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Te´cnicas de Contagem Exemplo Para a Copa do Mundo 24 pa´ıses sa˜o divididos em seis grupos, com 4 pa´ıses cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada pa´ıs e´ feita ao acaso, calcular a probabilidade de que dois pa´ıses determinados A e B se encontrem no mesmo grupo. (Na ealidade a escolha na˜o e´ feita de forma completamente aleato´ria.) Fonte: Morgado, Carvalho, Carvalho & Fernandez, Ana´lise Combinato´ria e Probabilidade, pa´g 125. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Te´cnicas de Contagem Vamos tomar como espac¸o amostral o conjunto de todas as permutac¸o˜es de 24 elementos; ou seja o nu´mero de casos poss´ıveis e´ 24!. Agora, cada um dos 24 times sera˜o divididos em 6 grupos de 4 times. I II III IV V VI •••• •••• •••• ••••• •••• •••• Quantas permutac¸o˜es existem tais que A e B pertenc¸am ao mesmo grupo? Tome primeiro o grupo I. A pode ser colocado em 4 lugares; restam para B 3 lugares no mesmo grupo, e os times restantes podem ser dispostos de 22! maneiras diferentes. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Te´cnicas de Contagem Portanto o nu´mero de permutac¸o˜es com A e B no primeiro grupo e´ 4 · 3 · 22! E como temos 6 grupos, a probabilidade procurada e´ igual ao nu´mero de casos favora´veis sobre os poss´ıveis, ou simplesmente 6 · 4 · 3 · 22! 24! = 3 23 ≈ 0,13 Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Probabilidade Condicional Exemplo Consideremos dois dados: um deles equilibrado, com P({1}) = . . . = P({6}) = 1/6, e outro viciado, com P({1}) = 1/2 e P({2}) = . . . = P({6}) = 1/10. Escolhe-se um dos dados ao acaso e se efetuam dois lanc¸amentos, obtendo-se dois uns. Qual a probabilidade condicional de que o dado escolhido tenha sido o viciado? Fonte: Morgado, Carvalho, Carvalho & Fernandez, Ana´lise Combinato´ria e Probabilidade, pa´g 148. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Probabilidade Condicional Temos que cada dado e´ escolhido com 1/2 de probabilidade. A probabilidade de observar {1, 1} em dois lanc¸amentos de um dado na˜o viciado e´ 1/6 · 1/6 = 1/36. Para o dado viciado, temos que essa probabilidade e´ igual a 1/2 · 1/2 = 1/4. A probabilidade do evento E =“observar dois uns” e´ dada pela unia˜o dos eventos E1 =“sortear o dado viciado e observar dois uns” e E2 =“sortear o dado equilibrado e observar dois uns”. Ou seja, P(E ) = 1 2 · 1 4 + 1 2 · 1 36 = 5 36 Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Probabilidade Condicional A probabilidade do dado escolhido ser o viciado, dado que se observou dois uns, e´ dada por P(“sortear o dado viciado e observar dois uns”) P(“observar dois uns”) = 1/8 5/36 = 9 10 Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Probabilidade Condicional Exemplo Esse problema e´ conhecido como Problema da moeda de Bertrand. Existem treˆs caixas ideˆnticas. A primeira conte´m duas moedas de ouro, a segunda conte´m uma de ouro e outra de prata, e a terceira conte´m duas moedas de prata. Uma caixa e´ selecionada ao acaso e da mesma e´ escolhida uma moeda ao acaso. Se a moeda e´ de ouro, qual a probabilidade de que a outra moeda da caixa escolhida tambe´m seja de ouro? Fonte: Hazzan, Matema´tica Elementar: Combinato´ria e Probabilidade, pa´g 104-E. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Probabilidade Condicional Considere o diagrama: Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Probabilidade Condicional Note que o problema pode ser reformulado da seguinte forma: “Se a moeda sorteada e´ de ouro, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da caixa I?”, pois a caixa I e´ a u´nica que conte´m duas moedas de ouro. Sejam os eventos: CI : A caixa sorteada e´ a I. CII : A caixa sorteada e´ a II. CIII : A caixa sorteada e´ a III. O: A moeda sorteada e´ de ouro. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Probabilidade Condicional Novamente note que Ω = CI ∪ CII ∪ CIII , e consequentemente P(O) = P(CI ∩ O) + P(CII ∩ O) + P(CIII ∩ O) P(O) = 1 3 · 1 + 1 3 · 1 2 + 0 = 1 2 Como P(CI ∩ O) = 1/3, temos simplesmente que P(CI |O) = P(CI ∩ O) P(O) = 1/3 1/2 = 2 3 Ou seja, a probabilidade de que a outra moeda tambe´m seja de ouro e´ de 2/3. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Independeˆncia Exemplo Dizemos que os eventos A1,A2, . . . ,An sa˜o independentes se P(Ai1 ∩ . . .∩Aik ) = P(Ai1) . . .P(Aik ). Para apenas dois eventos, A e B, isso significa que A e B sa˜o independentes se P(A ∩ B) = P(A)P(B). Mostre um caso n = 3 onde vale a independeˆncia 2 a 2, mas os eventos na˜o sa˜o independentes. Fonte: Morgado, Carvalho, Carvalho & Fernandez, Ana´lise Combinato´ria e Probabilidade, pa´g 154. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Independeˆncia Considere o espac¸o amostral Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}, e defina P(ωi ) = 1/4, para i = 1, 2, 3, 4. Defina agora os eventos A = {ω1, ω3}, B = {ω2, ω3} e C = {ω3, ω4}. Temos que P(A) = P(B) = P(C ) = 1/2. Ale´m disso, P(A ∩ B) = P(A ∩ C ) = P(B ∩ C ) = 1 4 ou seja, os eventos sa˜o, dois a dois, independentes. Contudo, P(A ∩ B ∩ C ) = P({ω3}) = 1 4 6= 1 8 = P(A)P(B)P(C ) Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Independeˆncia Exemplo Um jogador deve enfrentar, em um torneiro, dois outros, chamados A e B. Os resultados dos jogos sa˜o independentes e as probabilidades dele ganhar de A e de B sa˜o 1/3 e 2/3, respectivamente. O jogador vencera´ o torneio se ganhar dois jogos consecutivos, de uma se´rie de 3. Que se´rie de jogos e´ mais favora´vl para o jogador: ABA ou BAB? Fonte: Morgado, Carvalho, Carvalho & Fernandez, Ana´lise Combinato´ria e Probabilidade, pa´g 155. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Independeˆncia A probabilidade do jogador vencer se escolher a primeira se´rie e´ (i) ganha de A, ganha de B ou (ii) perde para A, ganha de B e ganha de A. Ou seja, P(ABA) = 1 3 · 2 3 + 2 3 · 2 3 · 1 3 = 10 27 A probabillidade do jogador vencer se escolher a segunda se´rie BAB e´ P(BAB) = 2 3 · 1 3 + 13 · 1 3 · 2 3 = 8 27 Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Independeˆncia A primeira se´rie e´ mais favora´vel. Este resultado parece surpreendente pois A e´ um adversa´rio mais dif´ıcil, e o jogador deve enfrenta´-lo duas vezes na primeira se´rie. O que acontece intuitivamente e´ que o jogo com A na segunda se´rie e´ decisivo. Na primeira se´rie, o jogador tem duas chances para derrotar A. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Independeˆncia Exemplo (a) Um dado equilibrado e´ lanc¸ado quatro vezes. Os lanc¸amentos sa˜o independentes. Qual a probabilidade de observar a face 6 pelo menos uma vez? (b) Dois dados equilibrados sa˜o lanc¸ados simultaneamente, 10 vezes. Os lanc¸amentos sa˜o independentes. Qual a probabilidade de observar a dupla de 6 pelo menos uma vez? Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Independeˆncia (a) Seja A o evento “observar a face 6 pelo menos 1 vez”. Temos que P(A) = 1− P(Ac ), onde Ac e´ o evento “na˜o observar a face 6 nenhuma vez”. Esse evento e´ mais fa´cil de determinar a probabilidade, pois cada lanc¸amento e´ independente, e a probabilidade de na˜o observarmos 6 em algum lanc¸amento e´ igual a 5/6. A´ı P(Ac ) = (5/6)4, pela independeˆncia, e consequentemente P(A) = 1− (5/6)4. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Independeˆncia (b) Considere A o evento “dupla de 6 pelo menos uma vez”. Novamente, e´ mais fa´cil considerar Ac = “dupla de 6 na˜o e´ observada nenhuma vez”. E´ sabido que P(A) = 1− P(Ac ). Considere a probabilidade conjunta dos lanc¸amentos P({6, 6}) = 1/36, enta˜o P(Ac ) = (35/36)10 E a´ı P(A) = 1− (35/36)10. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Independeˆncia Exemplo Pec¸as sa˜o produzidas em uma linha de produc¸a˜o. A probabilidade de observar uma pec¸a defeituosa e´ 0,10. Selecionamos uma amostra de tamanho 10. Qual a probabilidade de obter duas pec¸as defeituosas nesta amostra? As pec¸as sa˜o selecionadas independentemente. Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Independeˆncia Seja D o evento “pec¸a e´ defeituosa”, e B o evento “pec¸a e´ boa”. Enta˜o P(D) = 0,1 e P(B) = 0,9. Seja A = “duas pec¸as defeituosas na amostra”. Como a ordem em que essas pec¸as sa˜o sorteadas na˜o importa, temos que sa˜o favora´veis os casos {DDBBBBBBBB,DBDBBBBBBB, . . . ,BBBBBBBBDD}, ao todo (10 2 ) casos. Pela independeˆncia, todos tem probabilidade 0,120,98. Enta˜o P(A) e´ dada por P(A) = ( 10 2 ) 0,120,98 = 0,19371 Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Exerc´ıcios Complementares: Contagem Exerc´ıcio (1) Quantos nu´meros diferentes de 4 algarismos distintos existem no sistema decimal de enumerac¸a˜o? (2) Quantos nu´meros impares diferentes de 4 algarismos distintos existem no sistema decimal de enumerac¸a˜o? (3) Quantos nu´meros, compreendidos entre 3000 e 4000, formados de algarismos distintos, podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 6, 8 e 9, de modo que na˜o sejam algarismos repetidos? Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Exerc´ıcios Complementares: Contagem Exerc´ıcio (4) Num grupo de 5 pessoas, duas sa˜o irma˜s. O nu´mero de maneiras distintas pelas quais elas podem ficar em fila, de modo que as duas irma˜s sempre fiquem juntas e´ igual a? (5) Quantos nu´meros ı´mpares compreendidos entre 2000 e 7000 podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 6, 8 e 9, de modo que na˜o tenham nu´meros repetidos? Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Exerc´ıcios Complementares: Contagem Exerc´ıcio (6) Sobre uma reta (R1) marca-se 7 pontos e sobre uma outra reta (R2), paralela a primeira reta, marca-se 4 pontos. Qual o nu´mero de triaˆngulos que obtemos unindo 3 dos quaisquer dos 11 pontos? (7) Em uma reunia˜o ha´ 12 rapazes, 4 dos quais usam o´culos e 16 moc¸as, 6 das quais usam o´culos. De quantas maneiras poss´ıveis podem ser formados casais para danc¸ar, se quem usa o´culos so´ quer fazer par com quem na˜o usa o´culos? Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Exerc´ıcios Complementares: Contagem Exerc´ıcio (8) Para diminuir o emplacamento de carros roubados, um determinado pa´ıs resolveu fazer um cadastro nacional, em que as placas sa˜o formadas com 3 letras e 4 algarismos, sendo que a primeira letra da placa determina um estado desse pa´ıs. Considerando o alfabeto com 26 letras, o nu´mero ma´ximo de carros que cada estado pode emplacar sera´ (9) Em um avia˜o de 8 lugares viajam 8 pessoas, das quais 4 tem condic¸o˜es de operar como piloto e co-piloto. De quantas maneiras diferentes estas 8 pessoas podem se distribuir no avia˜o? Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Exerc´ıcios Complementares: Probabilidade Condicional Exerc´ıcio (1) Um experimento consiste em lanc¸ar um dado equilibrado duas vezes, independentemente. Dado que os dois nu´meros sejam diferentes, qual e´ a probabilidade condicional de: (1.a) pelo menos um dos nu´meros ser 6 (1.b) a soma dos nu´meros ser 8 (2) Sabe-se que de cada 5 pessoas de uma determinada comunidade, uma e´ portadora de um certo tipo de anemia. Se selecionarmos, ao acaso, 3 pessoas dessa comunidade, qual a probabilidade de pelo menos uma delas seja portadora daquele tipo de anemia? Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Exerc´ıcios Complementares: Probabilidade Condicional Exerc´ıcio (3) 4 homens e 4 mulheres devem ocupar 8 lugares de um banco. Qual a probabilidade de que nunca fiquem lado a lado duas pessoas do mesmo sexo? (4) Durante o meˆs de novembro a probabilidade de chuva e´ de 0,3. O Brasil ganha o jogo em um dia com chuva com probabilidade de 0, 4, em dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se o Brasil ganhou em novembro, qual e´ a probabilidade de que choveu nesse dia? Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais Exerc´ıcios Complementares: Probabilidade Condicional Exerc´ıcio (5) Pedro quer enviar uma carta para Mariana. A probabilidade de que Pedro escreva a carta e´ 0,80. A probabilidade de que o correio na˜o a perca e´ de 0,90. A probabilidade de que o carteiro a entreguee´ 0,90. Dado que Mariana na˜o recebeu a carta, qual e´ a probabilidade condicional de que Pedro na˜o a tenha escrito? Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais
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