Cap 2. Movimento Retilínio

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Universidade Federal do 
Paraná
Departamento de Física
Física E
Prof. Lauro Luiz Samojeden
2012-2
Capítulo 2 – Movimento Retilíneo
• Um dos objetivos da física é estudar o movimento dos objetos. A 
rapidez com que se movem, a distância percorrida ou a posição em
um instante particular.
• Ex. Os geólogos usam essa parte da física para estudar o 
movimento de placas tectônicas, com o objetivo de prever
terremotos. 
• Cinemática – Parte da mecânica que estuda o movimento sem se • Cinemática – Parte da mecânica que estuda o movimento sem se 
preocupar com o que causou esse movimento.
• Consideraremos o movimento somente em linha reta (na horizontal 
ou na vertical). Movimento unidimensional.
• Nosso objetivo será descrever o movimento de um objeto, isto é, 
sua trajetória, sua velocidade e se ele está acelerado ou não.
• Consideraremos apenas aqueles objetos que possam ser 
representados como partículas. 
• Frequentemente usaremos a partícula como modelo ideal de um 
corpo em movimento, isto é, quando os efeitos de rotacão e da
forma do objeto não forem relevantes. Nesse caso todas as partes
do corpo movem-se na mesma direção e com a mesma rapidez.
• Exemplo: Movimento da Terra ao redor do Sol. Um objeto
deslizando em uma rampa.
• Para descrever o movimento, precisamos em primeiro lugar de um 
referencial. No caso unidimensional é simplesmente uma retareferencial. No caso unidimensional é simplesmente uma reta
orientada em que se escolhe a origem O.
• A posicão de uma partícula em movimento no instante t é descrita
pela abscissa correspondente x(t).
• Não confundir x(t) com x(m)!
• Observar na figura anterior o sentido positivo e o sentido negativo.
• A mudança de uma posição x1 para uma posição x2 é associado um 
deslocamento ∆x = x2 - x1. 
• Significado do símbolo grego ∆.
• ∆x > 0 → x2 > x1. Sentido positivo.
• ∆x < 0 → x2 < x1. Sentido negativo.
• Deslocamento é uma grandeza vetorial (módulo, direção e sentido).
Exemplos: Considere três pares de posições iniciais e finais, 
respectivamente, ao longo do eixo x. Determine o sentido dessesrespectivamente, ao longo do eixo x. Determine o sentido desses
deslocamentos: a) -3 m, +5 m; b) -3 m, -7 m; c) 7 m, -3 m? 
• Respostas: a) ∆x = 8 m > 0; ∆x = -4 m < 0;
• ∆x = -10 m < 0
• Velocidade média e velocidade escalar
média.
• Considere o gráfico a seguir:
0 )()( txtxxv −=∆=
• No gráfico acima, de x em função de t, a velocidade média é a inclinação
da reta que liga dois pontos particulares da curva x(t).
• A velocidade média também é uma grandeza vetorial.
• O módulo é o valor absoluto da inclinação da reta.
• O sentido é dado por ∆x ou pela inclinação da reta.
0
0 )()(
tt
txtx
t
x
vmed
−
−
=
∆
∆
=
• A velocidade se mede em km/h, m/s, cm/s,…, conforme as unidades
adotadas.
• Calcular a velocidade média entre os instantes t0 = 1 s e t = 4 s.
A velocidade escalar média smed é uma forma diferente de escrever “com 
que rapidez” uma partícula está se movendo.
A velocidade média envolve o deslocamento, enquanto a velocidade
./2
3
6
14
)4(2
0
0 sm
s
m
ss
mm
tt
xx
vmed ==
−
−−
=
−
−
=
A velocidade média envolve o deslocamento, enquanto a velocidade
escalar média é definida em termos da distância total percorrida (número
de quilômetros percorridos, por exemplo), independentemente da direção.
A velocidade escalar média não possui sinal algébrico e em algumas
situações seu módulo pode coincidir com o módulo da velocidade média.
t
totaldistância
smed ∆
=
• Exemplo
• Depois de dirigir um automóvel em uma estrada retilínea
por 8,4 km e a uma velocidade média de 70 km/h, o 
motorista pára por falta de combustível. Nos 30 min 
seguintes ele caminha por mais 2,0 km ao longo da
estrada até chegar ao posto de gasolina mais próximo.
• a) Qual o deslocamento total, desde o início da viagem até
chegar ao posto de gasolina?chegar ao posto de gasolina?
• Solução: ∆x = x2 - x1 = 8,4 km + 2,0 km – 0 = 10,4 km.
• b) Qual o intervalo de tempo ∆t entre o início da viagem e 
o instante em que o motorista chega ao posto?
• Solução: ∆t = ∆tdirigindo + ∆tcaminhando = 0,12 h + 0,50 h = 
0,62 h.
• c) Qual a velocidade média do início da viagem até a 
chegada do motorista ao posto?
• Solução:
• d) Após comprar o combustível, o motorista retorna, 
levando 45 min para chegar até o local onde estava o 
./8,16
62,0
4,10 hkm
h
km
t
x
v med ==∆
∆
=
levando 45 min para chegar até o local onde estava o 
automóvel. Qual a velocidade escalar média do início da
viagem até o momento em que chega de volta ao
automóvel?
• Solução: 
•
./1,9
37,1
4,12
75,050,012,0
0,20,24,8 hkm
h
km
hhh
kmkmkm
smed ==++
++
=
Velocidade Instantânea e Velocidade 
Escalar Instantânea
• Vimos nas seções anteriores os conceitos de velocidade média e 
velocidade escalar média.
• Mas, quando falamos em “rapidez” em geral estamos pensando na rapidez 
com a qual um objeto está se movendo em um certo instante, isto é, sua 
velocidade instantânea, ou simplesmente, velocidade.
• A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média, ao 
fazermos o intervalo de tempo ∆t tendendo a zero, ou seja fazermos o intervalo de tempo ∆t tendendo a zero, ou seja 
• A velocidade v é a taxa com a qual a posição x está variando com o tempo 
em um dato instante, ou seja, v é a derivada de x em relação a t.
• A velocidade instantânea ou velocidade, também é uma grandeza vetorial.
0
lim .
t
x dx
v
t dt∆ →
∆
= =
∆
• A velocidade escalar instantânea, ou simplesmente, velocidade escalar, é o 
módulo da velocidade, ou seja, a velocidade desprovida de qualquer 
indicação de direção.
• O velocímetro de um carro indica a velocidade escalar e não a velocidade, 
já que não mostra a direção em que o carro está se movendo.
• Teste. As equações a seguir fornecem a posição x(t) de uma partícula em 
quatro casos (em todas as equações x está em metros e t em segundos): 
(1) x = 3t – 2; (2) x = -4t2 – 2; (3) x = 2/t2; (4) x = -2. Determine a velocidade 
em todos os casos.
• Solução: (1) v = 3 m/s - constante; (2) v = -8t - negativa; (3) v = -4t-3 –
negativa; (4) v = 0.negativa; (4) v = 0.
• Exemplo: A posição de uma partícula que se move em um eixo x é dada 
por x = 7,8 + 9,2t – 2,1t3, com x em metros e t em segundos. Qual é a 
velocidade da partícula em t = 3,5 s? A velocidade é constante ou está 
variando continuamente?
• Solução: A velocidade é a derivada primeira (em relação ao tempo) da 
função x(t). Assim, o cálculo detalhado fornece: 
3
3
2
(7 , 8 9 , 2 2 ,1 ),
(7 , 8 ) (9 , 2 ) ( 2 ,1 ),
0 9 , 2 (3)( 2 ,1) 9 , 2 6 , 3 ,
9 , 2 6 , 3(3, 5 ) ,
d x d
v t t
d t d t
d d d
v t t
d t d t d t
v t t
v
= = + −
= + −
= + − = −
= −9 , 2 6 , 3(3, 5 ) ,
9 , 2 7 7 , 2 ,
6 8 / .
v
v
v m s
= −
= −
= −
Portanto, em t = 3,5 s, a partícula está se movendo no sentido 
negativo de x com velocidade escalar de 68 m/s ou 244,8 km/h.
Aceleração
• Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que ela sofreu uma 
aceleração.
• Para movimentos ao longo de uma direção, a aceleração média améd em 
um intervalo de tempo ∆t é
2 1
2 1
,méd
v v v
a
t t t
− ∆
= =
− ∆
• onde a partícula tem velocidade v1 no intante t1 e velocidade v2 no instante 
t2.
• A aceleração instantânea (ou, simplesmente aceleração) é dada por
.
dv
a
dt
=
• A aceleração de uma partícula em 
qualquer instante é a taxa com a qual a 
velocidade está variando nesse instante.
• Graficamente, a aceleração em qualquer 
ponto é a inclinação da curva de v(t)
nesse ponto. 
• A aceleração de uma partícula em • A aceleração de uma partícula em 
qualquerinstante é a derivada segunda da 
posição x(t) em relação ao tempo, ou
2
2 .
dv d dx d x
a
dt dt dt dt
 
= = = 
 
• Unidade de aceleração no SI é o m/s2.
• Assim, uma aceleração de 1 m/s2 significa que a cada segundo a 
velocidade aumenta de 1 m/s.
• A aceleração é uma grandeza vetorial.
• O sinal algébrico +/- representa o sentido da partícula que está acelerada.
• a = 5,0 m/s2 – sentido + do eixo x.
• a =-5,0 m/s2 – sentido – do eixo x. 
• A forma apropriada para interpretar os sinais é:
• Se os sinais da velocidade e da aceleração de uma partícula são iguais, a 
velocidade escalar da partícula aumenta. Se os sinais são opostos, a velocidade escalar da partícula aumenta. Se os sinais são opostos, a 
velocidade escalar diminui.
• O sinal de uma aceleração indica um sentido, e não se a velocidade de um 
objeto está aumentando ou diminuindo.
• Teste: Uma partícula se move ao longo do eixo x. Qual é o sinal de sua 
aceleração se ela está se movendo: (a) no sentido positivo com velocidade 
escalar crescente; (b) no sentido positivo com velocidade escalar 
decrescente; (c) no sentido negativo com velocidade escalar crescente; (d) 
no sentido negativo com velocidade escalar decrescente.
• Solução:
• (a) Sentido (+), v aumenta → a (+);
• (b) Sentido (+), v diminui → a (-);
• (c) Sentido (-), v aumenta → a (-);
• (d) Sentido (-), v diminui → a (+);
• Exemplo: A posição de uma partícula no eixo x é dada por x = 4 -27t+t3, 
com x em metros e t em segundos. (a) Como a posição depende do tempo, 
a partícula deve estar em movimento. Determine a função velocidade e a 
função aceleração da partícula.
• Solução: v(t) = -27 +3t2 e a(t) = 6t. 
• (b) Existe algum instante para o qual a velocidade é igual a zero?
• Solução: 0 = -27 + 3t2→ 3t2 = 27 → t = 3 s → x = -50 m.
• (c) Descreva o movimento da partícula para t ≥ 0.
• Solução: Em t = 0, a partícula está em x(0) = +4 m e v(0) = -27 m/s e a(0) = 0. 
• Para 0 < t < 3 s, v < 0, a > 0, a velocidade então é decrescente.
• Em t = 3, x = -50 e nesta posição v = 0.
• Para t > 3, sentido positivo, v > 0 e a > 0. 
Aceleração Constante: Um caso especial
• Em muitos tipos de movimento, a aceleração é 
constante ou aproximadamente constante.
• Consideraremos somente o caso de aceleração 
constante.
• Quando a aceleração é constante, a aceleração média e 
a aceleração instantânea são iguais, e podemos a aceleração instantânea são iguais, e podemos 
escrever:
• Onde v0 é a velocidade no instante t = 0 e v é a 
velocidade no instante t. Explicitando v, temos:
v = v0 + at.
0
,méd
v v
a a
t
−
= =
Do gráfico acima observamos que a área laranja é a área de um 
triângulo mais a área de uma retângulo, isto é S = Sret + Striâ = ∆x , onde
Sret = v0t e Striân= (at)t/2, assim 
∆x = v0t + at2/2, ou
x = x0 + v0t + at2/2.
0
0
,
,
méd
méd
x x
v
t
x x v t
mas
−
=
= +
A equação horária pode ser deduzida 
ainda da seguinte forma:
1 1
0 0 02 2
1
0 2
21
0 0 2
( ) ( ( )),
.
,
.
méd
méd
mas
v v v v v at
v v at
Assim
x x v t at
= + = + +
= +
= + +
• As equações: v = v0 + at e x = x0 + v0t + at2/2, podem 
ainda ser combinadas para obter mais outras três. O 
conjunto de equações do movimento com aceleração 
constante está resumido na seguinte tabela:
Equação Grandeza
faltante
v = v0 + at x – x0
x = x0 + v0t + at2/2 vx = x0 + v0t + at /2 v
v2 = v0
2 + 2 a(x – x0) t
x – x0 = (v0 + v)t/2 a
x – x0 = vt – at2/2 v0
• Exemplo: A cabeça de um pica-pau está se movendo para a frente com 
uma velocidade de 7,49 m/s quando o bico faz contato com o troco da 
árvore. O bico pára depois de penetrar 1,87 mm no tronco. Determine o 
módulo da aceleração, em termos de g = 10 m/s2, supondo que ela seja 
constante.
• Solução:
• Dados: v0 = 7,49 m/s, v = 0, x – x0 = 1,87 x 10-3 m.
• Observamos que nos dados falta o tempo, logo podemos usar a equação:
v2 = v0
2 + 2 a (x – x0).
Substituindo os dados, obtemos:Substituindo os dados, obtemos:
0 = (7,49 m/s)2 + 2 a (1,87 x 10-3 m),
a = 1,5 x 104 m/s2. 
Dividindo e multiplicando por g obtemos:
a = (1,5 x 103)g.
Tal aceleração seria mortal para o ser humano. O fato do pica-pau suportar 
tal aceleração ainda é controverso. 
Aceleração em Queda Livre
Como pode ser visto na figura ao lado, se 
soltarmos uma pedra e uma pena 
simultaneamente de uma mesma altura, 
no vácuo, ambas estão sob uma mesma 
aceleração e assim aumentam suas 
velocidades com a mesma taxa.
No ar, a pena cai mais devagar, devido à No ar, a pena cai mais devagar, devido à 
resistência do ar. 
Os dois objetos estão sob uma mesma 
aceleração para baixo igual a g, que ao 
nível do mar e em latitudes médias é igual 
a 9,8 m/s2.
A aceleração da gravidade g varia com a 
altitude e com a latitude.
Nas equações do movimento com 
aceleração constante, podemos fazer 
a = -g = - 9,8 m/s2. E como o movimento é 
na vertical substituímos x → y. 
• Nesse caso as equações ficam:
Equação Grandeza
faltante
v = v0 - gt y – y0
y = y0 + v0t - gt2/2 v
v2 = v0
2
- 2g(y – y0) t
y – y0 = (v0 + v)t/2 ay – y0 = (v0 + v)t/2 a
y – y0 = vt – gt2/2 v0
Na resolução de problemas basta aplicar as equações acima 
e substituir g por 9,8 m/s2 sem mudar o sinal.
• Teste: (a) Se você arremessa uma bola verticalmente para cima, qual é o 
sinal do deslocamento da bola durante a subida, desde o ponto inicial até o 
ponto mais alto da trajetória? (b) Qual é o sinal do deslocamento durante a 
descida, desde o ponto mais alto da trajetória até o ponto inicial? (c) Qual é 
a aceleração da bola no ponto mais alto da trajetória, quando v = 0?
• Solução:
• (a) ∆x > 0.
• (b) ∆x < 0.
• (c) a = -g.
• Exemplo: Um jogador lança uma bola de beisebol verticalmente para cima, • Exemplo: Um jogador lança uma bola de beisebol verticalmente para cima, 
com uma velocidade inicial de 12 m/s. Despreze a resistência do ar.
• (a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima?
• Solução: Dados: a=-9,8 m/s2, v0 = 12 m/s2 e v = 0, queremos t.
Assim, t = (v – v0)/a = (0 – 12 m/s)/(-9,8 m/s2) = 1,2 s.
(b) Qual a altura máxima alcançada pela bola em relação ao ponto de 
lançamento?
Solução: Dados: y0 = 0 e v = 0, queremos y.
Assim, y = (v2 – v02)/2 a= (0 – (12 m/s)2/2(-9,8 m/s2)=7,3 m. 
• (c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5,0 m acima do 
ponto inicial?
• Solução: Dados: v0 = 12 m/s, a =-9,8 m/s2 e y = 5,0 m.
• Assim, y = v0t – gt2/2 → 5,0 m = (12 m/s)t – (4,9 m/s2)t2.
• Que pode ser escrita como
• 4,9t2 – 12t + 5,0 = 0.
• A solução dessa equação do segundo grau é: t1 = 0,53 s e t2 = 1,9 s. 
• Interpretação do resultado: Após ser lançada, para t = 0,53 s ela atinge a 
altura de 5,0 m. Vai até o ponto mais alto, pára e retorna até atingir a altura altura de 5,0 m. Vai até o ponto mais alto, pára e retorna até atingir a altura 
de 5,0 m 1,37 s depois. 
Lista de exercícios
• 1) Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a 
ladeira com uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar 
média da viagem de ida e volta. (R: 48 km/h).
• 2) A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x = 3t – 4t2
+ t3, onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os 
seguintes valores de t: (a) 1 s; (b) 2 s; (c) 3 s; (d) 4 s. (e) Qual é o deslocamento do 
objeto entre t = 0 e t = 4 s? (f) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo 
de t = 2 s e t = 4 s? (g) Faça o gráfico de x em função de t para t variando de 0 a 4 s. 
(R; (a) 0; (b) -2 m; (c) 0; (d) 12 m; (e) 12 m; (f) 7 m/s).(R; (a) 0; (b) -2 m; (c) 0; (d) 12 m; (e) 12 m; (f) 7 m/s).
• 3) Você tem de dirigir em uma via expressa para se candidatar a umemprego em 
outra cidade, a uma distância de 300 km. A entrevista foi marcada para as 11h15min 
da manhã. Você planeja dirigir a 100 km/h e parte às 8h da manhã para ter algum 
tempo de sobra. Você dirige na velocidade planejada durante os primeiros 100 km, 
depois um trecho da estrada em obras o obriga a reduzir a velocidade para 40 km/h 
por 40 km. Qual a menor velocidade que você deve manter no resto da viagem para 
chegar a tempo para a entrevista? (128 km/h) 
• 4) (a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4 – 12t + 3t2 (onde t está em 
segundos e x em metros), qual é a velocidade da partícula em t = 1 s? (b) O 
movimento nesse instante é no sentido positivo ou negativo de x? (c) Qual é a 
velocidade escalar da partícula nesse instante? (d) A velocidade escalar está 
aumentando ou diminuindo nesse instante? (e) Existe algum instante no qual a 
velocidade se anula? Se sim, qual é esse tempo. (f) Existe algum instante após os 3 
s no qual a partícula está se movendo no sentido negativo se x? Se sim, em que t 
isso acontece. (R: (a) -6 m/s; (b) negativo; (c) 6 m/s; (d) Diminuindo; (e) Sim, para t 
= 2 s; (f) Não.
• 5) A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em 
centímetros por x = 9,75 + 1,50t3 onde t está em segundos. Calcule (a) a velocidade 
média durante o intervalo de tempo de t = 2 s a t = 3 s; (b) a velocidade instantânea média durante o intervalo de tempo de t = 2 s a t = 3 s; (b) a velocidade instantânea 
em t = 2 s; (c) a velocidade instantânea em t = 3 s; (d) a velocidade instantânea em 
2,5 s; (e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância 
entre suas posições em t = 2 s e t = 3 s. (R: (a) 28,5 cm/s; (b) 18 cm/s; (c) 40,5 cm/s; 
(d) 28,12 cm/s; (e) 30,2 cm/s).
• 6) Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s no 
sentido positivo de x; 2,4 s depois, a velocidade era de 30 m/s no sentido 
oposto.Qual foi a aceleração média da partícula durante este intervalo de 2,4 s? 
• (R: -20 m/s2). 
• 7) A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo 
de acordo com a equação x = ct2 – bt3, onde x está em metros e t em segundos. 
Quais as unidades da constante (a) c e da (b) b? Supondo que os módulos de c e b 
sejam 3,0 e 2,0, respectivamente. (c) Em que instante a partícula passa pelo maior 
valor positivo de x? De t = 0 a t = 4,0 s, (d) qual é a distância percorrida pela 
partícula e (e) qual é o seu deslocamento? Determine a velocidade e a aceleração 
nos instantes 1,0 s, 2,0 s, 3,0 s e 4,0 s. 
• 8) Uma certa cabina de elevador percorre uma distância máxima de 190 m e atinge 
uma velocidade máxima de 305 m/min. A cabina pode acelerar a partir do repouso e 
desacelerar de volta ao repouso a uma taxa de 1,22 m/s2 . (a) Qual a distância 
percorrida pela cabina enquanto acelera a partir do repouso até a velocidade 
máxima? (b) Quanto tempo a cabina leva para percorrer a distância de 190 m, sem 
paradas, partindo do repouso e chegando com velocidade zero? (R: (a) 10,7 m; (b) paradas, partindo do repouso e chegando com velocidade zero? (R: (a) 10,7 m; (b) 
41,5 s.)
• 9) Em um prédio em construção, um operário deixa cair uma ferramenta e a mesma 
atinge o solo a uma velocidade de 24 m/s. (a) De que altura a ferramenta caiu? (b) 
Quanto tempo durou a queda? (R: (a) 29,4 m; (b) 2,45 s)
• 10) Um objeto cai verticalmente de uma ponte que está 45 m acima do nível da 
água. O objeto atinge um barquinho que está se movendo com velocidade 
constante e se encontrava a 12 m do ponto de impacto quando o objeto foi solto. 
Determine a velocidade do barco. (R: 4,0 m/s).