MAT021_Lista_Sistemas_Lineares_2

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MAT021 - LISTA
PARTE III: SISTEMAS LINEARES DE EDO’s
2. AUTOVALORES COMPLEXOS
Prof. Leandro G. Gomes
Questa˜o 1: Vetores em C2
Para cada um dos vetores em C2 encontre sua parte real, sua parte imagina´ria e seu conjugado. Ainda,
verifique se sa˜o linearmente independentes.
(a) ~u = e3i+1
(
2
3
1+2i
)
~v =
(
2
− 11−i
)
(b) ~u =
(−1
2
)
~v =
(
1− i
−2 + 2i
)
(c) ~u =
(
epii+2
− 24+i
)
~v =
(
0
2 + i
)
(d) ~u =
(
2+i
1+epii+2
−2i 3
)
~v =
(
i
i
)
Questa˜o 2: Matrizes 2× 2 com dois autovalores complexos
Para cada uma das matrizes 2× 2 abaixo proceda da seguinte forma:
(i) Encontre seu autovalores λ1 e λ2 e verifique que sa˜o complexos e conjugados;
(ii) Encontre dois autovetores em C2 associados aos diferentes autovalores ;
(iii) Mostre que eles sa˜o complexos conjugados um do outro e L.I. ;
As matrizes sa˜o:
(a)A =
(
0 −5
5 0
)
(b)A =
(
2 5
−5 2
)
(c)A =
(−2 5
−5 −2
)
(d)A =
(
3 −2
1 1
)
(e)A =
(
5 −2pi
1 4
)
(f)A =
(−3 −2
4 2
)
(g)A =
(
1 2
−1 −1
)
(h)A =
(
1 −1
1 −2
)
1
Questa˜o 3: Sistemas lineares de EDO’s em R2
Seja ~z(t) = ~r1(t) + i ~r2(t), sendo ~r1(t) e ~r2(t) curvas parametrizadas em R2, uma soluc¸a˜o em C2 do
sistema linear homogeˆneo de EDO’s
d
dt
~r = A~r
com A uma matriz real quadrada 2 × 2 cujos autovalores sa˜o complexos conjugados. Prove que ~r1(t)
e ~r2(t) sa˜o soluc¸o˜es reais do problema acima. Ainda, a~r1(t) + b~r2(t) tambe´m e´ soluc¸a˜o, quaisquer que
sejam a, b ∈ R.
Questa˜o 4: Sistema lineares de EDO’s com autovalores complexos
Para cada uma das matrizes da questa˜o 2, tome o sistema linear de EDO’s
d
dt
~r = A~r
e proceda da seguinte forma:
(i) Verifique que ~z1(t) = ~r1(t) + i ~r2(t) = e
λ1 t ~V1 e´ uma soluc¸a˜o complexa do sistema na direc¸a˜o do
autovetor complexo ~V1 associado ao autovalor λ1 ;
(ii) Mostre que ~z2(t) = ~r1(t) − i ~r2(t) e´ uma soluc¸a˜o complexa do sistema na direc¸a˜o do autovetor
complexo ~V2 = ~V
∗
1 associado ao outro autovalor λ2 = λ
∗
1, sendo ’ ∗ ’ o s´ımbolo para complexo
conjugado;
(iii) Mostre que ~r1(t) e ~r2(t) sa˜o soluc¸o˜es reais L.I. do sistema.
(iv) Conclua que a soluc¸a˜o geral do sistema pode ser dada por
~r(t) = α~r1(t) + β ~r2(t) = Re
(
(α + i β) eλ1 t ~V1
)
com α e β constantes reais.
(v) Desenhe o retrato de fases do sistema em R2 e classifique os pontos de equil´ıbrio isolados.
(vi) Encontre explicitamente a u´nica soluc¸a˜o que passa pelo ponto
~x0 =
(
1
0
)
(vii) Desenhe a soluc¸a˜o do item (vi) no plano de fases e verifique se ela e´ uma reta. Existe alguma reta
invariante do sistema?
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