Polinômios e Fatoração

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Professor: Ms. Hállysson Duarte
Adição, Subtração e 
Multiplicação de Polinômios
 Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser
escrita na forma anx
n + an-1x
n-1 + . . . a1x + a0 onde n é um
inteiro não negativo e an ≠ 0. Os números an-1 , . . ., a1, a0
são números reais chamados de coeficientes. O grau do
polinômio é n e o coeficiente principal é o número real an.
 Polinômios com um, dois, três termos são monômios,
binômios e trinômios.
2Professor Ms. Hállysson Duarte03/05/2016
 Adição e Subtração:
Exemplo:
a) (2x3 – 3x2 + 4x – 1) + (x3 + 2x2 – 5x + 3) = 
b) (4x2 – 3x – 4) - (2x3 + x2 – x + 2) =
• Produto de polinômios
Exemplo:
a) 3x4(3x2 – 4x + 9) =
b) (3x + 2)(4x – 5) = 
3Professor Ms. Hállysson Duarte03/05/2016
 Produtos Notáveis
 Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o 
quadrado do segundo. ( a + b ).( a – b ) = a² - b²
 Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas 
vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do 
segundo. ( a + b )² = a² + 2ab +b²
 Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos 
duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do 
segundo. ( a – b )² = a² - 2ab + b²
Professor Ms. Hállysson Duarte 403/05/2016
 Cubo da soma de dois termos
(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) =
= a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
 Cubo da diferença de dois termos
(a – b)³ = (a – b)(a – b)² = (a – b)(a² - 2ab + b²) = 
= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Obs.: 
 (u + v)(u2 - uv + v2) = u3 + v3
 (u – v)(u2 + uv + v2) = u3 - v3
 Exemplo:
a) (3x + 8)(3x – 8) =
b) (5y – 4)2 =
c) (2x – 3y)3 =
Professor Ms. Hállysson Duarte 503/05/2016
Fatoração de Polinômios
 Colocação dos fatores comuns em evidência
Exemplo:
a) 2x3 – 2x2 – 6x = 
b) u3v – uv3 =
 Fatoração da diferença de dois quadrados
Exemplo:
a) 25x2 – 36 = (5x)2 – 62 = 
b) 4x2 – (y + 3)2 = 
Professor Ms. Hállysson Duarte 603/05/2016
 Fatoração de trinômios quadrados perfeitos
a) 9x2 + 6x + 1 = (3x)2 + 2(3x) + 12 = (3x + 1)2
b) 4x2 – 12xy + 9y2 =
• Fatoração da soma e da diferença de dois cubos
 (u + v)(u2 - uv + v2) = u3 + v3
 (u – v)(u2 + uv + v2) = u3 - v3
Exemplo:
a) x3 – 64 = x3 – 43 = (x – 4)(x2 + 4x + 16)
b) 8x3 + 27 = 
Professor Ms. Hállysson Duarte 703/05/2016
 Fatoração de um trinômio com coeficiente principal 
igual a 1
Exemplo: x2 + 5x – 14
O único par de fatores do coeficiente principal é 1 e 1. Os
pares de fatores de 14 são 1 e 14, como também 2 e 7. Eis
as quatro possíveis fatorações do trinômio:
(x +1)(x – 14) (x +1)(x – 14)
(x + 2)(x – 7) (x – 2)(x + 7)*
Exemplo: 𝑥2 + 9𝑥 + 14
Professor Ms. Hállysson Duarte 803/05/2016
 Fatoração de um trinômio com coeficiente principal 
diferente de 1
Exemplo: 35𝑥2 − 𝑥 − 12
Os pares de fatores do coeficiente principal são 1 e 35, como 
também 5 e 7. Os pares de fatores de 12 são 1 e 12, 2 e 6, 
como também 3 e 4.
(x - *)(35x + ?) (x + *)(35x - ?)
(5x - *)(7x + 2) (5x + *)(7x - ?)
35𝑥2 − 𝑥 − 12 = (5𝑥 − 3)(7𝑥 + 4)
Professor Ms. Hállysson Duarte 903/05/2016
Observe, na figura abaixo, uma correia acoplada a duas rodas. A roda a
tem raio 7 cm e b com raio 10 cm. Qual o comprimento dessa correia?
03/05/2016 Professor Ms. Hállysson Duarte 10
50 cm