Exercícios Derivadas Regra da Cadeia,Derivada Implícita, Curvas Parametrizadas

Prévia do material em texto

Regra da Cadeia, Derivadas implícitas e Curvas parametrizadas
Professor: Data:
Aluno:
Derivadas
Questão 1 Calcule as derivadas das funções abaixo
a) f (t) =
√
3 − t
b) f (t) =
4
3pi
sen3t +
4
5pi
cos5t
c) f (θ) =
(
cossecθ + cotgθ
)−1
d) f (t) = sen2(pit − 2)
e) f (x) = xe−x + e3x
f) f (θ) =
( senθ
1 + cosθ
)2
g) f (t) = ecos2(pit−1)
h) f (x) =
(
tg2x − x2
)3
i) f (y) =
2sen2y
cos2y + 1
j) f (x) = 4cos(sen3x)
Derivadas Implícitas
Questão 2 Calcule as seguintes derivadas abaixo:
a) x2y + xy2 = 6
b) 2xy + y2 = x + y
c) x2
(
x − y)2 = x2 − y2
d) y2 =
x − 1
x + 1
e) x = tgy
f) e2x = sen
(
x + 3y
)
g) ysen
(
1
y
)
= 1 − xy
h) senx + 2cos2y = 1
i) senx = x
(
1 + tgy
)
j) ecosx + eseny =
1
4
Curvas Parametrizadas
Questão 3 Encontre uma equação para a reta tangente da reta à curva no ponto definido pelos valores de t.
a) x = 2cost, y = 2sent, t =
pi
4
.
b) x = t, y =
√
t, t =
2pi
3
.
c) x = 2t2 + 3, y = t4, t = −1.
d) x = cost, y = 1 + sent, t =
pi
2
.
e) x =
1
2
tgx, y =
1
2
sect, t =
pi
3
f) Obtenha uma parametrização para a curva:
[f1)] segumento de reta com as extremidades (-1,-3) e (4,1).
[f2)] a metade inferior da parábola x − 1 = y2.
[f3)] o raio (semi-reta) com ponto inicial (2,3) que passa pelo ponto (-1,-1).
Questão 4 Calcule a derivada y′(x) da função y = f (x) definida na forma paramétrica porx = 3t − 5y = 1 − 6t .
para t ∈ R. [ Resposta: y′(x) = −2]
Questão 5 Determine a equação da reta tangente a elipsex = 1 + 2cos(t)y = 2 + 4cos(t) .
, para t ∈ [0, 2pi] no ponto t = pi
4
. [Resposta: y = 2x]
Questão 6 Determine equações paramétricas para o círculo C1 de raio 1 e centro na origem. [resposta: x(t) = cost e y(t) = sent
para t ∈ R]
Questão 7 Dado o círculo C de raio r > 0 e centro no ponto (h,k) determine equações paramétricas para C.[resposta:x(t) = rcost + h,
y(t) = rsent + k para t ∈ R
Questão 8 Seja a elipse E com centro no ponto (h,k), eixos paralelos aos eixos coordenados e semi-eixos a e b. Determinar equações
paramétricas para E.[resposta:x(t) = acost + h, y(t) = bsent + k para t ∈ [0, 2pi ]
Questão 9 Encontre a equação cartesiana da astróide x = R · cos
3(t)
y = R · sen3(t) .
, para 0 ≤ t ≤ 2pi [resposta: x2/3 + y2/3 = R2/3]
Aplicações
Questão 10 A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma reta coordenada é dada por s =
√
1 + 4t, com s em metros e t
em segundos. Determine a velocidade e a aceleração da partícula para t = 6s. [v(6) = 2/5m/s e a = −4/125m/s2]
Questão 11 Para oscilações de pequena amplitude (balanços curtos), é seguro modelar a relação entre período T e o comprimento L de
um pêndulo simples com a equação abaixo:
T = 2pi
√
L
g
onde g é a aceleração constante da gravidade no local em que está o pêndulo. Se medirmos g em cm2, devemos usar L em cm e T em
s. Se o pêndulo for de metal, seu comprimento variará com a temperatura, aumentando ou diminuindo a uma taxa aproximadamente
proporcional a L. Usando os símbolos u para temperatura e k para a constante de proporcionalidade, temos:
dL
du
= kL
Considerando que este seja o caso, mostre que a taxa de variação do período, em relação à temperatura é
kT
2
.
Questão 12 A velocidade do sangue que se encontra a uma distância r do centro de uma artéria é dada por:
S = C
(
R2 − r2
)
onde C é uma constante, R é o raio da artéria e S é medida em centímetros por segundos. Suponha que depois de administrada uma
droga, a artéria começa a se dilatar a uma taxa
dR
dt
. Se a distância r é constante, calcule a taxa de variação de S em relação a t para
C = 1, 76x105, R = 1, 2x10−2 e
dR
dt
= 10−5.[4.224x10−2]
Questão 13 Demonstre:
a) Usando a derivação implícita, encontre uma equação da reta tangente à elipse
x2
2
+
y2
8
= 1 no ponto P(1,2).[y = −2x + 4]
b) Mostre que a equação da reta tangente à elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 no ponto P(x0,y0) é y =
−xob2 (x − xo)
yoa2
+ yo.
Questão 14 Determine a área do triângulo AOB na figura abaixo, sabendo-se que r é a reta tangente a curva C, dada implicitamente
por exy + 2cos(x2 − 1) = 3x, no ponto A(1,0).[3/2]
Gabarito
1 Questão:
a)
−1
2
√
3 − t
b)
4
pi
(cos3t − sen5t)
c)
cossecθ(
cotgθ + cossecθ
)
d) 2pisen(pit − 2)cos(pit − 2)
e) (1 − x)e−x + 3e3x
f)
2senθ
(1 + cosθ)2
g) −2picos (pit − 1) sen (pit − 1) ecos2(pit−1)
h) 6
(
tg2x − x2
)2 · (tgxsec2x − x)
i)
4cos2x
[
cos2 + 1
]
+ 8cosx − 8cos3x
(cos2 + 1)2
j) −12cos3xsen (sen3x)
2 Questão:
a)
−2xy − y2
x2 + 2xy
b)
1 − 2y
2x + 2y − 1
c)
−2x3 + 3x2y − xy2 + x
x2y − x3 + y
d)
1
y (x + 1)2
e) cos2y
f)
2e2x − cos (x + 3y)
3cos
(
x + 3y
)
g)
−y2
ysen
(
1
y
)
+ xy − cos
(
1
y
)
h)
cosx
4sen2y
i)
cosx − tgy − 1
xsec2y
j)
senx · ecosx
cosy · eseny
3 Questão:
a) y = −x + 2√2
b) y =
3x + 2pi
6
√
2pi
3
c) y = x − 4
d) y = 2
e) y =
√
3
2
x +
1
4
f) [f1)] possível resposta: x = −1+
5t, y = −3 + 4t, 0 ≤ t ≤ 1.
[f2)] possível resposta: x =
t2 + 1, y = t, t ≤ 0.
[f3)] possível resposta: x =
2 − 3t, y = 3 − 4t, t ≥ 0.