GA A FAENG Resumo 08 PosicoesRelativasPontoRetaPlano

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Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
 Resumo Teórico 08 - Posições relativas entre Pontos Retas e Planos.
I. PONTO e PONTO:
Sejam, no espaço, os pontos A=(x1,y1,z1) e B=(x2,y2,z2). Temos duas posições relativas a considerar:
A(B, os pontos são coincidentes. Neste caso a distância entre A e B que é |B-A|,será igual a zero e teremos então: |B-A|= ( (x2( x1)2+ (y2(y1) 2 +(z2(z1) 2 = 0.
A(B, os pontos são distintos. Neste caso a distância entre A e B que é |B-A|,será diferente de zero e teremos então: |B-A|= ( (x2( x1)2+ (y2(y1) 2 +(z2(z1) 2 ( 0.
Assim ao calcularmos a distância entre dois pontos identificamos sua posição relativa e no caso de serem distintos, esta distância os identificará.
Exemplificando: Dados A=(1,-2,3) e B=(-1,1,-3), temos (B-A)=(-2,3,-6), calculando sua distância teremos |B-A|= ( (-2)2+ (3) 2 +(-6) 2 = ( 49 = 7 ( 0, portanto os pontos são distintos.
II. PONTO e RETA: 
 (
Sejam no espaço o ponto Q=(x1,y1,z1) e a reta r:(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c). Sendo (a,b,c)=V, o vetor da direção da reta e (x0,y0,z0) = A um ponto conhecido da reta, temos duas posições relativas a considerar:
Q(r, o ponto está na reta. Neste caso a distância entre A e r será igual a zero.
Q(r, o ponto não está na reta. Neste caso a distância entre A e r será diferente de zero.
Assim ao calcularmos a distância entre o ponto e a reta identificaremos sua posição relativa e no caso do ponto não pertencer à reta, esta distância os identificará.
 (
A distância entre um ponto Q =(x1,y1,z1) e uma reta r: P= A + t V, pode ser determinada como segue: (Q
 (
 |(Q(A) ( V | DQr
Distância entre Q e r DQr = ((((((( 
 |V| ( (((((
 A V
 ( ( (
Exemplificando: Dados Q=(1,-2,3) e r:P=A+tV, sendo A=(-1,1,-3) e V=(1,-1,1), temos |V|=(3 e (Q-A)=(2, -3, 6). Calculando a distância entre Q e r teremos :
 |(2,(3, 6) ( (1, -1, 1)| |(3, 4, 1)| (26 
Distância entre Q e r DQr = ((((((((((((( = ((((( = ((( = ( 26/3 u.c.
 |(1,-1,1)| (3 ( 3 
Concluimos assim que Q(r, o ponto não está na reta, pois DQr ( 0. Neste caso a distância entre Q e r é de ( 26/3 ( 8,66 u.c (Unidades de Comprimento).
III. PONTO e PLANO: 
Sejam no espaço o ponto Q=(x1,y1,z1) e o Plano (: ax + by +cz + d = 0. Temos duas posições relativas a considerar:
Q ( (, o ponto pertence ao plano. Neste caso a distância entre Q e ( será igual a zero.
Q ( (, o ponto não pertence ao plano. Neste caso a distância deles será diferente de zero.
Assim ao calcularmos a distância entre o Ponto e o Plano identificaremos sua posição relativa e no caso do ponto não pertencer ao Plano, esta distância os identificará.
A distância entre um ponto Q =(x1,y1,z1) e um Plano (: ax + by +cz + d = 0, pode ser determinada como segue: 
 |a x1+by1+cz1+d|
Distância entre Q e ( : DQ( = ((((((((((
 (a2 + b2 + c2 
IV. RETA e RETA: 
Sejam no espaço as retas r1:(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a1,b1,c1) e r2:(x,y,z)=( x2,y2,z2)+t(a2,b2,c2). 
 ( (
Sendo (a1,b1,c1)=V1 e (x1,y1,z1) = A1 , (a2,b2,c2)=V2 e (x2,y2,z2) = A2, os vetores da direção e os pontos conhecidos das retas r1 e r2 respectivamente, temos quatro posições relativas a considerar:
r1 ( r2 : r1 coincide com r2, isto é as retas são coincidentes.
 ( (
Neste caso teremos V1 e V2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a distância entre r1 e r2 igual a zero ( Dr1r2 = 0).
r1 ∥ r2 : r1 é paralela à r2, isto é as retas são paralelas.
 ( (
Neste caso teremos V1 e V2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a distância entre r1 e r2 diferente de zero (Dr1r2 ( 0).
r1╳ r2: r1 intercepta r2, isto é as retas são concorrentes.
 ( (
Neste caso teremos V1 e V2 com direções diferentes, isto é LI, um único ponto comum e a distância entre r1 e r2 igual a zero ( Dr1r2 = 0).
r1 ( r2: r1 não é paralela nem intercepta r2, isto é as retas são reversas.
 ( (
Neste caso teremos V1 e V2 com direções diferentes, isto é LI, nenhum ponto comum e a distância entre r1 e r2 diferente de zero (Dr1r2 ( 0).
Verificamos portanto que para determinar a posição relativa entre duas retas é necessário comparar suas direções, através da verificação da Dependência Linear dos vetores de suas direções, e ainda, calcular a distância entre as mesmas. A dependência linear verificamos através da comparação das coordenadas dos vetores, enquanto que a distância determinamos como segue:
As retas são Paralelas: Calculamos a distância de um ponto de uma das retas (r1) até a outra (r2), isto é o cálculo da distância é o mesmo de um ponto e reta e a formula será:
 (
 |(A2(A1) ( V1 | 
Distância entre r1 e r2: Dr1r2 = (((((((((( 
 |V1| 
As retas são Reversas:A distância é o módulo segmento de reta perpendicular comum a ambas as retas dadas. Assim basta calcular o módulo do vetor projeção do vetor (A2(A1) na 
 ( (
 direção do vetor V1 ( V2, isto é, a formula do cálculo da distância ente as retas será:
 ( (
 |(A2(A1) X (V1( V2 )| 
Distância entre r1 e r2: Dr1r2 = ((((((((((((( 
 |(V1( V2 )| 
Observamos que:
Para o caso de retas concorrentes e reversas é necessário calcular o ângulo ( formado pelas direções das mesmas. Este cálculo, já conhecido,será:
 ( (
 V1 x V2
 ( = arco cos (((((((
 ( (
 |V1|(|V2|
Para o caso das retas serem concorrentes é necessário calcular o ponto P =(x,y,z) de intersecção das retas. Este ponto será determinado através da solução do sistema de equações formado pelas equações das retas na forma simétrica isto é:
x-x0 y-y0 z-z0
((( = ((( = (((
 a b c
V. RETA e PLANO: 
Sejam no espaço a reta r:(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a1,b1,c1) e o Plano (: ax + by +cz + d = 0 . 
 ( (
Sendo W=(a,b,c) o vetor normal do plano , V=(a1,b1,c1), o vetor da direção da reta e A=(x0,y0,z0) um ponto conhecido da reta. Temos duas posições relativas a considerar:
r ( (, a reta está contida no plano. Neste caso a distância entre r e ( será igual a zero e os 
 ( ( ( (
vetores W e V serão ortogonais, isto é o produto escalar W x V = 0.
r ( (, a reta não está contida no plano. Neste caso teremos duas posições a considerar: 
 ( (
r // (, a reta é paralela ao plano. Neste caso o produto escalar W x V = 0, a distância entre r e ( será diferente de zero e é calculada como a distância do ponto A à (, isto é:
 |a x1+by1+cz1+d|
 Distância entre r e ( : Dr( = ((((((((((
 (a2 + b2 + c2
r ╳ (, a reta é concorrente, isto é, intercepta o plano. Neste caso W x V ( 0, isto é, o produto escalar dos vetores será diferente de zero, a distância entre r e ( será igual a zero e devemos calcular o ângulo de incidência da reta ao plano e o ponto de intersecção P= r ( (, entre o plano e a reta.
Determinação do ângulo ( de incidência da reta no plano:
 ( (
 w V
 ( (
 V x W
 ( ( (= (90o - ( ( , sendo ( = arco cos ((((((( 
 ( A ( (
 P |V|(|W|
 r
Para determinar o ponto de intersecção P= r ( (, entre o plano e a reta, determinamos a solução do sistema das equações na forma simétrica da reta e na forma geral do plano, isto é:
 x-x1 y-y1 z-z1
((( = ((( = ((( e ax + by + cz + d =0
 a1 b1 c1
VI. PLANO e PLANO: 
Sejam no espaço os Planos (1: a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e (2: a2x + b2y +c2z + d2 = 0
 ( (
Sendo W1=(a1,b1,c1) o vetor normal do plano (1 e W2=(a2,b2,c2), o vetor normal do plano (2. Temos três posições relativas a considerar:
(1 ( (2 : (1 coincide com (2, isto é os planos são coincidentes.
 ( (
Neste caso teremos W1 e W2 com a mesma direção, isto é LD, todos os pontos comuns e a distância entre (1 e (2 igual a zero ( D(1(2 = 0).
(1 ∥ (2 : (1 é paralela à (2, isto é os planos são paralelos.
 ( (
Neste caso teremos W1 e W2 com a mesma direção, isto é LD, nenhum ponto comum e a distância entre r e s diferente de zero (D(1(2 ( 0).
(1╳ (2: (1 intercepta (2, isto é os planos são concorrentes, isto é se interceptam segundo uma reta r.
 ( (
Neste caso teremos W1 e W2 com direções diferentes, isto é LI, uma única reta comum, a distância entre (1 e (2 igual a zero (D(1(2 = 0) e um ângulo ( entre os dois planos.
Distância entre dois planos paralelos: Calculamos a distância de um ponto qualquer de (1 á (2 isto é:
 |a2 x1+b2y1+c2z1+d2|
 Distância entre (1 e (2 : D(1(2 = (((((((((((
 (a22 + b22 + c22
Ângulo ( entre dois planos Concorrentes: Calculamos o ângulo entre (1 á (2 como segue:
 (1 W1
 (
 (
 (2 W2 
 
 r ( ( 
 W1 x W2
 (= (180o - ( ( , sendo ( = arco cos (((((((
 ( (
 | W1|(| W2|
Reta r de intersecção dois planos Concorrentes: Podemos determinamos a reta de intersecção entre (1 á (2 de duas formas como segue:
Determinando dois pontos comuns A e B, através das equações a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e a2x + b2y +c2z + d2 = 0 dos planos (1 e (2, escrevendo em seguida a equação vetorial da reta: ( (
 P = A + t V, sendo V = (B-A).
Determinando um ponto comum A, através das equações a1x + b1y +c1z + d1 = 0 e a2x + b2y +c2z + d2 = 0 dos planos (1 e (2 e o vetor que tem a direção da reta através de 
 ( ( ( (
 V = W1 ( W2 , obtendo assim a equação vetorial da reta: P = A + t V. 
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.