GA A FAENG Resumo 04 Coordenadas e Mudanca de Base

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Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
 Resumo Teórico 04 – Coordenadas e Mudança de Base. 
COORDENADAS DE UM VETOR EM RELAÇÃO A UMA BASE 
Uma base ordenada é uma base de vetores ordenados, isto é, determinamos quem é o primeiro vetor, o segundo e assim por diante até o último.
 ( ( ( (
Considerando uma base ordenada U={u1, u2, u3, …..un}, de vetores de um conjunto V de vetores, todo vetor V do espaço é uma combinação Linear dos vetores da base U, assim teremos que:
( ( ( ( (
V= a1v1 + a2v2 + a3v3 + ……+ anvn = 0, com a1, a2, a3, ….an, reais, que estão univocamente determinados. (
Os escalares (reais) a1, a2, a3, ….an, são definidos como “Coordenadas” do vetor V em relação à base ordenada U.
É conveniente associar uma Matriz às coordenadas do vetor. Assim para o caso acima teremos:
a1 								a1
Esta notação pode ser dispensada, 
a2								a2
(		se não houver possibilidade
V =	a3 								a3
de confusão. Assim
.								.
.								.
.								.
an U 								an
Exemplificando: É fácil verificar que B={ (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)}, é uma base ordenada do conjunto dos vetores geométricos do Espaço (IR3).
 (
Se considerarmos o Vetor V= (2, 1, -3) , podemos determinar as coordenadas deste vetor em relação à base B, escrevendo este vetor como combinação Linear da Base, assim teremos:
(2, 1, -3)= x (1,1,0) + y ( 0,1,1)+ z (1,0,1) = (x+z, x+y, y+z) , ou seja
x+z = 2										 3
portanto a matriz das 
x+y = 1	 x = 3, y = (2 e z = (1, 	 (			(2
coordenadas de V será
y+ z = -3									 (1 B
MUDANÇA DE BASE:
Considerando um conjunto de n vetores e duas bases de V, 
B= {u1, u2, u3, ….. un} e C={v1, v2, v3, ….. vn}. 
Existe uma única n-upla de escalares(reais) aij, de maneira que:
V1= a11u1 + a21u2 + a31u3 + ……+ an1un 
V2= a12u1 + a22u2 + a32u3 + ……+ an2un
V3= a13u1 + a23u2 + a33u3 + ……+ an3un
.................................................................................
.................................................................................
Vn= a1nu1 + a2nu2 + a3nu3 + ……+ annun
A Matriz Quadrada de ordem n:		a11	a12	a13 …….......	a1n
a21	a22	a23 …….......	a2n
a31	a32	a33 …….......	a3n
					MBC =	...........................................
...........................................
an1	an2	an3 …….......	ann 
é definida como Matriz de Mudança de Base B para a Base C.
Notações importantes:
A Matriz Mudança de base é uma Matriz Inversível;
Se MBC é a Matriz Mudança de Base de B para C. A matriz Mudança de Base de C para B, MCB é a Matriz inversa de MBC, isto é, MCB= (MBC )-1;
Considerando a Matriz MBC, Mudança de base B para a Base C, vale a relação: VB=MBC ( VC , onde VB é o vetor com suas coordenadas ba base B e VC é o vetor com suas coordenadas na base C, ou ainda VC = (MBC )-1 ( VB ;
A Matriz Mudança de Base de B para B, MBB = (In) 
Exemplificando, se considerarmos no IR3, as Bases B={e1, e2, e3} e C={f1, f2, f3} e se os vetores da Base C são relacionados como segue:
f1= e1 + e3 									1	2	1
f2= 2e1 + e2 + e3 	A matriz Mudança de base de B para C será: MBC =	0	1	2
f3= e1 + 2e2 + e3									1	1	1
½	½	3/2
A matriz Mudança de base de C para B será: MCB = (MBC )-1	=	1	0	(1
½	½	(½
 ( (
Se um vetor V tem coordenadas segundo a base B de VB=(1, 1, 2), então as coordenadas deste 
 (
mesmo vetor na base C VC=(x, y, z), são obtidos pela solução da equação:
( ( ( (
VB 		MBC 		VC		VC	 (MBC )-1 		VB
1	1	2	1	x		x	½	½	3/2	 1
1 =	0	1	2 (	y	ou 	y =	1	0	(1 (	 1
2	1	1	1	z		z	½	½	(½	 2
 (
Em ambos os sistemas a solução será VC = (2, (1, 1).
 
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.
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