Cap.5 EDO

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Cap´ıtulo 5
Sistemas Autoˆnomos de Equac¸o˜es
Diferenciais
5.1 Campos Vetoriais e Equac¸o˜es Diferenciais
Um campo vetorial e´ uma func¸a˜o v(r) definida em um aberto U de Rn que toma valores no pro´prio Rn
v(r) = ( v1(r) , . . . , vn(r) ) , r ∈ U , (5.1)
onde r = (x1 , x2 , . . . , xn) representa um ponto de U . Assim, um campo vetorial na reta e´ uma func¸a˜o
v(x) = v1(x) , (5.2)
um campo vetorial no plano tem a forma
v(x, y) = ( v1(x, y) , v2(x, y) ) , (5.3)
enquanto que no espac¸o tridimensional
v(x, y, z) = ( v1(x, y, z) , v2(x, y, z) , v3(x, y, z) ) . (5.4)
Geometricamente, representamos o vetor v(x1 , x2 , . . . , xn) como “saindo” do ponto (x1 , x2 , . . . , xn).
Exerc´ıcio 1 Represente geometricamente cada um dos campos vetoriais na reta e no plano:
1. v(x) = 1 ; 2. v(x) = x ; 3. v(x) = −x ;
4. v(x) = −x2 ; 5. v(x, y) = (1, 1) ; 6. v(x, y) = (x, 1) ;
7. v(x, y) = (x, y) ; 8. v(x, y) = (y,−x) ; 9. v(x, y) = (x, x2) ;
Um sistema (autoˆnomo) de EDO ’s em Rn e´ um sistema de equac¸o˜es diferenciais de ordem 1
expresso na forma
r˙ = v(r) , (5.5)
com r˙ = (x˙1 , x˙2 , . . . , x˙n) e x˙ :=
dx
dt uma notac¸a˜o mais concisa para a derivada com respeito ao paraˆmetro
‘t’. Uma soluc¸a˜o deste sistema e´ uma curva diferencia´vel r(t) definida em um intervalo I ⊂ R que toma
valores em U com vetor velocidade dado pelo campo vetorial v , isto e´,
r˙(t) = v(r(t)) , ∀ t ∈ I . (5.6)
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14 CAPI´TULO 5. SISTEMAS AUTOˆNOMOS DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS
De forma expl´ıcita:
x˙1(t) = v1(x1(t) , . . . , xn(t) ) (5.7)
... (5.8)
x˙n(t) = vn(x1(t) , . . . , xn(t) ) (5.9)
Intuitivamente, uma soluc¸a˜o representa o ”movimento de uma part´ıcula” em Rn tal que para cada
”instante de tempo” t a ”part´ıcula” esta´ no ponto r(t) = (x1(t) , . . . , xn(t) ) com vetor velocidade v(r(t)).
Exerc´ıcio 2 Para cada campo vetorial do exerc´ıcio 1 , determine o sistema de EDO’s dado pela fo´rmula
(5.5) e suas soluc¸o˜es. Desenhe seu retrato de fases e interprete geometricamente a relac¸a˜o entre cada
soluc¸a˜o e o campo vetorial v.
O sistema de EDO’s da fo´rmula (5.5) e´ dito autoˆnomo por na˜o depender explicitamente de ’t’, quer
dizer, temos v(r) e na˜o v(t, r). Qualquer equac¸a˜o diferencial ordina´ria de ordem n cujos coeficientes na˜o
dependem explicitamente de ’ t ’ pode ser vista como um sistema autoˆnomo de EDO’s.
Exerc´ıcio 3 Converta cada EDO de ordem 2 abaixo em um sistema de EDO’s no plano atrave´s da
substituic¸a˜o
y :=
dx
dt
.
Encontre a soluc¸a˜o geral deste sistema e desenhe seu retrato de fases.
1.
d2x
dt2
− dx
dt
= 0 ; 2.
d2x
dt2
− dx
dt
+ x = 0 ; 3.
d2x
dt2
−
�
dx
dt
�2
= 0 ;
Exerc´ıcio 4 Converta cada EDO de ordem n abaixo em um sistema de EDO’s em Rn atrave´s das
substituic¸o˜es
y :=
dx
dt
, z :=
d2x
dt2
, . . . .
1.
d3x
dt3
− dx
dt
= 0 ; 2.
d3x
dt3
−4x dx
dt
+x2 = 0 ; 3.
d4x
dt4
−sen (x)
�
d3x
dt3
�4
+2x = 0 ;
Teorema 1 (Existeˆncia e Unicidade)
Se v(r) e´ diferencia´vel1 em U e (x01, . . . , x0n) ∈ U enta˜o para dado t0 ∈ R, existe uma u´nica soluc¸a˜o r(t)
em U definida em um intervalo aberto I ⊂ R tal que
r˙(t) = v(r(t)) , ∀ t ∈ I e r(t0) = (x01, . . . , x0n) . (5.10)
Ainda, para duas soluc¸o˜es r1(t) e r2(t), vale
r1(t0) = r2(t0 + T0) ⇒ r1(t) = r2(t+ T0) ∀ t ∈ I1 . (5.11)
• Para mais exerc´ıcios veja [4], [3], [5].
• Para aprofundar seus conhecimentos no assunto, veja [1] ou [2].
1Todas as derivadas parciais ∂vi
∂xj
existem e sa˜o cont´ınuas em U .
5.2. PONTOS CRI´TICOS E ESTABILIDADE 15
5.2 Pontos Cr´ıticos e Estabilidade
Dizemos que um ponto r0 ∈ U ⊂ Rn e´ um ponto cr´ıtico do campo vetorial v(r) se
v(r0) = (0, . . . , 0 ) . (5.12)
Se r0 for o u´nico ponto de equil´ıbrio de v em um aberto de Rn, dizemos que r0 e´ um ponto cr´ıtico
isolado.
Exerc´ıcio 5 Encontre os pontos cr´ıticos do campo vetorial v(x), caso exista algum, e desenhe o retrato
de fases do sistema
x˙ = v(x)
sem resolver uma equac¸a˜o sequer. Diga se cada ponto cr´ıtico obtido e´ isolado ou na˜o.
1. v(x) = x ; 2. v(x) = −x2 ; 3. v(x) = 1− x2 ;
4. v(x) = x− x3 ; 5. v(x) = senx ; 6. v(x) = x− senx ;
Exerc´ıcio 6 Encontre os pontos cr´ıticos do campo vetorial v(x, y) em R2, caso exista algum. Desenhe
o conjunto destes pontos cr´ıticos no plano e classifique-os como isolados ou na˜o.
1. v(x, y) = (1,−y) ; 2. v(x, y) = (x+ y, 3x− y) ; 3. v(x, y) = (x− y,−x+ y)
4. v(x, y) = (xy, x3y4) 5. v(x, y) = (xy, x− y) ; 6. v(x, y) = (y,−senx) ;
Se r0 e´ um ponto cr´ıtico do campo vetorial v(r), enta˜o pelo teorema de existeˆncia e unicidade (teorema
1), existe uma u´nica soluc¸a˜o do problema de valor inicial
r˙ = v(r) ; r(0) = r0 , (5.13)
que e´ justamente a soluc¸a˜o de equil´ıbrio em r0:
r(t) = r0 ∀ t ∈ R . (5.14)
Por este motivo que r0 e´ tambe´m denominado ponto de equil´ıbrio.
Dizemos que um ponto cr´ıtico r0 de v(r) e´:
• Esta´vel se para cada vizinhanc¸a2 U˜ de r0 existir uma vizinhanc¸a U ⊂ U˜ tal que toda soluc¸a˜o r(t)
com r(0) ∈ U esta´ definida para t > 0 e satisfaz
r(t) ∈ U˜ ∀ t > 0 . (5.15)
• Assintoticamente Esta´vel se r0 for esta´vel e as soluc¸o˜es com a propriedade acima satisfizerem
lim
t→∞ r(t) = r0 . (5.16)
• Insta´vel se r0 na˜o for esta´vel.
Exerc´ıcio 7 Considere o peˆndulo com haste r´ıgida no campo gravitacional terrestre podendo realizar
giros de 360o, como visto em sala de aula.Tome x como sendo o aˆngulo (am radianos) com a vertical
e y = x˙ sua velocidade angular. Apenas utilizando sua intuic¸a˜o, encontre dois pontos cr´ıticos para o
retrato de fases do sistema, um esta´vel e o outro insta´vel, refac¸a os argumentos da sala de aula e desenhe
seu retrato de fases. Fac¸a o mesmo quando o atrito estiver presente e mostre que um ponto cr´ıtico
assintoticamente esta´vel deve aparecer.
2Uma vizinhanc¸a de r0 e´ qualquer conjunto que contenha uma bola aberta centrada em r0.
16 CAPI´TULO 5. SISTEMAS AUTOˆNOMOS DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS
Um campo vetorial v(r) e´ linear se para quaisquer α, β escalares (reais ou complexos) e vetores r1, r2 ,
vale
v(α r1 + β r2) = αv(r1) + β v(r2) . (5.17)
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] V. I. Arnold, Ordinary Diferential Equations MIT Press, (1995). (Na BIM tem uma traduc¸a˜o direto
do Russo para o portugueˆs deste livro)
[2] M. W. Hirsch, S. Smale , Diferential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra , Academic
Press.
[3] W. Boyce, R. C. DiPrima , Equac¸o˜es Diferenciais Elementares, 9a edic¸a˜o, LTC.
[4] E. Kreyszig , Matema´tica Superior para Engenharia 9a edic¸a˜o, LTC.
[5] F. Diacu , Introduc¸a˜o a Equac¸o˜es Diferenciais , LTC.
[6] J. Stewart , Ca´lculo, vol. 2, 6a edic¸a˜o, CENGAGE Learning.
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