Cabos suspensos

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Universidade Federal do Mato Grosso – UFMT 
Campus Universitário do Araguaia - CUA 
Instituto de Ciências Exatas e da Terra - ICET 
Bacharelado em Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
CABOS SUSPENSOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Barra do Garças - MT 
2016 
Leonardo Alves da Costa 
 
 
 
 
 
 
 
CABOS SUSPENSOS 
 
 
 
 
Trabalho desenvolvido durante a 
disciplina de Equações Diferenciais 
ministrada pelo professor Dr. Marco 
Donisete de Campos. 
 
 
 
 
Barra do Garças - MT 
2016 
Introdução 
Um cabo suspenso em seus extremos submetido a ação de uma força 
uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento descreve uma curva denominada 
catenária, do latim catena, corrente. O problema foi proposto por Galileu Galilei, que 
após observar uma corrente suspensa, supôs que a curva pudesse ser descrita como uma 
parábola. Mais tarde, através do Cálculo Diferencial, Leibniz e Bernoulli demonstraram 
que a curva não poderia ser descrita de tal forma, concretizando o primeiro sucesso 
público do novo cálculo. 
A catenária pode ser facilmente vista no dia-a-dia. Um exemplo clássico são as 
redes de transmissão elétrica, telefônica, etc. Além disso, pode ser observada em pontes 
pênseis, bem como em algumas coberturas utilizadas na construção civil. Em topografia, 
no uso de trena convencional, a catenária deve ser considerada na metragem de grandes 
distâncias, afim de evitar erros de precisão. 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
 
(d) 
Figura 1 – Aplicações da catenária, (a) redes de transmissão, (b) ponte pênsil, 
(c) cobertura de edificações e (d) arco catenário. 
 
Formulação 
Supomos que um fio esteja suspenso por dois postes sob ação de seu peso 
próprio, como em uma rede de transmissão elétrica, Figura 2 - (a). 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 2 – (a) Esquema simplificado de um trecho de uma rede de transmissão e (b) eixo 
coordenado adotado no modelo. 
Como referencial, adotaremos o ponto mais baixo da curva, pelo qual passará o 
eixo das ordenadas, e estará a a unidades acima do eixo das abscissas (Figura 2 - (b)). 
Afim de se obter a função que descreva a curva formada pelo fio é necessário impor 
algumas hipóteses ao modelo: o cabo é totalmente flexível (as tensões ao longo do cabo 
são tangenciais) e inextensível (não há deformações devido as tensões ou temperatura). 
Procedendo a análise estática do trecho entre P1 e P2, um ponto arbitrário, teremos 
três forças atuantes no fio: o peso do segmento P1P2 e as tensões T1 e T2, que atuam 
tangencialmente em P1 e P2, respectivamente. Sejam 𝛾 a densidade linear do cabo e 𝑠 o 
comprimento do segmento P1P2, então o peso do trecho analisado é dado por 𝛾𝑠. Agora, 
considerando 𝜃 o ângulo entre a linha de ação de T2 e a horizontal e realizando o balanço 
de forças, obtemos 
𝑇1 = 𝑇2𝑐𝑜𝑠𝜃 (1) 
𝛾𝑠 = 𝑇2𝑠𝑒𝑛𝜃 (2) 
De (1) e (2) temos que 𝑡𝑔𝜃 =
𝛾𝑠
𝑇1
, ou seja, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝛾𝑠
𝑇1
. (3) 
O comprimento do cabo entre os pontos P1 e P2 é dado por 
𝑠 = ∫ √1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
𝑑𝑥
𝑥
0
. (4) 
Utilizando o teorema fundamental do cálculo derivamos (4), obtendo 
𝑑𝑠
𝑑𝑥
= √1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
. (5) 
Agora, derivando (3) em relação a x, temos 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
𝛾
𝑇1
𝑑𝑠
𝑑𝑥
. (6) 
Substituindo (5) em (6), encontramos uma Equação Diferencial Não Linear de 
Segunda Ordem que descreve a curva formada pelo cabo suspenso 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
𝛾
𝑇1
√1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
2
. (7) 
De acordo com o eixo coordenado adotado as seguintes condições iniciais 
associadas a (7) são evidentes, 𝑦(0) = 𝑎 e 𝑦′(0) = 0. Fazendo 𝑢 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, temos 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝛾
𝑇1
√1 + 𝑢2 (8) 
A partir daí, 
∫
𝑑𝑢
√1 + (𝑢)2
=
𝛾
𝑇1
∫ 𝑑𝑥 ⇔ 𝑠𝑒𝑛ℎ−1𝑢 =
𝛾
𝑇1
𝑥 + 𝑘1 (9) 
Como 𝑢(0) = 0, temos 
𝑠𝑒𝑛ℎ−1(0) =
𝛾
𝑇1
(0) + 𝑘1 ⇒ 𝑘1 = 0 
(10) 
Logo, 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛ℎ (
𝛾𝑥
𝑇1
) (11) 
Daí obtemos 
𝑦 = ∫ 𝑢𝑑𝑥 ⇒ 𝑦 =
𝑇1
𝛾
cosh (
𝛾𝑥
𝑇1
) + 𝑘2 
(12) 
 Usando 𝑦(0) = 𝑎 segue que 𝑘2 = 𝑎 −
𝑇1
𝛾
. Para fins de simplificação tomamos 
𝑎 =
𝑇1
𝛾
. Logo, a curva descrita por um cabo suspenso sob ação de forças uniformemente 
distribuídas ao longo de seu comprimento é dada por 
𝑦(𝑥) =
𝑇1
𝛾
cosh (
𝛾𝑥
𝑇1
) (13) 
 
 
Aplicação prática 
Em uma rede de transmissão deseja-se fazer a troca de um cabo já desgastado, por 
um novo. Sabe-se que a tensão no ponto mais baixo do cabo é de 𝑇1 = 4 𝑘𝑁 e ele está 
localizado a uma distância horizontal de 10 𝑚 de cada um dos postes de sustentação. 
Além disso, o peso linear do fio é de 𝛾 = 0,5
𝑘𝑔
𝑚
. Determine o comprimento do novo cabo. 
Solução: De acordo com os dados do problema e a Eq. (13) a curva descrita por 
tal cabo é dada por (e ilustrada na Figura 3) 
𝑦(𝑥) =
4
0,5
cosh (
0,5
4
𝑥) ⇔ 𝑦(𝑥) = 8cosh (
1
8
𝑥) ① 
Para definir o comprimento do cabo utilizaremos a Eq. (4), derivando ① pela 
regra da cadeia e logo depois substituindo em Eq. (4) obtemos, respectivamente, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛ℎ (
𝑥
8
) 
e 
𝑠 = ∫ √1 + (𝑠𝑒𝑛ℎ (
𝑥
8
))
2
𝑑𝑥
10
0
=̃ 12,815 𝑚 
 
Logo o comprimento do cabo a ser utilizado nessa situação é de 2𝑠 =̃ 𝟐𝟓, 𝟔𝟑 𝒎. 
Nota-se que a deflexão no cabo (𝑦(10) − 𝑦(0) =̃ 7,12) é relativamente grande, o 
que faz aumentar o comprimento do cabo utilizado. Observando a Eq. (13), notamos que 
para diminuir a deflexão do cabo, e consequentemente seu comprimento, é necessário 
aumentar a tensão aplicada no mesmo. 
 
Figura 3 – Curva descrita pelo cabo do problema. 
 
Catenária x Parábola 
Como vimos, a catenária não é definida por uma parábola, mas pela função do 
cosseno hiperbólico. Mesmo assim, em muitas aplicações dessa curva, principalmente em 
pontes pênseis, são utilizadas aproximações por meio de parábolas, por motivos de 
simplificação. Na Figura 3 é apresentada uma comparação entre tais curvas, apenas para 
a ilustração. 
 
Figura 3 – Comparação entre uma curva catenária (em vermelho) e uma família de funções 
parabólicas (em azul). 
 
 
Referências 
FARIA, S. R. A catenária. Monografia (Pós Graduação). Universidade Federal 
de Minas Gerais - UFMG, Belo Horizonte - MG, 2011. 
RUFFINO, P.R. O problema da corda suspensa. Matemática Universitária. 
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, Campinas - SP, 1998. 
ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 
THOMSON, São Paulo – SP, 2003.