm L8 h8 = 4,49 cm “Considerando a maior altura h1=7,06 cm adotaremos a mesma altura para toda a laje de h=8 cm.” Determinação dos novos carregamentos (h= 8 cm ou 0,08 m) f) Peso próprio: g= c x Ɣ concreto g = 0,08 x 25 kN/m³ = 2,0 kN/m² g) Contrapiso: g contr = Ɣ concreto x c g contr = 0,03 x 19 kN/m³ = 0,57 kN/m² h) Revestimento g rev = Ɣ rev x c g rev = 0,02 x 19 kN/m³ = 0,38 kN/m² i) Piso Cerâmico: NBR 6720 = 0,15 kN/m² 
 
 
(+) (+) (-) (-)
LAJE CASO λ P(Kn/m²) lx (m) P.lx² µx mx µy my µx ' Xx µy ' Xy
1 3 1,16 5,1 5,05 130,1 4,64 6,04 2,68 3,49 9,63 12,53 - -
2 8 1,46 5,1 4,00 81,6 3,71 3,03 1,59 1,30 7,91 6,46 5,73 4,68
3 4 1,34 5,1 3,85 75,6 4,33 3,28 2,65 2,01 9,65 7,30 7,88 5,96
4 7 1,46 5,1 4,00 81,6 4,15 3,39 2,67 2,18 9,16 7,48 7,83 6,39
5 8 1,10 5,1 3,50 62,5 2,95 1,85 2,04 1,28 6,76 4,23 5,65 3,54
6 4 1,04 5,1 4,00 81,6 3,05 2,49 2,81 2,30 7,43 6,10 7,18 5,86
7 8 1,28 5,1 3,00 45,9 3,46 1,60 1,78 0,82 7,57 3,49 5,76 2,65
8 4 1,08 5,1 3,85 75,6 3,30 2,50 2,81 2,13 7,87 5,95 7,36 5,57
j) Cargas acidentais: NBR 6120 q = 2,0 kN/m² P = Carga total nas lajes P= g + q P = 2,0 + 0,57 + 0,38 + 0,15 + 2,0 = 5,1 kN/m² 5 - Cálculo dos momentos fletores nas lajes: 
݉ݔ ൌ μݔ . ௉௟௫²ଵ଴଴ (momento positivo direção x) 
݉ݕ ൌ μݕ . ௉௟௫²ଵ଴଴ (momento positivo direção y) 
ܺݔ μݔ′ . ௉௟௬²ଵ଴଴ (momento negativo direção x) 
ܺݕ ൌ μݕ′ . ௉௟௫²ଵ଴଴ (momento negativo direção y) 
 
ܯ ൌ ܯ . ௉௟௫²ଵ଴଴ -> kN.m Para obter kN.cm : 
ܯ ൌ ெ.௉ሺ௟௫ ሺ௖௠ሻ௫ଵ଴଴ሻ²ଵ଴଴ = > M= P.lx(cm).ଵ଴రଵ଴మ = MPlx² (cm) x 100 Ou seja para transformar de (kN.m para kN.cm) basta multiplicar por 100 
 
 
 
 
 
L 1 
L 2 L 3 
L 4 
 
 
L 6 
L 5 
L 7 
L 8 
y 
x 
Em y a laje 6 terá o 
maior momento 
positivo 2,30 kN.m 
 
Em x a laje 1 terá o 
maior momento 
positivo 6,04 kN.m 
Em y terá o maior 
momento positivo 
3,49 kN.m 
 
Compensação de Esforços 
 
 
LAJE +Mx -Mx +My -My
1 854,60 1002,40 349,00 -
2 589,60 1002,40 357,80 511,20
3 589,60 1002,40 357,80 511,20
4 589,60 1002,40 357,80 511,20
5 589,60 1002,40 357,80 511,20
6 589,60 1002,40 357,80 511,20
7 589,60 1002,40 357,80 511,20
8 589,60 1002,40 357,80 511,20
kN.cm
Para a laje 1 em x: Negativo: 0,8 x M maior = 0,8 x 12,53(maior negativo em x) = 10,024 kN.m -> 1002,4 kN.cm ∆ ൌ 12,53 െ 10,024 ൌ 2,506 ݇ܰ. ݉ Positivo: M maior + ∆ = 6,04 (maior positivo em x) + 2,506 = 8,546 kN.m 854,6kN.cm Para a laje 1 em y: Não haverá momento negativo para a laje 1 em y, logo adotaremos como momento positivo o maior valor = 3,49 kN.m Para as demais lajes em x: Negativo: 0,8 x M maior = 0,8 x 12,53(maior negativo em x) = 10,024 kN.m -> 1002,4 kN.cm ∆ ൌ 12,53 െ 10,024 ൌ 2,506 ݇ܰ. ݉ Positivo: M maior + ∆ = 3,39 (maior positivo em y) + 2,506 = 5,896 kN.m 589,6 kN.cm Para as demais lajes em y: Negativo: 0,8 x M maior = 0,8 x 6,39 (maior negativo em y) = 5,112 kN.m -> 511,2 kN.cm ∆ ൌ 6,39 െ 5,112 ൌ 1,278 ݇ܰ. ݉ Positivo: M maior + ∆ = 2,30 (maior positivo em y) + 1,278 = 3,578 kN.m 357,8 kN.cm Após a compatibilização 
 
 
LAJE +Mx -Mx +My -My
1 8,50 7,20 20,70 -
2 12,30 7,20 20,20 14,10
3 12,30 7,20 20,20 14,10
4 12,30 7,20 20,20 14,10
5 12,30 7,20 20,20 14,10
6 12,30 7,20 20,20 14,10
7 12,30 7,20 20,20 14,10
8 12,30 7,20 20,20 14,10
Kc ( cm²/kN)
Kc Ks
8,50 0,024
7,20 0,024
20,70 0,023
12,30 0,024
14,10 0,024
20,20 0,023
Tabela A-25
LAJE As Espaçamento cm
Diâmetro nominalmm
L1 2,42 (Mx+) 13 ou 33 6,30
L1, L2,L3,L4
L5, L6, L7, L8 2,84 (Mx-) 7 ou 17,5 5 ou 8
L1 0,95 (My +) 14,00 4,20
 L2,L3,L4
L5, L6, L7, L8 0,97 (My +) 14,00 4,20 L2,L3,L4
L5, L6, L7, L8 1,67 (Mx +) 12,00 5,00 L2,L3,L4
L5, L6, L7, L8 1,39 (My -) 10,00 4,20
ARMADURAS DE FLEXÃO: (Cimento C-25) 
ࡷࢉ ൌ ૚૙૙.ࢊ² ሺࢉ࢓ሻࡹࢊ ሺ࢑ࡺ.ࢉ࢓ሻ ; d = 8,5 cm 
࡭࢙ ൌ ࡷ࢙.ࡹ.ࢊࢊ 
 Área de armadura por metro de largura ( cm²/m) 
Ks Md As
0,024 854,60 2,42
0,024 1002,40 2,84
0,023 349,00 0,95
0,024 589,60 1,67
0,023 511,20 1,39
0,023 357,80 0,97Prescrição para detalhamento das armaduras h=12 cm 1) Ø e ≤ ௛ ௟௔௝௘଼ -> ଼଼ ൌ 1 ܿ݉ ; Øe ≤ 10 mm O diâmetro das armaduras devem ser inferiores a 15 mm 2) S ≤ 20 cm 2 x h = 16 cm O espaçamento entre as armaduras devem ser inferiores a 20 cm 3) Espaçamento mínimo entre as armaduras: 2 cm a h Øe 1,2 x dmáx agregado (2,28 cm) Brita 1= 19 mm x 1,2 = 22,8 mm ou 2,28 cm Após o detalhamento das armaduras: 
LAJE Espaçamento cm Diâmetro nominal mm 
L1 13,00 6,30 
L1, L2, L3, L4 L5, L6, L7, L8 7,00 5,00 
L1 14,00 4,20 
 L2, L3, L4 L5, L6, L7, L8 14,00 4,20 L2, L3, L4 L5, L6, L7, L8 12,00 5,00 L2, L3, L4 L5, L6, L7, L8 10,00 4,20 *Como todas as lajes tem λ = ௟௬௟௫= 2, teremos todas as lajes armadas em duas direções. 
 
 
Taxa de armadura: 
 ߩ௦ ൌ ܣݏܾݓ. ݄ ൌ 
ܣݏ ሺܿ݉ଶሻ
100. ݄ ሺܿ݉ ൌ 
ܣݏ
100ݔ8 ൌ 
ܣݏ
800 
ߩ௠í௡ ൌ ܣݏ ݉í݉ܣܿ ൌ 
1,8
800 ൌ 0,025 
 ∑ As ( cm²) 
LAJE Momento Positivo ( +) Momento Negativo (-) 
1 2,24 2,84 
2 2,62 4,23 
3 2,62 4,23 
4 2,62 4,23 
5 2,62 4,23 
6 2,62 4,23 
7 2,62 4,23 
8 2,62 4,23 
 
 
LAJE As Armadura Positiva Armadura Negativa 
L1 2,42 (Mx+) 0,003025 ≥ 0,001005 ok 0,00355 ≥ 0,001544 ok 
L1, L2,L3,L4 L5, L6, L7, L8 2,84 (Mx-) 0,003275 ≥ 0,001034 ok 0,00529 ≥ 0,001544 ok L1, L2,L3,L4 L5, L6, L7, L8 0,95 (My +) 0,003275 ≥ 0,001034 ok 0,00529 ≥ 0,001544 ok L2,L3,L4 L5, L6, L7, L8 1,67 (My +) 0,003275 ≥ 0,001034 ok 0,00529 ≥ 0,001544 ok L2,L3,L4 L5, L6, L7, L8 1,39 (My -) 0,003275 ≥ 0,001034 ok 0,00529 ≥ 0,001544 ok 
Armadura ࢙࣋ 
Negativa ࢙࣋ ൒ ࣋࢓í࢓ 
Positiva ( 2 direções) ࢙࣋ ൒ ૙, ૟ૠ ࣋࢓í࢓ 
h = 8 cm 
100 cm 
Ac = 1200 cm² 
 
 
Taxa máxima de Armadura (As + A’s) < 4 % x Ac As -> Armadura de tração (+) As’ -> Armadura de compressão (-) 
෍ሺܣݏ௜ ൅ ܣݏᇱ௜ሻ ൌ 5,26 ൏ 4 % . ܣܿ 48 ݋݇ 
෍ሺܣݏ௜ ൅ ܣݏᇱ௜ሻ ൌ 6,85 ൏ 4 % . ܣܿ ൌ 48 ݋݇
଼
௜ୀଶ
 
 A soma das armaduras de tração e compressão são inferiores a 4 % de Ac, atendendo assim a norma de taxa máxima de armadura COMPRIMENTO DA ARMADURA NEGATIVA NOS APOIOS COM CONTINUIDADE DE LAJES: * lx ≥ lx1 lx2 : ; lx -> “maior dos lx’s” = 5,05 m Configurações (1) * Configuração utilizada (2) (3) 
L1 L2 
lx1 ly2 
 
ly1 
 
lx2 
0,25lx 0,25lx lb lb 
 
 
 
 
 
 
*C = 2lb + 0,5lx + 2.lganchos C – comprimento total da barra negativa lb – comprimento de ancoragem (tabela A-27) Lganchos - comprimento do gancho na extremidade da barra 
 
 
*** (Concreto A-25) *** Considerando barras de boa aderência. 
 Condições 0,3 lb = 0,3 x 17 = 5,1 cm -> ok (݈ܾ௠í௠ é 21 ܿ݉ ൒ 9.9ሻ ݈ܾ௠í௠ ൒ 10. Ø ok (todos em x e y 2 ) 10 x 5 = 50 mm = 5 cm 100 mm ok (todos atendem em x e y ) 
x y x y x y x y
5 - 1 505 17 - 3,5 - 293,5 266,5 / 269,7 / 279,5
5 4,2 2 400 17 5,1 3,5 3,5 293,5 266,5 / 269,7 / 279,6
5 4,2 3 385 17 3,5/5,1/10 3,5 3,5 293,5 266,5 / 269,7 / 279,7
5 4,2 4 400 17 3,5/5,1/10 3,5 3,5 293,5 266,5 / 269,7 / 279,8
5 4,2 5 350 17 3,5/5,1/10 3,5 3,5 293,5 266,5 / 269,7 / 279,9
5 4,2 6 400 17 3,5/5,1/10 3,5 3,5 293,5 266,5 / 269,7 / 279,10
5 4,2 7 300 17 3,5/5,1/10 3,5 3,5 293,5 266,5 / 269,7 / 279,11
5 4,2 8 385 17 3,5/5,1/10 3,5 3,5 293,5 266,5 / 269,7 / 279,12
C = 2lb + 0,5 lx + 2 lganchos (cm)Ø (mm) LAJE Lx(cm) lb (cm) lganchos (cm)
 
 
 L 1 L 2 L 3 
L 4 
L 6 
 L 5 
 
L 7 
L 8 
ARMADURAS: 
N2 Ø 6,3 C /13,0 C = 505 
N1 
Ø 6
,3 C
 /13
,0 C
 = 5
85 
N3 Ø 5 C / 7,0 C = 293,5 
3,5 3,5 286,5 N5 
Ø 4
,2 C
 /14
,0 C
 = 5
85 
N4 Ø 5 C /12,0 C = 400 
N7 Ø 5 C / 7,0 C = 293,5 
3,5 3,5 
286,5 
N6 
Ø 4
,2 C
 /14
,0 C
 = 5
75 
N8 Ø 5 C / 12,0 C = 385 
N9 
Ø 4
,2 C
 / 1
0,0 
C= 2
79,5
 
3,5 
 
 
 
 
 3,5
 
272
,5 
N10 Ø 5 C / 12,0 C = 385 
N11
 Ø 4
,2 C
 / 1
4,0 
C= 3
50 
N15
 Ø 4
,2 C
 / 1
0 C=
 279
,5 
N16
 Ø 4
,2 C
 / 1
4,0 
C= 5
85 
N14 Ø 5 C / 7,0 C = 293,5 
N17 Ø 5 C /12,0 C = 400 
N12
 Ø 4
,2 C
 / 1
4,0 
C= 3
00 
N13 Ø 5 C / 12,0 C= 385 
N23
 Ø 4
,2 C
 / 1
4,0 
C= 4
15 N22 Ø 5 C / 12,0 C= 385 
N21 Ø 5 C / 7,0 C = 293,5 
N20 Ø 5 C /12,0 C = 400 
N19
 Ø 4
,2 C
 / 1
4,0 
C= 4
15 
N18
 Ø 4
,2 C
 / 1
0,0 
C= 2
79,5
 
N24
 Ø 
4,2 
C / 
10,0
 C= 
279
,5 
 
 
Quantidade de Armaduras 
 
LAJE 
Lx (cm) LY (cm) 
(Ø + e) X (Ø + e) Y Quantidade X Quantidade Y 
(+) (-) (+) (-) (+) (-) (+) (-) 
1 505 585 14,26 8,00 14,26 - 42 74 36 - 
2 400 585 13,00 8,00 14,84 10,84 45 74 27 37 
3 385 515 13,00 8,00 14,84 10,84 40 65 26 36 
4 400 585 13,00 8,00 14,84 10,84 45 74 27 37 
5 350 385 13,00 8,00 14,84 10,84 30 49 24 33 
6 400 415 13,00 8,00 14,84 10,84 32 52 27 37 
7 300 385 13,00 8,00 14,84 10,84 30 49 21 28 
8 385 415 13,00 8,00 14,84 10,84 32 52 26 36