AULA 14_DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS (PARTE 02)

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PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA 
Profª Kellen Lima 
AULA 14 
Distribuições de 
Probabilidades 
Discretas (Parte 02) 
CONTÍNUAS 
Hipergeométrica 
Poisson 
Distribuições de 
Probabilidades 
DISCRETAS 
Normal 
Uniforme 
Exponencial 
Binomial 
3. Binomial 
 3.1 Definição 
Para construir o modelo binomial vamos introduzir uma sequência 
de ensaios de Bernoulli; 
O Modelo de Bernoulli é aplicado em experimentos aleatórios, cujo 
espaço amostral é finito com dois possíveis resultados; 
O espaço amostral de um Ensaio de Bernoulli: 
Ω = {sucesso,fracasso} 
A BINOMIAL é um dos modelos matemáticos de maior utilidade. 
A BINOMIAL é utilizada quando a variável discreta de interesse é o 
n° de sucessos em uma amostra de n observações. 
Uma fábrica 
classifica 
produtos 
como 
defeituosos 
ou 
aceitáveis; 
Uma firma 
em leilões 
por 
contratos 
ganha ou 
não ganha o 
contrato 
referente a 
cada leilão; 
 
Uma empresa 
de marketing 
recebe 
respostas de 
vários 
entrevistados 
para uma 
questão 
como “sim, 
compraria o 
produto” ou 
“não, não 
compraria o 
produto”; 
Candidatos 
entrevista 
dos para 
uma vaga 
aceitam ou 
rejeitam a 
oferta de 
emprego; 
Seu time 
perde ou 
ganha um 
jogo de 
futebol. 
Exemplos 
3. Binomial 
 3.1 Propriedades 
 
• A amostra consiste em um n° fixo de 
observações, n. 
 
 
 
• Cada tentativa pode resultar em um de 
2 resultados possíveis, chamados de 
sucesso (S) ou fracasso (F). 
 
 
 
 
• As tentativas são independentes, de 
forma que o resultado de qualquer 
tentativa particular não influencia o 
resultado de qualquer outra tentativa. 
 
 
 
• . 
 
• A prob. de sucesso é constante de uma 
tentativa para outra. Denominamos essa 
prob. de p. 
 
 
 
3. Binomial 
 3.2 Técnicas de Contagem 
 
Suponha que o sucesso é definido se 
“sairem 2 caras em 3 vezes ao jogarmos 
uma moeda”. O sucesso pode sair de 
quantas formas diferentes? 
 
Possibilidades 
de Sucesso: 
CCK, CKC, 
KCC. 
Logo, existem 
3 
possibilidades 
de sucesso. 
E, de forma 
geral? 
É o n° de 
combinações 
possíveis de 
selecionar x 
objetos de um 
total de n: 
X)!(nX!
n!
X
n
Cxn








Onde: 
n=3 e X=2 
 
Quantas combinações diferentes de um 
sorvete de 3 bolas você poderia criar se na 
loja existem 31 sabores? 
 
n = 31 e selecionamos X = 3. 
 
 
 
 
 
4495
28!*1*2*3
28!*29*30*31
3!28!
31!
3)!(313!
31!
3
31
C331 








3. Binomial 
 3.3 Fórmula 
knk )(1
k)!(nk!
n!
k)P(X 

 pp
U
s
a
re
m
o
s
 a
 n
o
ta
ç
ã
o
 X
 ~
 B
in
(n
,p
) 
Sendo que: 
Seja X o número de sucessos obtidos na realização de n ensaios de Bernoulli 
independentes. Diremos que X tem distribuição binomial com parâmetros n e 
p, onde p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua função de 
probabilidade for dada por: 
Combinações de n 
elementos tomados 
de k a k. 
A prob. de um espaço 
amostral com sucessos nos 
k primeiros ensaios e falhas 
nos n-k ensaios seguintes. 
0,32805
,9)(5)(0,1)(0
0,1)(1(0,1)
1)!(51!
5!
)(1
k)!(nk!
n!
1)P(X
4
151
knk









pp
 
Qual a prob. de observarmos um sucesso 
em 5 tentativas se a prob. de sucesso em 
cada tentativa é de 0,1? 
 X = 1, n = 5, e p = 0,1 
 
Se a prob. de comprarmos um computador com 
defeito é de 0,02. Qual a prob. de comprarmos 2 
computadores com defeitos em um lote de 10 
computadores? 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
 
 
 
0,01531
4)(0,8508)(45)(0,000
0,02)(1(0,02)
2)!(102!
10!
)(1
k)!(nk!
n!
2)P(X
2102
knk









pp
p = 0,02 (sucesso); 
n=10 (os ensaios de Bernoulli são 10 cópias selecionadas 
aleatoriamente; 
X=2 
Resolução 
3. Binomial 
 3.4 Formato da Distribuição Binomial 
O formato da distribuição binomial 
depende dos valores de n e de p 
n = 5 p = 0,1 
 0 
.2 
.4 
.6 
0 1 2 3 4 5 x 
P(x) 
n = 5 p = 0,5 
.2 
.4 
.6 
0 1 2 3 4 5 x 
P(x) 
0 
 n = 5 e p = 0,1 
 p ≠ 0,5 (assimétrica) 
 
 
 n = 5 e p = 0,5 
 p=0,5 (simétrica  
independe do valor de n) 
Ex: Para X = 2 a P(X) = 0,3125 
Ex: Para X = 0 a P(X) = 0,59049 
3. Binomial 
3.5 Usando a Tabela 
n = 10 
x … p=.20 p=.25 p=.30 p=.35 p=.40 p=.45 p=.50 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
… 
0.1074 
0.2684 
0.3020 
0.2013 
0.0881 
0.0264 
0.0055 
0.0008 
0.0001 
0.0000 
0.0000 
0.0563 
0.1877 
0.2816 
0.2503 
0.1460 
0.0584 
0.0162 
0.0031 
0.0004 
0.0000 
0.0000 
0.0282 
0.1211 
0.2335 
0.2668 
0.2001 
0.1029 
0.0368 
0.0090 
0.0014 
0.0001 
0.0000 
0.0135 
0.0725 
0.1757 
0.2522 
0.2377 
0.1536 
0.0689 
0.0212 
0.0043 
0.0005 
0.0000 
0.0060 
0.0403 
0.1209 
0.2150 
0.2508 
0.2007 
0.1115 
0.0425 
0.0106 
0.0016 
0.0001 
0.0025 
0.0207 
0.0763 
0.1665 
0.2384 
0.2340 
0.1596 
0.0746 
0.0229 
0.0042 
0.0003 
0.0010 
0.0098 
0.0439 
0.1172 
0.2051 
0.2461 
0.2051 
0.1172 
0.0439 
0.0098 
0.0010 
10 
9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
0 
… p=.80 p=.75 p=.70 p=.65 p=.60 p=.55 p=.50 x 
Exemplo: 
n = 10, p = 0,35, X = 3  P(X = 3|n =10, p = 0,35) = 0,2522 
n = 10, p = 0,75, X = 2  P(X = 2|n =10, p = 0,75) = 0,0004 
3. Binomial 
3.1 Características 
 Média 
 
 Variância e desvio-padrão 
pnE(x) 
)-(1nσ2 pp )-(1nσ pp
Sendo que: 
0,5(5)(0,1)nE(X)  p
0,6708
0,1)(5)(0,1)(1)-(1nσ

 pp
2,5(5)(0,5)nE(X)  p
1,118
0,5)(5)(0,5)(1)-(1nσ

 pp
Exemplos 
4. Hipergeométrica 
4.1 Definição 





















n
N
Xn
AN
X
A
XP )(





















n
N
Xn
AN
X
A
XP )(
Também está relacionada com o número de 
sucessos em uma amostra contendo n 
observações; 
Os dados da amostra “n” são selecionados sem 
reposição de uma população finita de tamanho N, 
ou seja, resultado de uma observação é 
dependente dos resultados das observações 
anteriores; 
Há informações tanto da POPULAÇÂO como da 
AMOSTRA; 
Cada indivíduo da população é classificado como 
“Sucesso” ou “Fracasso”. 
A população possui A “Sucessos”. 
4. Hipergeométrica 
 4.1 Fórmula 





















n
N
xn
AN
x
A
XP )(
Para X~Hipergeométrica(N,A,n) 
X)!(nX!
n!







X
n
Onde: 
Lembrando que: 
4. Hipergeométrica 
 4.1 Características 
 Média N
nA
E(X) 
 Desvio-padrão 
1- N
n-N
N
A)-nA(N
σ
2

“Fator de correção de população finita”, 
pelo fato de estarmos selecionando sem 
reposição a partir de uma população 
finita. 

1- N
n-N
Sendo que: 
Diferenças entre Binomial e Hipergeométrica 
PARA APLICAR A BINOMIAL 
• amostra com reposição a partir de população finita. 
A prob. de cada item da amostra independe dos itens 
selecionados anteriormente e é constante. 
PARA APLICAR A HIPERGEOMÉTRICA• amostra sem reposição a partir de população finita. 
 
A prob. de um item da amostra depende dos itens que já 
foram selecionados anteriormente. 
0,3
120
(6)(6)
3
10
1
6
2
4
n
N
Xn
AN
X
A
2)p(X 








































Temos: N = 10, n = 3, A = 4, x = 2 
Em um departamento existem 10 computadores 
diferentes. Dentre estes, 4 tem programas ilegais 
instalados. A equipe de informática decide 
inspecionar 3 computadores aleatoriamente. 
Qual a prob. de que 2 dos 3 computadores 
tenham programas ilegais instalados? 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Portanto, a prob. de que 2 de 3 computadores tenham programas ilegais 
instalados é de 0,3 ou seja, 30%. 
4. Poisson 
4.1 Definição 
X!
λe
P(X)
Xλ

X!
λe
P(X)
Xλ

Os intervalos podem ser de tempo, distância, área, volume ou alguma 
unidade similar. 
LOGO, É UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA QUE SE 
APLICA À OCORRÊNCIA DE EVENTOS AO LONGO DE INTERVALOS 
ESPECIFICADOS; 
Note que nos exemplos acima, não há como determinar‐se a probabilidade 
de ocorrência de um sucesso, mas sim a frequência média de sua 
ocorrência, como por exemplo, dois suicídios por ano, a qual será que 
denominada ; 
EXEMPLOS: 
O n° de arranhões na 
pintura do carro; 
O n° de falhas na rede 
em um determinado dia; 
O n° de vezes que o 
computador trava em 
um dia. 
É empregada em experimentos, nos quais NÂO se está interessado no 
número de sucessos obtidos em n tentativas, como ocorre no caso da 
Distribuição Binomial, mas sim no número de sucessos ocorridos durante 
um intervalo contínuo, que pode ser um intervalo de tempo, espaço, etc; 
4. Poisson 
4.2 Propriedades 
APLICA-SE A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON QUANDO: 
Deseja saber a prob. do n° de vezes que um evento 
pode ocorrer em uma área de oportunidade; 
O n° de eventos que ocorre em uma área de 
oportunidade é independente do n° de eventos que 
ocorrem em outras áreas de oportunidade; 
A prob. de 2 ou mais eventos acontecerem em uma 
área de oportunidade se aproxima de 0 à medida que 
a área fica menor; 
O n° médio de eventos por unidade é dado por 
 (lambda). 
4. Poisson 
4.3 Fórmula 
X!
λe
P(X)
Xλ

Para X~Poisson(λ) 
Sendo: 
𝝁 = 𝝀 
Média ou 
esperança 
ou valor 
esperado) 
Variância 
𝝈𝟐 = 𝝀 
0,104
7!
5e
X!
λe
P(7)
75Xλ


Assim, X = 7 e λ = 5 
Suponha que, na média, 5 carros entrem um em 
estacionamento por minuto. Qual a 
probabilidade de 7 carros entrarem no 
estacionamento em um dado minuto? 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Portanto, existe uma chance de 10,4% de 7 carros entrarem no 
estacionamento no próximo minuto. 
4. Poisson 
 4.4 Usando a Tabela 
 
 
X 
 
0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0.9048 
0.0905 
0.0045 
0.0002 
0.0000 
0.0000 
0.0000 
0.0000 
0.8187 
0.1637 
0.0164 
0.0011 
0.0001 
0.0000 
0.0000 
0.0000 
0.7408 
0.2222 
0.0333 
0.0033 
0.0003 
0.0000 
0.0000 
0.0000 
0.6703 
0.2681 
0.0536 
0.0072 
0.0007 
0.0001 
0.0000 
0.0000 
0.6065 
0.3033 
0.0758 
0.0126 
0.0016 
0.0002 
0.0000 
0.0000 
0.5488 
0.3293 
0.0988 
0.0198 
0.0030 
0.0004 
0.0000 
0.0000 
0.4966 
0.3476 
0.1217 
0.0284 
0.0050 
0.0007 
0.0001 
0.0000 
0.4493 
0.3595 
0.1438 
0.0383 
0.0077 
0.0012 
0.0002 
0.0000 
0.4066 
0.3659 
0.1647 
0.0494 
0.0111 
0.0020 
0.0003 
0.0000 
Exemplo: Encontre P(X = 2) se  = 0,50 
0,0758
2!
(0,50)e
X!
λe
2)P(X
20.50Xλ


4. Poisson 
 4.5 Formato 
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0 1 2 3 4 5 6 7
P(
x)
X
P(X = 2) = 0,0758 
X P(X) 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
0,6065 
0,3033 
0,0758 
0,0126 
0,0016 
0,0002 
0,0000 
0,0000 
  = 0,50 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(
x)
x
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0 1 2 3 4 5 6 7
P(
x)
x
 = 0,50  = 3,00 
O formato da distribuição de Poisson depende do 
parâmetro  : 
 
Portanto... 
Deseja saber a prob. do n° de vezes que um evento pode 
ocorrer em uma área de oportunidade (unidade contínua, 
ou intervalo de tempo, ou volume ou área). 
A prob. de cada item da amostra independe dos itens 
selecionados anteriormente e é constante. 
Amostra com reposição a partir de população finita. 
A prob. de um item da amostra depende dos itens que já 
foram selecionados anteriormente. 
 
Amostra sem reposição a partir de população finita. 
BINOMIAL 
HIPERGEOMÉTRICA 
POISSON 
 𝑃 𝑋 > 2 = 1 – 𝑃 𝑿 ≤ 𝟐 
 𝑃 𝑋 > 2 = 1 − [𝑃(𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 ] 
 
 𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − 𝑃(𝑿 ≤ 𝟏) 
 𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − [𝑃(𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 ] 
 
 Pelo menos  ≥ 
IMPORTANTE!!!! 
Resumo 
Em duas aulas, vimos: 
A probabilidade de uma variável aleatória discreta. 
Discutimos as seguintes distribuições: 
• Binomial 
• Hipergeométrica 
• Poisson 
Obrigada pela 
atenção 
& 
Bons Estudos! 
 
 
Cinco indivíduos de uma população animal 
supostamente ameaçada de extinção de 
certa região foram capturados, marcados e 
liberados para se misturarem à população. 
Após terem uma oportunidade de 
cruzarem, foi selecionada uma amostra 
aleatória de 10 desses animais. Seja X o 
número de animais marcados na segunda 
amostra. Se, na verdade, houver 25 animais 
desse tipo na região, qual será a 
probabilidade de X=2? 
Resposta: 0,385 
 
Faça os cálculos de maneira detalhada!! 
 
EXERCÍCIO – AULA 14