AULA 21_INTERVALO DE CONFIANÇA (PARTE 01)

Prévia do material em texto

AULA 21 
 
Intervalo de Confiança 
 (Parte 01) 
OBJETIVOS 
Em duas aulas, APRENDEREMOS: 
A construir e interpretar 
estimativas para intervalos de 
confiança da média e proporção; 
Com desvio-padrão 
conhecido e desconhecido; 
INTRODUÇÃO 
Inferência Estatística: processo de utliza resultados de 
amostras para extrair conclusões sobre 
características de uma população; 
Estimar características desconhecidas como a média 
aritmética de uma população; 
Para tanto, utiliza-se estimativas de ponto e de 
intervalo; 
Exemplo: estimar a média aritmética das notas de 
todos os alunos da UFRN nos últimos 5 anos; 
Suponha média = 7,0 
Mas, até que ponto 7,0 é preciso? 
Assim, torna-se necessário construir uma estimativa 
para o intervalo de confiança. 
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS 
𝜎𝑋 =
𝜎
𝑛
 
Desvio padrão (erro padrão da média aritmética) expressa o modo 
de como as médias aritméticas das amostras variam de amostra 
para amostra a partir de populações grandes ou infinitas; 
A média aritmética é isenta de viés, já que a média aritmética de 
todas as possíveis médias aritméticas da amostra (𝑿 ) é igual a 
média aritmética da população (µ); 
A média aritmética da amostra (a estatística) é utilizada para 
estimar a média aritmética da população (um parâmetro); 
AMOSTRAGEM DE POPULAÇÕES DISTRIBUÍDAS 
NOS MOLDES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
População nos 
moldes da 
Distribuição Normal 
Distribuição da média 
amostral será 
distribuída nos moldes 
da Normal 
μμ x 
viéssem
X
x
x
μ
xμ
Que tipo de distribuição seguirá a média aritmética da amostra, 𝑿 ? 
AMOSTRAGEM DE POPULAÇÕES CUJA 
DISTRIBUIÇÃO NÃO É NORMAL 
 
(TEOREMA DO LIMITE CENTRAL) 
O Teorema do Limite Central garante que se cada 
amostra for grande o suficiente (n indo para infinito), 
a distribuição da média amostral é aproximadamente 
normal. 
E isto é verdade independente do formato da distribuição 
de X! 
Uma das razões para as distribuições com formato de sino 
aparecerem tantas vezes na natureza… 
E se a v.a. não for normal? Por exemplo, uma distribuição discreta? 
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL 
Seja X1,…, Xn uma amostra aleatória de uma v.a. X com 
média, µ, e erro padrão da média aritmética, 𝝈𝑿 . 
 1,0 Zde ãodistribuiç a então , Se n N
n
X
n
n


 

Suponha que você tem uma 
população de 4 alunas no 
curso… 
• Tamanho da população N=4 
• Variável aleatória, X: idade das alunas 
• Valores possíveis de X: 18, 20, 22, 24 
(anos) 
21
4
24222018
N
X
μ i 



2,236
N
μ)(X
σ
2
i




0,3 
0,2 
0,1 
 0 
 18 20 22 24 
 A B C D 
P(x) 
x 
Distribuição Uniforme 
Para N=4 P(X) = ¼ = 0,25 
Medidas para a distribuição da população 
RESOLUÇÃO 
1a 
Obs. 
2a Observação 
18 20 22 24 
18 18,18 18,20 18,22 18,24 
20 20,18 20,20 20,22 20,24 
22 22,18 22,20 22,22 22,24 
24 24,18 24,20 24,22 24,24 
Considere todas as amostras possíveis de tamanho n=2 
1a 
Obs. 
2a Observação 
18 20 22 24 
18 18 19 20 21 
20 19 20 21 22 
22 20 21 22 23 
24 21 22 23 24 
16 Médias Amostrais: idade média 
para cada amostra de 2 alunas 
(a média de 2 dados resulta 
~ em uma normal) 
16 amostras possíveis 
RESOLUÇÃO 
Distribuição de todas as médias amostrais 
1ª 
Obs 
2ª Observação 
18 20 22 24 
18 18 19 20 21 
20 19 20 21 22 
22 20 21 22 23 
24 21 22 23 24 
16 Médias Amostrais Distribuição das médias amostrais 
18 19 20 21 22 23 24 
0 
0,1 
0,2 
0,3 
P(X) 
 X 
(não é mais uniforme) 
_ 
P(X)  18 = 1/16 = 0,0625 19=2/16=0,125 20 =3/16=0,1875 21=4/16=0,25 
RESOLUÇÃO 
21
16
24211918
n
X
μ i
X



  1,58
16
21)-(2421)-(1921)-(18
n
)μX(
σ
222
2
X
i
X







Medidas para a distribuição amostral 
RESOLUÇÃO 
População 
N = 4 
1,58σ 21μ
22 X

X
2,236σ 21μ 
Distribuição média amostral com 
amostras de tamanho n = 2 
 18 20 22 24 
 A B C D 
0 
0,1 
0,2 
0,3 
P(X) 
X 18 19 20 21 22 23 24 
0 
0,1 
0,2 
0,3 
P(X) 
X 
_ 
_ 
RESOLUÇÃO 
Resumo sobre o TLC: 
Para a maior parte das distribuições, n > 30, implica 
em uma distribuição amostral quase normal. 
Para distribuições praticamente simétricas, n > 15 
implica em uma distribuição amostral quase normal. 
Para populações com distribuição normal, a distribuição 
amostral da média amostral sempre é normal. 
Dadas 𝒏 amostras, 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 de uma 
distribuição qualquer com: 
• Média = 𝝁 
• Variância = 𝝈𝟐 
Quando 𝒏 → ∞ 
• 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐, +⋯+𝑿𝒏 → 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 (𝒏 × 𝝁 ; 𝒏 × 𝝈
𝟐) 
• 
•
𝑿𝟏+𝑿𝟐,+⋯+𝑿𝒏
𝒏
 → 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 (𝝁 ;
𝝈𝟐
𝒏
) 
Portanto, o TLC nos diz que: 
O que nos garante que as 16 
amostras compõem uma boa 
estimativa da população? 
Por isso, associamos uma 
estimativa pontual a uma outra 
estimativa: 
INTERVALO DE 
CONFIANÇA 
OU 
ESTIMATIVA 
INTERVALAR 
ESTIMATIVAS DO INTERVALO DE 
CONFIANÇA 
INTERVALO DE CONFIANÇA 
Forma que permite calcular os parâmetros 
populacionais com incertezas inerentes da 
amostra representativa. 
Estimativa Pontual 
Limite Inferior 
de Confiança 
Limite Superior 
de Confiança 
Comprimento do 
Intervalo de Confiança 
FORNECE INFORMAÇÃO ADICIONAL SOBRE VARIABILIDADE 
Um intervalo de confiança fornece um 
conjunto de valores para estimativas de uma 
população; 
Considera a variação da estatística amostral 
de amostra em amostra; 
Fornece informação sobre o quão precisa é a 
estimativa; 
• Ex: Confiança de 95%, Confiança de 99%; 
• Nunca podemos estar 100% certos. 
O intervalo de confiança depende do nível de 
confiança desejado: 
A fórmula geral 
para todos os 
intervalos de 
confiança 
Estimativa 
Pontual ± (Valor 
Crítico) . (Erro 
padrão) n
σ
ZX /2 𝑍 = 𝑋 − 𝜇
𝜎
=
𝑋 − 𝜇𝑋 
𝜎𝑋 
=
𝑋 − 𝜇
𝜎
𝑛
 𝜇 = 𝑋 + 𝑍
𝜎
𝑛
 
NÍVEL DE CONFIANÇA 
Confiança de que o 
intervalo contenha o valor 
real do parâmetro 
(que é desconhecido); 
Um percentual, i.e. 
< 100% 
Supor um nível de 
confiança = 95% 
Também escrito como 
1 -  = 0,95 
: nível de significância 
A longo prazo, 95% de todos 
os intervalos de confiança 
que podem ser construídos 
contém o real valor 
desconhecido do parâmetro. 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA 
MÉDIA μ (σ Conhecido) 
O desvio-padrão 
populacional σ é 
conhecido; 
A população é 
normalmente 
distribuída; 
Se a população 
não for normal, 
usar uma 
amostra grande 
(TLC). 
Hipóteses 
zα/2 é o valor 
critico de uma 
Normal 
Padronizada 
Valor que deixa 
uma prob. de 
α/2 em cada 
cauda da 
distribuição 
Estimativa 
para o IC 
n
σ
ZX /2
TRANSFORMANDO Z PARA μ 
Lógica: Transformamos a média amostral para Z 
 
 
 
 
 1,0~
n
σ
X
/,~X
NZ
nN







n
σ
X
n
σ
n
σ
X
2/2/2/2/2/2/   zzzzzZz
n
σ
X
n
σ
X 2/2/   zz 
Com (1- α)% de probabilidade, a verdadeira média está neste intervalo. 
Com (1- α)% de probabilidade Z está em [-zα/2, zα/2]: 
ENCONTRANDO O VALOR CRÍTICO, zα/2 
Considere um intervalo de confiança de 95% 
-z α/2 = -1,96 z α/2= 1,96 
0250,0
2
,05,00,95-10,951 
 Logo
0,0250
2
α
 0,0250
2
α

Limite 
Inferior de 
Confiança 
Limite 
Superior de 
Confiança 
Z unidades: 
X unidades: Estimativa 
Pontual 
0 
0,475 0,475 
Níveis de confiança normalmente 
usados: 
95% 
99% 
90% 
NÍVEL DE CONFIANÇA COEFICIENTE DE CONFIANÇA VALOR CRÍTICO (zα/2)
80% 0,80 1,28
90% 0,90 1,65
95% 0,95 1,96
98% 0,98 2,33
99% 0,99 2,58
99,80% 0,998 3,08
99,90% 0,999 3,27
INTERVALOS E NÍVEIS DE CONFIANÇA 
μμ
x

().100% 
 não contém μ! 
Distribuição amostal da média amostral 
n
σ
ZX 
n
σ
ZX 
x 
/2 /2
1
Intervalos vão de: 
a 
(1-).100% 
dos intervalos 
de confiança 
construídos 
contém μ; 
Uma amostra de 11 circuitos de 
uma população normal tem 
resistência média de 2,20 ohms. 
Nós sabemos de testes passados 
que o desvio-padrão 
populacional é de 0,35 ohms. 
Determine o intervalo de 
confiança de 95% para o valor 
verdadeiro da resistência média 
na população. 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA μ 
(σ Conhecido) 
2,4068) ; (1,9932
0,2068 2,20
)11(0,35/ 1,96 2,20
n
σ
 0250,0


 ZX
Nós estamos 95% confiantes 
de que o verdadeiro valor da 
resistência média está entre 
1,9932 e 2,4068 ohms; 
Mesmo que a verdadeira 
média possa ou não estar 
contida neste intervalo, 95% 
dos intervalos construídos 
desta forma conterão o 
verdadeiro valor da média. 
RESOLUÇÃO 
Assuma que a porosidade do hélio (em 
porcentagem) das amostras de carvão 
tiradas de qualquer junta específica 
seja normalmente distribuída com 
desvio padrão de 0,75. 
• Determine o Intervalo de Confiança de 95% da 
porosidade média real de uma junta, caso a 
porosidade média de 20 de espécimes seja 4,85. 
 
• Determine o Intervalo de Confiança de 98% da 
porosidade média real de uma junta, caso a 
porosidade média de 16 de espécimes seja 4,56. 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA μ 
(σ Conhecido) 
A partir de amostra de 
20 espécimes, nós 
estamos 95% confiantes 
de que o verdadeiro 
valor da porosidade está 
neste intervalo. 
5,179) ; (4,521
0,329 85,4
)20(0,75/ 1,96 85,4
n
σ
z 0,0250


X
A partir de amostra de 16 
espécimes, nos estamos 
98% confiantes de que o 
verdadeiro valor da 
porosidade esta neste 
intervalo. 
4,996) ; (4,123
0,437 56,4
)16(0,75/ 2,33 56,4
n
σ
 0100,0


 zX
RESOLUÇÃO 
EXERCÍCIO – AULA 21 
O gerente de controle da qualidade de uma fábrica de 
lâmpadas precisa estimar a média aritmética da vida 
útil de uma grade remessa de lâmpadas. O desvio-
padrão do processo é de 100 horas. Uma amostra 
aleatória de 64 lâmpadas indicou uma média 
aritmética de 350 horas para a vida útil da amostra. 
Construa uma estimativa para o intervalo de 
confiança de 95% da média aritmética da população 
relativa à vida útil das lâmpadas nessa remessa. 
 
Resposta = 𝟑𝟐𝟓, 𝟓𝟎 ≤ 𝝁 ≤ 374,50