Diagrama de Bode

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Profa Ninoska Bojorge
Outros Processos de Separação
Diagrama de Bode 
Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFF 
Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS 
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Informação
2
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Papel Bode 1
3
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Papel Bode 2
4
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Papel Bode 3
5
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Resposta de Frequência
G(s)X(s) Y(s)
Se x(t) = Asen ωt então y(t) = A sen (ω t + ϕ)
A função de transferência senoidal G(jω) é uma função 
complexa e pode ser representada pela magnitude e 
ângulo de fase com a frequência como parâmetro.
Lembrando!!
Polos e Zeros e Função deTransferência
Uma função de transferência é definida como a razão entre 
a transformada de Laplace da saída para a entrada com 
todas as condições iniciais iguais a zero. Funções de 
transferência são definidos apenas para sistemas lineares 
invariantes no tempo
A Função de transferência pode geralmente ser expressa 
como a razão de dois polinómios na variável complexa, s.
A função de transferência pode ser fatorada na seguinte 
forma:
)(...))((
)(...))(()(
21
21
n
m
pspsps
zszszsKsG +++
+++=
As raízes do polinômio no numerador são chamados zeros.
As raízes do polinômio do denominador são chamados pólos.
Função 
deTransferência:
Considerações:
Fatoração:
Lembrando!!
Exemplo: Dada a seguinte função de transferência. Mostrar o
pólos e zeros no plano s.
)10)(4(
)14)(8()( ++
++=
sss
sssG
Plano S
xxoxo
0-4-8-10-14
origem
eixo σ
jωeixo
wlg
Polos e Zeros e Função deTransferênciaLembrando!!
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Preparação do Diagrama de 
Bode
™ Diagrama de Bode usa a função de transferência em 
malha aberta 
™ O diagrama é um par de parcelas correspondente a 
magnitude e a fase.
™ A representação da magnitude logarítmica é 20 log |G(jω)| 
em dB. 
A principal vantagem: multiplicação é convertida em adição
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Fatores básicos de G(jω)
Ganho K
Derivada e fatores integral (jw)±1
Fator de primeira ordem (1+jwT)±1
Fator Quadrático [1+2z(jw/wn)+(jw/wn)2]±1
Deve-se prestar atenção para a freqüência de corte e da forma da 
equação deve ser montado acima
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Ganho K
É só a parte real Æ não do ângulo de fase
O log de magnitude é uma linha reta em 20 log (K)
se K > 1, então a magnitude é positiva
If K < 1, então a magnitude é negativa
Variando K influencia apenas na parcela do log da 
magnitude, o ângulo de fase continua a ser o mesmo.
Inclinação é 0 na frequência de quebra (ou canto)
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Processo Integral (jw)-1
Tem apenas parte imaginária 
Log da magnitude = - 20 log (w)
Ângulo de fase = 90º (constante)
Inclinação: -20 dB/década na frequência de quebra w = 
1 rad/s 
)log(201log201log20 ωωω −==j
∠ = tan-1(1 /0) = 
tan-1(∝) = 90º
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Função Derivativa (jw)
Tem somente parte imaginária
Log da magnitude: 20 log (w)
Ângulo de fase: 90o (constante)
Inclinação é 20 dB/década na frequência de corte
)log(20log20log20 ωωω ==j
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Primeira Ordem
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-90
-45
0
Ph
as
e 
(d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
45o
Inclinação: 
20dB/dec
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Integral:
Frequência de quebra ω=ωn
Inclinação: – 40 dB/década
Ângulo de fase é -90o na frequência de quebra 
Derivativo:
Frequência de quebra ω=ωn
Inclinação: 40 dB/década
Ângulo de fase é -90o na frequência de quebra 
Frequência Ressonante: 
221 ζωω −= nr
Termo quadrático 
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Termo quadrático 
12
2
)(
2
1
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++ ωω jj
ωn = √2
-80
-60
-40
-20
0
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-135
-90
-45
0
Ph
as
e 
(d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Freq corte em 90o
ωn = √2
Inclinação = 
40dB/dec
Caracterização: Considerando-se a função de transferência do
slide anterior. Note que temos 4 diferentes
tipos de termos na forma anterior geral da 
função de transf. fatorada:
Estes são:
)1/(,
)1/(
1,1, ++ zspssKB
Expressando em dB: Dada a função de transferência:
)1/)((
)1/()( +
+=
pjwjw
zjwKjwG B
|1/|log20||log20|)1/(|log20log20|(|log20 +−−++= pjwjwzjwKjwG B
wlg
Lembrando!! Polos e Zeros e Função de Transferência
Ou seja: Temos que considerar 4 termos distintos:
20logKB
20log|(jw/z +1)|
-20log|jw|
-20log|(jw/p + 1)|
wlg
Polos e Zeros e Função de Transferência
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ω (rad/seg)
Magn
dB Fase 
(graus)
1 1 1 1 1 1
wlg
Esta é uma folha de papel semi-log de 5 ciclos. 
Este é o tipo de papel geralmente utilizado para a 
preparação de Diagramas de Bode.
Método: O termo ganho, 20logKB, é apenas tantos dB e esta é uma 
linha reta no papel de Bode, independente do ômega 
(frequência em rad).
O termo - 20log | jw | = - 20logw, quando plotados
em papel semi-log é uma linha reta inclinada em
- 20dB/década. Ele tem uma magnitude de 0 em w = 1.
0
20
-20
ω=1
-20db/dec
wlg
Polos e Zeros e Função de Transferência
o termo, - 20log|(jw/p + 1), é traçado seguindo a aproximação: 
Se w < p usamos a aproximação que –20log|(jw/p + 1 )| = 0 dB, 
uma linha reta no Bode. 
Se w > p usamos a aproximação de –20log(w/p), que se inclina
com -20dB/dec iniciando em w = p. como ilustrado abaixo.
0
20
-20
-40
ω = p
-20db/dec
wlg
Método:
Polos e Zeros e Função de Transferência
0
20
-20
-40
ω = z
+20db/dec
Quando temos um termo de 20log|(jw/z + 1)| nós 
aprox. a ser uma linha reta de pendente 0 dB/dec
quando w < z. 
Aproximamos como 20log(w/z) quando w > z, a que é 
uma linha reta no Diag. Bode com uma inclinação de 
+20dB/dec. Ilustrada abaixo:
Polos e Zeros e Função de Transferência
Método:
Exercício 1:
Dada a: 50,000( 10)( )
( 1)( 500)
jwG jw
jw jw
+= + +
Primeiro: Sempre, sempre, sempre obter os pólos e zeros de uma 
forma tal que as constantes sejam associadas com os 
termos JW. No exemplo acima fazemos isso fatorando 
10 no numerador e 500 no denominador…
50,000 10( /10 1) 100( /10 1)( )
500( 1)( / 500 1) ( 1)( / 500 1)
x jw jwG jw
jw jw jw jw
+ += =+ + + +
Segundo: Quando você não tem pólos nem zeros em 0, 
inicie o Bode em 20log10K = 20log10100 = 40 dB 
neste caso.
wlg
(contin.)
Terceiro: Observar a ordem em que os pólos e zerosocorrem. Este é o 
segredo de ser capaz de esboçar rapidamente o Bode.
Neste exemplo primeiro temos um pólo ocorrendo em 1, que faz com 
que o Bode quebrar em 1 com uma inclinação de – 20 dB/dec.
Logo, vemos um zero ocurre em 10 e faz com uma inclinação de 
+20 dB/dec que anula em – 20 dB/dec, resultando uma linha reta
( 0 db/dec). Finalmente, temos um pólo que ocorre em w = 500, que 
faz com que o Bode incline para baixo, com – 20 dB/dec.
Agora estamos prontos para desenhar o Bode. 
Antes de desenhar o Bode devemos observar o intervalo em que a 
função de transferência tem pólos ativos e zeros. Isto determina a 
escala nós escolhemos para o w (rad/s) na parte inferior do Bode. 
A escala dB depende da magnitude do gráfico e da experiência!
wlg
)1
500
)(1(
)1
10
(100
)(
++
+
= jwjw
jw
jwG
Exercício 1:
1 1 1 1 1 1
ω (rad/sec)
dB Mag Phase (deg)
Diagrama de Bode
1 1 1 1 1 1
ω (rad/s)
Magnitude 
dB 
0
20
40
-20
-60
60
-60
0.1 1 10 100 1000 10000
wlg
)1
500
)(1(
)1
10
(100
)(
++
+
= jwjw
jw
jwG
Usando Matlab para Resposta de Frequência
Instrução: Podemos usar Matlab para executar a resposta de 
frequência para o exemplo anterior. Colocaremos a 
função de transferência, sob a forma :
]500501[
]500005000[
)500)(1(
)10(5000
2 ++
+=++
+
ss
s
ss
s
Programa no Matlab
num = [5000 50000];
den = [1 501 500];
Bode (num,den)
wlg
No slide a seguir, os gráficos resultantes (exato) da amplitude e fase são 
mostrados na cor (azul). As assíntotas aproximadas para a magnitude são 
mostradas em linhas mais grossas (vermelha). 
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
 (
de
g)
; 
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
Bode Diagrams
-10
0
10
20
30
40
From: U(1)
10-1 100 101 102 103 104
-100
-80
-60
-40
-20
0
To
: Y
(1
)
1 10 100 500
)500/1)(1(
)10/1(100)(
jwjw
jwjwG ++
+=Bode para:
wlg
Fase do Diagrama de Bode 
Observação: Geralmente, a fase de um diagrama de Bode de 2da-ordem 
não é tão fácil de plotar. Neste curso (TEQ102), vamos 
utilizar um método analítico mais fácil para determinação 
da fase.
Ilustração: Considere a função de transferência do examplo 
anterior.
Expressamos o ângulo de fase como:
)500/(tan)1/(tan)10/(tan)( 111 wwwjwG −−− −−=∠
Estamos essencialmente tomando o ângulo de cada pólo e zero.
Cada um destes são expressos como o tan-1(parte j /parte real)
Normalmente, cerca de 10 a 15 cálculos são suficientes 
para determinar uma boa ideia do que está acontecendo 
com a fase (plote diretamente no Bode).
wlg
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Exercício 2 :
)2)(2(
)3(10)( 2 +++
+=
ssss
ssG
Plote o diagrama de Bode para a seguinte 
função de transferência :
Exercício 2:
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Solução:
)2))((2)((
)3(10)( 2 +++
+= ωωωω
ω
jjjj
jsG
1) Substituia s por jw! Temos
2) Re-escreva na forma padrão … Pronto!!!
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=
1
22
)(1
2
)(
1
3
5,7
)(
2 ωωωω
ω
jjjj
j
sG
Exercício 2:
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⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=
1
22
)(1
2
)(
1
3
5,7
)(
2 ωωωω
ω
jjjj
j
sG
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +1
3
ωj 12 1
22
)(
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++ ωω jj
1
1
2
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +ωj1)( −ωj
do
temos:
7,5
com ζ = 0.35
Solução:
Exercício 2:
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™ 7,5 é o ganho K
Log da magnitude = 20 log (7,5)
Fase = 0o
™ O termo no numerador
Inclinação = 20 dB/década
Fase = 45o em ω = 3 rad/s
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +1
3
ωj
Solução:
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™ O termo
Inclinação = -20 dB/década
Fase = -90o (constante)
™ O termo 
Inclinação = -20 dB/década
Fase = - 45o em ω = 2 rad/s
1)( −ωj
1
1
2
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +ωj
Solução:
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™ O termo
Inclinação = - 40 dB/década
Fase = -90o em ω = √2 rad/s
12
1
22
)(
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++ ωω jj
O próximo passo consiste em combinar as 
assíntotas da magnitudes e fases, 
respectivamente, em seguida, adicionar todos 
elas a partir do esboço do diagrama de Bode 
(continuem!)
Solução:
Exercicio 3: Dada a função de transferência. Plote a magnitude de Bode.
2)100/1(
)10/1(100)(
ss
ssG +
+=
Considere primeiro somente o termo de 
jw
100
O que , qdo expressado em dB, são; 20log100 – 20 logw.
o que plotado abaixo.
1
0
20
40
-20
a é
uma linha de 
tentativa usamos até 
que encontramos o 
primeiro polo (s) ou 
zero (s) não na 
origem.
-20db/dec
wlg
dB
ω (rad/sec)
1 1 1 1 1 1
ω (rad/sec)
dB Mag 0
20
40
60
-20
-40
-60
1 10 100 10000.1
2)100/1(
)10/1(100)(
ss
ssG +
+=
ω (rad/sec)
dB Magn 0
20
40
60
-20
-40
-60
1 10 100 10000.1
(contin).
-20db/dec
-40 db/dec
2)100/1(
)10/1(100)(
ss
ssG +
+=
wlg
O diagrama completo é mostrado abaixo.Exemplo 3:
1 1 1 1 1 1
ω (rad/sec)
dB 
Magn
0
20
40
60
-20
-40
-60
1 10 100 10000.1
-40 dB/dec
+ 20 dB/dec
Dada a FT:
Exemplo 4:
2
2
10(1 / 2)( )
(1 0.025 )(1 / 500)
jwG jw
j w jw
−= + +
Identificação Problema: Obter G(s) dada o seguinte diagrama de Bode
dB mag
ω rad/sec
0
20
40
0.1 1 10 100 1000
30 900
30 dB
+40 dB/dec -40dB/dec
? ?
Exemplo 5
wlg