Lista_5 derivada implicita

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Análise Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Prof(a): Paula Clemente 1
5 Lista - Derivada Implícita
1) Encontre y′ diferenciando implicitamente:
(a) x2 + y2 = 1 (d)
√
xy = 1 + x2y
(b) x3 + x2y + 4y2 = 6 (e) 4cos(x)sen(y) = 1
(c) yx−y = x
2 + 1 (f) cos(x − y) = xex
2) Obtenha a derivada de cada uma das seguintes funções:
(a) f (x) = (ex)tg(3x) (f) f (x) = 12 (arcsen(x))
2 arccos(x)
(b) f (x) =
√
cos(x) a
√
cos(x) (g) f (x) = arctg(1/x)
(c) f (x) = xe
x
(h) f (x) =
3√x
arcsen(x)
(d) f (x) = 1arctg(x) (i) f (x) = ln(arccos(x))
(e) f (x) = arctg(ln(x)) (j) f (x) = x arcsen(x2) − ex3
Respostas:
1)
(a) y′ = − xy (d) y′ = 4xy
√
xy−y
x−2x2 √xy
(b) y′ = − x(3x+2y)x2+8y (e) y′ = tg(x)tg(y)
(c) y′ = 3x
2+1−2xy
x2+2 +
1
3
3√
x2
+ 2x3 (f) y
′ = 1+e
x(1+x)
sen(x−y)
2)
(a) f ′(x) = (ex)tg(3x)[3sec2(3x)x + tg(3x)] (f) f ′(x) = arcsen(x)(2arccos(x)−arcsen(x))
2
√
1−x2
(b) f ′(x) = − 12
√
cos(x)a
√
cos(x)tg(x)(1 +
√
cos(x) ln(a) (g) f ′(x) = − 1x2+1
(c) f ′(x) = xe
x
ex
(
ln(x) + 1x
)
(h) f ′(x) =
√
1−x2arcsen(x)−3x
3 6
√
x4(1−x2)3(arcsen(x))2
(d) f ′(x) = − 1(1+x2)(arctg(x))2 (i) f ′(x) = − 1√1−x2arccos(x)
(e) f ′(x) = 1
x(1+ln2(x))
(j) f ′(x) = arcsen(x2) + 2x
2√
1−4x2 − 3x2ex
3
2