IHAC-UFBa-AM-Aula6-ContinuacaoPrincipiosFinal

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da Bahia 
 INSTITUTO DE HUMANIDADES, 
ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON 
SANTOS’ 
mlfn@ufba.br 
Marcio Luis Ferreira Nascimento 
HACA82: Arte & Matemática: 
Aula 6 – Nascimento da 
Matemática – Abstração: 
Aritmética & Algoritmos 
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Tópicos da Apresentação 
 Continuação Perspectiva: Ilusões Óticas 
 Inicio da Abstração em Matemática 
 Aritmética & Algoritmos 
 Alguns Problemas Clássicos de Aritmética 
 Meio Ovo 
 35 Camelos 
 Conjectura Goldbach 
 Matemático & Professor Brasileiro 
 Malba Tahan 
 Pesquisa em Casa 
 Um problema de 1 milhão de dólares! 
 Lista de Exercícios 
 
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 Ilusões Óticas & 
Perspectiva 
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Ilusões Óticas e 
Perspectiva1: Ilusão de 
Orbison 
Tipo de distorção (ilusão) em que um fundo de 
linhas radiantes parece distorcer figuras 
superimpostas, como quadrados e círculos 
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Ilusões Óticas e 
Perspectiva2 
 As duas linhas dentro deste paralelograma 
tem o mesmo comprimento: 
 Ilusão Poggendorff: os 
terminais de uma linha 
reta atravessando um 
retângulo parecem 
desalinhados. 
 Foi descoberto em 1860 pelo físico Poggendorff, editor da revista 
Annalen der Physik und Chemie (Anais da Física e da Química) 
Johann Christian Poggendorff 
(1796 - 1877) , físico alemão 
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 Uma ilusão de distorção em linha 
publicada pelo astrônomo alemão 
Johann Karl Friedrich Zöllner em 
1860. As linhas diagonais, embora 
paralelas, não parecem ser 
Ilusões Óticas e 
Perspectiva3: Zöllner 
Zöllner, Ann. der Phys. 186 (1860) 
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Ilusões Óticas e Perspectiva4: 
Triângulo e Escada Penrose 
 Um triangulo e 
escada impossíveis! 
O triângulo remonta a 
uma proposta de 
1934 feita por Oscar 
Reutersvärd. Roger 
Penrose redescobriu-
o independentemente 
após uma visita ao 
artista Maurits C. 
Escher, publicado no 
British Journal of 
Psychology 49 (1958). 
Inspirado neste 
trabalho, Escher 
produziu em 1961 sua 
celebre obra Waterfall 
(queda d’água) 
Sir Roger Penrose (n. 
1931), físico e matemático 
inglês 
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Ilusões Óticas e 
Perspectiva5: Escher 
Maurits Cornelis Escher (1898 – 1972) 
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Ilusões Óticas e 
Perspectiva6: Titchener 
 Ilusão de Titchener (ou ilusão de tamanho 
Ebbinghaus): dois círculos são circundados por 
outros seis grandes e pequenos círculos. Embora 
não pareça, ambos círculos centrais são 
exatamente iguais (tem o mesmo tamanho) 
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Ilusões Óticas e 
Perspectiva7 
 Uma famosa sala 
distorcida foi 
concebida pelo 
oftalmologista 
americano Adelbert 
Ames Jr. (1880-1955), 
que construiu tal sala 
em 1946 baseado em 
conceito sugerido 
pelo físico alemão 
Hermann Helmholtz 
no séc. XIX. A sala 
Ames parece ser 
cúbica quando vista a 
partir de determinada 
condição, mas é na 
verdade trapezoidal, 
assim como as 
paredes, janelas e 
detalhe do piso. 
Sala Ames: uma geometria simples pode conceber uma distorção 
ilusória cujo resultado é transformar duas gêmeas idênticas em 
pessoas com tamanhos diversos 
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 Início da Matemática 
Abstrata: Aritmética & 
Algoritmos 
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Margarita Philosophica (1504) 
 Mas não foram só as artes que nesta época 
se aproximaram dos procedimentos 
científicos. As grandes navegações e a 
ampla atividade comercial do período 
Renascentista impulsionaram o 
desenvolvimento, a incorporação e a 
utilização generalizada de diversas técnicas 
matemáticas. Uma delas foi o uso de 
cálculos com algarismos 
 Na gravura pode-se ver ao centro a 
Aritmética, a deusa da arte de fazer cálculos. 
De um lado um ancião (Pitágoras) faz 
cálculos com o ábaco, uma espécie de 
calculadora usada na Antiguidade e durante 
toda a Idade Média. Do outro, um jovem 
(Boécio) faz cálculos com os algarismos, 
recém-incorporados à cultura européia. 
Observa-se nas vestes da deusa números 
Gregor Riesch (1467 - 1525), escritor alemão 
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 Conta-se que um rico mercador 
na Idade Média, querendo dar 
instrução ao seu filho, consultou 
um especialista que o 
aconselhou: 
 “Se você acha que para ele 
basta aprender a somar e 
subtrair, qualquer universidade 
alemã ou francesa poderá fazê-
lo. Mas se você acha necessário 
que ele aprenda a dividir ou 
multiplicar, deverá enviá-lo às 
universidades italianas.” Boécio: De Arithmetica – Manuscrito em Latim – Itália (1390) 
Les Cahiers Science Vie – Nicole Oresme 
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 A Aritmética - 
Tapeçaria 
Flamenga, 
Séc. XV 
Museu Nacional da 
Idade Média (Musée 
Cluny, Paris) 
www.musee-moyenage.fr 
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 Aplicação: O 
Problema do Meio Ovo 
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Problema do Meio Ovo 
 Uma senhora, mãe de três filhos, vai visitá-los e 
resolve presenteá-los com ovos frescos que traz 
numa cesta 
 Ao mais velho, ela dá metade do que possui e mais 
meio ovo 
 O do meio recebe metade do que restou na cesta e 
mais meio ovo 
 O filho mais novo ganha metade do novo resto e 
mais meio ovo, terminando assim os ovos da cesta 
 Quantos ovos haviam na cesta e quantos a mãe 
deu à cada filho? 
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 Solução algébrica: cesta com x ovos 
 Sua metade: x/2, e ao primeiro filho 
 Ao segundo filho, a metade do 
primeiro resto e mais meio ovo: 
 Ao terceiro filho, a metade do 
segundo resto e mais meio ovo: 
 Considerando todas as opcoes, 
uma maneira de resolver seria: 
Problema do Meio Ovo 
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 Raciocinando a 
partir do terceiro 
filho: 
 Se a mãe deu ao último 
filho metade do que 
havia na cesta e mais 
meio ovo, ficando sem 
nada, é porque meio 
ovo é a metade do 
conteúdo da cesta. 
Logo havia um ovo 
apenas quando ela 
chegou ao terceiro filho 
 
 Solução aritmética 
Super 49 (1991) 37 
Artigo no site: 
www.moodle.ufba.br 
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Super 84 (1994) 69 
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 Aplicação: O 
Problema dos 35 
Camelos 
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Malba Tahan 
 Júlio César de Mello e Souza, professor, brasileiro 
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Problema 35 Camelos1 
 Esta história tem um herói: um fictício 
matemático árabe chamado Beremiz 
Samir. 
 Nosso herói Beremiz viajava 
com um amigo pelo deserto, 
ambos montados em um único 
camelo, quando encontram três 
homens discutindo 
acaloradamente. 
 
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Problema 35 Camelos2 
 Eram três irmãos. 
 Haviam recebido uma herança de 35 
camelos do pai, sendo a metade para o 
mais velho, a terça parte para o irmão do 
meio e a nona parte para o irmão mais 
moço. 
 O motivo da discussão era a dificuldade 
em dividir a herança. 
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 Os três irmãos não 
sabiam como resolver o 
problema, uma vez que 
metade de 35 é 17 e meio 
(17,5), e a terça e a nona 
parte também não são 
exatas. 
 
Problema 35 Camelos3 
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Problema 35 Camelos4 
 Eis a solução apresentada por Beremiz : 
 - É muito simples - atalhou Beremiz. 
Encarrego-me de fazer, com justiça, essa 
divisão, se permitirem que eu junte aos 35 
camelos da herança este belo animal que, 
em boa hora, aqui nos trouxe! 
 - Vou fazer a divisão justa e exata dos 
camelos que são agora, como vêem, em 
número, 36. 
 
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 Voltando-se para o mais velho dos irmãos, 
assim falou: 
 - Deverias receber, meu amigo, a metade 
de 35, isto é, 17,5. Receberás a metade 
de 36 e, portanto, 18. Nada tens a 
reclamar, pois é claro que saíste lucrando 
com esta divisão! 
 
Problema 35 Camelos5 
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Problema 35 Camelos6 
 E tu, deverias receber um terço de 35, isto 
é, 11 e pouco. 
 Vais receber um terço de 36, isto é, 12. 
 Não poderás protestar, pois também tu 
saíste com visível lucro na transação. 
 
Prof. Júlio César de Mello e Souza (1895 - 1974), alter ego de Malba Tahan 
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 E tu que deverias receber a nona parte de 
35, isto é 3 e tanto. 
 Vais receber uma nona parte de 36, isto é, 
4. 
 O teu lucro foi igualmente notável. 
 
Foto rara de Malba Tahan vestido à caráter 
Problema 35 Camelos7 
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Problema 35 Camelos8 
 Couberam 18 camelos ao primeiro, 
12 ao segundo e 4 ao terceiro, o 
que dá um resultado (18+12+4) de 
trinta e quatro camelos. 
 Dos trinta e seis camelos, sobram, 
portanto dois. 
  Os irmãos nada têm a reclamar. Cada um 
deles ganha mais do que receberia antes. 
 Todos saem lucrando. 
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Problema 35 Camelos9 
Ouçamos de novo nosso matemático: 
 O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 
12, e o terceiro, 4. 
 O total é 18 + 12 + 4 = 34 camelos. 
 Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu 
amigo. Foi emprestado a vocês para permitir a 
partilha da herança, mas agora pode ser 
devolvido. 
 O outro camelo que sobra, fica para mim, por ter 
resolvido a contento de todos este complicado 
problema de herança. 
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Tarefa para Casa 
 Pesquisar sobre o problema dos trinta e 
cinco camelos. Por que de fato ao se 
adicionar 1 camelo aos trinta e cinco a 
divisão obedece ao testamento, e ainda 
sobram dois camelos? 
 Sugestão de leitura – apêndice do 
livro de Malba Tahan, disponível no 
site:www.moodle.ufba.br 
 Júlio César de Mello e Souza (1895 - 1974), alter ego de Malba 
Tahan 
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 Conjectura de 
Goldbach 
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Conjectura de Goldbach 
 Todo número inteiro par 
maior que 2 pode ser 
escrito como a soma de 
dois números primos 
Leonhard Euler 
Carta entre Christian Goldbach e 
Leonhard Euler, em 7 de Junho de 
1742 
 Todo número inteiro pode 
ser escrito como a soma 
de três números primos 
www.eulerarchive.org 
4 = 2 + 2 
6 = 3 + 3 
8 = 3 + 5 
10 = 3 + 7 
12 = 5 + 7 
14 = 3 + 11 
7 = 2 + 2 + 3 
9 = 2 + 2 + 5 
11 = 3 + 3 + 5 
13 = 3 + 3 + 7 
Carta disponível no site: www.moodle.ufba.br 
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Um Problema de Um 
Milhão de Dólares 
 Demonstrar que todo número inteiro 
par maior que 2 pode ser escrito 
como a soma de dois números primos 
 
Godfrey Harold Hardy Srinivasa Iyengar Ramanujan Ivan Matveyevich Vinogradov 
www.apostolosdoxiadis.com 
Apostolos Doxiadis 
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Uma Possível Solução? 
 Em 24 de maio de 2013, Harald Helfgott 
conseguiu apresentar uma solução ao 
famoso problema envolvendo números 
primos - aqueles que só são divisíveis por 
eles mesmos e por um - que estava sem 
solução há quase 300 anos. O matemático 
desvendou a 'conjectura fraca' de Christian 
Goldbach, descrita em 1794, em que todo 
número ímpar maior do que 5 pode ser 
decomposto na soma de até três números 
primos. A teoria deriva da 'versão forte', no 
qual todo número par maior que 2 é a soma 
de dois primos 
Harald Andrés Helfgott (n. 
1977), matemático peruano 
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Lista de Exercícios 
 Primeira Prova: 
18/06/13 
 
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Referências 
 Superinteressante - Artigos do Prof. Luiz Barco 
 The Algebra of Mohammed Ben Musa – 
Frederic Rosen 
 Latin Translation of the Algebra of Al-
Khowarizmi – Robert of Chester‘s 
 A History of Mathematics – Florian Cajori 
 A Source Book in Mathematics – David E. Smith 
 History of Mathematics: from Mesopotamy to 
Modernity – Luke Hodgkin 
 History of Mathematics: An Introduction – David 
M. Burton 
 Tio Petrus e a Conjectura de Goldbach – 
Apostolos Doxiadis 
	Slide Number 1
	Tópicos da Apresentação
	Slide Number 3
	Ilusões Óticas e Perspectiva1: Ilusão de Orbison
	Ilusões Óticas e Perspectiva2
	Ilusões Óticas e Perspectiva3: Zöllner
	Ilusões Óticas e Perspectiva4: Triângulo e Escada Penrose
	Ilusões Óticas e Perspectiva5: Escher
	Ilusões Óticas e Perspectiva6: Titchener
	Ilusões Óticas e Perspectiva7
	Slide Number 11
	Margarita Philosophica (1504)
	Slide Number 13
	Slide Number 14
	Slide Number 15
	Slide Number 16
	Problema do Meio Ovo
	Problema do Meio Ovo
	Slide Number 19
	Slide Number 20
	Slide Number 21
	Malba Tahan
	Problema 35 Camelos1
	Problema 35 Camelos2
	Problema 35 Camelos3
	Problema 35 Camelos4
	Problema 35 Camelos5
	Problema 35 Camelos6
	Problema 35 Camelos7
	Problema 35 Camelos8
	Problema 35 Camelos9
	Tarefa para Casa
	Slide Number 33
	Conjectura de Goldbach
	Um Problema de Um Milhão de Dólares
	Uma Possível Solução?
	Lista de Exercícios
	Referências