CÁLCULO IV AULA 3

Prévia do material em texto

�PAGE �
�PAGE �1�
 CÁLCULO IV – ENG.CIVIL – 1° SEM/2003 – AULA 3
 
Regra Geral da Potência
 
 Sabemos que a Regra Simples da Potência é dada por 
 com n 
-1 
usada quando a função é expressa como potência de x somente.
 Vejamos outros tipos de funções :
Para calcular 
 temos que encontra f(x) tal que f’(x) = 2x.( x2 + 1 )3, daí :
◙ 
 ( Regra da Cadeia ).
◙ 
 ( Dividir ambos os membros por 4 ).
◙ 
 ( Integrando ).
 Note 2x no integrando ele é exatamente ( x2 + 1 )’ .
 Fazendo x2 + 1 = u, temos du = 2x dx, logo :
	
.
 ◙ Daí a Regra Geral da Potência para u função diferenciável de x ser ...
 , com n 
-1 .
Exemplos :
◙ Calcule as seguintes integrais indefinidas :
 a ) 
.
 
 b ) 
 
 c ) 
 d ) 
.
Exercícios :
◙ Calcule as seguintes integrais indefinidas :
 1 ) 
	
 2 ) 
	
 3 ) 
 4 ) 
 5 ) 
Integração por Partes
 Tomando como ponto de partida a Derivação pela Regra do Produto temos ...
● 
 ( Regra do Produto )
● 
 ( Integrando ambos os lados )
● 
 ( Reescrevendo a expressão )
● 
 ( Escrevendo na forma diferencial )
Daí temos ...
 
 Integração por Partes com u e v funções diferenciáveis de x.
 Ao aplicarmos esta técnica devemos separar o integrando em duas partes, u e dv, levando em conta duas diretrizes :
 1 ) A parte escolhida como dv deve ser facilmente integrável.
 2 ) 
 deve ser mais simples do que 
.
Exemplos / Exercícios :
1 ) Determine 
 .
Resolução:	 a ) u = senx ; dv = xdx
 Temos basicamente três “ saídas “ : b ) u = x.senx ; dv = dx
 
 c ) u = x ; dv = senx dx 
● Na saída a obtemos du = cosx dx e v = 
 = 
dv = 
xdx , logo temos :
 
, a nova integral que é mais complicada do que a original.
 du = senx + x.cosxdx
● Em b temos :	logo, 
.
 v = 
dv = 
dx = x
 Tentemos pois a “ saída “ c ...
 du = 1dx
● Em c : . , 
 .
 
 v = 
dv = 
senx dx = -cosx, 
	Lembrando ... 
 	.	
2 ) Idem para 
.
 u = x2 
 du = 2xdx
Resolução:	
 dv = exdx 
 v = ex
 
Portanto:
 
 
 .
 u = x 
 du = dx
* 
 
 Daí ...
 dv = exdx 
 v = ex
3 ) Idem para 
 .
4 ) Idem para 
 .
5 ) Idem para 
 .
*
�PAGE �
_1076397482.unknown
_1076403189.unknown
_1076878088.unknown
_1076878219.unknown
_1076878330.unknown
_1076878831.unknown
_1076878987.unknown
_1076878456.unknown
_1076878284.unknown
_1076878177.unknown
_1076407104.unknown
_1076408614.unknown
_1076878007.unknown
_1076878037.unknown
_1076877974.unknown
_1076408657.unknown
_1076408353.unknown
_1076408544.unknown
_1076407529.unknown
_1076407942.unknown
_1076407528.unknown
_1076403977.unknown
_1076405877.unknown
_1076407011.unknown
_1076407035.unknown
_1076404950.unknown
_1076405812.unknown
_1076403378.unknown
_1076400085.unknown
_1076402712.unknown
_1076400561.unknown
_1076400604.unknown
_1076402462.unknown
_1076400188.unknown
_1076400014.unknown
_1076400043.unknown
_1076399902.unknown
_1076395845.unknown
_1076396186.unknown
_1076397449.unknown
_1076396017.unknown
_1076136717.unknown
_1076395626.unknown
_1076136653.unknown