GA A FAENG Resumo 07 Planos no Espaço

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Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
 Resumo Teórico 07 – Planos no Espaço. 
EQUAÇÕES DO PLANO NO ESPAÇO 
 Equação do Plano na forma Vetorial: 
 ( (
Consideremos dois vetores V1 = (a1, b1, c1) e V2 = (a2, b2, c2), que tem as direções paralelas ao Plano ( no espaço e contem o Ponto A=(x0, y0, z0). Para que um ponto qualquer, P=(x, y, z), do 
 ( (
espaço, pertença a este plano, é necessário e suficiente que os vetores (P – A), V1 e V2 , sejam Linearmente Dependentes (Complanares). Desta forma (P – A) pode ser escrito como cominação linear dos vetores dados. Assim teremos: 
 ( (
(P – A) = t1 ( V1 + t2 ( V2 (com t 1 e t2( IR), isto é: qualquer ponto P pode ser obtido por: 
 ( (
P=A+t1(V1+t2(V2 , que constitui o que chamamos de Equação Vetorial do Plano. 
 Esta equação pode ser melhor detalhada na forma:
(x, y, z) = (x0, y0, z0)+ t1 (a1, b1, c1)+ t2 (a2, b2, c2) , com t 1 e t2( IR.
Para o caso em que o plano é dado por três Pontos, A=(x1,y1,z1) , B=(x2,y2,z2) e C=(x3,y3,z3) equação será obtida pelo uso do ponto A (ou B ou C) e a direção de dois vetores B-A e C-A ou ainda C-B, (que são as mesmas dos vetor A-B, A-C e B-C), assim:
 
 
(x, y, z)=(x1, y1, z1)+t1(x2–x1 , y2–y1, z2–z1)+t2(x3–x1 , y3–y1, z3–z1) , com t 1 e t2( IR.
 
 
Equações do Plano na forma Paramétrica: 
Ao desmembrarmos a equação matricial (x, y, z) = (x0, y0, z0)+ t1 (a1, b1, c1)+ t2 (a2, b2, c2), podemos obter as equações a seguir em função dos Parâmetros t1 e t2:
x = x0 + a1t1+ a2 t2
y = y0 + b1t1+ b2 t2 , que constituem as equações do Plano na Forma Paramétrica.
z = z0 + c1t1+ c2 t2 ou as Equações Paramétricas do plano.
Equação do Plano na forma Geral: 
 ( (
Considerando que os vetores (P–A)=(x-x0, y-y0, z-z0), V1 = (a1, b1, c1) e V2 = (a2, b2, c2), sejam Linearmente Dependentes se aplicarmos a condição de dependência Linear de três vetores, isto é igualando o determinante de suas coordenadas a zero teremos: 
x-x0	 y-y0	 z-z0
a1	 b1	 c1	 = 0 , que nos conduzirá à equação: 	ax + by + cz + d = 0 ,
 
a2	 b2	 c2	 com a, b e c ( IR.
que constitui a Equação na forma Geral do Plano. Isto é, todo o ponto P=(x, y, z) que satisfizer esta equação, pertencerá ao Plano ( .
Vetor Normal de um Plano: 
 ( (
Se um Plano é dado pela sua equação vetorial (:P=A+t1(V1+t2(V2 , um vetor W, Normal (() ao Plano, será obtido, conforme as propriedades de produto vetorial de dois vetores por:
( ( (
w = v1 ( v2
 (
 w
 (
 v1
 (
 v2
 (
Se um Plano (, é dado pela sua equação Geral: ax + by + cz + d = 0, o vetor Normal ao plano tem para suas coordenadas exatamente os coeficientes das variáveis x, y e z, respectivamente, da equação. Assim teremos:
 (
W= ( a , b , c)
 ( (
Exemplificando, o Plano que tem as direções dos vetores V1 = (2, -1, -3) e V2 = (3, 1, -2) e contem o ponto A=(1,-2,3), terá as seguintes equações:
Vetorial: (x, y, z) = (1,-2,3)+ t1 (2, -1, -3)+ t2 (3, 1, -2) , com t 1 e t2( IR.
Paramétricas: x = 1 + 2t1 + 3 t2 Geral: 5x ( 5y + 5z ( 30 = 0, ou x(y+z(6=0
 y = -2 ( t1 + t2 (
 z = 3 ( 3t1 ( 2t2 Vetor normal: W= ( 1 , (1 , 1).
 
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.