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PUCPR ���� CÁLCULO I Notas de Aula (1ª Avaliação Parcial) Profª Waléria A. G. Cecílio CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 1 1 LIMITE E CONTINUIDADE Noção Intuitiva DE LIMITE Objetivo: Estudar o comportamento de uma função perto de um ponto. a) Como a função 1 1)( 2 − − = x x xf se comporta próximo de x = 1? x y = f(x) x y CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 2 b) Como a função 1 1)( 2 − − = x x xf se comporta próximo de x = 1? C) Como a função x senx xf =)( se comporta próximo de x = 0? CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 3 DEFINIÇÃO DE Limite Definição Formal: Seja f definida em um intervalo aberto em torno de 0x , exceto talvez em 0x . Dizemos que )(xf tem limite L quando x tende a 0x e escrevemos: Lxf xx = → )(lim 0 Se para cada número 0>ε existir um número correspondente 0>δ , tal que, para todos os valores de x, δε <−<<− 00 que sempre )( xxLxf Unicidade do Limite Se 21 )(lim)(lim LxfeLxf axax == →→ então 21 LL = . Teorema Se KeCML ,, são números reais e Lxf cx = → )(lim Mxg cx = → )(lim então 1. Soma: MLxgxf cx +=+ → ))()((lim 2. Diferença: MLxgxf cx −=− → ))()((lim 3. Produto: MLxgxf cx .)().(lim = → CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 4 4. Quociente: 0,)( )(lim ≠= → M M L xg xf cx 5. Multiplicação por Constante: KLxKf cx = → )(lim 6. Potenciação: s r s r cx Lxf = → )(lim com r e s inteiros e .0≠s Duas funções que tem limite em todo ponto. a) Se f é a função identidade entãoxxf ,)( = para cada valor de 0x . 0limlim 00 )( xxxf xxxx == →→ b) Se f é a função constante kxf =)( , então para qualquer valor de 0x . kkxf xxxx == →→ 00 lim)(lim Exemplos: 3lim 3 = → x x 44lim 7 = −→x Importante! Em algumas situações o limite pode não existir. CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 5 Teorema: Se f é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então Lxf ax = → )(lim se e somente se )(lim)(lim xfLxf axax −+ →→ == . Exemplo: x x x − →0 lim Solução: 11lim)(lim 00 == − − −− →→ xx x x (1) 11limlim 00 −=−=− −+ →→ xx x x (2) omo (1) ≠ (2) logo o x x x − →0 lim não existe. INDETERMINAÇÕES ∞ ∞∞∞−∞ ∞ ∞ 1,,0,.0,,, 0 0 00 CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 6 CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 7 CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 8 CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 9 LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 10 CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 11 EXERCÍCIO: 1) Utilize as propriedades e resolva os limites: a. )34(lim 23 −+ → xx cx b. 5 1lim 2 24 + −+ → x xx cx c. 34lim 2 2 − −→ x x d. 5 34lim 2 23 1 + −+ −→ x xx x e. xx xx x − −+ → 2 2 1 2lim f. 4 lim 2 senhx x→ g. x x 0 lim → h. )(lim 2 xf x→ onde =)(xf >− = <+ 29 22 21 2 2 xparax xpara xparax i. 4 23lim 2 3 2 − +− −→ x xx n j. x x x 22lim 0 −+ → k. 8 52lim + − ∞→ x x x l. 24 532lim 5 3 − +− +∞→ x xx x m. ++ → 2 3 0 1lim x xx x n. )143(lim 35 +− +∞→ xx x CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 12 o. 2 3lim 2 + + ∞→ x x x p. 4 24 4 1232lim x xxx x − +++ ∞→ q. )(lim),(lim),(lim 3,73 3,1)( 333 xfxfxf xx xx xf xxx →→→ −+ >− ≤− = r. x xsen x )3(lim 0→ s. )(lim),(lim),(lim),(lim),(lim),(lim),(lim),(lim 1,2 1,2 10, 0,/1 )( 22200011 2 xfxfxfxfxfxfxfxf xx x xx xx xf xxxxxxxx →→→→→→→−→ −+−+ >− = <≤ < = 2) Seja )(xf a função definida pelo gráfico. Intuitivamente encontre: a) a) = + −→ )(lim 2 xf x b) = − −→ )(lim 2 xf x c) = −→ )(lim 2 xf x d) = ∞→ )(lim xf x b) c) a) = +→ )(lim 1 xf x b) = −→ )(lim 1 xf x c) = → )(lim 1 xf x d) = −∞→ )(lim xf x CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 13 ASSINTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS Uma reta by = é uma assíntota horizontal do gráfico de )(xfy = se bxfoubxf xx == −∞→∞→ )(lim)(lim . Uma reta ax = é uma assíntota vertical do gráfico se ±∞=±∞= −+ →→ )(lim)(lim xfouxf axax Exemplo: Encontre as assíntotas f(x) e em seguida esboçar o gráfico de y=f(x). 2 3 + + = x xy Solução: Estamos interessados em ±∞→x ou 2−→x (denominador 0) 2:3 ++ xx → 2 11 2 3 + += + + xx x → gráfico de x 1 deslocado 1 unidade para cima e 2 unidades para a esquerda. = + + = + + = + + −∞→ −→∞→ 1 21 31 lim 121 31 lim 2 3lim 2 x x x x x x x xx −∞= + + ∞= + + − + −→ −→ 2 11lim 2 11lim 2 2 x x x x As retas 1=y e 2−=x são assíntotas da curva 2 3 + + = x xy Esboce o gráfico com base nos resultados obtidos. a) = +→ )(lim 2 xf x b) = −→ )(lim 2 xf x c) = → )(lim 2 xf x CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 14 Exercício: Encontre as assíntotas de 4 8 2 − −= x y , em seguida esboce o gráfico. CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 15 TEOREMA DO CONFRONTO Suponha que )()()( xhxfxg ≤≤ para qualquer x em um intervalo aberto contendo c , exceto possivelmente em cx = . Suponha tambémque Lxhxg cxcx == →→ )(lim)(lim , então Lxf cx = → )(lim Exemplos: 1) Sendo 2 1)( 4 1 22 x xMx +≤≤− para qualquer .0≠x Procure ).(lim 0 xM x→ Solução: Como 1 4 1lim 2 0 =− → x x e 1 2 1lim 2 0 =+ → x x o Teorema do Confronto ⇒ 1)(lim 0 = → xM x para qualquer f entre g e h . 2) 01senlim 2 0 = → x x x Solução: Sabendo que 11sen0 ≤≤ x multiplicado por 2x 22 1sen0 x x x ≤≤ 00lim 0 = →x 0lim 2 0 = → x x CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 16 LIMITES FUNDAMENTAIS a) 1senlim 0 = → x x x , caso particular: 1lim 0 = → senx x x b) e x x x = + ±∞→ 11lim onde e é um número irracional c) )1,0(ln1lim 0 ≠>= − → aaa x a x x EXERCÍCIO: 1) Utilize as propriedades e resolva os limites: t. x xsen x 2lim 0→ u. xsen xsen x 4 3lim 0→ v. x xtg x )(lim 0→ w. x x x 1 0 )1(lim + → x. x x x 1 0 )1ln(lim + → y. x ba xx x − →0 lim CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 17 FUNÇÃO CONTÍNUA Definição: Dizemos que uma função f é contínua no ponto a se as seguintes condições são satisfeitas : (i) f é definida no ponto a (ii) )()(lim afxf ax = → Exemplos: a) f é contínua em todo seu domínio: }0{)( −= RfD , mas não é contínua em x=0. b) O canto ‘preciso’ não impede que a função seja contínua ffxx xx ∴==−= −+ →→ )0(0limlim 00 é contínua .x∀ c) f é contínua em todos os pontos de seu domínio, .22)( ≤≤−= xfD . CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 18 d) = ≠ − − = 1,1 1, 1 12 xse xse x x y f é contínua em todo seu domínio: }1{)( −= RfD , mas não é contínua em x=1. Temos: 1)1( =f e 2)1( )1).(1(lim)(lim 11 = − −+ = →→ x xx xf xx Como o valor do limite é diferente do valor da função no ponto x= 1, f não é contínua em .1=x Propriedades: Se f e g são funções contínuas em cx = , então as seguintes combinações também são contínuas: 1. )()( xgxf + 2. )()( xgxf − 3. )(. xgf 4. )(. xfk 5. 0)(,)( )( ≠cg xg xf Exemplo: 2 sen 2 + = x xxy é contínua xxg =→ )( é contínua e 2 sen)( 2 += x xx xf é contínua CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 19 Exercício: Determine se as funções são contínuas no ponto dado: a) )(xf = <+ ≥ 2,1 2,2 xsex xsex em x = 2; b) >− = <+ = 2,9 2,2 2,1 )( 2 2 xsex xse xsex xf em x = 2; c) −≠ + + = 2, 2 1)( xse x x xf , em x = 4. TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO PARA FUNÇÕES CONTÍNUAS Uma função )(xfy = que é contínua em um intervalo fechado ],[ ba assume cada valor entre )(af e ),(bf Em outras palavras, se 0y for qualquer valor entre )(af e ),(bf então )(0 cfy = para algum c em ].,[ ba Geometricamente o Teorema diz que qualquer reta horizontal 0yy = cruzando o eixo y entre os números )(af e )(bf cruzará a curva )(xfy = pelo uma vez no intervalo ].,[ ba Consequência do Teorema: 0)().( <bfaf ].,[ baemraizumapeloexiste→ CÁLCULO I Profª Waléria A. G. Cecílio – wcecilio@gmail.com Página 20 Exemplo: Algum número real somado a 1 é exatamente igual ao seu quadrado? Solução: Tal número deve satisfazer 21 xx =+ ou equivalente a 012 =−− xx ∴ Estamos procurando um zero da função contínua. A função muda de sinal em ],2,1[ 1)1( −=f e 5)2( =f Deve existir um ponto c entre 1 e 2 em que 0)( =cf
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