AULA 19_DISTRIBUIÇÕES DE PROPABILIDADES CONTÍNUAS (PARTE 02)

Prévia do material em texto

Distribuições de Probabilidades 
Contínuas 
(Parte 02) 
AULA 
19 
A normal é a mais importante de todas as 
distribuições, porque (i) a normalidade ocorre 
naturalmente em muitas, senão todas as medidas de 
situações físicas, biológicas e sociais, e (ii) é 
fundamental para a inferência estatística; 
Muitas populações numéricas possuem 
distribuições que podem ser aproximadas por 
uma normal: altura, peso, erros de medida em 
experimentos, notas em testes, etc. 
Mesmo que as variáveis aleatórias não sejam 
distribuídas como uma normal, a soma e média 
têm uma distribuição aproximadamente normal. 
9. Normal 
9.1 Propriedades 
Formato 
de sino 
Simétrica 
Média, 
Mediana 
e Moda 
são iguais 
Teorica 
mente o 
domínio 
da 
variável 
vai de - 
até + 
Média = Mediana = Moda 
f(x) 
μ 
σ 
9. Normal 
9.2 Função Densidade de Probabilidade 
2
2
1
2
1 



 

 σ
μ)(x
e
σπ
f(x)
A função densidade de probabilidade de X ~ N(μ, σ) é: 
Onde: 
9. Normal 
 9.3 Formato 
Ao variarmos 
os 
parâmetros 
μ e σ, 
obtemos 
distribuições 
normais 
diferentes. 
x 
f(x) 
μ 
σ 
Mudar σ aumenta ou diminui a 
dispersão. 
Mudar μ translada a 
distribuição para a esquerda 
ou para a direita. 
10. Normal Padronizada 
Para calcular 𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) quando X é uma v.a normal com 
parâmetros 𝝁 e 𝝈, devemos calcular: 
Nenhuma das técnicas de integração-padrão podem ser usadas 
para calcular a expressão acima. Assim, quando 𝝁 = 𝟎 e 𝝈 = 𝟏, a 
expressão acima foi calculada numericamente e tabulada para 
valores determinados de 𝒂 e 𝒃. Essa tabela também é usada para 
calcular probabilidades de quaisquer outros valores de 𝝁 e 𝝈 
que estejam em consideração. 






 
b
a
σ
μ)(x
dxe
σπ
2
2
2
1
Uma distribuição 
normal (com 
qualquer 
combinação de μ e 
σ) pode ser 
transformada em 
uma distribuição 
normal padronizada 
(Z). 
A distribuição normal 
padronizada tem μ = 0 
e σ =1. 
Precisamos transformar 
X unidades em Z 
unidades. 
σ
μX
Z


Transforma-se X em uma normal 
padronizada (distribuição “Z”) 
ao substrair de X a sua média e 
dividir pelo desvio padrão: 
10. Normal Padronizada 
10.1 Função Massa de Probabilidade 
2
2
2
1
z
e
π
f(z)


A função densidade de probabilidade, 
Z~N(0,1): 
Onde: 
10. Normal Padronizada 
10.2 Formato 
Também conhecida como distribuição “Z”, 
apresenta média = 0 e desvio padrão = 1 
 
Valores acima da média têm Z positivo. 
Valores abaixo da média têm Z negativo. 
z 
f(z) 
0 
1 
2,0
50
100200
σ
μX
Z 




Se X tem distribuição normal com média 100 
e desvio padrão 50, o valor Z para X = 200 é? 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Isto significa que X = 200 está 2 desvios-padrão (2 
incrementos de 50 unidades) acima da média de 100. 
RESOLUÇÃO 
Z 
100 
2.0 0 
200 X (μ = 100, σ = 50) 
(μ = 0, σ = 1) 
Note que, a distribuição é a mesma, apenas a escala e locação 
mudaram. 
Assim, podemos expressar o problema em termos dos valores 
originais (X) ou de valores padronizados (Z). 
RESOLUÇÃO 
10. Normal 
10.3 Probabilidades 
Note que, a probabilidade de qualquer valor individual é 0 
A probabilidade é medida pela área abaixo da curva. 
a b 
f(x) 
P(a ≤ X ≤ b) 
f(x) 
0.5 0.5 1.0)XP( 
0.5)XP(μ  0.5μ)XP( 
10. Normal 
10.4 Usando a Tabela 
As probabilidades de uma distribuição normal 
padronizada estão tabeladas em qualquer livro texto; 
A tabela a seguir mostra a probabilidade de 
valores abaixo de z; 
z = valores padronizados! 
Φ(𝑧) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) 
 O valor nas células da 
tabela mostram a 
probabilidade de Z =   
até o valor desejado de z. 
0,9772 
P(Z < 2,00) = 0,9772 
 LINHAS: listam 
valores de z até 
a 1a casa 
decimal. 
 COLUNAS: listam segundas 
casas decimais para z. 
2,0 
. 
. 
. 
 Z 0,00 0,01 0,02 … 
 
0,0 
0,1 
P(Z < 2,00) = 0,9772 
Z 0 2,00 
0,9772 
Exemplo 
P(Z < 2,00) = 0,9772 
P(Z < -2,00) = 0,0228 
Para encontrar P(a < X < b) quando X é distribuída 
normalmente: 
1) Represente o problema para a curva 
normal de X; 
2) Tranforme valores de X em valores de Z; 
3) Use a Tabela da Normal Padronizada. 
X 
8,6 
8,0 
Seja X o tempo necessário, em segundos, 
para baixar um arquivo da internet, então 
suponha que X SEJA NORMAL com média 
8 e desvio-padrão 5. Encontre P(X < 8,6). 
RESOLUÇÃO 
0,12
5,0
8,08,6
σ
μX
Z 




Z 0,12 0 X 8,6 8 
μ = 8 
 σ = 5 
μ = 0 
σ = 1 
P(X < 8,6) P(Z < 0,12) 
Sendo X ~ N(μ=8; σ=5) , então encontre P(X < 8,6) 
RESOLUÇÃO 
Z 0,00 0,01 0,02 
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 
Tabela da Normal Padronizada (Extrato) 
Z 0,12 0 
μ = 0 
σ = 1 
0,5478 
P(X < 8,6) = P(Z<0, 12) 
RESOLUÇÃO 
Encontre P(X > 8,6). 
 P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1,0 – P(Z ≤ 0,12) 
 = 1,0 – 0,5478 = 0,4522 
Z 
0,12 
 0 
0,5478 
1.0 – 0,5478 = 0,4522 
RESOLUÇÃO 
 P(8 < X < 8,6) 
= P(0 < Z < 0,12) 
0
5
88
σ
μX
Z 



 0.12
5
88.6
σ
μX
Z 




Calcule Z-valores: 
Z 0,12 0 
X 8,6 8 
Seja X ~ N(8;5). Determine P(8 < X < 8,6). 
 
RESOLUÇÃO 
Z 0,00 0,01 0,02 
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 
= P(0 < Z < 0,12) 
P(8 < X < 8,6) 
= P(Z < 0,12) – P(Z ≤ 0) 
= 0,5478 – 0,5000 = 0,0478 
Z 
0,12 
0,0478 
0 
0,5000 
Tabela da Normal Padronizada (Extrato) 
RESOLUÇÃO 
10. Normal 
10.5 Dada a probabilidade, encontrar o valor de X 
Seja X o tempo em segundos levado para baixar 
um arquivo na internet. Suponha que X é uma 
normal com média 8 e desvio-padrão 5. Encontre 
X tal que 20% dos tempos de download sejam 
menores do que X. 
X ? 8,0 
0,2 
Z ? 0 
PASSO 1  Encontrar o valor de Z que 
corresponde a probabilidade conhecida, usando 
a tabela da normal padronizada. 
Z …. 0,03 0,04 0,05 
-0,9 …. 0,1762 0,1736 0,1711 
-0,8 …. 0,2033 0,2005 0,1977 
-0,7 …. 0,2327 0,2296 0,2266 
X 
? 8,0 
0,2 
Z -0,84 0 
RESOLUÇÃO 
80,3
0,5)84,0(0,8
Zσμ



X
X
X
 Então 20% dos tempos de download de uma 
distribuição de tempos normal com média 8 e desvio-
padrão 5 estão abaixo de 3,8 segundos. 
PASSO 2  Converter o valor de Z em X usando a 
fórmula abaixo: 
RESOLUÇÃO 
  xe1x)P(XxF λDefinida por um único parâmetro: λ (lambda) A probabilidade de o evento durar pelo menos por um valor x é: 
A fdp de X~Exp(λ) é: 
A média e o desvio-padrão 
da exponencial são dados 
por: 
 
1/ λ, ou seja o tempo médio de 
espera é o inverso do n° de 
chegadas por unidade de tempo! 
  0 xpara ,exf x  λ
Aplicada nos casos 
onde queremos 
analisar o espaço ou 
intervalo de 
acontecimento de um 
evento; 
Na distribuição de 
Poisson – estimativa 
da quantidade de 
eventos num intervalo 
(distribuição de dados 
discreta). 
• Ex.: um fio de cobre 
apresenta uma taxa 
de 2 falhas por metro. 
Qual a probabilidade 
de apresentar, em um 
metro, 4 falhas? 
A distribuição 
exponencial está ligada 
à de Poisson; ela analisa 
inversamente o 
experimento: um intervalo 
ou espaço para 
ocorrência de umevento. 
• No exemplo do fio, 
qual a probabilidade 
de ocorrer uma falha 
em 0,5 metro, se ele 
possui uma taxa de 2 
falhas por metro? 
POISSON 
EXPONENCIAL 
𝝀 
 
2 falhas/m 
 
 
 
2 falhas/m 
Análise de falhas por intervalo 
(EVENTO DISCRETO) 
Análise de intervalo por falha 
(EVENTO CONTÍNUO) 
 O número médio de chegadas por hora é 15, então: λ = 15 
 
 Três minutos equivale a 0,05 hora 
 
 P(tempo de espera < 0,05) = 1 – e-λx = 1 – e-(15)(0,05) = 0,5276 
 
 Portanto, exite uma probabilidade de 52,76% de que o tempo 
de espera entre a chegada de 2 consumidores seja menor do 
que 3 minutos. 
Consumidores chegam ao balcão de serviços a 
uma taxa média de 15 por hora. Qual a 
probabilidade de o tempo entre a chegada de 
dois consumidores consecutivos ser menos de 
3 minutos? 
RESOLUÇÃO 
• Em duas aulas 
vimos: 
•Algumas 
distribuições 
contínuas 
importantes: 
- uniforme, normal 
e exponencial; 
•Como encontrar 
probabilidades 
usando fórmulas e 
tabelas. 
 
•Quando aplicar 
cada distribuição. 
 
 Resumo da Aula 
Faça com que X seja uma variável aleatória 
contínua, que possua uma distribuição 
normal, com uma média aritmética de 50, e 
um desvio-padrão de 10. Converta os 
seguintes valores de X em valores de z. 
 
(a) X = 55 Resposta = 0,5 
(b) X = 35 Resposta = -1,5 
Para os dois exercícios faça o desenho da normal com os valores de X e Z. 
Uma empresa determinou que a distância viajada por caminhão, 
a cada ano, é distribuída nos moldes da distribuição normal, 
com média aritmética igual a 50 mil milhas e um desvio-padrão 
igual a 12 mil milhas. 
 
(a) Que proporção desses caminhões se pode esperar que viaje 
entre 34 e 50 mil milhas no ano? 
0,4082 
 
(b) Que porcentagem de caminhões pode ser esperada que viaje 
abaixo de 30 ou acima de 60 mil milhas? 
25,08% 
 
(c) Quantas milhas serão viajadas por menos de 20% dos 
caminhões? 
39,92