Produto_Escalar

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Dados dois vetores u e v , não nulos, e escolhido um 
ponto O qualquer, podemos escrever: 
 
A = O + u e B = O + v. 
A 
O B 
Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AOB 
 
determinado pelas semi-retas OA e OB. 
^ 
u 
v 
Indicamos AOB = (u ,v ) , onde 
 ),(0 vu
. Observe que se ( u ,v ) = 0 , os vetores u e v tem o mesmo 
 
sentido e se ( u, v ) = π , estes vetores tem sentidos contrários 
Sejam u e v vetores não nulos. O produto escalar de 
 
u por v, indicado por u. v, é o número real : 
 
u . v = | u |. | v |. cos ( u , v ) 
PRODUTO ESCALAR 
Se um dos vetores for nulo temos u . v = 0. 
Expressão cartesiana do produto escalar 
Dados os vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) 
na base { i, j, k }, temos: u . v = x1x2 + y1y2 + z1z2 
 Ex: Sejam e kjiu 853  kjiv  24
1481012
)1(8)2()5(43


vu
vu
Ex: Dado um quadrado cujo lado mede 2, calcule: 
 
AB. BC 
 
AB. AC 
 
AB. CD 
Sejam u, v e w vetores quaisquer e t um número real. 
1)v.u = u.v 
2)t (v.u) = (tv)u = v(tu) 
3)u (v+w) = u.v + u.w 
4)u.u = |u|2 
5)u.v = 0 se e somente se u v 
 
 Do triângulo 
retângulo temos: 
v
v
OAOA 
v
vu
OA
vu
vu
uOA
uOA
u
OA




  coscos
Sabendo que: 
Como : 
Então: 
u
vprojOA 
  00 vvuproj uv 
v
v
v
vu
OA
v
v
v
vu
OA
v
vu
v
v
OA








Sejam u e v dois vetores representados abaixo: 
O vetor v se exprime de maneira única na forma 
 
v = v1 + v2, onde v1 é paralelo a u e v2 é ortogonal a u. 
 v1 
v2 
v v 
u 
Chamamos o vetor v1 de projeção de v na direção de u. 
 
oov
u uuvprojv ).(1 
Chamamos de 
ouv.
a medida algébrica da projeção 
 
de v na direção de u e indicamos 
v
uprojamed ..lg.
Dados os vetores u=(1,2,2) e v=(2,0,2), 
calcule: 
a) u.v 
b) |u| 
c) Versor de u 
d) Cos(u,v) 
e) Sendo w=(0,2,-2) ele é ortogonal a u? 
 
1. Calcule o ângulo entre os vetores 
e . 
2. Sabendo que o vetor forma um 
ângulo de 60° com o vetor determinado 
pelos pontos e , 
calcular m. 
 4,1,1u
 2,2,1v
 1,1,2 v
 2,1,3 A  mB ,0,4