Eletricidade apostila 1

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Versão 2013 
 Reformulada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
1-Fenômenos elétricos 
 
Conceito de carga elétrica 
 
Por volta do ano de 1600, o cientista inglês, Gilbert, notou que, quando se friccionava 
um pedaço de âmbar em uma pele de animal, ele adquiria a capacidade de atrair objetos 
leves. Este fenômeno foi chamado, por ele, eletricidade, uma vez que a palavra grega 
elétron significa âmbar. Atualmente, dizemos que a fricção faz com que o âmbar fique 
eletrificado, ou seja, adquire uma carga elétrica. 
Em 1747 o cientista americano Benjamin Franklin, trabalhando com diferentes 
materiais, descobriu que existem dois tipos de carga elétrica que ele denominou de 
carga positiva e carga negativa. 
Após essas descobertas, muitos cientistas passaram a investigar fenômenos elétricos. 
Verificaram que partículas com o mesmo tipo de carga se repelem e partículas com 
cargas opostas se atraem. 
 
Lei de Coulomb 
 
Por volta de 1785, Charles Coulomb, um físico francês, introduziu o que hoje é 
conhecido como lei de Coulomb. Esta lei estabelece que, quando se tem duas partículas 
pontuais, de carga 1Q e 2Q , separadas de uma distância r, (ver fig. 1-1), a força de 
atração ou repulsão pode ser calculada pela expressão: 
 
 2
21
r
QQkF = 1-1 
 
 
r r
( )+1Q ( )+2Q ( )+1Q ( )−2QFFFF
(a) (b)
 
 
 Fig. 1-1 
 
Para que a unidade da força seja Newton, o parâmetro k deve valer 9109× . Além disto a 
carga elétrica deve se dada em Coulomb, e a distância em metro. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 1-1 
Determine a força de atração entre as cargas da Fig.1 sabendo-se que 
7
1 105 −×+=Q Coulomb, 72 102 −×−=Q Coulomb e mr 1= . 
Solução: 
4
2
77
9 109
1
102105109 −
−−
×=
×××
×=F Newton 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 2
Exercício 1-2 
Repita o problema anterior para mr 2= 
Solução: 
4
2
77
9 1025,2
2
102105109 −
−−
×=
×××
×=F Newton 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
O exercício 1-2 mostrou que, quando se dobra a distância entre as partículas, a força 
diminui quatro vezes. 
 
Campo elétrico. 
 
Quando, sobre uma partícula carregada, existe uma força atuante, diz-se que esta 
partícula está em um campo de força elétrica, ou simplesmente, campo elétrico 
 
Campo elétrico produzido por dois elementos Fixos 
 
Vamos supor que se tenha duas placas fixas paralelas, A e B, com uma certa distância 
entre si. Ver fig. 1-2. 
 
 
A B
 
 Fig. 1-2 
 
Vamos supor, ainda, que a placa A está carregada positivamente e a placa B está 
carregada negativamente. Neste caso estas placas se denominam eletrodos. A placa A é 
o eletrodo positivo ou anodo e a placa B é o eletrodo negativo ou catodo. Neste caso, 
forma-se um campo elétrico entre essas placas. 
Se no espaço entre estas placas houver uma certa quantidade de partículas negativas, 
estas partículas serão repelidas por B e atraídas por A. Portanto as partículas se 
movimentam até atingir A. Este movimento das partículas carregadas se chama corrente 
elétrica. 
 
Unidade física da corrente elétrica 
 
Se uma certa quantidade de partículas, que possuem uma carga total Q, atingirem a 
placa no período de um segundo dizemos que tem-se uma corrente elétrica de Q 
Coulomb por segundo, ou Q amperes: 
 
 
segundo
Coumb
ampere
1
11 = 
 
 
 
 3
Trabalho realizado 
 
Pelas leis da física, toda vez que uma força, atuando sobre um corpo, provoca o seu 
deslocamento, é realizado um trabalho. O símbolo matemático para esta grandeza é a 
letra W (work) . Quando a força é dada em Newton e o deslocamento em metro resulta a 
unidade joule para o trabalho realizado. Por exemplo, quando esta força é constante, o 
trabalho pode se calculado pela expressão matemática: 
 
 Trabalho = Força x deslocamento 
 
 ou dFW ×= 
 
Diferença de potencial entre os eletrodos 
 
Vamos supor que os eletrodos A e B estão carregados de tal maneira que eles seriam 
capazes de deslocar uma carga total negativa, de valor Q, do ponto B para o ponto A 
produzindo um trabalho W. Neste caso, diz-se que entre os eletrodos A e B existe uma 
diferença de potencial. O valor desta nova grandeza pode ser calculado pela fórmula: 
 
 
deslocadaac
TrabalhopotencialdeDif
arg
. = 
 
 ou Q
WV = 
 
Quando o trabalho é dado em joule e a carga em Coulomb, a diferença de potencial 
resulta na unidade volt. 
Esta diferença de potencial é também chamada de tensão ou voltagem entre os eletrodos 
considerados. Este parâmetro é extremamente importante para o projeto de dispositivos 
elétricos e eletrônicos. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 1-3 
Um par de eletrodos de cargas opostas teria capacidade de deslocar, de um eletrodo para 
outro, uma carga 7102 −×=Q Coulomb de tal forma que o trabalho, se fosse realizado, 
seria igual a 7103 −×=W joule. Determinar a diferença de potencial que existe entre 
esses eletrodos. 
Solução: 
 
 volt
coulomb
jouleV 5,1
102
103
7
7
=
×
×
=
−
−
 
 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Estrutura atômica 
 
Toda a matéria é constituída de minúsculos conjuntos de partículas denominados 
átomos. 
O átomo é semelhante ao nosso sistema solar. O elemento que corresponde ao sol é o 
núcleo do átomo. Em torno deste núcleo giram partículas denominadas elétrons. Tal 
 4
como acontece com os planetas de nosso sistema solar, os elétrons se distribuem em 
diversas órbitas.Ver fig. 1-3.a. 
Cada elétron possui massa muito menor que a do núcleo. 
O núcleo possui carga positiva e o elétron negativa. Portanto o núcleo atrai o elétron. 
Entretanto o elétron não cai no núcleo devido ao seu movimento rotatório em torno 
desse núcleo. Sua órbita e velocidade são tais que a força centrífuga cancela a força de 
atração.Ver fig 1-3.b 
 
Força
centrífuga
Força de
atração
(a) (b)
 
 Fig. 1-3 
 
O átomo, em seu estado natural, é neutro. Isto significa que a soma de todas as cargas 
negativas dos elétrons é igual a carga positiva do núcleo. Por exemplo, sabe-se que a 
carga de cada elétron é igual a - 19106,1 −× Coulomb. Se um átomo possui 30 elétrons 
então a carga do núcleo será 1819 108,4106,130 −− ×+=××+ Coulomb. 
Entretanto, sob certas condições, o átomo pode perder ou ganhar um ou mais elétrons. 
Quando ele perde elétrons sua carga total fica positiva. Quando o átomo ganha um ou 
mais elétrons, que passam a girar em torno de seu núcleo, ele fica com carga total 
negativa. 
Na experiência de Gilbert, quando se friccionou, a pele de animal no âmbar, muitos 
elétrons passaram da pele para o âmbar. Portanto, o âmbar ficou com excesso de cargas 
negativas e a pele com excesso de cargas positivas. 
 
Condutores de eletricidade 
 
Os elétrons das órbitas mais externas estão submetidos a forças de atração mais fracas. 
Em certos materiais, como por exemplo,nos metais, estas forças de atração se tornam 
tão fracas que elétrons, das órbitas mais externas, podem escapar facilmente do átomo. 
Neste caso eles ficam se deslocando de um átomo para outro, aleatoriamente. Estes 
elétrons são chamados de elétrons livres. 
Na presença de um campo elétrico, produzido por eletrodos externos, estes elétrons 
passam a se deslocar, dentro do material, no sentido do catodo para o anodo formando 
uma corrente elétrica. A intensidade desta corrente é tanto maior quanto maior for a 
quantidade de elétrons livres existentes no material. A quantidade de elétrons livres 
depende do tipo de material e da temperatura ambiente. Quando um material possui 
 5
muitos elétrons livres, diz-se que ele é um bom condutor de eletricidade. O cobre é um 
dos melhores condutores de eletricidade. Na temperatura ambiente normal, ele possui 
aproximadamente 23106 × elétrons livres por centímetro cúbico. 
Quando um material possui poucos elétrons livres diz-se que ele é um mal condutor, ou 
um material de alta resistividade. Em eletricidade existem aplicações tanto para os 
materiais bons condutores quanto para os materiais de alta resistividade. A resistividade 
de um material pode ser medida. Seu símbolo matemático é a letra grega ρ (rho) e sua 
unidade é metroohm × , ou m×Ω . Mesmo os materiais considerados bons condutores 
possuem uma certa resistividade, ainda que de valor muito pequeno. Para grande parte 
das aplicações considera-se como sendo zero. Um condutor, de resistividade 
desprezível, costuma ser usado no formato de fio metálico e é representado, nos 
desenhos de esquemas elétricos, como uma simples linha. 
 
Resistência elétrica 
 
Dada a presença de um determinado campo elétrico, a intensidade da corrente elétrica 
depende da resistividade do material e fatores geométricos. Seja o caso de um fio 
metálico com comprimento l e área da secção igual a S. Ver fig. 1-4. 
 
 
lS
 
 
 Fig. 1-4 
 
A intensidade da corrente é tanto menor quanto maior for o comprimento desse fio. Da 
mesma forma, essa intensidade da corrente é tanto maior quanto maior for a área da 
secção do fio metálico. Isto acarreta a chamada resistência elétrica do fio. 
A resistência elétrica de um fio de comprimento l e secção S pode ser calculada pela 
expressão: 
 
 
S
R lρ= 
 
Se o comprimento for dado em metro, a secção em metro quadrado e a resistividade for 
dada em m×Ω , então a resistência elétrica calculada tem seu valor dado em ohm ou 
Ω . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 1-4 
Sabe-se que o cobre possui m×Ω×= −81072,1ρ . Determinar a resistência de um fio de 
cobre, cujo raio mede 1 mm e o comprimento 1 km. 
Solução: 
 
m1000=l mmr 3101001,0 −×== 
 
( ) 26232 1014,3101 mrS −− ×=××=×= pipi 
S
R lρ= = Ω=
×
×
−
− 47,5
1014,3
10001072,1 6
8
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 6
Resistor 
 
É um componente usado em eletricidade e em eletrônica construído, propositalmente, 
para ter um valor de resistência desejado. Um resistor pode ser construído para ter 
qualquer valor de resistência, desde alguns ohms até dezenas de megahoms. Existem 
duas representações dos resistores utilizadas, normalmente, em desenhos de esquemas 
elétricos. A fig. 1-5.a mostra a representação adotada pelos americanos. A fig. 1-5.b 
mostra a representação adotada por alguns países europeus e que, também, foi adotada 
no Brasil (norma ABNT). 
 
 
R
R
(a) (b)
 
 
 Fig. 1-5 
 
Sentido real e sentido convencional da corrente elétrica 
 
Na fig. 1-5 mostramos, novamente, os eletrodos carregados com cargas opostas 
produzindo deslocamentos em cargas elétricas negativas. Vamos supor que estas 
partículas sejam elétrons livres. Estes elétrons são repelidos pelo eletrodo negativo e 
atraídos pelo eletrodo positivo. 
 
 
A B
Sentido real da
corrente elétrica
Sentido convencional
da corrente elétrica
 
 
 Fig. 1-5 
 
Portanto o sentido de deslocamento desta corrente elétrica é do eletrodo negativo para o 
eletrodo positivo. Entretanto, por razões históricas, todos os tratados sobre eletricidade 
adotam o sentido inverso. Este sentido, que é chamado de sentido convencional, 
considera que a corrente elétrica vai do eletrodo positivo para o eletrodo negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
2- Circuitos elétricos e suas propriedades 
 
Unidades de Eletricidade 
 
A tabela 2-1 mostra as grandezas elétricas, definidas no capítulo anterior, juntamente 
com as unidades físicas correspondentes e seus símbolos gráficos utilizados em 
cálculos matemáticos. 
 
 Tabela 2 -1 
Grandeza física Unidade física Símbolo matemático 
Carga elétrica Coulomb Q 
Corrente elétrica Ampere I 
Diferença de potencial elétrico Volt V 
Resistência elétrica Ohm Ω 
 
A diferença de potencial é também chamada de tensão elétrica ou, simplesmente, 
tensão. 
O componente físico que possui uma resistência elétrica é chamado de resistor. 
A fig. 2-1 mostra um resistor, que possui uma resistência de valor R. Se aplicarmos 
uma diferença de potencial V, entre os terminais deste resistor, é produzida uma 
corrente elétrica que chamaremos de I. 
 
R
V
I
-+
 
 
 Fig. 2-1 
 
Cálculos de tensões e correntes em um resistor: Lei de Ohm 
 
A quando se aplica uma tensão V em um componente cuja resistência é igual a R, a 
corrente resultante segue a equação: 
 
 
R
VI = 2-1 
 
Quando se sabe o valor da corrente e da resistência, pode-se determinar o valor da 
tensão por meio de manipulação algébrica da equação 2-1: 
 
 IRV ×= 2-2 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 2-1 
Sobre um resistor de 10 Ω tem-se uma tensão de 30 v. Determinar a corrente elétrica 
que está percorrendo esse resistor. 
Solução: 
 8
R
VI = Av 3
10
30
=
Ω
= 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 2-2 
Em um resistor de 5 Ω está passando uma corrente de 2 Amperes. Determinar a tensão 
sobre esse resistor. 
Solução: 
 
IRV ×= vA 1025 =×Ω= 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Potência elétrica em uma resistência 
 
Esta grandeza tem como símbolo a letra P e sua unidade é Watt (W). 
O valor da potência sobre uma resistência é igual ao produto da tensão nessa resistência 
pela corrente que a percorre: 
 
 IVP ×= 2-3 
 
Substituindo 2-2 em 2-3, resulta uma fórmula alternativa: 
 
 
2IRP ×= 2-4 
 
Substituindo 2-1 em 2-3, resulta outra fórmula alternativa: 
 
 
R
VP
2
= 2-5 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 2-3 
Calcular a potênciasobre o resistor do exercício 2-1. 
Solução: 
vV 30= AI 3= 
IVP ×= WAv 90330 =×= 
-------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercício 2-4 
Em um resistor de 15 Ω passa uma corrente de 2 amperes. Determinar a potência sobre 
esse resistor. 
Solução: 
 
2IRP ×= WA 60215 2 =×Ω= 
 
Energia elétrica 
 
A energia elétrica consumida em um resistor, durante um determinado tempo, é igual a 
potência, nesse resistor, multiplicada por esse tempo. Quando a potência for dada em 
 9
Watt e o tempo em segundos, a unidade da energia é JoulesWatt =× . Para energia, 
adotaremos o símbolo 
nE 
 
 tPEn ×= 2-6 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Exercício 2-5 
 
Calcular a energia dissipada, em um minuto, no resistor, sabendo que nele existe uma 
potência de 30 W. 
Solução: 
 
 tPEn ×= skWjoulessWsW ×==×=×= 8,1180018006030 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Nota: Cientificamente costuma-se usar a unidade sW × que é equivalente a joule. 
Comercialmente prefere-se usar a unidade Kilowat×hora 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 2-6 
Quando se liga o chuveiro elétrico, tem-se, em sua resistência, uma potência de 2,4 kW. 
Se ele for ligado durante 15 minutos, determinar quantos Kilowat×hora são consumidos 
nesse período? 
Solução: 
4
1
min15 hora= 
 
horakWhorakWEn ×=×= 6,04
14,2 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Fonte de alimentação. 
 
É um dispositivo capaz de fornecer energia elétrica para um circuito. Além do nome 
acima, ele é chamado, às vezes, de gerador, e outras vezes, de bateria, em dependência 
de seu aspecto físico. Em nosso texto designaremos esse dispositivo, quase que 
exclusivamente, pelo nome de bateria. 
As baterias possuem um eletrodo positivo e outro negativo. Portanto, existe uma 
diferença de potencial entre estes eletrodos. Quando se conecta um resistor entre seus 
terminais produz-se corrente elétrica. Normalmente se chama o eletrodo positivo de 
pólo positivo da bateria. Da mesma forma, o eletrodo negativo é comumente chamado 
de pólo negativo da bateria. 
O aparelho que pode medir a diferença de potencial, entre os pólos da bateria, se chama 
voltímetro. Este aparelho pode medir essa tensão em duas situações da bateria: 
fornecendo ou não corrente elétrica. 
A fig. 2-2.a mostra o esquema de medida na situação onde não existe corrente elétrica. 
Esta medida se chama tensão da bateria em circuito aberto. A fig. 2-2.b mostra a 
medida no caso em que existe uma corrente percorrendo um resistor externo à bateria. 
Esta medida se chama tensão da bateria em circuito fechado. 
 10
 
bateria voltímetro bateria voltímetro
I R
I
I
(a) (b)
E V
 
 Fig. 2-2 
 
Vamos supor que a medida em aberto resultou em uma tensão de valor E volt e a 
medida em circuito fechado resultou V volt. Sempre acontece que o valor V é menor 
que o valor E. Este comportamento induz ao esquema elétrico equivalente da bateria 
mostrado na fig. 2-3. Nesse esquema, a bateria contém um dispositivo chamado fonte 
de tensão de valor E e uma resistência SR . Esta equivalência será demonstrada mais 
adiante. 
 
 
E
A
B
SR
 
 
 Fig. 2-3 
 
A fonte de tensão representa um dispositivo com os pólos A e B onde existe uma 
diferença de potencial constante de valor E. Esta diferença de potencial é imutável para 
qualquer valor de corrente que o dispositivo forneça, incluindo a corrente nula. 
A tensão E, mostrada no esquema, é chamada de força eletromotriz da bateria. Na 
literatura técnica, quase sempre, ela é mencionada pela abreviação fem. A resistência 
mencionada SR é chamada de resistência interna da bateria. 
Exemplos de bateria: 
1- As pilhas são baterias cuja força eletromotriz (fem) é aproximadamente 1,5 volt. 
2- O tipo mais comum de bateria para automóvel possui fem igual a 
vv 125,18 =× 
A resistência interna depende do tipo de bateria. Por exemplo, quanto maior for o 
tamanho da pilha, menor será sua resistência interna. A resistência interna de uma 
bateria de automóvel é muito menor do que a resistência interna de qualquer tipo de 
pilha. 
 
 
 
 11
Fio condutor 
 
É um componente elétrico cuja resistência é tão pequena que se torna desprezível. Para 
a maior parte dos cálculos considera-se 0=R . Quando existe uma corrente elétrica em 
um fio condutor, a diferença de potencial, entre seus terminais, é nula pois: 
 
 00 =×=×= IIRV 
Circuito elétrico 
 
É um conjunto de componentes elétricos conectados entre si por fios condutores.. 
A fig. 2-4 mostra dois exemplos de circuitos. A fig. 2-4.a mostra um circuito aberto e a 
fig. 2-4.b mostra um circuito fechado. 
E
+
−
SR
E
+
−
SR 1R
2R
+ +
+
−
−
−
I
SV 1V
2V
SV
aV
+
−
(a) (b)
0=I I
II
bateria bateria
 Fig. 2-4 
Nota-se que, no circuito fechado foi produzida uma corrente elétrica, ao passo que no 
circuito aberto a corrente é nula. 
Só pode haver corrente elétrica em um circuito fechado. 
 
Por convenção, a corrente elétrica sai do eletrodo positivo da bateria e, após percorrer o 
circuito, entra na bateria pelo eletrodo negativo.Ver fig. 2-4.b. 
 
Diferenças de potencial presentes nos diversos componentes do circuito. 
 
Vimos que a fem de uma bateria corresponde a uma diferença de potencial ou tensão. 
Nas figuras 2- 4.a e 2-4.b, designamos o valor E para essa tensão. 
Pela lei de ohm, a corrente ao percorrer uma resistência, acarreta uma diferença de 
potencial ou tensão nessa resistência. Tudo se passa como se os terminais do resistor se 
tornassem eletrodos ou pólos. Onde entra a corrente, tem-se o pólo positivo do resistor. 
Onde a corrente sai, tem-se o pólo negativo desse resistor. Ver fig. 2-4.b. Note-se que 
esta situação só existe durante a presença da corrente elétrica. 
 
Lei de Kirchhoff das tensões no circuito. 
 
“Ao se percorrer um circuito, sempre no mesmo sentido, a soma algébrica das tensões 
encontradas, ao longo do percurso, é nula”. 
 
Por sinal algébrico entende-se que, ao longo do percurso, quando a corrente entra pelo 
pólo positivo, a tensão é positiva e vice versa. 
Exemplos: 
No circuito da fig. 2.4.b tem-se: 
 
 12
021 =+++− VVVE S ou 
 
12 VVEV S −−= 
--------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 2-7 
No circuito da fig. 2-4.b tem-se os seguintes valores para as diversas tensões: 
vE 15= , vVS 2= e vV 71 = 
Determinar a tensão 2V . 
Solução: 
12 VVEV S −−= = v67215 =−− 
-------------------------------------------------------------------------------------------- 
A lei de Kirchhoff das tensões é válida mesmo para circuito aberto. Na fig. 2-4.a, se a 
medida da tensão da bateria, em aberto, resultou no valor aV , então teremos a 
igualdade: 
 
0=++− aS VVE ou 
 
Sa VEV −= 
 
Entretanto, pela lei de Ohm, tem-se: 
 
SS RIV ×= 
 
Mas, em circuito aberto, a corrente elétrica é nula. Resulta: 
 
EREV Sa =×−= 0 
Portanto: EVa = 
 
Determinação do valor da corrente elétrica em um circuito. 
 
Vamos descrever o métodode cálculo, da corrente, utilizando o circuito da fig. 2-5. 
 A corrente I, que queremos determinar, percorre todos os componentes. Em cada 
componente tem-se uma tensão que pode ser determinada pela lei de ohm: 
 
 
E
+
−
SR 1R
2R
+ +
+
− −
−
ISV 1V
2V
 
 
 Fig. 2-5 
SS RIV ×= 2-7 
11 RIV ×= 2-8 
22 RIV ×= 2-9 
 
 13
Vimos que, pela lei de Kirchhoff das tensões, tem-se: 
 
021 =+++− VVVE S 
 
ou EVVVS =++ 21 
 
Substituindo-se os valores das tensões, fica: 
 
ERIRIRI S =×+×+× 21 
 
ou ( ) ERRRI S =++ 21 
 
ou 
21 RRR
EI
S ++
= 2-10 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 2-8 - No circuito da fig. 2-5 tem-se os dados: 
 
vE 50= ; Ω= 2SR ; Ω= 181R ; Ω= 302R 
a) Determinar o valor da corrente elétrica. 
b) Determinar a tensão 2V . 
Solução: 
a) Pela expressão 2-10, resulta: 
 
 A
RRR
EI
S
1
30182
50
21
=
++
=
++
= 
 
b) Pela expressão 2-9, tem-se: 
 
22 RIV ×= = v30301 =× 
------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Medidor de corrente elétrica ou amperímetro. 
 
É um instrumento de medida que é colocado, no caminho da corrente, apresentando 
uma resistência elétrica AR aproximadamente nula. Ver fig. 2-6. Portanto a diferença de 
potencial AV , entre seus bornes, é nula pois 
 
 00 =×=×= IIRV AA 
 
E
+
−
+
+
−
−
SV
SR
0=AV
1R 1V
A
I I I
I
0=AR
 
 Fig. 2-6 
 14
3 - Associações de componentes nos circuitos elétricos 
 
Generalização da lei de Kirchhoff das tensões 
 
Muitas vezes um circuito não detalha todos seus componentes. 
Seja, por exemplo o circuito da fig. 3-1. 
 
 
2V
1VA
B
2R
1R
I
I
V
 
 3-1 
Vamos supor que se conhece a diferença de potencial V entre os pontos A e B, assim 
como os valores dos resistores 1R e 2R . Neste caso, aplicando-se a lei de Kirchhoff e a 
lei de Ohm pode-se determinar os valores da corrente elétrica e das tensões nos 
resistores 1R e 2R . 
 
Equações: 
 021 =++− VVV 3-1 
 
 ou 21 VVV += 3-2 
 
 Mas 11 RIV ×= 3-3 
 
 e 22 RIV ×= 3-4 
 
Substituindo 3-3 e 3-4 em 3-2 tem-se: 
 
 21 RIRIV ×+×= 3-5 
 
ou ( )21 RRIV += 
 
ou 
21 RR
VI
+
= 3-6 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 3-1 
No circuito da fig. 3-1 têm-se os seguintes dados: 
 
vV 10= Ω= 31R vR 23 = 
 
Determinar os valores de I , 1V e 2V 
 
 15
Solução: 
Aplica-se a equação 3-6: 
 
 
21 RR
VI
+
= A2
32
10
=
+
= 
 
Aplicam-se as equações 3-3 e 3-4: 
 
vRIV 63211 =×=×= 
 
vRIV 42222 =×=×= 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Interpretação da equação 3- 2 
 
A equação 21 VVV += indica que “A tensão na entrada de um circuito é igual a 
soma das tensões ao longo do circuito”. 
 
Simplificação do roteiro do cálculo 
 
Podemos diminuir uma passagem matemática se aplicarmos a lei de ohm diretamente 
em cada resistor do circuito. Ver fig. 3-2 
 
 
2RI ×
1RI ×
V
A
B
2R
1R
I
I
 
 Fig. 3-2 
 
Neste caso, aplicando-se a lei de Kirchhoff, chega-se diretamente à equação 3-5: 
 
 21 RIRIV ×+×= 
 
Associação de resistores em série 
 
Na fig. 3-3.a dizemos que os resistores 1R e 2R estão conectados em série no circuito. 
 
Seja I , a corrente que passa por esses dois resistores. 
 
 16
 
⇒V
I
1R
2R
+
−
+
+
−
−
V
I
+
−
+
−
12R
(a) (b)
 
 
 Fig. 3-3 
 
A diferença total de potencial sobre esses dois resistores fica. 
 
 ( )2121 RRIRIRIV +=×+×= 12RI ×= 
 
 Portanto 12RIV ×= 3-7 
 
onde 2112 RRR += 3-8 
 
 A equação 3-7 é a mesma que resultaria se o circuito fosse o da fig. 3-3.b. 
Portanto, essas duas resistências em série equivale a uma única resistência que é igual a 
soma das resistências individuais. 
 
Generalizando, podemos dizer que, n resistências em série, equivale a uma única 
resistência R de valor igual a soma das resistências individuais. 
 
 nRRRRR +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++= 321 
 
 ou ∑
=
=
n
i
iRR
1
 3-9 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 3-2 
Em um circuito têm-se os seguintes resistores em série: 
 
Ω= 2001R , Ω= 4002R , Ω= 5003R 
Determinar o valor da resistência equivalente. 
Solução: 
 
 Ω=++= 1100500400200R 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Circuito contendo resistores em paralelo 
 
A fig. 3-4 mostra um circuito onde os resistores 1R e 2R estão conectados em paralelo. 
 
 
 17
 
⇒1R 2R1V 2V 1R 2RV V
(a) (b)
 
 Fig. 3-4 
 
Vamos supor que sobre o resistor 1R existisse uma tensão 1V e que sobre o resistor 2R 
existisse a tensão 2V . Ver fig. 3-4.a. Neste caso, ao circular no sentido horário esse 
circuito, teríamos a equação: 
 
 021 =+− VV 
 
ou 12 VV = 
 
Vemos que a tensão nos dois resistores é, obrigatoriamente, a mesma. Seja V, o valor 
dessa tensão comum, Ver fig. 3-4.b. 
Entretanto, as correntes elétricas que percorrem cada resistor, são diferentes entre si. 
Chamando de 1I a corrente que percorre 1R e de 2I a corrente que percorre 2R , fica: 
 
 
1
1 R
VI = e 
2
2 R
VI = 
 
Se 1R for diferente de 2R , então podemos ver que 1I será diferente de 2I . 
A figura 3-5, adiciona uma fonte de alimentação, com sua resistência interna. Indica, 
ainda as diversas tensões e correntes no circuito. 
 
 
E
+
−
SR
1R 2R
+
+ +
−
−
−
2ISV
D
I 1I
I
V
2I
C
1I
2I
V
 
 
 Fig. 3-5 
 
 
Neste circuito, os pontos C e D são chamados nós. 
 
 
 
 
 18
Lei de Kirchhoff para as correntes elétricas 
 
A soma algébrica das correntes elétricas, que entram ou saem de um nó, é nula. Por 
convenção, consideram-se as correntes queentram como negativas e as que saem como 
positivas. Ver fig. 3-6. 
 
1I
4I
3I2
I
 
 
 Fig. 3-6 
 
Tomando-se por base a fig. 3-6, tem-se: 
 
 04321 =+++− IIII 
 
ou 4321 IIII ++= 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 3-3 
No circuito da fig. 3-5 tem-se 21 =I amperes e 32 =I amperes. Determinar o valor 
de I. 
Solução: 
 021 =++− III 
 
 53221 =+=+= III amperes 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 3-4 
No circuito da fig. 3-5 tem-se AI 6= e 21 =I A.e Determinar o valor de 2I . 
Solução: 
 
 021 =++− III AIII 42612 =−=−= 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Associação de resistores em paralelo. 
 
I
V
1I 2I
1R 2R ⇒
I
RV
2I
C
(a) (b)
 
 
 Fig. 3-7 
 19
Na fig. 3-7.a vemos que 
 
 21 III += 
 
Mas, pela lei de Ohm tem-se 
 
 
1
1 R
VI = e 
2
2 R
VI = 
 
Resulta 





+=+=
2121
11
RR
V
R
V
R
VI 





=
R
V 1 
 
ou 
R
VI = 3-10 
 
onde 
21
111
RRR
+= 3-12 
 
A expressão 3-10 equivale ao resultado do cálculo da corrente no circuito da fig. 3-7.b, 
desde que a resistência equivalente R obedeça a expressão 3-12. 
 
Caso geral onde se tem n resistências em paralelo 
 
No caso geral em que se tem n resistências em paralelo, a utilização da lei de Kirchhoff, 
das correntes, leva-nos à expressão: 
 
 
nRRRRR
1
.
1
.
111
321
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++= 3-13 
 
ou ∑
=
=
n
i iRR 1
11
 3-14 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 3-5 
Em um circuito têm-se as seguintes resistências em paralelo: 
 
Ω= 2001R , Ω= 4002R , Ω= 5003R 
Determinar o valor da resistência equivalente para essa associação. 
Solução: 
 
3333 105,9102105,2105
500
1
400
1
200
11
−−−− ×=×+×+×=++=
R
 
 
Ω≈
×
=
−
3,105
105,9
1
3R 
-------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 20
Fórmula compacta para o caso em que se têm apenas duas resistências em 
paralelo. 
 
Vimos que, no caso de dois resistores em paralelo obteve-se (expressão 3-12); 
 
 
21
111
RRR
+= 
Fazendo a soma indicada, resulta: 
 
 
21
211
RR
RR
R
+
= 
 
ou 
21
21
RR
RR
R
+
= 3-15 
 
A expressão 3-15 é válida somente para o cálculo da resistência equivalente de uma 
associação de duas resistências em paralelo. Para ocaso de 3 ou mais resistências em 
paralelo deve-se usar a expressão geral 3-13. 
 
Condutância elétrica. 
 
Dado o valor R, de uma resistência, define-se como condutância G, o inverso daquele 
valor, ou seja: 
 
 
R
G 1= 
 
A unidade é mho ou 1−Ω 
 
Em termos de condutância, a equação 3-13 se transforma na equação: 
 
 
nGGGGG ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++= 321 
 
ou ∑
=
=
n
i
iGG
1
 
 
onde 
R
G 1= e 
i
i R
G 1= 
 
Conclusão: A associação de n condutâncias em paralelo equivale a uma condutância 
total dada pela soma das condutâncias individuais. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 3-6 
Dada a associação de condutâncias abaixo, determinar: 
a) A condutância equivalente 
b) A resistência equivalente. 
 21
4G2G 3G1G 101,0 −Ω 104,0 −Ω103,0 −Ω102,0 −Ω
 
 
Solução: 
a) 11,004,003,002,001,0 −Ω=+++=G 
b) Ω=== 10
1,0
11
G
R 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 3-7 
Determinar a resistência equivalente da associação de resistores abaixo. Sabe-se que 
Ω= 1001R , Ω= 2002R e Ω= 3003R 
 
 
1R
2R 3R
R
 
 
Solução: 
Inicialmente agrupamos as resistências 2R e 3R , resultando a resistência 23R 
 
 
1R
23R
R
 
 
Aplicando, para este caso, a fórmula 3-13, tem-se: 
 
 Ω=
+
×
=
+
= 120
300200
300200
32
32
23 RR
RR
R 
 
Finalmente, calculamos a resistência equivalente da associação série de 1R e 23R : 
 
 Ω=+=+= 220120100231 RRR 
 
 22
Resistência de carga oferecida a uma bateria 
 
É o valor da resistência externa CR que é alimentada pela bateria. Esta resistência pode 
ser proveniente de um único resistor, ou corresponder ao valor da resistência de uma 
associação de resistores. A fig. 3-8.a mostra um exemplo em que a resistência de carga é 
 
 Ω= 300CR 
 
No caso da fig. 3-8.b, a resistência de carga tem o valor: 
 
 Ω=+= 500300200CR . 
E
+
−
SR
Ω300 E
+
−
SR
Ω300
Ω200
(a) (b)
bateria bateria
 Fig. 3-8 
Nota: - Na fig. 3-8 a bateria foi representada dentro de um retângulo pontilhado. A 
partir deste momento, por simplicidade, o retângulo pontilhado será omitido. A 
representação da bateria será como mostrada na fig. 3-9. 
 
 
E
+
−
SR
 
 
 Fig. 3-9 
 
Medidor de tensão elétrica ou voltímetro. 
 
É um instrumento de medida que é colocado em paralelo a um componente do circuito. 
Ele mede a diferença de potencial entre seus terminais. Ver fig. 3-10. 
 
 
E
+
−
SR
0=VI
+
+
−
−
I SV
VV V1R
 
 
 Fig. 3-10 
Sua resistência elétrica VR é, teoricamente, infinita. Portanto a corrente VI , que 
percorre este dispositivo, é nula pois 
 23
 
 0=
∞
==
V
V
V
V
V
R
V
I 
 
Medida da força eletromotriz de uma bateria 
 
A fig. 3-11 mostra o arranjo para esta medida. 
 
 
E
+
−
SR
+
+
−
−
0=I
SV
VVV
 
 
 Fig. 3-11 
 
Vimos que a corrente elétrica que passa pelo voltímetro é nula. Isto faz com que não 
exista corrente no circuito da fig. 3-11. Portanto: 
 
 0=I 
 
Pela lei de Kirchhoff ,das tensões, tem-se: 
 
 0=++− VS VVE 
 
ou SV VEV −= 
 
Mas 00 =×=×= SSS RIRV 
Portanto 
 
 
 
Conclusão: - Quando se coloca um voltímetro entre os bornes de uma bateria, a tensãomedida corresponde a força eletromotriz dessa bateria. 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercício 3-8 
Sabe-se que uma bateria tem uma resistência interna Ω= 5SR . Mediu-se a diferença 
de potencial entre seus pólos , em circuito aberto e encontrou-se o valor de 10 v. 
a) Desenhar o circuito equivalente dessa bateria. 
b) Colocando-se um resistor externo Ω= 15cR , qual será a diferença de potencial 
V sobre os pólos dessa bateria? 
 
Solução 
EVV = 
 24
 
a) 
 
+
−
Ω= 5SR
vE 10=
 
 
b) Com o resistor externo Ω= 15cR tem-se 
 
 
+
−
Ω= 5SR
vE 10= Ω= 15cRV
I
 
 
0=++− IRIRE cS ou ( )cS RRIE += 
 
ou 
cs RR
EI
+
= = A5,0
155
10
=
+
 
 
 vRIV c 5,7155,0 =×=×= 
------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 O exercício 3-8 mostrou que a medida da tenção da bateria, em circuito fechado, é 
menor do que a mesma medida em circuito aberto. Isto comprova a afirmação feita no 
capítulo 2. 
 
Malhas do circuito 
 
Malha de um circuito é qualquer caminho fechado existente nesse circuito. No circuito 
da fig. 3-12, vemos três malhas: 
 
Percurso da primeira malha: ABFGA 
Percurso da segunda malha: ABCDFGA 
Percurso da terceira malha: BCDFB 
 
 25
 
E
+
−
SR
1R
2R
3R
B
F D
CA
G
 
 
 Fig. 3-12 
Plano terra 
 
A quase totalidade dos circuitos elétricos possui pontos que são conectados a um plano 
condutor denominado plano terra. Este plano terra está sempre ligado à carcaça do 
aparelho elétrico. Muitas vezes esse plano está, também, ligado ao solo, por meio de 
um fio condutor, de tal modo que a diferença de potencial entre esse plano térrea e o 
solo é zero volt. Dessa maneira não há perigo que uma pessoa, ao tocar na carcaça do 
aparelho, fique sujeita a um choque elétrico. No circuito exemplificado na fig. 3-13, o 
plano terra está indicado pela letra T. 
Por convenção, o potencial elétrico do plano terra é zero volt. Quando se diz, por 
exemplo, que a tensão em um ponto B, do circuito, é +10 volt, significa que a diferença 
de potencial entre aquele ponto e o plano terra é de +10 volt. 
 
 
E
+
−
SR
1R
2R
3R
T
B
 
 Fig. 3-13 
 
Exemplos de cálculos de tensões e correntes em alguns circuitos simples 
 
A fig. 3-14 mostra o exemplo de um circuito elétrico relativamente simples. Queremos 
determinar a tensão 2V 
 
 
E
+
SR 1R
2R
+
−
I
2V
−
 
 
 Fig. 3-14 
 
As três resistências em série equivalem a uma única resistência R tal que: 
 
 21 RRRR S ++= 
 
 26
Inicialmente, determinamos a corrente I. 
 
 
R
EI =
21 RRR
E
S ++
= 
Finalmente, calculamos 2V . 
 
 
21
2
22 RRR
RE
RIV
S ++
×
=×= 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 2-1 
No circuito da fig. 3-13, temos os seguintes dados: 
vE 30= , Ω= 100SR , Ω= 2001R e Ω= 3002R 
Determinar 2V . 
Solução: 
 v
RRR
REV
S
15
300200100
30030
21
2
2 =
++
×
=
++
×
= 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
A fig. 3-15 mostra outro circuito um pouco mais complicado. Desejamos determinar a 
tensão 2V e as correntes 2I e 1I . 
 
E
+
−
SR
1R 2R
I
1I 2
I 2V
 
 
 Fig. 3-15 
 
Inicialmente agrupamos 1R e 2R resultando a resistência 23R . Ver fig. 3-16. 
 
 
E
+
−
SR
23R
I
2VI
 
 
 Fig. 3-16 
 
 
21
21
23 RR
RR
R
+
= 
 
Notemos que sobre a resistência 23R tem-se a mesma tensão 2V que tínhamos sobre 2R 
e 3R . Ver fig. 3-16. 
 27
A resistência SR em série com a resistência 23R equivale a um resistor R tal que: 
 
 23RRR S += 
A seguir calculamos I . 
 
R
EI =
23RR
E
S +
= 
Em seguida calcula-se 2V 
 232 RIV ×= 
 
Finalmente, calculamos 1I e 2I . Pela fig. 3-14, vemos que: 
 
 
1
2
1 R
V
I = e 
2
2
2 R
V
I = 
Alternativamente, após o cálculo de 1I , pode-se calcular 2I , usando a lei de Kirchhoff 
das correntes: 
 12 III −= 
------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 2-2 
No circuito da fig. 3-14, têm-se os dados: 
 
 vE 44= , Ω= 100SR , Ω= 2001R e Ω= 3002R 
 
Determinar 2V e 2I . 
 
Ω=
+
×
= 120
300200
300200
23R 
 
A
RR
EI
S
2,0
120100
44
23
=
+
=
+
= 
 
 
vRIV 241202,0232 =×=×= 
 
mAA
R
V
I 8008,0
300
24
2
2
2 ==== 
 
mAAIII 12012,008,02,021 ==−=−= 
 
------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 
 
 
 
 28
4 – Fontes de tensão e de corrente ideais e suas 
transformações 
 
Uma fonte de tensão ideal é a fonte de alimentação cuja resistência interna é nula. Ver 
fig. 4-1.a. Ao adicionarmos uma resistência externa 
cR , teremos o circuito da 
fig. 4-1.b. 
Pela lei de Kirchhoff das tensões, fica: 
 
 0=+− VE 
 
 ou EV = 
 
Portanto uma fonte de tensão ideal fornece, para qualquer valor de resistência externa, 
sempre uma tensão igual a sua própria fem. Ver fig. 4-1.b. 
 
 
E
E EV =
cR
(a) (b)
 
 
 Fig. 4-1 
 
Entretanto, a fonte de tensão ideal não existe na prática, uma vez que não há bateria com 
resistência interna nula. Ela é utilizada apenas como ferramenta de ajuda para o cálculo 
de circuitos. 
 
Fonte de corrente ideal 
 
Uma fonte de corrente ideal é a fonte de alimentação que fornece, para a resistência de 
carga, sempre a mesma corrente, independente do valor dessa resistência carga. 
A fig 4-2.a mostra o símbolo de uma fonte de corrente de 2 ampere. 
 
AI 2= AI 2= AI 2= AI 2=
A2A2A2
Ω0 Ω100 Ωk10
(a) (b) (c) (d)
 
 Fig. 4-2 
 
As demais ilustrações da fig. 4-2 mostram que a corrente fornecida é sempre igual a 
2 ampere independentemente do valor da resistência externa de carga. 
Também, a fonte de corrente ideal não existe. 
 
 29
Fonte de tensão aproximadamente ideal 
 
Vamos supor que uma fonte de alimentação trabalha em circuitos em que a sua 
resistência interna SR é sempre muito menor do que a resistênciaexterna CR de carga, 
ou seja: 
 CS RR << 
 
Neste caso, essa fonte de alimentação pode ser considerada, aproximadamente, uma 
fonte de tensão ideal. 
Verificação: 
 Seja CS RR 001,0= . Ver fig. 4-3 
 
 
CR V
I
E
CR001,0
 
 
 Fig. 4-3 
 
 
CCCC R
E
R
E
RR
EI ≈=
+
=
001,1001,0
 
 
 ER
R
ERIV C
C
C =×≈×= 
 
 EV ≈ 
 
Isto mostra que, desde que a resistência interna de uma bateria seja muito menor do que 
as resistências externas que são utilizadas, essa bateria se comporta como uma fonte de 
tensão quase ideal, ou seja, a tensão que ela fornece para a resistência externa é 
aproximadamente igual a sua fem, qualquer que seja o valor dessa resistência externa. 
 
Fonte de corrente aproximadamente ideal 
 
Vamos supor que uma fonte de alimentação trabalha em circuitos em que as resistências 
externas de carga CR são, sempre, muito menores do que a resistência interna SR da 
fonte, ou seja: 
 SC RR << 
 
Neste caso, essa fonte de alimentação pode ser considerada, aproximadamente, uma 
fonte de corrente ideal. 
 
Verificação: 
 
 Seja SC RR 001,0= . Ver fig. 4-4 
 30
 
ISR
E cR
 
 
 Fig. 4-4 
 
cS RR
EI
+
= 
 
Como Sc RR 001,0= , resulta: 
 
 
 ( ) SSSS R
E
R
E
RR
EI ≈
+
=
+
=
001,0100,0
 
SR
EI ≈ 
 
Isto mostra que, desde que as resistências externas, utilizadas como carga, sejam muito 
menores do que a resistência interna da bateria, essa bateria se comporta como uma 
fonte de corrente quase ideal. Neste caso, qualquer que sejam o valor da resistência 
externa 
cR , a bateria fornece, aproximadamente, a corrente: 
 
SR
EI ≈ 
onde E e SR são, respectivamente a fem e a resistência interna dessa bateria. 
 
Transformações de Thevenin-Norton 
 
Uma fonte de tensão real que tiver uma fem igual a E, e uma resistência interna SR 
em série, pode ser representada por uma fonte de corrente com a mesma resistência 
SR colocada em paralelo, desde que a corrente dessa fonte de corrente seja: 
 
 
SR
EI = 
 
A fig. 4-5 ilustra essa afirmação. 
 
E
SR
+
− SR
EI =
SR⇔
(a) (b)
 
 Fig. 4-5 
 
 
 31
Demonstração: 
Seja ocaso em que a bateria alimenta uma carga externa CR . A fig. 4-6 mostra esta 
situação com base na representação indicada na fig. 4-5.a. 
 
 
CR
SR
1I
E
V
 
 
 
 Fig. 4-6 
A corrente no circuito fica: 
 
 
CS RR
EI
+
=1 
 
A tensão em CR fica: 
 
 
CS
C
C RR
ER
RIV
+
== 1 
 
Portanto 
CS
C
RR
ERV
+
= 4-1 
 
Vamos usar a segunda representação. Ver fig. 4-7.a. 
 
I
SR
EI = SR CR V
I
SR
EI = SCR V
(a) (b)
 
 
 Fig. 4-7 
A fonte de corrente fornece: 
 
 
SR
EI = 
Calculando-se a resistência equivalente que fica em paralelo com a fonte de 
corrente, tem-se: 
 32
 
CS
CS
SC RR
RR
R
+
= 
 
Ver fig. 4-7.b. 
A tensão em SCR , resulta: 
 
 =
+
×=×=
CS
CS
S
SC RR
RR
R
ERIV
CS
C
RR
ER
+
 
 
Mas, a tensão em SCR é a mesma tensão sobre a resistência de carga CR . 
Ver fig. 4-7.a 
Portanto, a tensão na carga CR fica: 
 
 
CS
C
RR
ERV
+
= 4-2 
 
Comparando as expressões 4-1 e 4-2, vemos que são idênticas. Isto confirma a 
equivalência das duas representações. 
 
Da mesma forma, é demonstrável, que se uma fonte de alimentação estiver 
representada por uma fonte de corrente I, em paralelo com uma resistência interna 
SR , ela pode ser transformada para a representação em que se tem uma fonte de 
tensão E, em série com a mesma resistência SR . Entretanto é obrigatório que o valor 
da fem dessa fonte de tensão seja: 
 
 SRIE ×= 
Ver fig. 4-8 
 
I SR
SR
+
−⇔ SRIE ×=
 
 
 Fig. 4-8 
 
As transformações de fonte de tensão para fonte de corrente e vice versa são chamadas 
Transformações de Thevenin-Norton. Essas transformações podem facilitar o cálculo 
de tensões e correntes em circuitos elétricos. 
Tomemos como exemplo o circuito mostrado na fig. 4-9. Vamos supor que se queira 
determinar a tensão 2V . 
 
 
 33
 
+
−
SR
1R 2R 2VE
 
 
 Fig. 4-9 
 
Inicialmente fazemos a transformação para fonte de corrente. Ver fig. 4-10.a. 
 
SR 1R 2R 2V
SR
E
SG 1G 2G 2VSGE ×
(a) (b)
 
 
 Fig. 4-10 
 
Quando se têm varias resistências em paralelo, as operações matemáticas ficam mais 
simples quando se trabalha com condutâncias no lugar de resistências. 
A fig. 4-10.b, mostra o circuito da fig. 4-10.a representado por condutâncias, cujos 
valores são: 
 
S
S R
G 1= , 
1
1
1
R
G = e 
2
2
1
R
G = 
 
A seguir agrupamos as condutâncias. Ver fig. 4-11 
 
 
21 GGGG S ++=G 2V
SGEI ×=
 
 
 Fig. 4-11 
 
Finalmente, calculamos a tensão desejada: 
 
 
21
2 1 GGG
EG
G
I
R
IRIV
S
S
++
===×= 
 
 
 
 
 34
---------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 4-1 
 
No circuito da fig. 4-10.a, tem-se os dados: 
 
 vE 44= , Ω= 100SR , Ω= 2001R e Ω= 3002R 
Determinar 2V . 
 
Solução: 
 
101,0
100
1
−Ω==SG , 
1
1 005,0200
1
−Ω==G , 10033,0
300
1
−Ω≈=SG 
 
v
GGG
EGV
S
S 24
0033,0005,001,0
01,044
21
2 =++
×
=
++
= 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 4-2 
No circuito abaixo, determinar a tensão 3V . 
 
+
−
SR
1R
2R
3R 3
V
1E
 
 
Dados: vE 1001 = , Ω= 100SR , Ω= 3001R , Ω= 3252R , 
Ω= 3503R 
Solução: 
 
Fazemos transformações Thevenin-Norton sucessivas 
 
Primeira transformação: fonte de tensão para fonte de corrente. 
 
 
3V
1I SR 1R
2R
3R
 
 
 A
R
E
I
S
1
100
1001
1 === 
Agrupamos SR e 1R , resultando a resistência 1SR 
 
 35
 
3V1SR
2R
3R1
I
 
 
 
1
1
1 RR
RR
R
S
S
S +
= Ω=
+
×
= 75
300100
300100
 
 
Segunda transformação: fonte de corrente para fonte de tensão. 
 
 
3V
2E
1SR 2R
3R
+
−
2I
 
 
 vRIE S 75751112=×== 
Calculamos 2I 
 
A
RRR
E
I
S
1,0
35032575
75
321
2
2 =
++
=
++
= 
 
Calculamos 3V 
 
 vRIV 353501,0323 =×== 
 
 vV 353 = 
------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36
5 - EQUAÇÕES DE MALHAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA 
 
As equações de malhas e de nós formam sistemas de equações de primeiro grau, com 
um número de equações igual ao de incógnitas. É o método mais sistemático para o 
cálculo de circuitos elétricos. Por isto os programas computacionais para o cálculo de 
circuitos se baseiam neste método 
 
Equações de malhas 
 
Seja o circuito da fig. 5-1 
 
 
+
−
1E
1I
2I 3R
2R
1R
SR
1V 2V
 
 
 Fig. 5-1 
 
Neste circuito mostramos duas malhas. As correntes 1I e 2I são chamadas de correntes 
de malhas. Dessas duas malhas se extraem duas equações onde as incógnitas são 1I e 
2I . As duas equações resultam da aplicação da lei Kirchhoff das tensões. Lembremos 
que essa lei assegura que a soma algébrica das tensões, ao longo de uma malha fechada, 
é zero. Note-se que no resistor 1R passa a diferença entre as correntes 1I e 2I . As 
equações são: 
 
 1a. malha: ( ) 012111 =−++− RIIRIE S 
 
 2a. malha: ( ) 03222112 =++− RIRIRII 
 
 Manipulando-se algebricamente essas equações, resulta: 
 
 1a. malha: ( ) 12111 EIRIRRS =−+ 5-1 
 
 2a. malha: ( ) 0232111 =+++− IRRRIR 5-2 
 
 A resolução desse sistema de duas equações e duas incógnitas nos fornecerá os 
valores de 1I e 2I . Essa resolução pode ser feita por qualquer método usual, tal como, 
pelo método dos determinantes, ou pelo método de substituição de variáveis. 
 
A partir das correntes calculadas, pode-se determinar as tensões em cada componente. 
Exemplos: 
 
 37
Tensão em 3R : 
 
 322 RIV = 
Tensão em 1R : 
 
( ) 1211 RIIV −= 
 
 Diferença de potencial em 2R : 
 
2112 VVV −= 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 5-1 
Utilizando as equações de malhas, determinar as tensões 1V e 2V do circuito da fig. 
5-1. 
Dados: vE 1001 = , Ω= 100SR , Ω= 3001R , Ω= 3252R , 
Ω= 3503R 
 
Solução: 
 
A equação 5-1 fica: 
 
( ) 100300300100 21 =−+ II ou 
 
100300400 21 =− II 5-3 
 
A equação 3-2 fica: 
 
( ) 0350325300300 21 =+++− II ou 
 
0975300 21 =+− II 5-4 
 
Vamos resolver este sistema, de duas equações, usando o método da substituição de 
variáveis.: 
Calcula-se 1I , em função de 2I , a partir da equação 5-4. Resulta: 
 
221 25,3300
975 III == 5-5 
 
Substitui-se este valor de 1I , na equação 5-3: 
 
10030025,3400 22 =−× II ou 
 
1001000 2 =I ou 
 
 38
AI 1,0
1000
100
2 == 
 
 
Da equação 5-5 tem-se: 
 
AII 325,01,025,325,3 21 =×== 
 
vRIV 353501,0322 =×== 
 
( ) ( ) vRIIV 5,673001,0325,01211 =×−=−= 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
POTÊNCIA FORNECIDA, POR UMA FONTE DE ALIMENTAÇÃO, A UMA 
RESISTÊNCIA DE CARGA EXTERNA. 
 
Vamos supor que uma bateria, com resistência interna SR , fornece energia para uma 
resistência externa de valor CR . Ver fig. 5-3. Desejamos determinar a potência CP 
fornecida à resistência CR . 
 
 
+
−
E
I
CR
SR
I
 
 
 Fig. 5-3 
 
Inicialmente calculamos a corrente elétrica: 
 
 
 
CS RR
EI
+
= ou 






+
=
S
C
S R
R
R
EI
1
 
 
 
De acordo com a expressão 2-4 (capítulo 2) a potência fornecida ao resistor CR , fica: 
 
 
2IRP CC = = 2
2
2
1 





+
S
C
S
C
R
R
R
ER
 
 
 
 39
 ou =CP 2
2
1 





+
×
S
C
S
C
S
R
R
R
R
R
E
 5-10 
 
Podemos observar que a potência fornecida, à carga externa CR , cresce com o quadrado 
da fem da bateria. 
O gráfico da fig. 5-4 mostra como varia essa potência em função da relação 
S
C
R
R
. 
 
 
0 0,25,115,0 S
C
R
R
( )
S
MAXC R
EP
4
2
=
CP
 
 
 Fig. 5-4 
 
Observando esse gráfico podemos notar que o valor máximo da potência, fornecida à 
carga CR , acontece para 
 
 1=
S
C
R
R
 5-11 
 
ou SC RR = 
 
Substituindo-se 5-11 em 5-10 chegamos ao valor da potência máxima que pode ser 
fornecida à resistência externa CR : 
 
 ( ) =MAXCP ( )2
2
11
1
+
×
SR
E
 
SR
E
4
2
= . 
 
Portanto: ( ) =MAXCP
SR
E
4
2
 5-12 
 
 
Pela expressão 5-12, podemos concluir que o valor máximo de potência, que acontece 
quando SC RR = , é tanto maior quanto menor for a resistência interna da fonte, .SR 
 40
Quando se tem o valor da resistência de carga CR igual ao valor da resistência SR , 
interna da fonte, dizemos que a carga externa está casada com a fonte de alimentação. 
Esse casamento acarreta a maior transferência de potência da fonte de alimentação para 
a carga externa. Conseqüentemente, a energia transferida da fonte de alimentação para a 
carga é maximizada nesta situação. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 5-3 
 
Uma fonte de alimentação possui uma fem de 20 v e uma resistência interna de Ω50 . 
Determinar: 
 
a) A máxima potência que essa fonte pode fornecer a uma resistência externa CR . 
b) O valor dessa resistência CR nesta situação. 
c) O valor da potência fornecida a uma resistência de carga de valor SR2,0 . 
d) O valor da potência fornecida a uma resistência de carga de valor SR9 . 
 
Solução: 
 
a) ( )
S
MAXC R
EP
4
2
=
( ) W2
504
20 2
=
×
= 
 
b) Ω== 50SC RR 
 
c) SC RR 2,0= ou 2,0=
S
C
R
R
 
 
 =CP 2
2
1 





+
×
S
C
S
C
S
R
R
R
R
R
E ( )
( )2
2
2,01
2,0
50
20
+
×= W1,1≈ 
 
d) SC RR 9= ou 9=
S
C
R
R
 
 
 
=CP 2
2
1 





+
×
S
C
S
C
S
R
R
R
R
R
E ( )
( )2
2
91
9
50
20
+
×= W72,0≈ 
------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 5-4 
No circuito abaixo: 
a) Determinar o valor de 2R para que seja transferida, para ele, a potência máxima. 
 41
b) Determinar o valor dessa potência máxima. 
 
v20
Ω10
Ω10 2R=1E
 
 
Solução: 
 
Aplicando-se sucessivamente a transformação de Thevenin-Norton resulta:Ω10 2RΩ10 AI 2= Ω5 2R⇒
Ω5
2R⇒
SR
=
Ω
=
Ω
=
10
20
10
1 vEI
A2=
=×=Ω×= vAIE 5252
v10=
 
 
Após as transformações tem-se a equivalência: vE 102 = e Ω= 5SR 
Portanto: 
a) Ω== 52 SRR 
b) ( ) W
R
E
P
S
MAXC 554
10
4
2
2
=
×
== 
----------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42
6 – CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 
 
Comparação entre tensão e corrente contínuas com tensão e 
corrente alternadas 
 
Característica da tensão e da corrente contínuas 
 
Quando a tensão ou a corrente, medidas em qualquer ponto de um circuito, não muda 
conforme o tempo passa, dizemos que essa tensão e essa corrente são contínuas. 
Vamos exemplificar utilizando o circuito mostrado na fig. 6-1. Calculando a corrente I 
e a tensão V, resultam, respectivamente, I = 2 ampere e V = 10 volt. Nota-se que a 
tensão V é positiva em relação a terra. Neste caso, a corrente elétrica I, por se dirigir do 
circuito para a terra é, por convenção, também positiva. 
 
 
+
−
Ω1
Ω5
volt12 voltV 10=AI 2=
+
−
I
 
 
 Fig, 6-1 
 
 Se medíssemos essas grandezas em diversos instantes e construíssemos gráficos dos 
valores medidos, esses gráficos seriam aqueles mostrados na fig. 6-2. 
 
 
tempo
I
0
volt10+
volt0
tempo0
V
ampere2
ampere0
 
 
 
 Fig, 6-2 
 
Vemos que o valor da tensão e o da corrente são sempre os mesmos, qualquer que seja 
o instante em que a medida foi feita. 
 
 
 
 43
A fig. 6-3 mostra a situação em que a bateria tem seu pólo positivo conectado ao plano 
terra. 
 
 
+
−
Ω1
Ω5
volt12 voltV 10−=AI 2−=
+
−
 
 
 Fig. 6-3 
 
 
Nota-se que a tensão V é negativa em relação à terra. Neste caso, a corrente elétrica I, 
por se dirigir da terra para o circuito é, por convenção, também negativa.. 
 Se medíssemos essas grandezas em diversos instantes e construíssemos gráficos dos 
valores medidos, esses gráficos seriam aqueles mostrados na fig. 6-4.. 
 
 
tempo
V
volt10
volt0
tempoampere0
ampere2
I
 
 
 Fig. 6-4 
Uma fonte de alimentação que possui força eletromotriz constante produz, em qualquer 
ponto do circuito, tensões e correntes constantes, que são, também chamadas de tensões 
e correntes contínuas. 
Um exemplo de fonte de tensão e corrente contínuas é a bateria usada nos automóveis. 
Sua fem é igual a 12 volt. 
 
Característica da tensão e da corrente alternadas. 
 
A tensão alternada varia à medida que o tempo passa. Se uma tensão deste tipo fosse 
medida ao longo do tempo teríamos um gráfico do tipo mostrado na fig. 6-5. Este 
gráfico se chama curva de variação da tensão alternada. 
Pode-se notar que a tensão alternada varia senoidalmente ao longo do tempo. 
 44
 
0
PERÍODO
volt10+
volt10−
TENSÃO
A B
 
 
 Fig. 6-5 
 
Podemos observar que essa tensão muda, de valor positivo para negativo e vice versa, 
periodicamente. Neste exemplo, a tensão, atinge os valores extremos de + 10 volt e 
-10 volt. Este valor extremo é chamado de amplitude da tensão elétrica. Portanto, a 
tensão mostrada no gráfico da fig. 6-5 possui uma amplitude de 10 volt. 
Na fig. 6-5 está, também, assinalada a duração de um período da tensão. Um período é o 
intervalo de tempo entre dois pontos da curva de mesma situação. Os pontos A e B são 
pontos em que a tensão tem valor zero. Além disto eles estão situados em trechos da 
curva que possuem a mesma inclinação. Este período é, também, chamado de ciclo da 
tensão alternada. 
A quantidade de ciclos que cabem em um segundo é chamada de freqüência. 
Matematicamente, a freqüência vem a ser o inverso da duração do período. Assim, por 
exemplo, se o período durar 1 milésimo de segundo, isto significa que em um segundo 
caberão mil períodos, ou seja, tem-se mil períodos ou ciclos por segundo: 
 
 segundoperíodo 001,0= 
 
 segundociclos
período
freqüência /1000
001,0
11
=== 
 
Os pinos de uma tomada elétrica doméstica são equivalentes aos terminais de uma fonte 
de alimentação cuja tensão fornecida é alternada. Sua força eletromotriz possui uma 
amplitude da ordem de 156 volt e uma freqüência de 60 ciclos por segundo. 
Desde a década de 1960 a unidade de freqüência passou a se chamar Hertz, em 
homenagem ao cientista alemão que, nas últimas décadas do século 19, fez importantes 
descobertas sobre a irradiação de sinais elétricos. Portanto, o correto é dizer que a 
freqüência da tensão alternada, fornecida pela rede elétrica, tem o valor de 60 Hertz. 
 
Determinação de correntes e tensões em um circuito elétrico 
 
Quando o circuito elétrico possui apenas resistências, os cálculos de tensões e 
correntes, presentes nesse circuito, a cada instante, seguem as mesmas leis de Ohm e 
de Kirchhoff que utilizamos para o cálculo das tensões e correntes contínuas. 
 
 45
Exemplo 6-1 
Seja o circuito da fig. 6-6. Neste circuito tem-se uma fonte de alimentação de tensão 
alternada, cuja força eletromotriz foi designada pelo símbolo e. Esta fonte possui uma 
resistência interna Ω= 3SR e alimenta uma resistência externa de carga Ω= 7CR . 
 
 
i
Ω= 3SR
Ω= 7CR
e
Cv
 
 
 Fig. 6-6 
 
 
Em qualquer instante em que se observasse as tensões e correntes, nesse circuito, seus 
valores numéricos obedeceriam as equações: 
 
 
CS RR
ei
+
= 6-1 
 
 
 CC Riv ×= 6-2 
 
Vamos supor que a amplitude da fem é vE 20= . 
Neste caso a amplitude da corrente será: 
 
 
 A
v
RR
EI
CS
2
73
20
=
Ω+Ω
=
+
= 
 
 
A amplitude da tensão, no resistor CR , fica: 
 
 
 vARIV CC 1472 =Ω×=×= 
 
 
A fig. 6-7 mostra como varia no tempo esses parâmetros. 
Quando o valor da corrente elétrica é negativo significa que ela circula em sentido 
contrário da corrente cujo valor é positivo. 
Podemos concluir que o circuito elétrico não muda a forma nem a freqüência das 
grandezas elétricas. Muda apenas seus valores numéricos instantâneos. 
 
 46
 
 
 
volt20+
volt20−
volt0
tempo
e
0
volt14+
volt14−
tempo
0
Cv
ampere2+
ampere2−
ampere0
tempo
0
volt0
i
 
 Fig. 6-7 
 
Potência elétrica instantânea 
 
Vamos supor que em um determinado instante tem-se, sobre um resistor R, uma tensão 
de v volt e uma corrente de i ampere. Neste caso, a potência elétrica, naquele instante, é 
dada pela expressão: 
 
 ivPinst ×= 6-3 
 
Como, no resistor, se tem a tensão instantânea de valor iRv ×= , sua substituição em 
6-3 leva à fórmula alternativa: 
 
2iRPinst×= 6-4 
Da mesma forma, como a corrente instantânea, no resistor, tem o valor 
R
vi = , a 
substituição em 6-3 leva a outra fórmula alternativa: 
 
 
R
vPinst
2
= 6-5 
 
 
 
 
 47
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 6-1 
Tomando como referência o circuito do exemplo 6-6, vamos supor que no instante 1t 
tivéssemos, no resistor Ω= 7CR , a corrente Ai 1= . Neste caso resulta que, naquele 
instante, se tem a tensão 
 
 vRiv CC 771 =×=×= , 
 Ver figura abaixo. 
 
tempo
0
Cv
ampere2+
ampere2−
ampere0
tempo
0
i
ampere1+
volt7+
1t
1t
volt14+
volt14−
volt0
 
 
Vamos determinar a potência, sobre a resistência CR , naquele instante. Usearemos as 
três fórmulas alternativas. 
 
a) Fórmula 6-3 
 
 ivP Cinst ×= = Watt717 =× 
 
b) Fórmula 6-4 
 
 
2iRP Cinst ×= = Watt717
2
=× 
 
c) Fórmula 6-5 
 
 
C
C
inst R
v
P
2
= = Watt7
7
72
= 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 48
 
 
Análise matemática das tensões e correntes alternadas: senoide e cosenoide 
 
Matematicamente, o argumento das funções seno e coseno só pode ser ângulo, como é 
mostrado na fig. 6-8. Nessas figuras adotamos a convenção em que os ângulos são 
positivos e crescentes. Esses ângulos são chamados de fase dessas funções. 
 
 
30
360330
0
240 270 300
180150120
210
9060
1,0
0,87
0,50
0,0
-1,0
-0,87
-0,50
θsen
30 3603300
240 270
300
180150120 210
9060
1,0
0,87
0,50
0,0
-1,0
-0,87
-0,50
θcos
(a)
(b)
θ
][graus
θ ][graus
 
 
 Fig. 6-8 
 
Na fig. 6-8a. está mostrado um período da função θsen , onde θ é a fase em graus. 
Como se vê, para o valor graus0=θ , o valor de θsen é igual a zero. Para 
graus90=θ , esta função atinge o valor máximo que é 1. 
Na fig. 6-6.b mostramos um período da função θcos . Repare-se que para o valor 
graus0=θ , o valor de θcos é igual a 1. Para graus90=θ , esta função adquire o 
valor zero. Costuma-se dizer que existe uma diferença de fase de 90 graus entre o seno e 
o coseno. 
Na engenharia elétrica, adota-se a unidade de fase radiano. A razão principal para isto 
é que a unidade radiano é compatível com as operações matemáticas de diferenciação e 
integração usadas, freqüentemente, na análise científica das propriedades das correntes 
 49
e tensões em circuitos elétricos. Radiano é igual à divisão do comprimento de um arco 
de uma circunferência pelo raio dessa circunferência. 
 
As tabelas 6-1.a e 6-1.b mostram, as correspondências, em radiano, para diversos 
valores, em grau, da fase θ . Para qualquer outro valor, de ângulo em graus, a 
conversão para radiano pode ser determinada pela fórmula: 
 
 
180
0 piθθ ×=rd 
 
 Tabela 6-1.a 
Grau 0 30 45 60 90 120 135 150 180 
Radiano 0 
6
pi
 
4
pi
 
3
pi
 
2
pi
 
3
2 pi 
4
3pi 5
6
pi
 
pi 
 
 Tabela 6-1.b 
Grau 210 225 240 270 300 315 330 360 
Radiano 
7
6
pi
 5
4
pi
 4
3
pi
 3
2
pi
 
3
5 pi 
4
7 pi 
6
11pi pi2 
 
Poderíamos dizer, por exemplo, que quando a fase é 
6
pi
 rd (30 graus), o valor do seno 
é 0,5 e o coseno vale 0,866. 
 
Mais uma vez, observando a fig. 6-8, notamos que um período do seno ou do coseno 
corresponde a uma variação de fase de 360 graus ou pi2 radianos. 
 
Tensões e correntes alternadas 
 
As tensões e correntes alternadas tanto podem ser representadas, matematicamente, 
pela função seno ou pela função coseno. Entretanto, principalmente na eletrônica, 
 usa-se, por convenção, a função coseno. 
 
Sinais elétricos alternados 
 
Os sinais elétricos alternados são função da grandeza tempo em vez da grandeza ângulo. 
Para expressá-los matematicamente é necessário fazer a correspondência entre tempo e 
ângulo. A fig. 6-9 fornece a ferramenta para determinar essa correspondência. 
Podemos notar que um período do sinal, de T segundos , corresponde ao ângulo de 
pi2 radianos. Um tempo t arbitrário corresponderá a um específico ângulo θ , que pode 
ser calculado pela regra de três: 
 
 segT ⇒ rdpi2 
 segt ⇒ rdθ 
 
 
 
Resulta: 
 50
 
 segt
segT
rd
rd ×= piθ 2 
 
ou, simplesmente, t
T
×=
piθ 2 6-6 
 
Na expressão 6-6, as grandezas t e T devem ser dadas em segundos. O ângulo θ 
 é obtido na unidade radiano. 
 
 
(a)
2
T
4
T
8
3T
T
8
5 T
4
3T
8
7 T8
T t
( )tS
0
1,0
0,707
0,0
-1,0
θ ][ radianos
4
pi pi2
4
7 pi
- 0,707
ângulo
2
pi
4
3pi 4
5 pi
2
3pi
θcos
pi
0
1,0
0,707
0,0
-1,0
- 0,707
[segundos
tempo
(b)
 
 
 Fig. 6-9 
 
Podemos concluir que função mostrada na fig. 6-9.b obedece a expressão matemática: 
 
 
 
 
( ) t
T
tS pi2cos= 6-7 
 
 
Fase do sinal alternado 
 
 51
É o valor do ângulo θ em um determinado instante t. 
---------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 6-2 
No sinal representado na fig. 6-9.b, tem-se T = 2 s. 
a) Determinar a fase no instante t = 0,25 s. 
b) Determinar o valor de S(t) naquele instante. 
 
Solução: 
 
a) Pela expressão 6-6, tem-se: 
 
 t
T
×=
piθ 2 = rd785,025,025,0
2
2
==× pi
pi
 
b) Pela expressão 6-7 tem-se: 
 
 ( ) t
T
tS pi2cos= ( )rd785,0coscos == θ = 0,707 
-------------------------------------------------------------------------------------- 
Freqüência do sinal alternado 
 
Vimos que a freqüência de um sinal alternado é a quantidade de períodos que acontece a 
cada segundo. O valor dessa freqüência é igual ao inverso do valor do período. 
 
Por exemplo: 
 
Se o período for igual a um milésimo de segundo, significa que em um segundo estão 
presentes 1000 períodos. Neste caso: 
 
 Período: T = 0,001 seg 
 Freqüência: 1000
001,0
1
==f períodos por segundo 
 
 ou f = 1000 ciclos por segundo 
 
 
 ou f = 1000 Hertz 
 
 Portanto: 
 
 
T
f 1= 6-8 
 
 
Neste caso, a expressão 6-7 toma a forma: 
 
 ( ) fttS pi2cos= 6-9 
 
 
 
 52
Freqüência angular 
 
A fig. 6-7.a mostra que um ciclo corresponde a uma variação angular de pi2 radianos. 
Portanto, em nosso exemplo, poderíamos dizer que a freqüência angular é 
 
 10002 ×pi radianos por segundo 
 
O símbolo matemático que representa a freqüência angular, é a letra grega ω (ômega). 
 
Portanto: