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�PAGE � �PAGE �1� CÁLCULO IV – ENG.CIVIL – 1° SEM/2003 – AULA 8 Aplicações da Integral Definida Já vimos que a integral definida pode ser considerada como a aérea sob a curva de f(x) num intervalo [ a , b ]. Vamos ver agora outras aplicações . . . ● Áreas entre curvas (ou área de uma região delimitada por dois gráficos ) Tomemos duas curvas y = f(x) e y = g(x) onde A é a área delimitada pelas curvas entre as retas x = a e x = b, com f e g contínuas em [ a , b ] e f(x) g(x), veja a figura ... y g(x) f(x) A a x Analogamente ao que já estudamos, temos A = , quando n . Logo temos ... A = Exemplos : 1 ) Ache a área delimitada pelos gráficos de f(x) = x2 + 2 e g(x) = x para 0 x 1 . Resolução : f(x) y g(x) x 1 A = = A u.a . 2 ) Idem para f(x) = ex e g(x) = e-x em [ 0, 1 ] . Resolução : y f(x) g(x) x 1 A = = e – 1 + e-1 –1 = e + -2 A u.a . ● Comprimento de Arco Seja um arco AB, definimos o seu comprimento como o limite da soma dos comprimentos das cordas consecutivas . Quando o número de cordas ( n ) tende ao infinito, seu comprimento tende a zero, daí a somatória tende ao comprimento do arco . Veja o gráfico ... y Pn-1 d P1 P2 P3 c x 0 a b Se A ( a, c ) e B ( b, d ) são dois pontos da curva F(x,y) = 0, o comprimento do arco AB é dado por : S = ou Variação em x ou Variação em y Se A, dado por u = u1 e B, dado por u = u2 , são pontos de uma curva definida pelas equações paramétricas x = f(u ) e y = g(u), o comprimento do arco AB é dado por : S = Exemplos : 1 ) Ache o comprimento do arco da curva y = de x = 0 a x = 5 . Resolução : Como temos a variação em x . . . Daí , S = S = u.c S = u.c S 12,4074 u.c . 2 ) Idem para x = de y = 0 a y = 4. Resolução : Como temos a variação em y . . . Daí , S = S = u.c S 24,4129 u.c . 3 ) Idem para a curva x = t2 , y = t3 de t = 0 a t = 4 . Resolução : ● Como temos a curva definida parametricamente . . . e Daí . . . S = temos ... S 66,3888 u.c . ●Área de uma superfície de Sólido de Revolução - A Área de uma superfície gerada pela rotação em torno do eixo Ox de uma curva regular y = f(x) , entre os pontos x = a e x = b é expressa pela fórmula : SX = ou A Área de uma superfície gerada pela rotação em torno do eixo Oy de uma curva regular y = f(x) , entre os pontos x = a e x = b é expressa pela fórmula : SY = ou x = f(u) Obs. : Para as equações Paramétricas temos . . . = g(u) SX = SY = - Sólido de Revolução : Obtem-se fazendo uma região plana revolver em torno de uma Reta ou eixo de revolução. ( Veja figura )* * Eixo de Revolução Região Plana Eixo de Revolução Exemplos : 1 ) Ache a área da superfície gerada pela revolução, em torno do eixo Ox, do arco da parábola y2 = 12x, de x = 0 a x = 3. Resolução : y x 0 3 a b 1º Modo : ● y2 = 12x y = SX = ● . Daí . . . SX = SX = �� EMBED Equation.3 SX 43,8822 u. a . 2º Modo : ● y2 = 12x x = SX = ● . Daí . . . SX = SX = �� EMBED Equation.3 SX 43,8822 u. a . x = 2cos - cos 2 2 ) Idem para a cardióide para [ 0, ] . y = 2sen - sen2 A ( a, c ) ● ● ● ● ● ● 0 A A 0 0 b B ( b, d ) �PAGE � _1079726204.unknown _1079738844.unknown _1079741075.unknown _1079743215.unknown _1080935753.unknown _1080935826.unknown _1107606908.unknown _1080935967.unknown _1080935802.unknown _1080935606.unknown _1080935624.unknown _1080935662.unknown _1079743508.unknown _1079743687.unknown _1079743746.unknown _1079743551.unknown _1079743329.unknown _1079741613.unknown _1079742742.unknown _1079742888.unknown _1079742055.unknown _1079741250.unknown _1079741334.unknown _1079739946.unknown _1079740454.unknown _1079740808.unknown _1079740856.unknown _1079740410.unknown _1079739681.unknown _1079739821.unknown _1079739020.unknown _1079732565.unknown _1079733194.unknown _1079738020.unknown _1079737792.unknown _1079737968.unknown _1079732804.unknown _1079733116.unknown _1079732650.unknown _1079727960.unknown _1079729818.unknown _1079731245.unknown _1079731373.unknown _1079732090.unknown _1079732371.unknown _1079731324.unknown _1079730177.unknown _1079728673.unknown _1079728818.unknown _1079728030.unknown _1079727177.unknown _1079727332.unknown _1079727585.unknown _1079726660.unknown _1079726828.unknown _1079726961.unknown _1079726608.unknown _1079718029.unknown _1079720817.unknown _1079724493.unknown _1079724739.unknown _1079723683.unknown _1079719703.unknown _1079719739.unknown _1079719591.unknown _1079716106.unknown_1079716545.unknown _1079717986.unknown _1079716508.unknown _1079715756.unknown _1079715949.unknown _1079713914.unknown
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