teoria e exercicios de equilíbrio de corpo extenso.2.4.pdf

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Exercício básico: determine o momento da força em relação ao ponto 0 
Calcule o momento em relação ao ponto 0 
Determine o momento de F em relação a porca 
Determine o momento da força em relação à porca 
Momento resultante : 
 
Momento resultante em relação a um ponto devido a um conjunto de forças é a 
soma dos momentos de cada força em relação ao ponto. 
 
𝑀𝑅 = 𝑀1 +𝑀2 +⋯+𝑀𝑛 
Momento de uma força, usando princípio de Varignon: 
O princípio de Varignon diz que o momento de uma força é igual a soma dos 
momentos dos componentes da força em questão. 
Exercício: calcule o momento da força F em relação ao ponto A, sabendo que 
𝜃 = 300 
Momento de Binário: duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, 
linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário. O binário tem 
como resulta força zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças 
em relação a um dado ponto não é zero. O módulo do momento de binário é 
dado por: 𝑴 = 𝑭. 𝒅 cuja direção é perpendicular ao plano das forças e o sentido 
é dado pela regra da mão direita. Onde d é a distância entre as forças. 
 
 
 
Determine o momento devido aos binários na base da estrutura, usando 
decomposição 
Aplicação de binário 
 Equilíbrio de corpo extenso: para que um corpo extenso esteja em 
equilíbrio é necessário que (equações fundamentais da estática) 
 
 𝐹 = 0 𝑀 = 0 
Exercício sobre equilíbrio: qual deve ser o valor de F para que o sistema fique 
em equilíbrio? O que mais é necessário para garantir o equilíbrio? 
Diagrama de corpo livre do balanço 
Tipos de apoio ou vínculo estrutural de estrutura: 
Denominamos vínculo ou apoio estrutural os elementos de construção 
que impedem os movimentos de uma estrutura. 
Vínculo simples ou móvel, Esse tipo de vínculo o movimento de translação na 
direção normal ao plano de apoio. 
Vínculo duplo ou fixo, este tipo vínculo impede movimento de translação em 
duas direções. 
Engastamento, esse tipo de vínculo impede a translação em qualquer direção 
e também a sua rotação. 
Tipos de vínculos 
Tipos de vínculos 
Tipos de vínculos 
Exercício: Represente as reações dos apoios (diagrama de corpo livre) e 
calcule seu valor das reações. 
Diagrama de corpo livre: Para construir o diagrama de corpo livre deve-se 
substituir os apoios pelas forças e momento que eles exercem. 
Exercício: Calcule a tensão no cabo, sendo que A é um pino. 
Diagrama de corpo livre. 
Exercício: Construa o diagrama de corpo livre e calcule as reações dos apoios da 
estrutura dada abaixo. 
Diagrama de corpo livre 
Carga distribuida, é definida como a quantidade de carga por unidade de 
comprimento e a força resultante é colocada no centróide da área da carga 
Exemplo de Carga Distribuida. A força resultante é colocada no centróide da 
carga. 
Exercício. Construa o diagrama de corpo livre e calcule as reações dos apoios 
Exercício: Construa o diagrama de corpo livre e calcule as reações dos apoios 
da estrutura engastada dada abaixo. 
Diagrama de corpo livre 
Exercício: Construa o diagrama de corpo livre e calcule as reações dos apoios 
da estrutura engastada dada abaixo. 
Diagrama de corpo livre. 
Exercício: construa o diagrama de corpo livre e calcule as reações do apoio 
Estrutura 
• Estruturas Hipoestáticas – essas estruturas são instáveis ou seja o corpo pode sair da 
condição de equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
• Estrutura Isostática, é a estrutura que possue número de reações igual ao número de 
equações 
 
 
• Estrutura Hiperestática, são estruturas em que número de reações é 
maior do que o número de equações de equilíbrio. 
 
Tração e compressão: Podemos afirmar que uma peça está submentida a esforço de 
tração ou compressão quando uma carga normal F atua sobre a área da seção 
transversal da peça, na direção longitudinal do eixo. 
Quando a peça é tracionada ela aumenta de comprimento e quando 
comprimida a peça reduz de comprimento . 
Tensão Normal 𝝈 , A carga normal F, que atua na peça, origina uma tensão normal 
que é determinada pela relação entre a intensidade da carga (F) e a área da seção 
transversal da peça (A). 𝜎 =
𝐹
𝐴
 
Sendo: 𝜎 - em [N/𝑚2] 
 F – força normal ou axial em [N] 
 A – área da seção transversal em [𝑚2] 
1Pascal=1N/𝑚2 
Lei de Hooke 
• Após uma série de experiências, Robert Hooke, constatou que alguns 
materiais, quando submetido à ação de carga de tração ou compressão, 
sofrem variação na sua dimensão de modo linear ou seja se aplicarmos 
uma carga F ao longo de uma barra o seu comprimento varia da seguinte 
forma 
 
∆𝑙 =
𝐹 ∙ 𝐿
𝐴 ∙ 𝐸
 
Como 𝜎 =
𝐹
𝐴
 temos que 
 
∆𝑙 = 𝜎 
𝐿
𝐸
 
 
 
Sendo : 
• ∆𝑙 – alongamento da peça ∆𝐿 = 𝐿𝑓 − 𝐿 
• 𝜎 – tensão normal [N/𝑚2] 
• F – força normal a seção A [N] 
• A – área da seção transversal [𝑚2] 
• E – módulo de elasticidade do material [N/𝑚2 = 𝑃𝑎] 
• 𝐿 – comprimento inicial da peça [m] 
• 𝐿𝑓 – comprimento final da peça [m] 
 
 
Sendo : 
𝐿𝑓 – comprimento final da peça 
𝐿 – comprimento inicial da peça 
∆𝐿 – alongamento, esse valor pode ser positivo ou negativo 
Deformação longitudinal (𝜀) 
• Na figura anterior a peça submetida a uma força F sobre alongamento de uma 
quantidade ∆𝐿 ao longo do comprimento da peça, à relação entre alongamento e 
comprimento inicial 
 
𝜀 =
∆𝐿
𝐿
 
 
denominamos deformação longitudinal (𝜀) a qual é adimensional. Outra importante 
relação equivalente é dada por 
 
 
𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀 
 
a qual relaciona tensão longitudinal e deformação longitudinal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deformação Transversal 
Um material submetido a ação de uma força F sobre uma deformação longitudinal 
𝜀 na direção da força, mas simultaneamente a peça sofre uma deformação 𝜀𝑡 na 
direção perpendicular a força 
 
a relação entre a deformação transvesral e longitudinal é dada por 
 
 𝜀𝑡 = −ν ∙ 𝜀 
 
ν – coeficiente de Poisson [admensional] 
 
Materiais Dúcteis e Frágeis 
• Um material é classificada como dúctil se em ensaio de tração apresenta 
comportamento elástico seguido de deformação plástica, como se vê no 
diagrama tensão-deformação abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• como exemplo temos o aço, alumínio e o cobre. 
Material Frágil 
• O material é classificado como frágil quando submetido a ensaio de tração 
ele se rompe abrutamente depois da deformação elastica 
• Um material é classificada como frágil se em ensaio de tração apresenta 
comportamento elástico seguido de ruptura abrupta ou seja a peça não 
sofre deformação plástica durante o ensaio, como se vê no diagrama 
tensão-deformação abaixo 
 
• Coeficiente de segurança 𝑘 
O coeficiente de segurança é utilizado no dimensionamento dos elementos de 
construção, visando assegurar segurança a custos adequados. 
 O projetista pode obter o coeficiente em normas ou determiná-lo em 
função das circunstâncias apresentadas. 
 
 Para determinar o coeficiente de segurança em função das 
circunstâncias apresentadas, deve ser utilizada a expressão a seguir: 
 𝑘 = 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 ∙ 𝑤 
 𝑥= 1,5 para aços-liga 
 𝑦 = 1 para carga constante 
 𝑦 = 2 para carga intermitente 
 𝑦 = 3 para carga alternanda 
 𝑧 = 1 para carga gradual 
 𝑧 = 1,5 para choques leves 
 𝑧 = 2 para choques bruscosfalha de fabricação: 
 𝑤 = 1 𝑎 1,5 para aços 
 𝑤 = 1,5 𝑎 2 para outros materiais 
Para carga estática, normalmente utiliza-se 2 ≤ 𝑘 ≤ 3. 
 
 
• tipos de cargas: 
• Carga estática – A carga é aplicada e permanece constante. 
 
 
 
 
 
 
• Carga intermitente – Neste caso o valor carga varia ao longo do tempo 
sem se tornar negativa 
 
• Carga alternada – Nesse tipo de carregamento, a carga aplicada na peça 
varia de máximo positivo até um valor mínimo negativo, sendo este o pior 
tipo de carregamento para o material. 
 
 
Tensão Admissível 𝝈 ou 𝝈𝒂𝒅𝒎 
 
 A tensão admissível é a ideal de trabalho para o material nas 
circunstâncias apresentadas. Geralmente, essa tensão deve ser mantida na 
região de deformação elástica do material. 
 Porém, há casos em que a tensão admissível pode estar na região 
de deformação plástica do material, visando principalmente a redução do 
peso de construção como acontece no caso de aviões, foguetes, mísseis, 
etc. 
 Aqui nos restringiremos aqui ao caso elástico 
 A tensão admissível é determinada pela relação entre a 𝜎𝑒 
(tensão de escoamente) e o coeficiente de segurança para os materiais 
dúcteis e para o materiais frágeis essa relação é com a tensão de ruptura 
 𝜎𝑟. 
 𝜎 =
𝜎𝑒
𝑘
 materais dúcteis 
 𝜎 =
𝜎𝑟
𝑘
 materiais frágeis 
Peso Próprio 
 Em projetos de grande porte, é necessário levar em conta, o peso do 
material da estrutura. Existem diversos métodos de cálculo do peso próprio. 
Desde colocar a estrutura sobre uma balança a mergulhar toda a estrutura 
em água para determinar seu volume para então multiplica pela densidade 
do material utilizado na construção da estrutura. 
Aços e sua classificação 
• O aço é uma liga metálica formada essencialmente por ferro e carbono, 
com percentagens deste último variando entre 0,008 e 2,11%. 
 
Tensão de escoamento e ruptura -- Materiais diversos 
• Tensão de ruptura e tensão de escoamento - aços 
Dimensionamento de peças 
Peça de secção transversal qualquer 
Área mínima 𝐴𝑚𝑖𝑛 =
𝐹
𝜎 
 
𝐴𝑚𝑖𝑛 - área mínima da secção transversal 
𝐹 - carga axial aplicada 
𝜎 - tensão admissível 
Exercício 1: A barra circular representada na figura é de aço, possui d=20mm 
e comprimento de 0,8m. Encontra-se submetido à ação de uma carga axial 
de 7,2kN. 
 Determine: 
a) Tensão normal atuante 𝜎; 
b) O alogamento ∆𝑙 
c) A deformação longitudinal 𝜀 
d) a deformação transversal 𝜀𝑡 
resolução 
a) 𝐴 = 𝜋𝑟2 é a área da seção 
𝑟 = 10 ∙ 10−3 𝑚 𝐴 = 3,14 10−4𝑚2 
 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 𝜎 =
7200
3,14∙10−4 
= 2,29 ∙ 107 𝑃𝑎 
 
b) 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀 temos que 𝜀 =
𝜎
𝐸
 para o aço 𝐸 = 210 ∙ 109 𝑃𝑎 
𝜀 = 
2,29 ∙ 107
210 ∙ 109
= 1,09 ∙ 10−4 
 
𝜀 =
∆𝑙
𝑙
; ∆𝑙 = 1,09 ∙ 10−4 ∙ 0.8 = 8,74 ∙ 10−5𝑚 
 
c) 𝜀 = 1,09 ∙ 10−4 
d) 𝜀𝑡 = −ν ∙ 𝜀 para o aço ν=0,3 
 𝜀𝑡 = −0,3 ∙ 1,09 ∙ 10
−4 = −3,27 ∙ 10−5 
 
 
 
Exercício para os alunos: 
 Refazer o exercício anterior para uma barra quadrada de 20X20mm e 
comprimento 0,8 e carga de 10kN. 
 
Exercício: Determinar o diâmetro da barra 1 da construção representada na 
figura. O material da barra é o ABNT 1010 L (laminado) com 𝜎𝑒 = 220𝑀𝑃𝑎, e 
o coeficiente de segurança indicado para o caso é k=2. 
resolução 
• 𝜎 = 𝜎𝑒/𝑘 logo 𝜎 =220MPa/2=110MPa; 
 
• A força à barra 1 e obtido pelo calculo da reação do apoio 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando 𝑀𝐴 = 0, 
+𝐹1 ∙ 0,8 − 4000 ∙ 1,6 − 10.000 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53 ∙ 0,8 = 0 
 𝐹1 = 16.000𝑁 
 
• A tensão interna à barra 1 será devido a força 𝐹1 
 
• 𝜎 =
𝐹1
𝐴
 onde A é área da secção da barra 1; 
 
• Como o valor da tensão admissível é 110MPa, podemos calcular o valor 
da área A da secção da barra 1, 
 
• 𝐴 =
𝐹1
𝜎 
= 16000/110 ∙ 106 𝐴 = 1,45 ∙ 10−4 𝑚2 
• E o diâmetro da barra será 
 
• 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2; 𝑟 = 6,8 ∙ 10−3 𝑚 = 6,8𝑚𝑚 
• Ou diâmetro de d=13,6mm. 
Exercício para os alunos: 
Refazer o exercício anterior para uma barra e quadrada de largura L. 
 
Exercício: Determinar o diâmetro da barra AB da construção representada na 
figura. O material da barra é o ABNT 1010 L (laminado) com 𝜎𝑒=220𝑀𝑃𝑎, e o 
coeficiente de segurança indicado para o caso é k=3. 
Cisalhamento: Tensão de cisalhamento, tensão tangencial, ou ainda tensão 
de corte ou tensão cortante é um tipo de tensão gerado por forças aplicadas 
em sentidos iguais ou opostos, em direções semelhantes, mas com 
intensidades diferentes no material analisado. Um exemplo disso é a 
aplicação de forças paralelas mas em sentidos opostos, ou a típica tensão que 
gera o corte em tesouras. 
Força cortante 
• Denomina-se força cortante a carga Q que atua tangencialmente sobre a 
área de secção transversal da peça. 
 
 
A escora de madeira mostrada na figura está suportada por uma haste de aço 
de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga 
vertical de 5 kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste 
𝜏 =
𝑄
𝐴 
=
5000
𝜋∙(0.01/2)2
= 63,69 ∙ 106 Pa 
Atividade para os alunos: 
Refaça o exercício anterior para um pino de 20mm 
 
Tensão de cisalhamento: A ação da carga cortante sobre a área da secção transversal 
da peça causa nesta uma tensão de cisalhamento, que é definida pela relação entre a 
intensidade da carga aplicada e a área da secção transversal da peça sujeita a 
cisalhamento. 
𝜏 =
𝑄
𝐴𝑐𝑖𝑠
 
Deformação do cisalhamento: 
𝛾 – distorção [rad] 
𝜏 – tensão de cisalhamento atuante [Pa] 
G – módulo de elásticidade transversal do material [Pa] 
Módulo de elásticidade Transversal G 
Projeto e execução de estrutura de aços – NB14 
As distâncias mínimas estabelecidas pela norma e que devem ser observadas 
no projeto de juntas são: d – diâmetro; Q – carga aplicada 
união de duas chapas 
Exercício: 
Exercicio para os alunos fazerem 
Refaça o exercício anterior substituindo o parafuso M12 por uma M5. 
 
Exercício 
Exercício 
Esforço interno: Para projetar um membro estrutural ou mecânico, é preciso 
conhecer a carga atuando dentro do membro, a fim de garantir que o material possa 
resistir a essa carga. As carga interna podem ser determinadas usando o método das 
seções, como pode ser visto nas figuras abaixo. 
 
Esforço Interno 
 
𝑉𝑐 é denominado esforço cortante; 
𝑀𝑐 é denominado momento fletor; 
𝑁𝑐 é força normal. 
Exemplo 1. Determine o esforço interno (momento fletor, esforço 
cortante, força cortante) no ponto C onde 𝐹1 = 6𝑘𝑁 , 𝐹2 = 5𝑘𝑁; 
𝐵𝑦 = 4820,6𝑁 
𝐴𝑥 = 2664,3N 
𝐴𝑦 = 5410,9𝑁 
Exemplo 1: determine o esforço interno no ponto B a esquerda da carga de 6 KN 
Exemplo 2: determine o esforço interno em 1,0m, 3,0m, 5,0m e 6,5m medido 
a partir A da esquerda para a direita. O mancal da direita é do tipo radial e o 
da esquerda axial. 
𝐵𝑦 = 3500𝑁 𝐴𝑦 = 3500𝑁 
Exercício para os alunos: 
Refaçam o exercício anterior retirando a carga de 3000N. 
Exemplo de viga de concreto de espessura variável