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INTEGRAL definicao e tecnicas

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Profª Waléria Cecílio Página 1 
 
 CÁLCULO INTEGRAL 
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
 
Pode ser definida como a operação que nos dá a função quando 
conhecemos sua diferencial. Observe as funções e suas diferenciais: 
 
y = f (x) diferencial y = f (x) diferencial 
y = sen(x) + 1 dy = cos(x)dx y = x2 + 6 dy = 2xdx 
y = sen(x) + 10 dy = cos(x)dx y = x2 dy = 2xdx 
y = sen(x) - 5 dy = cos(x)dx y = x2+2 dy = 2xdx 
::: ::: ::: ::: 
y = sen(x) + C dy = cos (x)dx y = x2 + C dy = 2xdx 
 
 
Primitiva 
Definição: Uma função F(x) é uma primitiva de f(x) em um intervalo I, se 
F’ (x) = f (x) para qualquer x pertencente ao domínio de f . 
 
O conjunto de todas as primitivas de f é a integral definida de f em relação a 
x e escrevemos: 
 
∫ f (x)dx = F (x)+C; isto é: ��� (∫ f (x)dx) = 
�
�� (F (x) + C) f (x) = F’ (x) 
 
Onde: 
 ∫ é o símbolo de integração 
 dx é a diferencial da variável de integração 
f(x) é a função a ser integrada 
F(x) é a primitiva de f(x) 
C é a constante de integração 
Desta forma, a integral indefinida da função f(x) representa uma família de primitivas. 
 
Exemplo: A integral indefinida da função 2x é x2 +C; isto é ∫ 2xdx � x² � 	, observe, 
�
�� 
� 2xdx� �
� 	�x� � C�	 2� � 2�	e a família de primitivas é uma família de 
parábolas que pode ser visualizada graficamente variando os valores de C. 
��		 � 0, ���� 	� 	�²;	
��		 � 1, ���� 	� 	�²	 � 	1;	
��		 � 3, ���� 	� 	�² � 	3					�	
��		 � �1, ��� 	� 	�²	 � 	1	.	 
Profª Waléria Cecílio Página 2 
 
Propriedades: 
1. �"	����#� � " �����#� 
2. �$���� ± ����&#� � 	� ����#�	 ± ��	���#� 
 
Exercício: Resolva as seguintes integrais indefinidas: 
1. ��#� � '� �² + 	 
2. ��³#� = ')�)	 + 	 
3. �#� =� 	 + 	 
4. �3�²#� =�³ + 	 
5. � ��� = ln � + 	 
6. � ���² = − '� + 	 
7. � ���√� = √� + 	 
8. �√�	#� = 	 �- 	�./	 + 		 
9. ��� + 1��#� = � + �² + '-�³ + 	 
10. ���- − 3�#� = ') �)	 − 3� + 	 
11. � 0	√� 	+ �/. + 2�1 #� = �² + �- �./ + -2 �3. + 			 
12. ��� − 10�²�#� = '� �² − '4- �³ + 		 
13. �4�³#� = �) + 	 
14. ��3� + 5�#� = 5� + -� �²	 
15. ��7�² + 8� + 9�#� = 9� + '-7�³ + '� 8�² + 	 
16. �3 sec � tan �	#� = 3 sec � + 	 
Profª Waléria Cecílio Página 3 
 
17. � cos �	#� � sen � � 	 
18. � @AB²	�	BC@AB	� #� = sec � + 	 
19. � �3D��/E'	�F #� = '� �� + '-�. 	�1 − 6��� + 	 
20. � H�FEI�.DJ�/E��D'	�/ #� = 6� − 2	KL� − '� − I� �� + H-�- + 	 
21. �M#M = '�M² + 	 
22. � �NN = ln M + 	 
23. ��� + 2�²#� = ��D��.- + 	 
24. � ���² #� = ln �² + 	 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 4 
 
MUDANÇA DE VARIÁVEL 
Sejam ����	�	O���	duas	funções	tais	que	O’��� 	= 	���� e suponha que ���� 
seja outra função derivável, tal que, a imagem de g esteja no domínio de O. 
WLXãZ, ��� 	O	������� 	= 	O’������. �’���	�	 ��� 		�O	������� 	= 	�	������	. �’���, 
integrando ambos os lados da igualdade e tomando ���� = M, X�[ − ��:	� ��M�#M	 =	O�M� 	+ 		: 
 
Exercícios: 
1) Resolva as seguintes integrais indefinidas usando mudança de variável: 
1. � ��'D�²#� = ln��² + 1� + 	 
2. � ��L²�9Z��	#� = @A].�- + 	 
3. � ��L�� + 7�#� = − cos�� + 7� + 	 
4. � tan �	#� = 	− ln�9Z�� + 	 
5. � ���-�E2�_ = − '�'�-�E2�` + 	 
6. � �� + ��9�3��#� = �/� + '- tan 3� + 	 
7. � ���²DJ�D'- = '� arctan� �D-� � + 	 
8. � √�E��D' #� = 2√� − 2 − J√- arctan √�E�√- + 	 
9. � √X� − 2X)#X = − 'Jb�1 − 2X��- + 	 
10. √5� + 7�	#� = �'2 �5� + 7�./ + 	 
11. � cos	 4�	#� = ') ��L4�	 + 	 
12. � �2x- + 1�c �²	#� = ���.D'�_)H 	 + 	 
13. � x		b7 − 6x². 	#� = − ''J		 b�7 − 6x��). + 	 
14. � �²E'��³E-�D'�d #� = − ''2��.E-�D'�3 + 	 
Profª Waléria Cecílio Página 5 
 
15. � efg√�√� #� � 2��L	√� + 	 
16. � 9Z�³ 5� × ��L5�#� = − '�4 	9Z�)5� + 			 
17. � ���� + 5�#� = 5� + '� ��� + 			 
18. � ��E2�²#� = − ''4 �E2�² + 			 
19. � ��L��#� = '�� − ') ��L	2� + 			 
20. � AiBC@²�AiE��#X = tan� �j − 2� + 			 
21. � 'E�b'E�²#� = arcsenx + b1 − x² + 			 
22. � �	√� − 4	#� = �2 �� − 4�3/ + H- �� − 4�./ + 			 
23. � �X + √X	 +	 √X	. +	 √XF + √X3 	�#X = j²� + �- X./ + -) XF. + )2 X3F + 2J Xd3 + 			 
24. � )j³Ej²D'Jjj²D) #X = 2X² − X + 2 arctan '� X		 + 	 
25. � 'J�bH�²D'#� = 2b8�² + 1	+ 	 
26. �l'Eefg�� #� = −29Z� �� 	+ 	 
27. � ��²D'#� = '� ln��� + 1� + 	 
28. � -√2�E'#� = J2√5� − 1 + 	 
29. � �1 + ��L	2��-9Z�	2�#� = 'H �1 + ��L	2��) + 			 
30. � 8���� + 1�-#�	 = 'H ��� + 1�) + 			 
31. � �²E'�E' #� = � + '� �² + 	 
32. � �²b�³ − 1		#�	 = �I ��- − 1�./ + 			 
33. � 2���		#� = ��� + 	 
Profª Waléria Cecílio Página 6 
 
34. � �-�		#� � '- �-� � 	 
35. � �2�		#� � '2 �2� � 	 
36. � �m/�		#� � 2�m/� + 	 
37. � ��E2�²		#� = − ''4 �E2�² + 	 
38. � �E�		#� = −�E� + 	 
39. � �E��E)�²	�� − 4�#� = − '� �E��E)�²	 + 	 
40. � �E��²E)�D'#� = '� ln��� − 4� + 1� + 	 
41. � �²�³D2#� = '- ln��³ + 5� + 	 
42. � �√1 + �		#�= �2 	�1 + ��3/	 − �- 	�1 + ��./ + 	 
43. � √�E�		�D' #� = 2	√� − 2	 − J	√- arctan √�E�	√- +C 
44. � ����.D�#� = '- ��.D� + 	 
45. � �/D'�/ #� = � − '� + 	 
46. � �-√�#� = �I �n/	 + 	 
47. � ��L	�� + 9�#� = −	cos�� + 9� + 	 
48. � 	�� − 8��-#� = ��EH�/F�) + 	 
49. � 9Z�	�5��#� = '2 	sen	5x + 	 
50. � ��L��9Z�	�#� = gpq.�- 	+ 	 
51. � A√r√� 	#� = 2�√�	 + 	 
52. � ��0m.	�EH13 = E-)0m.	�EH1F + 	 
53. ��'� + ��9²	s	x�dx = ln � + 't 	X7Ls	� + 		 
Profª Waléria Cecílio Página 7 
 
54. � X)	√3 − 5X2	. dt = − -'44 �3 − 5X2�F.+	 
55. � X�√X − 1dt = �c �X − 1�/`+ )2 �X − 1�3/ + �- �X − 1�./ + 	 
56. � 2�	��� + 1��-#� = 	 ��/D'�/F�) +	 
57. � 9Z�-���L	�	#� = 	EBC@F�) + 	 
58. � '√� ��L√�	dx = −2cos√x + 	 
59. � -�√)�/D2 	#� = -) �4�� + 5� + 	 
60. � �/�.E) 	#� = '- ln��³ − 4� + 	 
61. � 9ZX�	9Z��9��	#� = 	− '� 9ZX��� + 	 
62. � �1 + ��LX�I	9Z�X	#X = 	 ''4 �1 + ��LX�'4 + 	 
63. � ���u]� = ln	�KL�� + 	 
64. � �E2�#� = − '2 �E2� + 	 
65. � @A]	-ɵ'Defg-ɵ#ɵ = − '- ln	|1 + cos 3ɵ|	 + 	 
66. � ��2 − ���-#� = 	−	 ��E�/�FH + 	 
67. � 9Z�	8�	#� = 'H 	sen	8x + 	 
68. � sec 4� tan 4� 	#� = ') 	sec	4x + 	 
69. � Xb7X² + 12dt = '�' 	b�7X� + 12�³+	 
70. � �/√�.D' 	#� = �-b�³ + 1 + 	 
71. � ��)�²D'�. #� = − ''J �4�� + 1�E� + 	 
72. � �@A]� cos � #� = �@A]� + 	 
73. � �²�E��³#� = − 'J �E��³ + 	 
Profª Waléria Cecílio Página 8 
 
74. � @A]	�
3
r�
�² #� = '2 cos�2�� + 	 
75. � ����9�	��-�#� = '- tan��-� + 	 
76. � ��Ar = −�E� + 	 
77. � cos 3�. ��L2 3�	#� = 	 @A]d-�'H + 	 
78. � cos 4�√2 − ��L	4� #� = − 'J �2 − ��L4��./ + 	 
79. � ��9-2� tan 2�#� = 'J 	��9³2� + 	 
80. � ��L	]	�7 + 8�� cos�7 + 8�� #� = 'x�]D'� 	��L]D'�7 + 8�� + 	 
 
2. Determinar a curva cujo coeficiente angular da reta tangente no ponto (x, y) é 3�²;sabendo que ela deve passar pelo ponto	�1, −1�: y��z:	{	 = 	�³	 − 	2	 
3. Verifique se a integral está correta:	� �9Z�	�#� = cos � + �. ��L� + 			 
4. Encontre uma função f tal que �’��� 	+ 	��L�	 = 	0	�	�	’�0� 	= 	2:	y��z:	���� 	= 	9Z�	�	 + 	1	
5. Sabendo que a função ���� satisfaz a igualdade	� ����#�	 = 	��L�	 −
	�	9Z�	�	–	'��� + 	, #�X�}[~L�	�	�t)� ∶ y��z:	�	 0t)1 	= 		 t) 	0√�� − 11 .	
6. Determinar a função ���� tal 
que	� ����#�	 = �² + '� 9Z� 2� + 	. 	y��z:	���� 	= 	2�	– 	��L	2�.	
7. A declividade da reta tangente a uma curva em um ponto qualquer ��, {� na 
curva é igual a 3�²{²: Encontre a equação da curva se ela contém o ponto 
�2,1�. y��z:	{ = 	− '�³EI 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 9 
 
SOMA DE REIMANN E INTEGRAL DEFINIDA 
Seja y = f(x) uma função definida em [a,b] e seja a partição P = [x0,x1], [x1,x2], 
...,[xn-1,xn] onde x0 = a e xn = b e ∆xk = xk – xk-1. Então, em cada subintervalo da 
partição P pode-se construir um retângulo de dimensões∆xk por f(xk). 
 
 
 
 
 
 
 
A integral definida de a até b, denotada por	� f�x�. dx€ é dada por 
limƒ�∆�…†f�c‡�∆x‡ = ˆ f�x�. dx
€
 = F�b� − F�a� 
 
Exercícios: 
a) � �	#� = 4-' 
b) � cos X	#X = 1t/�4 
c) � 2�.Dc�/E2�D��/ #� = Œ5 �/� + 7� − 5KL� + 2 �mE' Ž�' |'� = Œ5 �/� + 7.2 − 5KL2 +
2 �mE' Ž-Œ5 '/� + 7.1 − 5KL1 + 2 'mE' Ž = -'� − 5KL2 
d) � '√��D'#� = Œ'� . 2�� + 2�m/Ž)4 |4) = Œ�4 + 2�m/Ž-Œ�0 + 2�m/Ž=2 
e) � �E�#� = −�E�|4' = −�'A − ''�'4 = − 'A + 1 
f) � ��L��. 9Z�� = Œ@A].�- Ž4
/ 	/4 = (��L³ t� − ��L³0�. '- = 	'- 
g) � ��/D' 	#� = '� $KL5 − KL2& = '� KL 2��' 
 
h) � 8���� + 1�-#� ='4 ��� + 1�)|4' = 15 
 
i) � ��E�²D'�' #� = − '�A. + '� 
 
 
54321
100
75
50
25
0
yy
Profª Waléria Cecílio Página 10 
 
j) � ���-' #� � '� ��J � ��� 
k) � ��L	3X	#Xt4 = − '- cos	�3X�|4t = − '- $cos�3s� − cos�0�& = − '- $−1 −�1�& = �- 
l) � �E��/E)�D''E' #� = '� KL '- 
 
 
Exercício: Calcular as Integrais Definidas 
1. � ��- − 4�� + 1� = − ''�'4 
2. � ��- + 1��#� = )42')�E' 
3. � 5� − 2√� + 32�E-#�)' = �2IJ 
4. � ��L�	#� = 2t4 
5. � -√2�E'		'4� #� = �)2 
6. � �1 + ��L2��-9Z�2�#� = '2HF4 
7. � 9Z�³5�. ��L5�	#� = Œ− '�4 9Z�)5�Žt�t = 0�tt 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 11 
 
ÁREA SOB A CURVA 
Se y = f(x) for não negativa e integrável em [a, b], então a área sob a curva y =f(x) para 
x variando de a até b é definida pela integral de f de a até b: 
  � � ����#� � O�8� � O�7�	x‘ 
 
Caso I: Cálculo de área de figura plana limitada pelo gráfico de f, pela reta x = a, x = b 
e o eixo x, onde f é continua e ���� ≥ 0, ∀� ∈ $7, 8& 
 = ˆ����#�x
‘
 
 
Ex) Encontre a área limitada pela curva y = 4-x² e o eixo dos x. A curva y = 4-x² 
intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa -2 e 2. 
ˆ4 − �²	#� = 323 M. 7.
�
E�
 
Caso II: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, 
x=b e o eixo dos x, onde f é continua e ���� ≤ 0, ∀� ∈ –7, 8— 
 = ˜ˆ����x
‘
˜
 
Ex) Encontre a área limitada pela curva { = −4 + �²e o eixo dos x. 
 
 = ˜ ˆ$−4 + �²&	#��
E�
˜ = 323 
 
Caso III: Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas: 
x=a e x =b, onde f e g são funções contínuas em {a,b} e ���� ≥ ����, ∀� ∈ $7, 8& 
(i) f e g assumem valores não negativos: 
 
 = ˆ$���� − ����&#�x
‘
 
Profª Waléria Cecílio Página 12 
 
(ii) Para o caso geral, obtemos o mesmo resultado (basta imaginar o eixo dos x 
deslocado de tal maneira que as funções se tornem não negativas). 
 
Exercícios: 
1) Encontre a área limitada por { � �²	�	{ = � + 2. 
™ �² = � + 2�² − � − 2 = 0�š = 2	�	�" = −1 
ˆ$�� + 2� − ����&#� = 92M. 7
�
E'
 
 
2) Encontrar as áreas limitadas pelas curvas y= x³ e y = x. 
™ �³ = ����� − 1� = 0� = 0	�	� = ±1 
 = ˆ��- − ��#�4
E'
+ˆ�� − �-�#�'
4
= 12 
3) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x²-1 e y = x+1. 
™ �² − 1 = � + 1�² − � − 2 = 0�š = 2	�	�" = −1 
ˆ�� + 1� − ��� − 1�#� = 92M. 7.
�
E'
 
4) Encontre a área da região S, delimitada pela curva y = sen x e pelo eixo dos x, no 
intervalo de 0 a 2s. R: 4 u.a. 
5) Dada a integral � ��- − 7�� + 11��#� = 12,77)4 	esboce o gráfico. 
6) Encontra a área da região S limitada pelas curvas y-x = 6, y-x³=0 e 2y +x=0. R:22 
u.a. 
7) Encontre a área limitada { = ���	{ = √�. R:1/3 u.a. 
8) Encontrar a área limitada entre { + �� = 6	�	{ + 2� − 3 = 0. R: -�- M. 7. 
Profª Waléria Cecílio Página 13 
 
 
9) Encontre a área entre as funções { � �� � 1	�	{ = 5. R: -�- M. 7. 
10) Encontre a área entre { = �- − �	�	{ = 0. 
11) Estabelecer uma integral que possa ser usada para determinar a área da região entre 
as funções { = �� + 1	, � − { = 2, � = 2	�	� = −2. R:2�- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 14 
 
 INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
∫ ∫−= duvuvdvu .. 
∫ ∫−=
b
a
b
a
b
a vduuvdvu |. 
 
DICA☺Escolha para ser dv a parte ‘mais complexa’ da integral. 
Desde que saiba integrá-la! 
 
Exemplos: 
a. ceexdxex xxx +−=∫ .. 
b. cxsenxxxdxx ++=∫ cos.cos. 
c. cexeexdxex xxxx ++−=∫
222222
4
1
2
1
2
1
. 
d. ∫ −=
1
0
2ln
4
..
pidxtgxarc 
e. ∫ −=20 8
).4(.
pi pidxxsenx 
f. � 2���#�'4 = 2 
g. � �-��L�#�-' = 11,69 
h. 10EJ � �2�9Z�5�#� = −0,6635t4 
i. � ��9Z��#� = 1,93'E' 
j. � 2�9Z��#�'4 = 1,17 
k. � ��9Z��3��#� =�' 0,2582 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 15 
 
EXERCÍCIO 
 
Calcule as integrais: 
 
1. dxex x∫
−
..
.2
 
2. dxxsen∫ .
3
 
3. dxsenxx∫ ...
2
 
4. dxxx∫ .sec.
2
 
5. dxex x∫ ..
2
 
6. dx
x
x
∫ .
ln
 
7. dxsenxe x∫ ..
.2
 
8. dxxe x∫ .cos
.
 
9. dxarctgx∫ . 
10. dxx∫ .ln 
11. dxxx∫ .sec.
2
 
12. dxx∫ .sec
3
 
13. dxex xa∫ ..
.
 
14. ∫ +
pi
0
.cos. dxxxx 
15. ∫ +
2
0
2 ).1ln( dxx 
16. ∫
3
1
.. dxxarctgx 
17. ∫
pi
0
).3(. dttsent 
18. ∫
2
1 2
ln dx
x
x
 
19. ∫
1
0 2
dy
e
y
y 
 
 
 Respostas: 
 
1. ceex xx +−− −− 22
4
1
.
2
1
 
2. cxxxsen +−− 32 cos
3
2
cos. 
3. cxsenxxxx +++− cos2.2cos2 
4. cxtgxx ++ |cos|ln. 
5. cexeex xxx ++− 2.22 
6. cxxx +− 4ln.2 
Profª Waléria Cecílio Página 16 
 
7. cxeesenx xx +− cos.
5
1).(
5
2 22
 
8. csenxexe
xx
+
+
2
cos.
 
9. cxarctgxx ++− )1ln(
2
1
.
2
 
10. cxxx +−ln 
11. cxxtgx ++ |cos|ln 
12. ( ) ctgxxtgxx ++ |.sec|ln.sec
2
1
 
13. ce
aa
ex xa
xa
+− .2
. 1.
 
14. 2,9348 
15. 1,4332 
16. 2,6684 
17. 
3
pi
 
18. 2ln
2
1
2
1
− 
19. 
4
1
4
3 2 +− −e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 17 
 
INTEGRAIS ENVOLVENDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
ALGUMAS IDENTIDADES: 
1)sen²x + cos²x = 1 
2)sen²x = (1-cos2x)/2 
3)cos²x = (1+cos2x)/2 
4) tg2x=sec2x-1 
5) cotg2x=cosec2x-1 
 
 
 EXEMPLOS: 
1. cxsenxsensenxdxx ++−=∫ 53
2..cos
53
5
 
2. cxxxdxxxsen +−+−=∫ 7
cos
5
cos2
3
cos
.cos.
753
25
 
3. cxsenxsenxdxxsen +





+−=∫ )4(8
1)2(
2
3
4
1
..
4
 
4. cxxdxxtg +





−=∫ |)3sec(|ln2
)3(sec
3
1)..3(
2
3
 
5. cgxxgxgdxxec +−−−=∫ cot3
cot2
5
cot
..cos
35
6
 
6. cxtgxtgxtgdxxxtg +++=∫ 810
2
12
..sec.
81012
67
 
 
EXERCÍCIO 
 
Resolva as integrais: 
1. cxxdxxsen ++−=∫ 3
)2(cos
2
1)2cos(
2
1)..2(
3
3
 
2. cxxgxgdxxg +++−=∫ 2
)2(cot
6
)2(cot)..2(cot
3
4
 
3. cxsenxsenxdxxxsen +−−=∫ 1024
)8(
128
)4(
128
3
.cos. 44 
4. cxxxxdxxxtg +−+−=∫ 5
sec
7
sec3
9
sec3
11
sec
.sec.
57911
57
 
5. ctgxxtgxxtgxxdxxxtg ++−−=∫ |sec|ln8
.sec
4
.sec
.sec.
3
32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 18 
 
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇOES PARCIAIS 
 
Seja f uma função racional, tal que: ���� � œ������ 
 
DICA☺ Caso o grau de p(x) seja maior que o grau de q(x), devemos primeiro efetuar a 
divisão de p(x) por q(x). 
 
METODOLOGIA 
 
a. Seja x-a um fator linear de q(x). Suponha que (x-a)r seja a maiorpotência de x-a 
que divide q(x). Então, para cada fator linear distinto, iremos atribuir uma soma 
de r frações parciais: '
�� � 7� �
�
�� � 7�� �
-
�� � 7�- �⋯�
Ÿ
�� � 7�Ÿ 
 
 
b. Seja �� � 8� � 9 um fator quadrático de q(x). Suponha que ��� � 8� � 9�@ seja 
a maior potência desse fator que divide q(x). Então, para cada fator quadrático 
distinto, iremos atribuir uma soma de s frações parciais:  '� � 	'
��� � 8� � 9� �
 �� � 	�
��� � 8� � 9�� �
 -� � 	-
��� � 8� � 9�- �⋯�
 @� � 	@
��� � 8� � 9�@ 
 
 
Expresse como uma soma de frações parciais: 
 
1. J�Dc��/D)�D)� �> y��z:
J
�D��
2
��D��/ 
 
2. E��D)��/D'���E'�/ �> y��z:	
��D'
�/D'�
�
�E'�
'
��E'�/ 
 
 
Resolver as integrais: 
 
3. � J�Dc��/D)�D)�#� � 6 ln|� � 2| � 5 '�D�� 9 
 
 
 
 
 
4. � E��D)��/D'���E'�/ #� � ln|�� � 1| � 7}9X�� � 2 ln|� � 1| � '�E'� 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 19 
 
EXERCÍCIO 
 
Resolva as integrais: 
 
1. � ���/D�E� �
'
- ln ¢
�E'
�D�¢ � 9 
2. � ��D)�.E��/ #� � � 2 ln|�| � �� � 2 ln|� � 2| � 9 
3. � �/D�E�-�.E�/D-�E'#� � �
c
2 ln|3� − 1| � )2 ln|�� � 1| � -2 7}9X�� � 9 
4. � -�FD)�.D'J�/D�4�DI��D��.��/D-�/ #� = ln|� � 2| � ln|�� � 3| � ��/D-� 9 
5. � �.D2�/E)�/ #� �
�/
� � 5� �
)
� � 	 
6. � -�.E)�/D-��/D' #� �
-
��� � 4� � 47}9X�� � 	 
7. � �.E��/D)�E'�/E' #� �
�/
� � 2� + 2� ln|�� � 1| � -� ln ¢�E'�D'¢ � 9 
8. � ���/E) �
'
) KL
�E�
�D�� 	 
9. � J�/DJ�.D)�/D�EJ#� � KL
��E'���D-�m3
��D��m£ � 	 
10. � ��D2)�/E'#� � � ln|2� + 1| � -� ln|2� − 1| � 	 
11. � ���E'���D��/ #� �
'
� ln|� � 1| � 'I ln|� � 2| � �-��D��� 	 
12. � ��/E-�E-��E'���/E��D2�#� � � ln|� � 1| � -� ln|�� � 2� + 5| � 7}9X� �E'� � 	 
13. � �F�FE'#� � � �
'
) KL
�E'
�D'�
'
�7}9X�� � 	 
14. � �.D��/D)�D���/D'�/ #� �
'
� ln|�� � 1| � 27}9X�� − �- '��/D'�+ 	 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 20 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
DICA☺ Substituir binômios do tipo: a2+x2, a2-x2 e x2-a2 pelo quadrado de um 
único termo. 
 
� � 7. X�¤ � = 7. ��L¤ � = 7. ��9¤ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. � '�/√)D�/ #� = − ') √)D�/� + 9 
 
2. � √IE�/��/ #� = − '� ¥− √IE�/� − 7}9��L �-¦ + 9 
 
3. � √�/EI� #� = −3¥− √�/EI- − 7}9��9 �-¦ + 9 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 21 
 
Exercícios: 
 
1.
 �√9 � ��#� 
 
2.
 � √�/E�� #� � √�� � 2 − 2	√2		7}9��9	 �√�+ 9 
 
3.
 � '√�/D2#� = KL §√�/D2D�√2 § + 9 
 
4.
 � √)E�/� #� = 2	KL §�E√)E�/� § + √4 − �� + 9 
5.
 � '�.√�/E�#� = ')√�7}99Z� √�� + √�/E�)�/ + 9 
6.
 � '��D'�/√�/D��D�#� = − √�/D��D��D' + 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 22 
 
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS DE SENO E COSSENO 
 
ˆ �¨ �9Z��, ��L�� #� 
 
Usando X = X� �� , −s < � < s, temos: 
 
1. ��L� = �j'Dj/ 
2. 9Z�� = 'Ej/'Dj/ 
3. #� = ��j'Dj/ 
 
EXERCÍCIOS: 
1. � ��@A]�DBC@�D� = √27}9X� Œ√�� 0X� �� + 11Ž + 9 
2. � ��'D2BC@� = ') KL §jªr/D�jªr/E�§ + 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 23 
 
EXERCÍCIOS: 
 
Integração de Funções Racionais, Por Partes, Trigonométricas, Substituição 
Trigonométrica. 
 
1) � �.D2�/E)	�/ #� � 5� �
)
� �
'
� �² + 		 
2) � -�.E)�/D-�	�²D' #� = 47}9X7L � − 4� + -��² +	 
3) � �.E��/D)�E'	�/E' #� = '� �� − 2�� + 2� ln��� − 1� − -� ln 0�E'�D'1 + 	 
4) � ��	�/E)#� = ') ln�� − 2� − ') ln	�� + 2� + 	 
5) � J�/DJ	�.D)�/D�EJ#� = ln�� − 1� − 10 ln�� + 2� + 15 ln�� + 3� + 	 
6) � ��D2)�/E'#� = -� ln�2� − 1� − ln�2� + 1� + 	 
7) � ���E'���D��²#� 
8) � ��/E-�E-��E'���/E��D2�#� = -� ln��� − 1�� + 4�� − ln	�� − 1� + '� 	arctan	�'�� − '�� + 	 
9) � �F�FE'#� = � − '� arctan � + ') ln�� − 1� − ') ln�� + 1� + 	 
10) � �.D��/D)�D�	��/D'�/ #� = 27}9X7L � + '� KL�	�� + 1� − -��/D�+ 		 
11) � �D'	��/D)�D2	�/ 		#� = '� 7}9X7L��� − -H�D��/D'4	+ ���/D�	 + 	 
12) � ��‘�		#� = '‘/ �	7��‘�		 −	�‘�		� + 	 
13) � 7}9X7L'4 � 	#� = ') 	s − '� KL2	 
14) � X	�~L	3X	#Xt4 = '- 	s 
15) � 9Z�³ �	#� = −	��L	� −	 @A].�- + 			 
16) � ���.	br// = ')√�		 	7}99Z� √�� +	√�/E�	)�/ + 	 
17) � ����D'�/	√�/D��D� =	√��D�/D�	��D'� + 	 
 
Profª Waléria Cecílio Página 24 
 
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
Caso1: integrais com limites de integração infinitos 
Definição: 
1. Se f é continua em [a,∞), então: 
 
ˆ ����#� � limj→¬	ˆ����#�
j
‘
¬
‘
 
 
2. Se f é continuas em (-∞,a] então: 
 
ˆ����#� � limj→E¬ˆ����#�
‘
­
‘
E¬
 
desde que o limite exista. 
 
Determine o valor da integral: 
 
• � ®�¯�°¯ � limj→¬ � �� � 1�E�#� = limj→¬�� − 1�E'	|X²j�¬� = 1 
 
• � ���E'¬� =	
 
 
2) Atribua uma área á região sob o gráfico de { = ��, acima do eixo x e á 
esquerda de x = 1. 
 
Caso 2: Seja f continua ∀�. Se a é um numero real arbitrário então 
ˆ ����#� = ˆ ����#� + ˆ ����#�¬‘
‘
E¬
¬
E¬ 
 
Calcular � ��'D�/ ,¬E¬ em seguida esboce o gráfico e interprete a integral como uma área 
 
ˆ #�1 + �� = ˆ #�1 + �� +ˆ #�1 + ��¬4 = s2 + s2 = s
4
E¬ 	
¬
E¬ 
 
 
Profª Waléria Cecílio Página 25 
 
Caso 3: Integral com integrando descontínuo. 
Se f é continua em [a, b) e descontinua em t então � ����#�x‘ � limj→x � ����#�j‘ 
desde que o limite exista. 
Se f é continua em (a, b] e descontinua em a, então � ����#�x‘ � limj→‘ � ����#�xj 
desde que o limite exista. 
Se f tem descontinuidade em um numero c do intervalo aberto (a, b), mas é continua em 
todo outro ponto de [a, b], então. 
ˆ ���� � ˆ ����#�
B
‘
�ˆ ����#�
x
B
x
‘
 
Calcule: 
a) � ��√-E�
-
4 
 
b) � ��� � ∞
'
4 
 
c) � ����D'�//.
c
E� � 9

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