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Produtos Notáveis
Larissa Anne Batista
Unidade de Apoio ao Cálculo
Profa. Dra. Juliana Cespedes
1 Produtos Notáveis
Ao fazermos operações algébricas, notamos que alguns polinômios aparecem
com muita frequência. Conhecer esses polinômios e saber simplificá-los reduz o
tempo de resolução de problemas, facilita os cálculos e melhora o aprendizado.
Esses polinômios são chamados de Produtos Notáveis.
Os produtos notáveis mais utilizados são:
i) O quadrado da soma de dois termos:
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
Para encontrar essa solução, utilizamos as propriedades distributiva e co-
mutativa da multiplicação:
(a+ b)2 = (
−−−−−−−−→−−−−−→
a+ b)(a+ b)
propriedade distributiva = a2 + ab+ ba+ b2
propriedade comutativa = a2 + ab+ ab+ b2
= a2 + 2ab+ b2
Podemos dizer: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado
do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo
segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplo 1
(x+ 3y)2 = x2 + 2x3y + (3y)2
= x2 + 6xy + 9y2
Exemplo 2
(a5 + 2bc)2 = (a5)2 + 2a52bc+ (2bc)2
= a10 + 4a5bc+ 4b2c2
1
ii) O quadrado da diferença de dois termos:
(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2
O raciocínio para chegar ao resultado é similar ao caso anterior, agora só
precisamos prestar atenção no sinal.
(a− b)2 = (a− b)(a− b)
= a2 − ab− ba+ b2
= a2 − ab− ab+ b2 (1)
= a2 − 2ab+ b2
Podemos dizer: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao qua-
drado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo
pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplo 3
(7x− 4)2 = (7x)2 − 2 ∗ 7x ∗ 4 + (4)2
= 49x2 + 56x+ 16
Exemplo 4
(x3 − xy)2 = (x3)2 − 2x3xy + (xy)2
= x6 − 2x4y + x2y2
ii) Diferença de quadrados:
(a+ b)(a− b) = a2 − b2
Seguindo a lógica anterior, temos:
(a+ b)(a− b) = a2 − ab+ ba− b2
= a2 − b2
(2)
Podemos dizer: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual
ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.
Exemplo 5
(3a+ x)(3a− x) = (3a)2 − x2
= 9a2 − x2
Exemplo 6 (
b3 +
3c
5
)(
b3 − 3c
5
)
= (b3)2 −
(
3c
5
)2
= b6 − 9c
2
25
2
1.1 Exercícios
Utilizando produtos notáveis, calcule:
• (7x+ 1)2
•
(
2m+
3
4
)2
• (6a− b)2
•
(p
5
− 2h
)2
• (2x3 + 3y2)(2x3 − 3y2)
• (a4x2 − a2x4)(a4x2 + a2x4)
2 Fatoração de Polinômios
Todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo
em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio
que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.
• Diferença de quadrados
Em produtos notáveis aprendemos que (a + b)(a − b) = a2 − b2. O que
faremos agora é fatorar a2 − b2. O primeiro passo é encontrar as raízes
dos termos e depois montar a soma e a diferença, vejamos:
Exemplo 7 Fatore o binômio 64x2 − 25y8.
Para encontrar as raízes, devemos calcular:
√
64x2 = 8x e
√
25y8 = 5y4.
Agora basta montar a soma e diferença:
64x2 − 25y8 = (8x+ 5y4)(8x− 5y4) (3)
Exemplo 8 Fatore o binômio 81− 0, 49k6.
Para encontrar as raízes, devemos calcular:
√
81 = 9 e
√
0, 49k6 = 0, 7k3.
Agora basta montar a soma e diferença:
81− 0, 49k6 = (9 + 0, 7k4)(9− 0, 7k4) (4)
• Trinômio Quadrado Perfeito
Um trinômio será quadrado perfeito quando possuir dois de seus três ter-
mos quadrados e o terceiro sendo igual ao dobro do produto entre as raízes
quadradas dos termos quadrados, ou seja, x2 + 2xy + y2 é um trinômio
quadrado perfeito, pois possui dois termos quadrados x2 e y2 e o terceiro
pode ser escrito por: 2
√
x2
√
y2 = 2xy. O mesmo vale para x2− 2xy+ y2.
Logo, podemos escrever: x2+2xy+y2 = (x+y)2 e x2−2xy+y2 = (x−y)2.
3
Exemplo 9 Se possível, fatore o polinômio 4m2 − 12mn2 + 9n4.
Dois termos quadrados:
√
4m2 = 2m e
√
9n4 = 3n2.
Terceiro termo: 2
√
4m2
√
9n4 = 12mn2
Portanto é um trinômio quadrado perfeito e
4m2 − 12mn2 + 9n4 = (2m+ 3n2)2 (5)
Exemplo 10 Se possível, fatore o polinômio 36− 132p6n + 121p12n.
Dois termos quadrados:
√
36 = 6 e
√
121p12n = 11p6n.
Terceiro termo: 2
√
36
√
121p12n = 132p6n
Portanto é um trinômio quadrado perfeito e
36− 132p6n + 121p12n = (6− 11p6n)2 (6)
3 Referências
http://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis/
http://www.cesumar.br/lyceump/aonline/ nivelamento/ material/apostila_
nivelamento _ cal.pdf
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