Resumo de Base Ortonormal e produtos com Vetores

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Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
 Resumo Teórico 05 – Base Ortonormal e Produtos com Vetores 
BASE ORTONORMAL
Uma Base Ortonormal é uma Base Vetorial com três Vetores, Linearmente Independentes (LI), Unitários e 2 a 2 Ortogonais. ( ( ( 
Notação: Indicaremos uma base Ortonormal por ( i , j , k ) 
Lembramos que dois vetores são ortogonais quando podem ser representados por segmentos orientados ortogonais ou perpendiculares.
 ( ( ( (
Observamos que sendo ( i , j , k ), uma base vetorial qualquer vetor V do espaço pode ser representado como Combinação Linear destes vetores e desta forma teremos:
( ( ( (
V = x ( i + y ( j + z ( k , com x, y e z Reais , ou ainda em representação matricial de coordenadas 
(
V = ( x , y , z ) 
Considerando a compatibilidade do Sistema de Coordenadas Cartesianas( O, X, Y, Z ) e a base 
 ( ( ( ( (
ortonormal: (i , j , k), qualquer vetor V do espaço pode ser representado por (A-0)=V=(x, y, z),
 (
onde O é o ponto de origem do Sistema e A é o ponto obtido por A= O+V. 
 
 z A
 ( (
 k ( V
 ( j y
 i O 
 x 
 ( ( ( 
Observamos que as coordenadas dos vetores da base são: i = ( 1, 0, 0), j=(0, 1, 0) e k=(0, 0, 1). 
 
MÓDULO DE UM VETOR
O módulo de um vetor pode ser obtido através de suas coordenadas na forma:
v 2 = x2 +y2 +z2 ou ainda v = (x2 +y2 +z2
CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE
Considerando que se dois vetores são ortogonais, quando representam lados de um de um triângulo, este será retângulo e os vetores serão seus catetos. 
 ( ( 
Desta forma, para que os vetores u e v sejam ortogonais é necessário e suficiente que:
 ( ( ( (
u + v 2 = u 2 + v 2 
 
Algebricamente a condição de ortogonalidade de dois vetores pode ser expressa por:
x1 ( x2 + y1 ( y2 + z1 (z2 = 0
 ( (
PRODUTO ESCALAR: ( u x v )
 ( ( ( ( (
Considerando na base ortonormal ( i , j , k ), os vetores u = (x1 ,y1 , z1) e v = (x2,y2 ,z2 ), 
 ( (
definimos Produto Escalar, ao número real obtido por: ( u x v ) =x1 ( x2 + y1 ( y2 + z1 ( z2 .
Propriedades do Produto Escalar:
 ( ( ( (
u x v = v x u (comutativa);
 ( ( ( ( ( ( 
(( (u x v) = (((u) x v = u x (((v);
 ( ( ( ( ( ( ( 
u x (v1 + v2)= (u x v1 ) + (u x v2) (distributiva);
 ( ( ( ( ( ( ( ( ( 
u x u = (u (2 ; u x u ( 0 e u x u =0 ( u = 0 ;
 ( ( ( ( ( ( 
u x v = 0 ( u e v forem ortogonais ( u ( v );
 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 
Se u ( 0 e v ( 0 , sendo ( o ângulo entre u e v teremos u x v = ( u((( v( ( cos (, isto é :
 ( (
 u x v
 (= arco cos ((((((
 ( u((( v(
 ( ( ( ( ( (
u x v = ½ [ (u + v(2 - ( u (2 - ( v (2 ]
Ângulos Diretores de um Vetor ( (, (, ( ):
 ( ( ( (
Os ângulos de um vetor v em relação aos vetores da base ( i , j , k ),, determinam a direção do vetor e são denominados ângulos Diretores do Vetor, indicados respectivamente por (, ( e ( .
Os valores destes ângulos são obtidos por:
 x y z ( 
 cos (= ((((( , cos ( = ((((( e cos ( = ((((( ; com (V( = = (x2 +y2 +z2
 (V( (V( (V(
 Observamos que para os ângulos diretores vale a relação : cos2 ( + cos2 ( + cos2 ( = 1
Projeção de um Vetor em uma Direção:
 ( ( (
Ao projetarmos um vetor V na direção de um vetor u, obtemos o vetor V1 determinado por:
 vetor
 ( (
 ( ( u u
 V1 = V x (( ( ((
 (u( (u(
 número real vetor
 ( ( 
PRODUTO VETORIAL: (u ( v)
 ( ( ( ( (
Considerando na base ortonormal ( i , j , k ), os vetores u = (x1 ,y1 , z1) e v = (x2,y2 ,z2 ), 
 ( ( ( (
definimos Produto Vetorial, de u por v , ao vetor indicado por (u ( v ) e obtido pelo Determinante da matriz : 
 ( ( (
 ( ( i j k
 u ( v = x1 y1 z1
 x2 y2 z2
Propriedades do Produto Vetorial:
 ( ( ( (
u ( v = ( (v ( u) (anticomutativa);
 ( ( ( ( ( ( 
(( (u ( v) = (((u) ( v = u ( (((v);
 ( ( ( ( ( ( ( 
u ( (v1 + v2)= (u ( v1 ) + (u ( v2) (distributiva);
 ( ( 
u ( u =0;
 ( ( ( ( 
u ( v = 0 ( u e v forem Linearmente Dependentes (mesma direção, paralelos);
 ( ( ( ( ( 
O vetor w = u ( v, tem direção ortogonal a u e a v;
 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 
Se u ( 0 e v ( 0, sendo ( o ângulo entre u e v teremos ( u ( v( = ( u((( v( ( sen ( ,isto é: 
 ( (
 (u ( v(
 (= arco sen ((((((
 ( u((( v(
 ( (
Geometricamente,o módulo do produto vetorial (u ( v(, representa o valor da área do paralelogramo que tem estes vetores como lados, assim:
 B C
 ( ( (
 u ( Área de ABCD = (u ( v(
 (
 v 
 A D
Consequentemente a Área de um Triângulo será obtida pela metade do módulo do produto vetorial de dois vetores que representam os segmentos de dois quaisquer de seus lados assim:
 B
 ( 
 u (u ( v(
 ( Área de ABC = ((((
 v 2
 A C
 ( ( (
PRODUTO MISTO: (u ( v ) x w
 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
Considerando na base (i, j, k), os vetores u= (x1 ,y1 , z1), v = (x2, y2 , z2 ) e w = (x3, y3 , z3 ) 
 ( ( ( ( ( (
definimos Produto Misto, de u por v e por w , ao número real indicado por [u, v, w] e obtido pelo Determinante da matriz : 
 
 ( ( ( x1 y1 z1
 [u, v, w] = x2 y2 z2
 x3 y3 z3
Propriedades do Produto Misto:
 ( ( ( ( ( (
[u, v, w] = 0 ( u , v e w forem Linearmente Dependentes (Complanares);
 ( ( ( ( ( (
[u, v, w]= - [v, u, w];
 ( ( ( ( ( ( ( ( (
[u, v, w]= [w, u, v] = [v, w, u] (cíclica);
 ( ( ( ( ( ( ( ( (
[u, u, w]= [w, u, u] = [u, w, u] = 0;
 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
(( [u, v, w]= [((u, v, w] = [u, ((v, w] = [u, v, ((w];
 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 
[(u1 + u2), v, w] =[u1, v, w]+ [u2, v, w];
 ( ( (
Geometricamente, o módulo do Produto Misto [u, v, w] representa o valor o Volume do paralelepípedo que tem estes vetores como arestas, assim:
 F G
 B C
 ( ( ( ( x1 y1 z1 
 w ( E H ( Volume de ABCDEFGH =([u, v, w](= x2 y2 z2
 u ( x3 y3 z3 
 v
 A D 
 
Consequentemente a volume de um Tetraedro será obtido pela sexta parte do módulo do Produto Misto de 3 vetores que representam os segmentos de 3 quaisquer de suas arestas assim:
 D x1 y1 z1
 ( ( ( ( x2 y2 z2
 u ([u, v, w]( x3 y3 z3
 ( ( ( Volume de ABCD = (((((( = (((((((((( 
 v w 6 6 
 
 
 A B
 C
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.