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Aula 5 Hidrodinamica 2016

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Aula 5 –
Hidrodinâmica
Eng. Marcelo Botini Tavares
5.1 – MOVIMENTO DOS FLUIDOS PERFEITOS
5.2 – VAZÃO OU DESCARGA
5.3 – CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS
5.4 – REGIMES DE ESCOAMENTO
5.5 – LINHAS E TUBOS DE CORRENTE
5.6 – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
5.7 – TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS
5.1 MOVIMENTO DOS FLUIDOS PERFEITOS
A Hidrodinâmica tem por objetivo o estudo do movimento 
dos fluidos.
Consideremos um fluido perfeito em movimento, referindo-
se as diversas posições dos seus pontos a um sistema de 
eixos retangulares 0x, 0y, 0z.
O movimento desse fluido ficará perfeitamente 
determinado se, em qualquer instante t, forem conhecidas 
a grandeza e a direção da velocidade v relativa a 
qualquer ponto.
Ou então, o que vem a ser o mesmo, se forem 
conhecidas as componentes vx, vy, vz, dessa velocidade, 
segundo os três eixos considerados.
Há de se considerar, também, os valores da pressão p e 
da massa específica ρ, que caracterizam as condições 
do fluido em cada ponto considerado.
O problema relativo ao escoamento dos fluidos perfeitos 
comporta, portanto, cinco incógnitas, vx, vy, vz, p e ρ, que 
são funções de quatro variáveis independentes, x, y, z e t. 
A resolução do problema exige, pois, um sistema de 
cinco equações.
As cinco equações necessárias compreendem: as três 
equações gerais do movimento, relativas a cada um dos 
três eixos; a equação da continuidade, que exprime a lei 
de conservação das massas; e uma equação 
complementar, que leva em conta a natureza do fluido.
O método geral para a solução desse problema a ser 
utilizado, é o Método de Euler, que estuda, no decorrer do 
tempo e em determinado ponto, a variação das 
grandezas mencionadas.
5.2 VAZÃO OU DESCARGA
Chama-se vazão ou descarga, numa determinada seção, 
o volume de líquido que atravessa essa seção na unidade 
de tempo.
Na prática a vazão é expressa em m3/s ou em outras 
unidades múltiplas ou submúltiplas. Assim, para o cálculo 
de canalizações, é comum empregaram-se litros por 
segundo.
5.3 CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS
O movimento pode ser classificado da seguinte maneira:
Movimento permanente: é aquele em que as 
propriedades e características hidráulicas (força, 
velocidade, pressão) em cada ponto do espaço, não 
dependem do tempo. Com o movimento permanente, a 
vazão é constante em um ponto da corrente.
Movimento permanente uniforme: as características 
hidráulicas não variam de seção para seção ao longo do 
canal.
Q1 = Q2; A1 = A2; v1 = v2
Movimento permanente variado (acelerado): as 
características hidráulicas variam de seção para seção 
ao longo do canal. 
Q1 = Q2; A1 ≠ A2; v1 ≠ v2
Movimento não permanente: as características, além de 
mudarem de ponto para ponto, variam de instante em 
instante, isto é, são função do tempo.
Q1 ≠ Q2; A1 ≠ A2; v1 ≠ v2
5.4 REGIMES DE ESCOAMENTO
A observação dos líquidos em movimento leva-nos a 
distinguir dois tipos de escoamento:
a) regime laminar (tranquilo ou lamelar); e
b) regime turbulento (agitado ou hidráulico)
Escoamento laminar: quando as partículas movem-se ao 
longo de trajetórias bem definidas, em lâminas ou 
camadas, as quais não se cruzam.
Neste tipo de escoamento, é preponderante a ação da 
viscosidade do fluido no sentido de amortecer a 
tendência de surgimento de turbulência – fluidos muito 
viscosos.
Escoamento turbulento: neste caso, as partículas do 
líquido movem-se em trajetórias irregulares, com 
movimento aleatório, produzindo uma transferência de 
quantidade de movimento entre regiões da massa líquida.
5.5 LINHAS E TUBOS DE CORRENTE
Em um líquido em movimento, consideram-se linhas de 
corrente as linhas orientadas segundo a velocidade do 
líquido e que desfrutam da propriedade de não serem 
atravessadas por partículas do fluido.
Em cada ponto de uma corrente passa, em cada 
instante t, uma partícula de fluido, animada de uma 
velocidade v. As linhas de correntes são, pois, as curvas 
que no mesmo instante t considerado, mantêm-se 
tangentes em todos os pontos à velocidade v.
Admitindo-se que o campo de velocidade v seja 
contínuo, pode-se considerar um tubo de corrente como 
uma figura imaginária, limitada por linhas de corrente.
5.6 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
A equação da continuidade relaciona a vazão em massa 
na entrada e na saída de um sistema e tratando-se de 
movimento permanente, a quantidade de líquido 
entrando na seção A1 é igual à que sai por A2.
𝑄𝑚1 = 𝑄𝑚2 ⟹ 𝜌1𝑉1𝐴1 = 𝜌2𝑉2𝐴2
Para o caso de fluido incompressível, a massa específica 
é a mesma tanto na entrada quanto na saída, portanto:
𝜌1 = 𝜌2 ⟹ 𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 = 𝑄 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Exercício 5.1 – Verificou-se que a velocidade econômica 
para uma extensa linha de recalque é 1,05 m/s. A vazão 
necessária a ser fornecida pela bomba é de 450 m³/hora. 
Determinar o diâmetro da linha.
Exercício 5.2 – Um gás escoa em regime permanente no 
trecho de tubulação da figura. Na seção (1), tem-se A 1 = 
20 cm², ρ1 = 4 kg/m³ e v1 = 30 m/s. Na seção (2), A2 = 10 
cm² e ρ2 = 12 kg/m³. Qual a velocidade na seção (2)?
Exercício 5.3 – Para a tubulação mostrada determine:
a) a vazão e a velocidade no ponto (3)
b) a velocidade no ponto (4)
Dados: v1 = 1m/s, v2 = 2m/s, d1 = 0,2m, d2 = 0,1m, d3 = 
0,25 m e d4 = 0,15m.
Exercício 5.4 – Um tubo admite água (ρ = 1.000 kg/m³) 
num reservatório com uma vazão de 20 L/s. No mesmo 
reservatório é trazido óleo (ρ = 800 kg/m³) por outro tubo 
com uma vazão de 10 L/s. A mistura formada é 
descarregada por um tubo cuja seção tem uma área de 
30 cm². Determinar a massa específica da mistura no 
tubo de descarga e sua velocidade.
5.7 TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS 
PERFEITOS
O teorema de Bernoulli decorre da aplicação da 
equação de Euler aos fluidos sujeitos à ação da gravidade 
em movimento permanente.
Teorema de Bernoulli: para o movimento de líquidos 
perfeitos em regime permanente, a carga total H, que 
representa a energia mecânica por unidade de peso do 
líquido, é constante ao longo de cada trajetória.
A figura a seguir mostra parte de um tubo de corrente, no 
qual escoa um líquido de peso específico γ. Nas duas 
seções indicadas, de áreas A1 e A2, atuam as pressões p1
e p2, sendo as velocidades, respectivamente, v1 e v2.
Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a 
soma das alturas cinética (v2 /2g), piezométrica (p/ γ) e 
geométrica (Z).
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
+ 𝑍1 =
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
+ 𝑍2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
O teorema de Bernoulli não é senão o princípio da 
conservação da energia. Cada um dos termos da 
equação representa uma forma de energia.
v2 /2g = energia cinética
p/ γ = energia de pressão ou piezométrica
Z = energia de posição ou potencial.
É importante notar que cada um desses termos pode ser 
expresso em metros, constituindo o que se denomina 
carga.
A experiência não confirma rigorosamente o teorema de 
Bernoulli, isto porque os fluidos reais, ou naturais, se 
afastam do modelo perfeito.
A viscosidade e o atrito externos são os principais 
responsáveis pela diferença; em consequência das 
forças de atrito, o escoamento somente ocorre com uma 
perda de energia: a perda de carga.
Por isso se introduz na equação de Bernoulli um termo 
corretivo h (perda de carga).
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
+ 𝑍1 =
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
+ 𝑍2 + ℎ
Conhecendo-se a trajetória de um filete de líquido, 
identificada pelas cotas geométricas em relação a um 
plano horizontal de referência, pode-se representar os 
valores de p/ γ, obtendo-se o lugar geométrico dospontos cujas cotas são dadas por p/ γ + z e designado 
como linha piezométrica.
Se acima da linha piezométrica acrescentarem-se os 
valores da carga cinética v2/2g, obtém-se a linha de 
cargas totais ou linha de energia, que designa a energia 
mecânica total por unidade de peso de líquido, na 
forma H = p/ γ + z + v2/2g.
Observações sobre os conceitos básicos:
a) como, em geral, a escala de pressões adotada na 
prática é a escala em relação à pressão atmosférica, a 
linha piezométrica pode coincidir com a trajetória 
(escoamento livre);
b) todas as parcelas da equação de Bernoulli devem 
ser representadas geometricamente como 
perpendiculares ao plano horizontal de referência, 
independente da curvatura da trajetória;
c) a linha de carga total, desce sempre no sentido do 
escoamento, a menos que haja introdução de energia 
externa, pela instalação de uma bomba;
d) quando se utiliza o conceito de perda de carga entre 
dois pontos da trajetória, trata-se de perda de energia 
total, ou seja, H = p/ γ + z + v2/2g, e não de perda de 
carga piezométrica.
O enunciado geral do teorema de Bernoulli fica sendo, 
portanto:
“Para um escoamento contínuo e permanente, a carga 
total de energia, em qualquer ponto de uma linha de 
corrente é igual à carga total em qualquer ponto a 
jusante da mesma linha de corrente, mais a perda de 
carga entre os dois pontos”.
Exercício 5.5 – A água escoa pelo tubo indicado na 
figura, cuja seção varia do ponto 1 para o ponto 2, de 
100 cm² para 50 cm². Em 1, a pressão é de 0,5 kgf/cm² e 
a elevação 100, ao passo que, no ponto 2, a pressão é 
de 3,38 kgf/cm² na elevação 70. Calcular a vazão em 
litros por segundo. Utilizar γ da água = 1000 kgf/m3.
Exercício 5.6 – De uma pequena barragem, parte uma 
canalização de 250 mm de diâmetro, com poucos 
metros de extensão, havendo depois uma redução para 
125 mm. Do tubo de 125 mm, a água passa para a 
atmosfera sob a forma de jato. A vazão foi medida, 
encontrando-se 105 l/s. Calcular a pressão na seção 
inicial da tubulação de 250 mm e a altura H na 
barragem.
Exercício 5.7 – Uma tubulação vertical de 150 mm de 
diâmetro apresenta, em um pequeno trecho, uma 
seção contraída de 75 mm, onde a pressão é de 1 atm. 
A três metros acima desse ponto, a pressão eleva-se 
para 14,7 mca. Calcular as velocidades em 1 e 2 e a 
vazão.
Exercício 5.8 – Em um canal de concreto, a 
profundidade é de 1,20 m e as águas escoam com uma 
velocidade média de 2,40 m/s, até um certo ponto, 
onde, devido a uma queda, a velocidade se eleva a 12 
m/s, reduzindo-se a profundidade a 0,60 m. 
Desprezando as possíveis perdas por atrito, determinar a 
diferença de nível (y) entre as duas partes do canal.

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