217943669-Apostila-Fundamentos-de-Topografia

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1o Edição 
 
A primeira intenção ao elaborar este documento foi cooperar e auxiliar os trabalhos didáticos das 
disciplinas de Topografia Teórica e Prática, do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. 
Além deste objetivo, que já justifica todo o empenho, este trabalho busca contribuir com a literatura 
das ciências geodésica e topográfica. 
É com muita satisfação que repasso este conhecimento à família 
“cefetiana” e aos demais leitores de outras instituições, reconhecendo que ao 
elaborar este projeto, iniciei-o com afinco, executei-o com paixão e finalizei-o 
com satisfação. 
Agradeço a minha família à compreensão pelas horas dedicadas na 
confecção deste documento, e ao Centro Federal de Educação Tecnológica pelo 
apoio de recursos humanos e materiais. 
 
13 de fevereiro de 1998. 
Marcelo Tuler de Oliveira 
Engenheiro Agrimensor 
� mtuler@deii.cefetmg.br 
 
 
2o Edição 
 
Com satisfação faço a apresentação deste documento, agradecendo ao amigo Marcelo Tuler, autor 
desta obra, pela oportunidade de prestar minha colaboração a esse trabalho. Sei que foi elaborado com muita 
dedicação, esforço e pesquisa. A sua grande preocupação com o ensino e sua capacidade e competência, criou 
uma excelente fonte de consulta para estudantes e profissionais das áreas de Topografia e Geodésia. 
 ii
Esta 2a Edição, revisada e ampliada é bastante didática e bem 
organizada em capítulos por assuntos, facilitando a leitura e o 
entendimento, destes estudantes e profissionais que necessitem de 
aprendizado no dia a dia, ou aprimoramento de seus conhecimentos. 
Com certeza é uma importante contribuição à literatura técnica. 
Com conteúdo atualizado, bem ilustrado, com vários 
exemplos e exercícios, este trabalho demonstra dedicação a anos de 
estudos e pesquisa na área. Com sua experiência em docência, o 
Professor Tuler, compartilha seus conhecimentos com clareza e muito profissionalismo. 
Com certeza esta obra ajudará muitas pessoas no seu desenvolvimento profissional, em especial aos 
estudantes dos Cursos Técnicos e aos alunos de Engenharia de Agrimensura. 
A exemplo da 1a Edição, que é fonte de consulta bibliográfica de muitos trabalhos e pesquisas, esta 2a 
Edição, ainda melhorada, contribuirá ainda muito mais à comunidade técnica. 
 
04 de março de 2002. 
Sérgio Luiz Costa Saraiva 
Engenheiro Civil 
� saraiva@deii.cefetmg.br 
 iii
 
 
 pg. 
 
Prefácio ............................................................................................................................................................. ii 
Sumário ............................................................................................................................................................ iv 
Lista de Figuras ................................................................................................................................................ x 
Lista de Quadros e Tabelas ............................................................................................................................... xvi 
 
Capítulo 1 - Generalidades e Definições 
1 - Introdução ................................................................................................................................................... 1 
2 - Resumo Histórico ........................................................................................................................................ 2 
 2.1 - Das Primeiras Civilizações à Idade Antiga ......................................................................................... 2 
 2.2 - Da Idade Média à Revolução Científica ............................................................................................. 6 
 2.3 - Da Revolução Industrial ao Contemporâneo ...................................................................................... 7 
3 - Conceitos Fundamentais da Geodésia ......................................................................................................... 8 
 3.1 - Terra Geoidal, Elipsoidal e Esférica ................................................................................................... 9 
4 - Conceitos Fundamentais da Topografia ...................................................................................................... 14 
 4.1 - Divisão da Topografia ......................................................................................................................... 14 
 4.2 - Importância e Aplicações .................................................................................................................... 16 
5 - Sistemas de Referência na Geodésia e Topografia ...................................................................................... 17 
 5.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ........................................................................ 18 
 5.1.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas .................................................................................... 18 
 5.1.2 - Sistema de Coordenadas Geodésicas ........................................................................................ 19 
 5.1.3 - Relação entre as Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ..................................................... 19 
 5.2 - Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas ................................................................................... 20 
 5.2.1 - Sistema de Coordenadas UTM ................................................................................................. 20 
 5.2.2 - Sistema de Coordenadas Topográficas ..................................................................................... 22 
 5.2.3 - Relação entre o Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas .............................................. 23 
 iv
 v
6 - Sistema Geodésico Brasileiro ...................................................................................................................... 23 
 6.1 - Situação Atual do SGB ....................................................................................................................... 24 
 6.2 - Novas Propostas para Implantação de Redes Fundamentais ............................................................... 26 
 
Capítulo 2 - Planimetria 
1 - Introdução ................................................................................................................................................... 29 
2 - Sistemas de Unidades de Medidas .............................................................................................................. 29 
 2.1 - Unidade de Medida Linear .................................................................................................................. 30 
 2.2 - Unidade de Medida de Superfície ....................................................................................................... 32 
 2.3 - Unidade de Medida de Volume ........................................................................................................... 34 
 2.4 - Unidade de Medida Angular ............................................................................................................... 34 
 2.4.1 - Sistema Sexagesimal ................................................................................................................ 34 
 2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano ................................................................................................. 37 
3 - Gramometria ................................................................................................................................................ 40 
 3.1 - Processos Diretos ................................................................................................................................40 
 3.2 - Processos Indiretos .............................................................................................................................. 43 
 3.2.1 - Distância Horizontal - Plano Horizontal .................................................................................. 43 
 3.2.2 - Distância Horizontal - Plano Inclinado .................................................................................... 45 
 3.2.3 - Diferença de Nível .................................................................................................................... 46 
 3.2.4 - Distâncias Máximas e Mínimas ................................................................................................ 47 
4 - Goniologia ................................................................................................................................................... 50 
 4.1 - Ângulos Horizontais ............................................................................................................................ 50 
 4.1.1 - Ângulos Azimutais ................................................................................................................... 51 
 4.1.2 - Ângulos Goniométricos ............................................................................................................ 52 
 4.1.3 - Azimutes Calculados ................................................................................................................ 53 
 4.2 - Ângulos Verticais................................................................................................................................. 54 
 4.2.1 - Ângulo de Inclinação ................................................................................................................ 54 
 4.2.2 - Ângulo Zenital .......................................................................................................................... 54 
 4.3 - Magnetismo Terrestre ......................................................................................................................... 55 
 4.3.1 - Declinação Magnética .............................................................................................................. 55 
5 - Métodos de Levantamento Planimétrico ..................................................................................................... 58 
 5.1 - Métodos Principais e Secundários ...................................................................................................... 59 
 5.1.1 - Métodos Principais ................................................................................................................... 59 
 5.1.2 - Métodos Secundários ............................................................................................................... 61 
 5.1.3 – Exemplo 30 – Ponto Inacessível .............................................................................................. 62 
 5.2 - Poligonal Topográfica ......................................................................................................................... 65 
6 - Planilha de Coordenadas ............................................................................................................................. 69 
 vi
 6.1 - Cálculo do Fechamento Angular ......................................................................................................... 69 
 6.1.1 - Determinação do Erro Angular ................................................................................................ 70 
 6.1.2 - Tolerância do Erro Angular ...................................................................................................... 72 
 6.1.3 - Distribuição do Erro Angular ................................................................................................... 73 
 6.2 - Cálculo de Azimutes ........................................................................................................................... 74 
 6.3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas ........................................................................... 76 
 6.4 - Cálculo do Fechamento Linear ........................................................................................................... 78 
 6.4.1 - Determinação do Erro Linear ................................................................................................... 78 
 6.4.2 - Tolerância do Erro Linear ........................................................................................................ 78 
 6.5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas .................................................................................. 79 
 6.6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas ................................................................................................... 80 
 6.7 - Exemplos de Cálculos de Planilhas de Coordenadas .......................................................................... 81 
 6.7.1 - Exemplo 39 .............................................................................................................................. 81 
 6.7.2 - Exemplo 40 .............................................................................................................................. 87 
7 - Cálculo de Áreas Planas .............................................................................................................................. 94 
 7.1 - Método Analítico pela Fórmula de Gauss ........................................................................................... 94 
 7.2 - Método de Decomposição em Polígonos ............................................................................................ 97 
 7.3 - Método de Comparação por Quadrículas ............................................................................................ 98 
 
Capítulo 3 - Altimetria 
1 - Introdução ................................................................................................................................................... 101 
 1.1 - Superfícies de Referência de Nível ..................................................................................................... 101 
 1.1.1 - Erro de Nível Aparente ............................................................................................................. 103 
 1.2 - Altitude, Cota e Diferença de Nível .................................................................................................... 105 
2 - Instrumentos Altimétricos ........................................................................................................................... 107 
 2.1 - Plano de Visada Horizontal ................................................................................................................. 107 
 2.2 - Plano de Visada Inclinado ................................................................................................................... 110 
 2.3 - Acessórios ........................................................................................................................................... 111 
 2.4 - Barômetros .......................................................................................................................................... 111 
3 - Processos de Nivelamento ........................................................................................................................... 112 
 3.1 - Introdução ........................................................................................................................................... 112 
 3.2 - Nivelamento Geométrico .................................................................................................................... 112 
 3.3 - Nivelamento Trigonométrico.............................................................................................................. 113 
 3.4 - Nivelamento Barométrico ................................................................................................................... 115 
 3.5 - Nivelamento Taqueométrico ............................................................................................................... 116 
 3.6 - Fatos Atuais em Altimetria ................................................................................................................. 116 
 3.6.1 - Normas Técnicas Nivelamento segundo a ABNT .................................................................... 117 
 3.6.2 - Nivelamento Geodésico ........................................................................................................... 117 
 vii
 3.6.3 - Nivelamento GPS ..................................................................................................................... 120 
4 - Nivelamento Geométrico ............................................................................................................................ 121 
 4.1 - Nivelamento Geométrico Simples ....................................................................................................... 121 
 4.2 - Nivelamento Geométrico Composto ................................................................................................... 124 
 4.3 - Verificação dos Cálculos da Caderneta ............................................................................................... 126 
 4.4 – Erro no Nivelamento Topográfico ...................................................................................................... 127 
 4.4.1 – Determinação do Erro .............................................................................................................. 128 
 4.4.2 - Definição da Tolerância ........................................................................................................... 129 
 4.4.3 - Distribuição do Erro Admissível .............................................................................................. 130 
 4.5 - Exemplo de Cálculo de Nivelamento Geométrico .............................................................................. 130 
5 - Perfis Longitudinais e Transversais ............................................................................................................ 133 
 5.1 - Perfil Longitudinal .............................................................................................................................. 134 
 5.2 - Perfil Transversal ................................................................................................................................ 134 
 5.2.1 - Nivelamento das Seções Transversais a Nível ......................................................................... 135 
 5.2.2 - Nivelamento das Seções Transversais a Régua ........................................................................ 135 
 5.2.3 - Nivelamento das Seções Transversais a Clinômetro ................................................................ 137 
6 - Representação Altimétrica .......................................................................................................................... 138 
 6.1 - Planta Baixa ........................................................................................................................................ 139 
 6.2 - Perfil .................................................................................................................................................... 140 
 
Capítulo 4 - Planialtimetria 
1 - Introdução ................................................................................................................................................... 143 
2 – Levantamento Planialtimétrico ................................................................................................................... 143 
3 - Exemplo de Cálculo Planialtimétrico .......................................................................................................... 144 
 3.1 – Planimetria – Planilha de Coordenadas .............................................................................................. 147 
 3.2 – Altimetria – Nivelamento Estadimétrico ............................................................................................ 152 
 3.3 – Planialtimetria ..................................................................................................................................... 154 
 
 
 
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos 
1 - Introdução e Histórico ................................................................................................................................. 159 
2 - Segmentos do Sistema e o Projeto NAVSTAR-GPS .................................................................................. 160 
3 - Princípios de Observação e Técnicas de Posicionamento GPS ................................................................... 162 
 3.1 - Observações no Modo Relativo ou Diferencial .................................................................................. 164 
4 - Informações Básicas para Utilização do Sistema ........................................................................................ 167 
5 - Transformação de Referenciais Geodésicos ................................................................................................ 167 
 viii
6 - Instrumento Receptor .................................................................................................................................. 168 
7 - Precisão e Classificação dos Levantamentos GPS ...................................................................................... 168 
8 – Aplicações do Sistema GPS ....................................................................................................................... 170 
 
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos 
1 - Definições e Generalidades ......................................................................................................................... 173 
2 - Câmaras Aéreas ........................................................................................................................................... 174 
 2.1 Câmaras Aéreas Digitais ....................................................................................................................... 175 
3 - Formação do Modelo Estereoscópico ......................................................................................................... 177 
 3.1 - Restituição Fotogramétrica ................................................................................................................. 178 
4 - Medição Aproximada de Altura .................................................................................................................. 180 
5 - Plano de Vôo Aerofotogramétrico .............................................................................................................. 182 
 5.1 - Informações Complementares para Projeto Aerofotogramétrico ........................................................ 186 
 5.2 - Problema de Orientação das Fotos ...................................................................................................... 187 
6 - Produtos Aerofotogramétricos .................................................................................................................... 189 
 6.1 - Aplicações na Fotointerpretação ......................................................................................................... 190 
 
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas -Aspectos Básicos 
1 - Generalidades e Definições ......................................................................................................................... 193 
2 - Conceitos e Classificação dos Erros de Observação ................................................................................... 195 
 2.1 - Conceitos Iniciais ................................................................................................................................ 196 
 2.2 - Classificação dos Erros de Observação ............................................................................................... 197 
 2.2.1 - Estudos Experimentais dos Erros Acidentais ........................................................................... 198 
3 - Aplicações Estatísticas ................................................................................................................................ 201 
 3.1 - Exemplo 1 ........................................................................................................................................... 202 
 3.2 - Exemplo 2 ........................................................................................................................................... 204 
 3.3 - Exemplo 3 ........................................................................................................................................... 207 
 
Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos 
1 – Generalidades e Definições ........................................................................................................................ 213 
2 – Locação para Construção de Estradas ........................................................................................................ 214 
 2.1 – Locação das Tangentes e PI´s ............................................................................................................. 215 
 2.2 – Locação das Curvas ............................................................................................................................ 217 
 2.1.1 – Curva Circular Simples ............................................................................................................ 218 
 
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos 
1 – Introdução ................................................................................................................................................... 249 
 ix
2 – Animais Perigosos ...................................................................................................................................... 250 
 2.1 – Aranhas ............................................................................................................................................... 252 
 2.2 – Escorpiões .......................................................................................................................................... 253 
 2.3 – Abelhas, vespas e marimbondos ......................................................................................................... 253 
 2.4 – Taturanas e Lacraias ........................................................................................................................... 254 
 2.5 – Cobras ................................................................................................................................................. 255 
 2.5.1 – Identificação de Cobras ........................................................................................................... 255 
3 – Prevenção de Acidentes .............................................................................................................................. 259 
 
 
Referências Bibliográficas ................................................................................................................................ 263 
 
 
 pg. 
Capítulo 1 - Generalidades e Definições 
Figura 1.1: Determinação do raio da Terra, por Erastótenes ............................................................................ 4 
Figura 1.2: Narrativa da experiência de Erastótenes ........................................................................................ 5 
Figura 1.3: Astrolábio ....................................................................................................................................... 6 
Figura 1.4: Elipsóide de Revolução .................................................................................................................. 9 
Figura 1.5: Extensão do campo topográfico ..................................................................................................... 12 
Figura 1.6: Sistema de coordenadas astronômicas ........................................................................................... 17 
Figura 1.7: Sistema de coordenadas geodésicas ............................................................................................... 18 
Figura 1.8: Relação entre superfícies da Geodésia ........................................................................................... 19 
Figura 1.9: Algumas superfícies de projeção ................................................................................................... 20 
Figura 1.10: Projeção UTM .............................................................................................................................. 20 
Figura 1.11: Sistema de coordenadas UTM ..................................................................................................... 21 
Figura 1.12: Deformações do sistema de projeção UTM ................................................................................. 21 
 
Capítulo 2 - Planimetria 
Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro ................................................................................................ 30 
Figura 2.2: Sistema sexagesimal ...................................................................................................................... 35 
Figura 2.3: Sistema centesimal ......................................................................................................................... 37 
Figura 2.4: Sistema radiano .............................................................................................................................. 38 
Figura 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB ........................................................................................ 40 
Figura 2.6: Horizontalidade do diastímetro ...................................................................................................... 41 
Figura 2.7: Erro de catenária ............................................................................................................................ 42 
Figura 2.8: Desvio vertical da baliza ................................................................................................................ 42 
Figura 2.9: Desvio lateral do diastímetro ......................................................................................................... 42 
Figura 2.10: Distância horizontal estadimétrica I ............................................................................................. 43 
Figura 2.11: Fios estadimétricos ....................................................................................................................... 44 
 x
 xi
Figura 2.12: Tipos de luneta ............................................................................................................................. 45 
Figura 2.13: Distância horizontal estadimétrica II ............................................................................................ 45 
Figura 2.14: Diferença de nível estadimétrica ..................................................................................................46 
Figura 2.15: Máxima distância teórica conferindo ........................................................................................... 48 
Figura 2.16: Máxima distância teórica sem conferência .................................................................................. 48 
Figura 2.17: Mínima distância teórica conferindo ............................................................................................ 48 
Figura 2.18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico ........................................ 49 
Figura 2.19: Ângulos na Topografia ................................................................................................................. 50 
Figura 2.20: Ângulo horizontal α ..................................................................................................................... 51 
Figura 2.21 : Medição de azimutes ................................................................................................................... 51 
Figura 2.22: Azimute de vante e ré ................................................................................................................... 51 
Figura 2.23: Medição dos rumos ...................................................................................................................... 52 
Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos ..................................................................................................... 52 
Figura 2.25: Medição de ângulos horários internos e externos ........................................................................ 52 
Figura 2.26: Medição dos ângulos de deflexão ................................................................................................ 53 
Figura 2.27: Azimute calculado a partir do rumo ............................................................................................. 53 
Figura 2.28: Azimute calculado a partir da deflexão ........................................................................................ 53 
Figura 2.29: Azimute calculado a partir do ângulo horário .............................................................................. 54 
Figura 2.30: Ângulo de inclinação e zenital ..................................................................................................... 54 
Figura 2.31: Declinação magnética .................................................................................................................. 55 
Figura 2.32: Simulação de cálculo da declinação para BH .............................................................................. 57 
Figura 2.33: Azimute magnético e verdadeiro .................................................................................................. 57 
Figura 2.34: Levantamento por triangulação .................................................................................................... 59 
Figura 2.35: Levantamento por caminhamento ................................................................................................ 60 
Figura 2.36: Levantamento por interseção de ângulos ..................................................................................... 60 
Figura 2.37: Levantamento por interseção de distâncias .................................................................................. 61 
Figura 2.38: Levantamento por irradiação ........................................................................................................ 61 
Figura 2.39: Levantamento por coordenadas retangulares ............................................................................... 62 
Figura 2.40: Pontos inacessíveis ....................................................................................................................... 62 
Figura 2.41: Acessórios ao levantamento da poligonal topográfica ................................................................. 66 
Figura 2.42: Poligonal topográfica ................................................................................................................... 66 
Figura 2.43: Levantamento planimétrico de uma propriedade ......................................................................... 67 
Figura 2.44: Erro de fechamento angular I ....................................................................................................... 71 
Figura 2.45: Erro de fechamento angular II ...................................................................................................... 72 
Figura 2.46: Cálculo de azimutes I ................................................................................................................... 75 
Figura 2.47: Cálculo de azimutes II .................................................................................................................. 76 
Figura 2.48: Cálculo das coordenadas relativas I ............................................................................................. 77 
 xii
Figura 2.49: Cálculo das coordenadas relativas II ............................................................................................ 77 
Figura 2.50: Poligonal topográfica I ................................................................................................................. 82 
Figura 2.51: Poligonal topográfica II ............................................................................................................... 87 
Figura 2.52: Cálculo de área I .......................................................................................................................... 95 
Figura 2.53: Cálculo de área II ......................................................................................................................... 95 
Figura 2.54: Cálculo de área III ........................................................................................................................ 97 
Figura 2.55: Cálculo de área IV ....................................................................................................................... 98 
 
Capítulo 3 - Altimetria 
Figura 3.1: Superfície terrestre, geóide e elipsóide .......................................................................................... 101 
Figura 3.2: Alturas ortométricas ....................................................................................................................... 102 
Figura 3.3: Superfície de referência verdadeira e aparente .............................................................................. 103 
Figura 3.4: Altitudes de pontos topográficos ................................................................................................... 105 
Figura 3.5: Cotas de pontos topográficos ......................................................................................................... 106 
Figura 3.6: Níveis esféricos .............................................................................................................................. 108 
Figura 3.7: Nível cilíndrico .............................................................................................................................. 108 
Figura 3.8: Níveis de luneta .............................................................................................................................. 108 
Figura 3.9: Nível de pedreiro ............................................................................................................................ 109 
Figura 3.10: Níveis laser ................................................................................................................................... 109 
Figura 3.11: Nível de mangueira ...................................................................................................................... 109 
Figura3.12: Corpos suspensos ......................................................................................................................... 110 
Figura 3.13: Clinômetro ................................................................................................................................... 110 
Figura 3.14: Estação Total ................................................................................................................................ 111 
Figura 3.15: Miras ............................................................................................................................................ 111 
Figura 3.16: Altímetro ...................................................................................................................................... 111 
Figura 3.17: Nivelamento geométrico .............................................................................................................. 113 
Figura 3.18: Nivelamento trigonométrico ........................................................................................................ 114 
Figura 3.19: Nivelamento barométrico ............................................................................................................. 115 
Figura 3.20: Nivelamento geométrico simples ................................................................................................. 122 
Figura 3.21: Nivelamento geométrico composto I ........................................................................................... 124 
Figura 3.22: Nivelamento geométrico composto II .......................................................................................... 131 
Figura 3.23: Eixos longitudinal e transversal ................................................................................................... 134 
Figura 3.24: Nivelamento de seção transversal a régua ................................................................................... 135 
Figura 3.25: Perfil transversal .......................................................................................................................... 136 
Figura 3.26: Nivelamento de seção transversal à clinômetro ........................................................................... 137 
Figura 3.27: Planta com pontos cotados ........................................................................................................... 139 
Figura 3.28: Planta com curvas de nível ........................................................................................................... 139 
 xiii
Figura 3.29: Planta com cores hipsométricas ................................................................................................... 140 
Figura 3.30: Desenho de perfil ......................................................................................................................... 141 
Figura 3.31: Desenho em perspectiva ............................................................................................................... 141 
 
Capítulo 4 - Planialtimetria 
Figura 4.1: Croqui de área ................................................................................................................................ 144 
Figura 4.2: Planta planialtimétrica do terreno .................................................................................................. 154 
Figura 4.3: Planta em perspectiva do terreno ................................................................................................... 154 
 
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos 
Figura 5.1: Segmento de controle ..................................................................................................................... 160 
Figura 5.2: Segmento dos usuários ................................................................................................................... 161 
Figura 5.3: Princípio de observação ................................................................................................................. 163 
Figura 5.4: Fase codificada ............................................................................................................................... 163 
Figura 5.5: Posicionamento relativo ou diferencial .......................................................................................... 164 
Figura 5.6: Método diferencial utilizando as ondas portadoras ........................................................................ 165 
Figura 5.7: Alguns modelos de receptores GPS ............................................................................................... 168 
 
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos 
Figura 6.1: Escala da fotografia aérea .............................................................................................................. 173 
Figura 6.2: Câmaras terrestre e aérea ................................................................................................................ 174 
Figura 6.3: Relação entre distância focal e escala ............................................................................................ 176 
Figura 6.4: Estereoscópio de espelhos .............................................................................................................. 177 
Figura 6.5: Restituidor universal ...................................................................................................................... 179 
Figura 6.6: Medição aproximada de altura ....................................................................................................... 180 
Figura 6.7: Plano de vôo ................................................................................................................................... 183 
Figura 6.8: Apoio terrestre ................................................................................................................................ 187 
Figura 6.9: Ortofotocarta .................................................................................................................................. 190 
Figura 6.10: Construção de cartas e mapas ....................................................................................................... 190 
Figura 6.11: Fotointerpretação urbana .............................................................................................................. 191 
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos 
Figura 7.1: Acurácia x Precisão ........................................................................................................................ 196 
Figura 7.2: Relação entre a freqüência observada e freqüência teórica ............................................................ 201 
Figura 7.3: Nivelamento geométrico ................................................................................................................ 207 
 
Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos 
Figura 8.1: Estaca testemunha .......................................................................................................................... 213 
 xiv
Figura 8.2: Referência do greide ...................................................................................................................... 213 
Figura 8.3: Utilização de cruzetas .................................................................................................................... 213 
Figura 8.4: Exemplo da marcação de off-set .................................................................................................... 215 
Figura 8.5: Marcação das tangentes e PI´s ........................................................................................................ 215 
Figura 8.6: Amarração deum PI por interseção de ângulos ............................................................................. 216 
Figura 8.7: Amarração de um PI por interseção de distâncias .......................................................................... 217 
Figura 8.8: Elementos de uma curva circular simples ...................................................................................... 217 
Figura 8.9: Elementos de uma curva de transição ............................................................................................ 218 
Figura 8.10: Estaqueamento final de uma estrada ............................................................................................ 218 
Figura 8.11: Elementos as curva circular ......................................................................................................... 219 
Figura 8.12: Cálculo da tangente externa ......................................................................................................... 220 
Figura 8.13: Ângulo AC ................................................................................................................................... 220 
Figura 8.14: Cálculo das estacas do PC e PT ................................................................................................... 221 
Figura 8.15: Cálculo das estacas do PI ............................................................................................................. 222 
Figura 8.16: Distância PC-PT, considerando as tangentes e o desenvolvimento ............................................. 223 
Figura 8.17: Diferença entre distância reta e curva .......................................................................................... 226 
Figura 8.18: Locação das curvas através da corda ........................................................................................... 228 
Figura 8.19: Locação I. Arcos de 20 m ............................................................................................................ 229 
Figura 8.20: Locação II. Arcos de 10 m ........................................................................................................... 230 
Figura 8.21: Locação III. Arcos de 5 m............................................................................................................. 231 
Figura 8.22: Cálculo do afastamento ................................................................................................................ 232 
Figura 8.23: Aplicação do cálculo de afastamento ........................................................................................... 232 
Figura 8.24: Grau da curva ............................................................................................................................... 233 
Figura 8.25: Deflexão ....................................................................................................................................... 233 
Figura 8.26: Deflexão total I ............................................................................................................................ 234 
Figura 8.27: Deflexão total II ........................................................................................................................... 234 
Figura 8.28: Deflexão acumulada I .................................................................................................................. 235 
Figura 8.29: Deflexão acumulada II ................................................................................................................. 236 
Figura 8.30: Deflexão acumulada III ................................................................................................................ 237 
Figura 8.31: Cálculo da cordas I ....................................................................................................................... 238 
Figura 8.32: Cálculo da cordas II ..................................................................................................................... 238 
Figura 8.33: Cálculo das coordenadas da curva ............................................................................................... 242 
Figura 8.34: Cálculo dos azimutes dos alinhamentos ....................................................................................... 243 
Figura 8.35: Esquema de cálculo de azimutes .................................................................................................. 243 
Figura 8.36: Esquema para locação de curva através das deflexões ................................................................ 245 
Figura 8.37: Ilustrativo da locação por deflexão .............................................................................................. 245 
Figura 8.38: Ilustrativo da locação por coordenadas ........................................................................................ 246 
 xv
 
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos 
Figura 9.1: Animais perigosos .......................................................................................................................... 251 
Figura 9.2: Espécies de aranhas ........................................................................................................................ 252 
Figura 9.3: Escorpião ........................................................................................................................................ 253 
Figura 9.4: Lacraia ............................................................................................................................................ 254 
Figura 9.5: Espécies de cobras .......................................................................................................................... 255 
Figura 9.6: Fosseta loreal .................................................................................................................................. 256 
Figura 9.7: Esquema não confiável de identificação de cobras ........................................................................ 257 
Figura 9.8: Identificando cobras ....................................................................................................................... 258 
Figura 9.9: Percentual de picadas de cobras nas partes do corpo ..................................................................... 259 
Figura 9.10: Equipamentos de segurança ......................................................................................................... 259 
Figura 9.11: Bote .............................................................................................................................................. 260 
 
 
 
 pg. 
Capítulo 1 - Generalidades e Definições 
Quadro 1.1: Classificação dos Levantamentos Geodésicos .............................................................................. 24 
Tabela 1.1: Alguns elipsóides e seus parâmetros ............................................................................................. 10 
Tabela 1.2: Transformação entre sistemas geodésicos ..................................................................................... 26 
 
Capítulo 2 - Planimetria 
Quadro 2.1: Outros sistemas lineares ............................................................................................................... 30 
Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares ............................................................ 38 
Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI) ..................................................................... 39 
Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão ................................................................ 40 
Tabela 2.4: Resumo das equações estadimétricas............................................................................................ 47 
Tabela 2.5: Levantamento Planimétrico – Poligonais ...................................................................................... 68 
Tabela 2.6: Classificação dos teodolitos ........................................................................................................... 68 
Tabela 2.7: Classificação dos MED ................................................................................................................. 68 
Tabela 2.8: Classificação de estações totais ..................................................................................................... 68 
Tabela 2.9: Classe x Coeficiente b ................................................................................................................... 72 
Tabela 2.10: Classe x Coeficiente d ................................................................................................................. 79 
 
Capítulo 3 - Altimetria 
Tabela 3.1: Valores de distâncias versus erro de nível aparente ...................................................................... 104 
Tabela 3.2: Instrumentos altimétricos .............................................................................................................. 107 
Tabela 3.3: Classificação dos instrumentos (níveis) ......................................................................................... 117 
Tabela 3.4: Nivelamento de linhas ou circuitos e seções ................................................................................. 117 
Tabela 3.5: Especificações para nivelamento geométrico – IBGE ................................................................... 119 
 
Capítulo 4 - Planialtimetria 
Tabela 4.1: Resumo das equações taqueométricas ........................................................................................... 144 
 xvi
 xvii
Tabela 4.2: Altimetria – Exemplo .................................................................................................................... 153 
 
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos 
Tabela 5.1: Configuração Original do NAVSTAR-GPS .................................................................................. 161 
Tabela 5.2: Configuração em 1990 do NAVSTAR-GPS ................................................................................. 161 
Tabela 5.3: Mercado de receptores GPS ........................................................................................................... 169 
Tabela 5.4: Técnicas de Posicionamento com o sistema GPS x Precisão ........................................................ 169 
 
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos 
Tabela 7.1: Experimento de Bradley ................................................................................................................ 199 
Tabela 7.2: Medidas de uma base geodésica .................................................................................................... 202 
Tabela 7.3: Resumo dos cálculos I ................................................................................................................... 203 
Tabela 7.4: Medidas do ângulo horizontal ....................................................................................................... 205 
Tabela 7.5: Resumo dos cálculos II .................................................................................................................. 206 
Tabela 7.6: Medidas da diferença de nível ....................................................................................................... 208 
Tabela 7.7: Resumo dos cálculos III ................................................................................................................. 208 
 
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos 
Quadro 9.1: Acidentes x soro ........................................................................................................................... 261 
 29
 
 
 
11 -- IInnttrroodduuççããoo 
 
Considerando que a topometria é a parte da Topografia responsável pela avaliação de grandezas pa-
ra representar o ambiente (Cap. 1), a planimetria estuda os procedimentos, métodos e instrumentos de medi-
da de ângulos e distâncias, considerando o plano horizontal. Para estudo da planimetria, divide-se inicial-
mente o conteúdo em dois temas, baseado nas duas grandezas básicas a serem avaliadas em campo, ou seja, 
as distâncias (Gramometria - Item 3) e ângulos (Goniologia - Item 4). 
No Item 5 estes temas se fundem perfazendo os métodos de levantamento planimétrico. Nos pró-
ximos itens (6 e 7) calculam-se coordenadas e áreas de polígonos topográficos. Como o assunto está associa-
do à interpretação e medida de grandezas lineares e angulares, tem-se no Item 2, uma revisão associada aos 
sistemas de unidades de medidas. 
 
 
22 -- SSiisstteemmaass ddee UUnniiddaaddeess ddee MMeeddiiddaass 
 
Medir uma grandeza consiste em compará-la com outra, denominada padrão, 
e verificar quantas vezes ela é maior ou menor que aquela tomada como padrão. 
Já está bem difundido a utilização do “Sistema Internacional de Unidades - 
SI”, apesar de alguns sistemas antigos (infelizmente !) ainda serem usados com freqüência. A seguir são co-
mentadas as unidades mais utilizadas na Topografia, citando as de medidas lineares, de superfície, volumé-
tricas e angulares, e ao final um resumo dos vários sistemas de unidades utilizadas pelo Engenheiro. 
 
 
 
 
 	 Capítulo 2 - Planimetria
 
 30
22..11 -- UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa LLiinneeaarr 
 
A unidade de medida internacional para medidas lineares é o metro (m), que corresponde à décima 
milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. O sistema métrico decimal envolve seus múltiplos e 
submúltiplos (Figura 2.1): 
 
 
 Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro. 
 
Exemplo 1: Transforme 10 km e 98 mm, nos múltiplos e submúltiplos do metro. 
Solução: 
10 km = 100 hm = 1.000 dam = 10.000 m = 100.000 dm = 1.000.000 cm = 10.000.000 mm. 
98 mm = 9,8 cm = 0,98 dm = 0,098 m = 0,0098 dam = 0,00098 hm = 0,000098 km. 
 
Exemplo 2: Transforme 21,45 m, para mm e km. 
Solução: 
21,45 m = 21.450 mm = 0,02145 km. 
 
Apesar da tendência de utilização do sistema métrico decimal, unidade antigas ainda são utilizadas, 
como: 
Quadro 2.1: Outros sistemas lineares. 
# 1 polegada inglesa1 = 25,4 mm; # 1 pé = 30,479 cm; 
# 1 jarda = 3 pés = 0,91438 m; # 1 milha terrestre = 1.609,34 m; 
# 1 palmo = 8 polegadas = 0,22 m; # 1 milha náutica ou marítima = 1.852,35 m; 
# 1 vara = 5 palmos = 1,10 m; # 1 milha (bras.) = 2.200 m; 
# 1 braça2 = 2 varas = 2,20 m; # 1 corda = 15 braças = 33 m; 
# 1 légua de sesmaria = 6.600 m. # 1 légua geométrica = 6.000 m. 
 
Exemplo 3: Transforme 12 polegadas inglesas e 5 pés em metros. 
 
1 Polegada: Segundo a ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas), equivale a 27,5 mm 
 31
 
Solução: 
1 polegada = 25,4 mm, logo 12 polegadas =304,8 mm, ou, 0,3048 m 
1 pé = 30,479 cm, logo 5 pés = 152,39 cm, ou 1,524 m 
 
 
Saiba desta ... ! 
 
Curiosidades sobre o Metro 
A comissão de acadêmicos constituída por Monge, Lagrange, Condorcet e Borda, 
formulando um esboço do sistema de medidas, encarregou os astrônomos João Delambre e 
Pedro Nadré Mechain, a proceder os trabalhos geodésicos necessários para a medida de 
10o do meridiano, que vai de Dunquerque, no norte da França, a Monjony, próximo a Bar-
celona. 
Empregando como unidade de medida a toesa (1 toesa = 6 pés), do qual se dedu-
ziria a quarta partedo mesmo meridiano para, então, ser determinado o padrão da unidade 
fundamental escolhida. 
O comprimento do quarto do meridiano deduzido das medidas efetuadas foi de 5.130.740 toesas, 
cuja décima-milionésima parte equivale a 0,51307 toesa. Esta parte recebeu a denominação proposta por 
Borda, de metro (metron = medida). 
O padrão, protótipo em platina, que dá o comprimento legal do metro, construído pelo físico fran-
cês Fortin, de seção retangular, 25 x 4 mm, foi por lei de 10/12/1799 declarado “MÈTRE VRAI ET 
DÈFINITIF” e depositado nos arquivos do Estado Francês. 
Em 1909 após seus trabalhos geodésicos, Hayford encontrou para o quadrante terrestre 
10.002,286, chegando a conclusão que o metro dos arquivos possuía 1/5 de mm a mais ou seja, o metro ar-
quivado tinha 1,0002 m. Resolveu-se, no entanto, não modificar o metro dos arquivos, razão por que na 
Convenção Internacional do Metro, realizada em 1875, a qual participaram os principais países do mundo 
entre os quais o Brasil, foi mantida esta medida e designada a cidade de Bretevil, próximo a Paris, para a 
sede do Departamento Internacional de Pesos e Medidas, encarregado dos trabalhos de metrologia. Foram 
então confeccionadas 30 cópias do metro, de seção especial, numa liga de 90% de platina e 10 % de irídio, 
e por deliberação da primeira conferência geral, realizado em 26/09/1899, a cópia mais aproximada seria o 
metro protótipo internacional, e as outras distribuídas pelos países participantes da conferência, seriam os 
protótipos nacionais. 
 
 
 
2 Braça: Unidade linear do ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas). 
 
 	 Capítulo 2 - Planimetria
 
 32
Saiba também ... ! 
Por que a milha náutica é diferente da milha terrestre ? 
A origem da milha terrestre – sistema de medida ainda em uso na Inglaterra e nos Estados Unidos 
– esta no “Mille passus”, unidade de comprimento utilizada pelo exército romano que correspondia a 1.000 
passos dados por um centurião, o comandante das suas milícias. Os passos do centurião tomados como base 
eram duplos, mais largos que o normal, e a medida encontrada foi o equivalente a 63.360 polegadas, ou 
1.690,34 metros. Já a milha náutica foi esta estabelecida de forma científica. Como a terra possui um for-
mato arredondado, qualquer linha a contorná-la terá 360o. A linha do equador mede aproximadamente 
40.000 quilômetros. Dividiu-se, então esse perímetro por 360 partes (1o) e depois por 60 (1’). Ou seja, 1 mi-
nuto de arco corresponde a 1.853,25 metros, que é a milha marítima. Por convenção internacional, esse va-
lor foi arredondado para 1.852 metros. 
 
Saiba ainda... ! 
Qual a medida da LÉGUA ? 
Do latim “leuca”, esta medida itinerária cujo valor primitivo não está bem fixado e possui várias 
interpretações, que variam de 2,2 a 7,4 km, conforme a época e o povo. A légua de sesmaria equivale a 
3.300 braças ou a 6, 6 km. A légua de uma hora, légua de 4,875 km. Légua geométrica possui 6.000 metros 
enquanto a légua marítima, a 20a parte do grau, contada num círculo máximo da terra, que vale 3 milhas, 
ou cerca de 5,556 km. Esta última também é denominada de légua de vinte ao grau. Tem-se ainda a légua 
quilométrica (4 km) e a légua terrestre ou comum, légua de 4,445 km, também chamada de vinte e cinco ao 
grau. 
Não satisfeitos, tem-se ainda a légua de beiço, distância indicada por uma pessoa que a expressa 
esticando o lábio inferior, para dar a entender que é longe, principalmente se for precedida de um “logo a-
li” do mineirinho. 
 
 
22..22 –– UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa ddee SSuuppeerrffíícciiee 
 
A unidade padrão é o metro quadrado (m2), porém em topografia, em razão da avaliação de gran-
des extensões da superfície, utiliza-se com mais freqüência o múltiplo hectare, correspondente a 10.000 m2. 
 
Are (a) => 100 m2 
Múltiplo => 1 hectare (ha) = 10.000 m2 = 100 a 
Submúltiplo => 1 centiare (ca) = 1,0 m2 = 0,01 a 
 
Exemplo 4: Seja transformar: 
 33
# 23,34 ha = 233.400 m2 
# 1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2 
# 1 km2 = 1.000.000 m2 
 
Existem ainda algumas unidades antigas de superfície utilizadas no Brasil, baseado no ASPM (An-
tigo Sistema de Pesos e Medidas), como por exemplo o alqueire, variando sua medida entre regiões; citando: 
# 1 alqueire geométrico = 100 x 100 braças = 48.400 m2 = 4,84 ha 
# 1 alqueire paulista = 50 x 100 braças = 24.200 m2 = 2,42 ha 
# 1 alqueire mineiro = 75 x 75 braças = 27.224 m2 = 2,7225 ha 
# 1 alqueire goiano = 96.800 m2 
 
Exemplo 5: Transforme 200 ha em m2 e em alqueires geométricos. 
Solução: 
200 ha = 2.000.000,000 m2 = 41,3223 alqueires geométricos. 
 
Algumas outras utilizadas em algumas regiões brasileiras e outros países (e até curiosas !), como: 
# 1 milha quadrada = 2,788 x 107 pés2 = 640 acres 
# 1 pé quadrado = 929,0 cm2 
# 1 acre3 = 43.560 pés2 = 4.046,8 m2 (cerca de 0,4 ha) 
# 1 Braça quadrada = 4,84 m2 
 
Saiba desta ... ! 
# Cinqüenta é uma unidade de medida agrária empregada na Paraíba e equivale à 50 x 50 bra-
ças, também chamada de Quarta no Rio Grande do Sul. No Paraná a Quarta vale 50 x 25 braças. 
# Colônia é uma unidade de superfície usada no estado do Espírito Santo, equivalente a 5 alquei-
res de 100 x 100 braças. 
# Geira é uma unidade de medida agrária e equivale a 400 braças quadradas. 
# Tarefa é uma unidade agrária de valor variável de estado a estado. Na Bahia corresponde à 
superfície de um quadrado de 30 braças de lado, por exemplo. 
# Morgo é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 0,25 hectare, se-
ja um quadrado de 50 m de lado. 
# Lote é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 25 hectares. 
 
22..33 –– UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa ddee VVoolluummee 
 
3 Acre é uma unidade de medida agrária empregada na Inglaterra e nos Estados Unidos. 
 
 	 Capítulo 2 - Planimetria
 
 34
 
A unidade padrão é o metro cúbico (m3), corresponde a um cubo de 1 x 1 x 1 m. 
Têm-se ainda as seguintes unidades volumétricas: 
# 1 litro = 1 dm3; # 1 jarda cúbica = 0,7645 m3. 
 
Exemplo 6: Transforme: 
1 m3 = 1m x 1m x 1m = 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1.000 dm3 
 = 100 cm x 100 cm x 100 cm = 1.000.000 cm3 
 
Exemplo 7: Calcule a capacidade, em litros e em m3, de uma caixa de água com as seguintes di-
mensões (largura = 4 m; comprimento = 100 dm; altura: 500 cm). 
Solução: 
Capacidade = largura x comprimento x altura = 4,000 m x 10,000 m x 5,000 m = 200 m3 
Capacidade = 200 m3 = 200.000 litros 
 
Exemplo 8: Seja calcular a capacidade, em m3, de um moto-scraper que transporta 24 jardas cúbi-
cas por viagem. 
Solução: 
1 jarda cúbica = 0,7645 m3 
24 jardas cúbicas = 18,348 m3 
Capacidade = 18,348 m3 
 
 
22..44 –– UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa AAnngguullaarr 
 
As unidades de medidas dos ângulos e arcos podem ser sexagesimais (grau), centesimais (grado) e 
o radiano. 
 
22..44..11 -- SSiisstteemmaa SSeexxaaggeessiimmaall 
 
É o sistema mais utilizado na Topografia. No sistema sexagesimal o círculo trigonométrico é divi-
dido em 360 partes, tendo como unidade básica o grau (Figura 2.2). 
 
 35
 
 Figura 2.2: Sistema sexagesimal. 
Círculo: 360o 
Unidade básica: 1o 
Submúltiplos: 
Minuto: 60’ = 1o 
Segundo: 3.600” = 1o 
Logo: 1o = 60’ = 3.600” 
 
Geralmente tem-se a origem da medição na direção do Norte, em sentido horário. As modalidades 
de ângulos horizontais e verticais utilizados na topografia são comentados no item 4 (Item 4 – Goniologia). 
 
Exemplo9: 30o 49’ 32,5” (lê-se trinta graus, quarenta e nove minutos e trinta e dois “vírgula” cin-
co segundos). 
 
Pode-se executar as seguintes operações algébricas: 
a) Adição 
# Adicionar as unidades comuns. 
 
Exemplo 10: Some 50o 20’ 30” e 20o 45’ 43” 
Solução: 
 50o 20’ 30” 
 + 20o 45’ 43” 
 70o 65’ 73” 
 = 71o 06’ 13” 
Logo, 70o 65’ 73” = 70o 66’ 13” = 71o 06’ 13” 
 
b) Subtração 
 	 Capítulo 2 - Planimetria
 
 36
# Subtrair as unidades comuns e iguais. 
 
Exemplo 11: Subtraia 50o 20’ 30” e 10o 42’ 40” 
Solução: 
 50o 20’ 30” 50o 19’ 90” 49o 79’ 90” 
 10o 42’ 40” 10o 42’ 40” 10o 42’ 40” 
 39o 37’ 50” 
 
c) Multiplicação 
# Multiplicar apenas por números adimensionais; 
# Não multiplicar ângulos por ângulos. 
 
Exemplo 12: Multiplique 80o 20’ 30” por 5 
Solução: 
 80o 20’ 30” 
 x 5 
 400o 100’ 150” 
Corretamente tem-se 401o 42’ 30” 
 
d) Divisão 
# Dividir apenas por números adimensionais. 
# Não dividir ângulos por ângulos. 
 
Exemplo 13: Divida 80o 40’ 20” por 4. 
 
Solução: 
 80 40' 20' ' 4 20 10' 05'
o
o= ' 
 
Deve ser claro que relações trigonométricas envolvendo unidades do grau, minuto e segundo, estes 
devem ser “decimalizados”, ou seja, por exemplo: 
# sen 30o 30’ ≠ sen 30,30o (erro muito comum em operações trigonométricas). 
pois sen 30o 30’ = 0,507538362921 
 sen 30,30o = 0,504527623815 
A operação da decimalização já é uma rotina existente na maioria das calculadoras científicas, de-
vendo ser executada antes de qualquer operação matemática relacionada à ângulos sexagesimais. 
 
Exemplo 14: Decimalize e/ou calcule: 
a) 30o 30’ 
 37
b) 20o 06’ 18” 
c) tan 30o 20’ 01,20” 
Solução: 
a) 60’ equivalem a 1o, logo, 30’ equivale a 0,5o, então: 
30o 30’ = 30o + 0,5o = 30,5o 
 
b) 60’ equivale a 1o, logo 06’ equivale a 0,1o; e 3600” equivale a 1o, logo, 18” equivale a 0,005o; 
então: 
20o 06’ 18” = 20o + 0,1o + 0,005o = 20,105o 
 
c) tan 30o 20’ 01,20” = tan 30,3336666667 = 0,585141328646 
 
 
22..44..22 -- SSiisstteemmaa CCeenntteessiimmaall ee RRaaddiiaannoo 
 
O sistema centesimal foi bastante empregado na Topografia, não ocorrendo com freqüência na atu-
alidade. No sistema centesimal o círculo trigonométrico é dividido em 400 partes, tendo como unidade bási-
ca o grado (Figura 2.3). 
Círculo - 400g Unidade básica: 1g 
Submúltiplos: Centigrado: 100 centrigados = 1g; Decimiligados = 10.000 decimiligrados = 1g 
 
 
 Figura 2.3: Sistema centesimal. 
Exemplo 15: 382,4839g (lê-se trezentos e oitenta e dois grados, quarenta e oito centigrados e trinta 
e nove decimiligrados). 
 
 	 Capítulo 2 - Planimetria
 
 38
O radiano é o ângulo central correspondente à um arco de comprimento igual ao raio (Figura 
2.4). 
 
 
2 π R ==> 360o 
a ==> α 
 
'18573,57
2
360Rase
R2
a360
00
0
0
≈=π∴=
π
⋅=α
 
 
Logo 1 radiano ≈ 57 180 ' = α 
 
 Figura 2.4: Sistema radiano. 
 
Na tabela 2.1 tem-se a conversão de sistemas de unidades de medidas angulares vistos anteriormen-
te. 
 
Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares. 
Graus Grados Radianos 
0o 0gr 0 rd 
90o 100gr π/2 rd 
180o 200gr π rd 
270o 300gr 3π/2 rd 
360o 400gr 2π rd 
 
 
Geralmente é necessário transformar os valores entre os vários sistemas angulares, principalmente 
ao confeccionar algum programa de cálculo. Alguns equipamentos modernos (Estações Totais, por exemplo) 
possibilitam a tomada destas grandezas em quaisquer sistemas mencionados acima. 
 
 39
Exemplo 16: Seja transformar: 
 
a) 358o (para grado) = 397,7g 
b) 120o (para grado) = 133,3g 
c) 76o (para grado) = 84,4g 
d) 104g (para grau) = 93,60 = 93o 36’ 
e) 96g (para grau) = 86o 24’ 
f) 78g (para grau) = 70o 12’ 
g) 100o (para radiano) = 1,74 rd 
h) 2 rd (para grau) = 114o 36’ 
 
A tabela 2.2 ilustra outros sistemas de unidades utilizados freqüentemente nas medições em geral. 
 
Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI). 
 
Grandeza Nome Símbolo Definição 
Comprimento Metro m “ ... a distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299.792.458 do segundo. ” (1983). 
Massa Quilograma kg 
“ ... este protótipo (um determinado cilindro de platina e i-
rídio) será, daqui em diante, considerando a unidade de 
massa. ” (1889). 
Tempo Segundo s 
“ ... a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação cor-
respondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do 
estado fundamental do átomo de césio 133.” (1967). 
Corrente elétrica Ampére A 
“ ... a corrente constante que, mantida em dois condutores 
retilíneos paralelos de comprimento infinito e seção circu-
lar transversal desprezível, situados no vácuo e distantes 
um do outro 1 metro, produziria entre esses condutores 
uma força igual a 2 x 10-7 newton por metro.” (1946). 
Área Metro quadrado m2 - 
Volume Metro cúbico m3 - 
Freqüência Hertz Hz s-1 
Densidade Quil. por metro cúbico kg/m3 - 
Velocidade Metro por segundo m/s - 
Aceleração Metro por seg. quadr. m/s2 - 
Força Newton N kg . m/s2 
Pressão Pascal Pa N/m2 
Trabalho/Energia Joule J N.m 
Potência Watt W J/s 
 
33 -- GGrraammoommeettrriiaa 
 
A Gramometria estuda os processos e instrumentos usados nas determinações de distâncias entre 
dois pontos. Esta distância pode ser obtida por processos direto ou indireto. 
 
 	 Capítulo 2 - Planimetria
 
 40
 
33..11 -- PPrroocceessssooss DDiirreettooss 
 
Pelo método direto, as distâncias são determinadas percorrendo-se o alinhamento. Genericamen-
te os instrumentos destinados a medida direta são denominados de diastímetros. 
Geralmente as trenas são constituídas de uma fita de lona, de aço ou de nylon, enrolada no interior 
de uma caixa circular. Existem trenas de 2, 5, 10, 20, 30 e 50 metros, sendo mais usadas as de 20m. As fitas 
de aço temperado possuem geralmente 10, 20, 30 e 50 e até 100 metros. Na tabela abaixo (Tabela 2.3) tem-se 
uma classificação dos processos diretos segundo sua respectiva precisão. 
 
Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão. 
* Passo (por ex.: p ≅ 0,80 m) 
* Régua graduada (por ex.: bambu) Baixa precisão 
* Medidor topográfico 
- De aço * Fitas - De fibra de vidro 
- De lona 
- De aço 
Média precisão 
* Trenas 
- De fibra de vidro 
Alta precisão * Fio ínvar 
 
Na operação das medidas lineares deve-se ter o cuidado de avaliar sempre a projeção horizontal dos 
pontos considerados. Como os alinhamentos são representados em planta por suas projeções num plano hori-
zontal (rever o conceito de Topografia), as medidas das distâncias devem ser feitas na horizontal. Logo, caso 
o terreno seja inclinado, a medida deve ser executada tendo uma das extremidades no ponto mais alto, e a ou-
tra num ponto mais baixo, com auxílio de duas balizas (Figura 2.5). 
Ainda, na medição de uma distância, alguns erros devem ser corrigidos e outros evitados. O erro 
total ao executar uma medida é a resultante de um conjunto destes erros. Abaixo são citados os erros mais 
comuns. 
 
a) Erro no comprimento do diastímetro 
Deve ser corrigido. 
 
 Figura 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB. 
 41
 
Exemplo 17: Suponha um diastímetro, inicialmente, com a marcação de 25 metros. 
Em segunda análise, suponha que foi feita uma aferição (constatação em laboratório), e sua verda-
deira medida seja 24,9 m. Neste caso, pensaria o usuário estar medindo 25m, mas na realidade teria apenas 
24,9 m. 
 
Exemplo 18: Partindo do exemplo 15, suponha uma distância no campo igual 100 m, qual seria a 
distância real ? 
Solução: 
100 m ⇒ 25,0 m 
 x m ⇒ 24,9 m 
x = 99,60