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CÁLCULO IV AULA 8

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 CÁLCULO IV – ENG.CIVIL – 1° SEM/2003 – AULA 8
Aplicações da Integral Definida
 Já vimos que a integral definida pode ser considerada como a aérea sob a curva de f(x) num intervalo [ a , b ].
 Vamos ver agora outras aplicações . . . 
● Áreas entre curvas (ou área de uma região delimitada por dois gráficos )
 Tomemos duas curvas y = f(x) e y = g(x) onde A é a área delimitada pelas curvas entre as retas x = a e x = b, com f e g contínuas em [ a , b ] e f(x) 
 g(x), veja a figura ...
 y g(x)	
 	 f(x)
	A
	
	 a 	 	 x
 Analogamente ao que já estudamos, temos A = 
, quando n 
 .
Logo temos ...
	 
A = 
Exemplos :
1 ) Ache a área delimitada pelos gráficos de f(x) = x2 + 2 e g(x) = x para 0 
 x 
 1 .
Resolução :
	f(x)
 y 	
 	 
	 g(x)
 
	 x	
	 1		 	 
A = 
=
 A 
 u.a .
2 ) Idem para f(x) = ex e g(x) = e-x em [ 0, 1 ] .
Resolução :
	
 y 	 f(x)	
 	 
	 
	g(x)
 	 		
 x
	 1	
A = 
= e – 1 + e-1 –1 = e + 
 -2 
 A 
 u.a .
● Comprimento de Arco
 Seja um arco AB, definimos o seu comprimento como o limite da soma dos comprimentos das cordas consecutivas 
. Quando o número de cordas ( n ) tende ao infinito, seu comprimento tende a zero, daí a somatória tende ao comprimento do arco .
Veja o gráfico ...
 y
 	 Pn-1
 d 
	 P1
 P2
 P3
	c
	x
 0 a b 
 Se A ( a, c ) e B ( b, d ) são dois pontos da curva F(x,y) = 0, o comprimento do arco AB é dado por :
 
S = 
 ou 
	Variação em x ou Variação em y
 Se A, dado por u = u1 e B, dado por u = u2 , são pontos de uma curva definida pelas equações paramétricas x = f(u ) e y = g(u), o comprimento do arco AB é dado por :
	
S = 
 
	
Exemplos :
1 ) Ache o comprimento do arco da curva y = 
 de x = 0 a x = 5 .
Resolução :
Como temos a variação em x . . .
 
Daí , 
 S = 
 
 S = 
 u.c 
 S = 
 u.c 
 S 
12,4074 u.c .
2 ) Idem para x = 
 de y = 0 a y = 4.
Resolução :
Como temos a variação em y . . .
 
Daí , 
 S = 
 
 S = 
 u.c 
 S 
24,4129 u.c .
3 ) Idem para a curva x = t2 , y = t3 de t = 0 a t = 4 .
Resolução :
 ● Como temos a curva definida parametricamente . . . 
 e 
 
Daí . . .
S = 
 
 
 temos ... 
 
 S 
 66,3888 u.c .
●Área de uma superfície de Sólido de Revolução 
- A Área de uma superfície gerada pela rotação em torno do eixo Ox de uma curva regular
 y = f(x) , entre os pontos x = a e x = b é expressa pela fórmula :
SX = 
 ou 
A Área de uma superfície gerada pela rotação em torno do eixo Oy de uma curva regular
 y = f(x) , entre os pontos x = a e x = b é expressa pela fórmula :
SY = 
 ou 
	 x = f(u)
Obs. : Para as equações Paramétricas 	 temos . . .
	 = g(u)
 SX = 
 
 SY = 
 
- Sólido de Revolução : Obtem-se fazendo uma região plana revolver em torno de uma 
 Reta ou eixo de revolução. ( Veja figura )*
* Eixo de Revolução
Região
Plana
 Eixo
 de
 Revolução
	
 Exemplos :
1 ) Ache a área da superfície gerada pela revolução, em torno do eixo Ox, do arco da parábola
 y2 = 12x, de x = 0 a x = 3.
Resolução :
	y
 
		x
 0	 3
	 a
	 b
1º Modo :
 ● y2 = 12x 
 y = 
SX = 
 
 ● 
 
 .
Daí . . .
SX = 
 
 
 
 SX = 
�� EMBED Equation.3 SX 
 43,8822 
 u. a .
2º Modo :
 ● y2 = 12x 
 x = 
SX = 
 
 ● 
 
.
Daí . . .
SX = 
 
 
	 SX = 
�� EMBED Equation.3 SX 
 43,8822 
 u. a .
	 x = 2cos
 - cos 2
 2 ) Idem para a cardióide 	para 
 
 [ 0, 
] .
 y = 2sen
 - sen2
A ( a, c )
●
●
●
●
●
●
 0
A
A
 0
 0
b
B ( b, d )
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