CÁLCULO III AULA 8

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CÁLCULO III – ENGENHARIAS – 2° SEM/2001 – AULA 8
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS
1 ) Regra de Laplace ( Laplaciano )
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e 
, 
 suas “parciais” de segunda ordem, chamamos de LAPLACIANO, a seguinte expressão :
 
 Analogamente, para w = f(x,y,z) temos o LAPLACIANO :
 Nestes casos, dizemos que z e w ( Respectivamente ) satisfazem a Regra ( ou Equação ) de Laplace.
Exemplos :
● Verifique se as funções dadas satisfazem a Regra ( ou Equação ) de Laplace.
 
a ) w = x² -2y² +z²
Resolução :
 ☺
 ☺
 
 ☺
	Logo w satisfaz à Laplace.
b ) Idem para z = ex.seny
Resolução :
☺
 
 
☺
 
; logo z satisfaz à Laplace
Exercício :
● Idem para w = 
Resolução :
2 ) Diferencial Total ( ou Derivada Total )
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e 
, 
 as “ parciais “ de z = f(x,y), chamamos de Diferencial ( ou Derivada ) Total a seguinte expressão :
 OU 
 Analogamente, para w = f(x,y,z) temos :
 OU 
Exemplos :
● Calcule a expressão do Diferencial Total de :
1 ) z = 3x²y + ln ( x²y³ )
Resolução :
◙ 
 = 6xy + 
 = 6xy + 
◙ 
 = 3x² + 
 = 3x² + 
2 ) Idem para z = 
Resolução :
◙ 
 = 
 
◙ 
 = 
Exercícios :
1 ) Idem para z = x³.e3x + 4y²
2 ) Idem para z = 3x²y.sen ( 2x + 3y ) 
3 ) Idem para z = sec ( x² + 2xy³ )
3 ) Vetor Gradiente
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e 
, 
 as “ parciais “ de z = f(x,y).
 Seja Po (xo, yo), um ponto do plana e 
, 
as derivadas calculadas no ponto Po, chamamos de Vetor Gradiente ao seguinte vetor :
	
= 
 	
 z	 
	
	yo
	y
 
 xo
	 Po
 x
 O Vetor Gradiente aponta para onde 
 z = f(x,y) tem maior velocidade.
Exemplos :
● Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto Po .
1 ) z = ln ( x² + y² ) em Po ( 0, 1 ).
Resolução :
◙ 
 = 
 
 
 
= ( 0, 2 )
◙ 
 = 
2 ) z = x.sen y em Po ( 1, 
 ).
Resolução :
◙ 
 = 
 
	 
 
= ( 1, 0 )
◙ 
 = 
Exercícios :
1 ) Idem para z = 3.x²y³.e2xy em Po ( 1, -1 ) .
2 ) Idem para z = 
 em Po ( -1, 1 ) .
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