Lista de Integral Definida e Aplicações de Integral

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Disciplina: Ca´lculo I
Profs. Andre´, Darlan, Josinaldo e Simone
Lista de Exerc´ıcios 4
1. Determine o volume dos so´lidos.
a) O so´lido situa-se entre planos perpediculares ao eixo x em x = 0 e x = 4. As sec¸o˜es
tranversais perpendiculares ao eixo x, no intervalo 0 ≤ x ≤ 4, sa˜o quadrados cujas as
diagonais va˜o da para´bola y = −√x a` para´bola y = −√x. Resposta: 16
b) O so´lido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x = −1 e x = 1. As sec¸o˜es
transversais perpendiculares ao eixo x, entre esses planos, sa˜o quadrados cujas as diagonais
va˜o do semic´ırculo y =
√
1− x2 ao semic´ırculo y = √1− x2. Resposta: 83
c) O so´lido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x = −pi/3 e x = pi/3. As
sec¸o˜es transversais perpendiculares ao eixo x sa˜o
i. discos circulares com diaˆmetro que va˜o da curva y = tanx a` curva y = secx. Resposta:
pi
4 (4
√
3− 2pi3 )
ii. quadrados cujas as bases va˜o da curva y = tanx a` curva y = secx. Resposta: 4√3− 2pi3
2. Determine o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o da regia˜o sombreada em torno do eixo
dado.
a) y = x3, y = 0, x = 2 Resposta: 128pi7
b) y = x− x2, y = 0 Resposta: pi30
c) y = secx, y = 0, x = −pi/4, x = pi/4 Resposta: 2pi
d) A regia˜o delimitada por x = y3/2, x = 0, y = 2 Resposta: 4pi
3. Determine o comprimento das curvas.
a) x = cos t, y = t+ sin t, 0 ≤ t ≤ pi Resposta: 4
b) x = t2/2, y = (2t+ 1)2/3/3, 0 ≤ t ≤ 4 Resposta: 12
c) x = 8 cos t+ 8t sin t, y = 8 sin t− 8t cos t, 0 ≤ t ≤ pi/2 Resposta: pi2
d) x = et cos t, y = et sin t, 0 ≤ t ≤ pi Resposta: √2(epi − 1)
e) y = x3/2 de x = 0 a x = 4 Resposta: 827 (10
√
10− 1)
f) x = (y3/2/3)− y1/2 de y = 1 a y = 9 (Dica: 1 + (dx/dy)2 e´ um quadrado perfeito.) Resposta:
32
3
g) x = (y3/6) + 1/(2y) de y = 2 a y = 3 (Dica: 1 + (dx/dy)2 e´ um quadrado perfeito.) Resposta:
13
4
h) y = (x3/3) + x2 + x+ 1/(4x+ 4), 0 ≤ x ≤ 2 Resposta: 536
4. Determine as a´rea das superf´ıcies geradas pela rotac¸a˜o das curvas em torno dos eixos indicados.
a) y = x3/9, 0 ≤ x ≤ 2; eixo x Resposta: 98pi81
b) y =
√
x, 3/4 ≤ x ≤ 15/4; eixo x Resposta: 28pi3
c) y =
√
2x− x2, 0, 5 ≤ x ≤ 1, 5; eixo x Resposta: 2pi
d) y =
√
x+ 1, 1 ≤ x ≤ 5; eixo x Resposta: 49pi3
e) x = (1/3)y3/2 − y1/2, 1 ≤ x ≤ 3; eixo x Resposta: 16pi9
1
5. Calcule as integrais abaixo (o gabarito esta´ indicado em cada item).
(a)
∫
dx
1− x2 =
1
2
[ln |1 + x| − ln |1− x|] + C,
(b)
∫
x+ 4
x2 + 5x− 6 dx =
1
7
ln |(x+ 6)2 (x− 1)5|+ C,
(c)
∫ 1
0
x3 dx
x2 + 2x+ 1
= 3 ln 2− 2 ,
(d)
∫ 1
0
dx
(x+ 1)(x2 + 1)
=
pi + 2 ln 2
8
,
(e)
∫
2s+ 2
(s2 + 1)(s− 1)3 ds = −(s− 1)
−2 + (s− 1)−1 + tg−1 s+ C ,
(f)
∫ 1
0
et dt
e2t + 3 et + 2
= ln
(
et + 1
et + 2
)
+ C,
(g)
∫
2 θ3 + 5 θ2 + 8 θ + 4
(θ2 + 2 θ + 2)2
dθ = − 1
θ2 + 2θ + 2
+ ln(θ2 + 2θ + 2)− tg−1 (θ + 1) + C ,
(h)
∫ 1
0
2x3 − 2x2 + 1
x2 − x dx = x
2 + ln
∣∣x− 1
x
∣∣+ C ,
(i)
∫ 1
0
y4 + y2 − 1
y3 + y
dy =
y2
2
− ln |x|+ 1
2
ln(1 + y2) + C
(j)
∫
dy√
9 + y2
= ln |
√
9− y2 + y|+ C
(k)
∫
cos y dy
sen2 y + sen y − 6 =
1
5
ln
∣∣seny − 2
seny + 3
∣∣+ C ,
(l)
∫ 2
−2
dx
4 + x2
dx =
pi
4
(m)
∫ √
25− t2 dt = 25
2
sen−1
(
t
5
)
+
t
√
25− t2
2
+ C
(n)
∫
dx√
4x2 − 49 =
1
2
ln
∣∣2x
7
+
√
4x2 − 49
7
∣∣+ C, x > frac72
(o)
∫
x3 dx√
x2 + 4
=
1
3
(x2 + 4)
3
2 − 4
√
x2 + 4 + C
(p)
∫
8 dw
w2
√
4− w2 dw = −
2
√
4− w2
w
+ C
(q)
∫
(1− x2) 32
x6
dx = −1
5
(√
1− x2
x
)5
+ C
(r)
∫
dx
x2
√
x2 − 1 =
√
x2 − 1
x
+ C; x > 1
(s)
∫ ln 4
0
et dt√
e2t + 9
= ln 9− ln(1 +
√
10)
(t)
∫
dx
x
√
x2 − 1 = sec
−1|x|+ C.
(u)
∫
x dx√
x2 − 1 =
√
x2 − 1 + C
(v)
∫
v2 dv
(1− v2) 52 =
1
3
(
v√
1− v2
)3
+ C
2