Aula 5 de exercícios - Técnicas de Contagem & Probabilidade Condicional

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Te´cnicas de Contagem
Exemplo
Para a Copa do Mundo 24 pa´ıses sa˜o divididos em seis grupos,
com 4 pa´ıses cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada
pa´ıs e´ feita ao acaso, calcular a probabilidade de que dois pa´ıses
determinados A e B se encontrem no mesmo grupo. (Na ealidade
a escolha na˜o e´ feita de forma completamente aleato´ria.)
Fonte: Morgado, Carvalho, Carvalho & Fernandez, Ana´lise
Combinato´ria e Probabilidade, pa´g 125.
Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig
Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais
Te´cnicas de Contagem
Vamos tomar como espac¸o amostral o conjunto de todas as
permutac¸o˜es de 24 elementos; ou seja o nu´mero de casos
poss´ıveis e´ 24!. Agora, cada um dos 24 times sera˜o divididos em
6 grupos de 4 times.
I II III IV V VI
•••• •••• •••• ••••• •••• ••••
Quantas permutac¸o˜es existem tais que A e B pertenc¸am ao
mesmo grupo? Tome primeiro o grupo I. A pode ser colocado em
4 lugares; restam para B 3 lugares no mesmo grupo, e os times
restantes podem ser dispostos de 22! maneiras diferentes.
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Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais
Te´cnicas de Contagem
Portanto o nu´mero de permutac¸o˜es com A e B no primeiro grupo e´
4 · 3 · 22!
E como temos 6 grupos, a probabilidade procurada e´ igual ao
nu´mero de casos favora´veis sobre os poss´ıveis, ou simplesmente
6 · 4 · 3 · 22!
24!
=
3
23
≈ 0,13
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Probabilidade Condicional
Exemplo
Consideremos dois dados: um deles equilibrado, com
P({1}) = . . . = P({6}) = 1/6, e outro viciado, com P({1}) = 1/2
e P({2}) = . . . = P({6}) = 1/10. Escolhe-se um dos dados ao
acaso e se efetuam dois lanc¸amentos, obtendo-se dois uns. Qual a
probabilidade condicional de que o dado escolhido tenha sido o
viciado?
Fonte: Morgado, Carvalho, Carvalho & Fernandez, Ana´lise
Combinato´ria e Probabilidade, pa´g 148.
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Probabilidade Condicional
Temos que cada dado e´ escolhido com 1/2 de probabilidade. A
probabilidade de observar {1, 1} em dois lanc¸amentos de um dado
na˜o viciado e´ 1/6 · 1/6 = 1/36. Para o dado viciado, temos que
essa probabilidade e´ igual a 1/2 · 1/2 = 1/4.
A probabilidade do evento E =“observar dois uns” e´ dada pela
unia˜o dos eventos E1 =“sortear o dado viciado e observar dois uns”
e E2 =“sortear o dado equilibrado e observar dois uns”. Ou seja,
P(E ) =
1
2
· 1
4
+
1
2
· 1
36
=
5
36
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Probabilidade Condicional
A probabilidade do dado escolhido ser o viciado, dado que se
observou dois uns, e´ dada por
P(“sortear o dado viciado e observar dois uns”)
P(“observar dois uns”)
=
1/8
5/36
=
9
10
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Probabilidade Condicional
Exemplo
Esse problema e´ conhecido como Problema da moeda de Bertrand.
Existem treˆs caixas ideˆnticas. A primeira conte´m duas moedas de
ouro, a segunda conte´m uma de ouro e outra de prata, e a terceira
conte´m duas moedas de prata. Uma caixa e´ selecionada ao acaso e
da mesma e´ escolhida uma moeda ao acaso. Se a moeda e´ de
ouro, qual a probabilidade de que a outra moeda da caixa
escolhida tambe´m seja de ouro?
Fonte: Hazzan, Matema´tica Elementar: Combinato´ria e
Probabilidade, pa´g 104-E.
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Probabilidade Condicional
Considere o diagrama:
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Probabilidade Condicional
Note que o problema pode ser reformulado da seguinte forma: “Se
a moeda sorteada e´ de ouro, qual a probabilidade de que ela tenha
vindo da caixa I?”, pois a caixa I e´ a u´nica que conte´m duas
moedas de ouro.
Sejam os eventos:
CI : A caixa sorteada e´ a I.
CII : A caixa sorteada e´ a II.
CIII : A caixa sorteada e´ a III.
O: A moeda sorteada e´ de ouro.
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Probabilidade Condicional
Novamente note que Ω = CI ∪ CII ∪ CIII , e consequentemente
P(O) = P(CI ∩ O) + P(CII ∩ O) + P(CIII ∩ O)
P(O) =
1
3
· 1 + 1
3
· 1
2
+ 0 =
1
2
Como P(CI ∩ O) = 1/3, temos simplesmente que
P(CI |O) = P(CI ∩ O)
P(O)
=
1/3
1/2
=
2
3
Ou seja, a probabilidade de que a outra moeda tambe´m seja de
ouro e´ de 2/3.
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Independeˆncia
Exemplo
Dizemos que os eventos A1,A2, . . . ,An sa˜o independentes se
P(Ai1 ∩ . . .∩Aik ) = P(Ai1) . . .P(Aik ). Para apenas dois eventos, A
e B, isso significa que A e B sa˜o independentes se
P(A ∩ B) = P(A)P(B). Mostre um caso n = 3 onde vale a
independeˆncia 2 a 2, mas os eventos na˜o sa˜o independentes.
Fonte: Morgado, Carvalho, Carvalho & Fernandez, Ana´lise
Combinato´ria e Probabilidade, pa´g 154.
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Independeˆncia
Considere o espac¸o amostral Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}, e defina
P(ωi ) = 1/4, para i = 1, 2, 3, 4. Defina agora os eventos
A = {ω1, ω3}, B = {ω2, ω3} e C = {ω3, ω4}. Temos que
P(A) = P(B) = P(C ) = 1/2. Ale´m disso,
P(A ∩ B) = P(A ∩ C ) = P(B ∩ C ) = 1
4
ou seja, os eventos sa˜o, dois a dois, independentes. Contudo,
P(A ∩ B ∩ C ) = P({ω3}) = 1
4
6= 1
8
= P(A)P(B)P(C )
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Independeˆncia
Exemplo
Um jogador deve enfrentar, em um torneiro, dois outros, chamados
A e B. Os resultados dos jogos sa˜o independentes e as
probabilidades dele ganhar de A e de B sa˜o 1/3 e 2/3,
respectivamente. O jogador vencera´ o torneio se ganhar dois jogos
consecutivos, de uma se´rie de 3. Que se´rie de jogos e´ mais favora´vl
para o jogador: ABA ou BAB?
Fonte: Morgado, Carvalho, Carvalho & Fernandez, Ana´lise
Combinato´ria e Probabilidade, pa´g 155.
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Independeˆncia
A probabilidade do jogador vencer se escolher a primeira se´rie e´ (i)
ganha de A, ganha de B ou (ii) perde para A, ganha de B e ganha
de A. Ou seja,
P(ABA) =
1
3
· 2
3
+
2
3
· 2
3
· 1
3
=
10
27
A probabillidade do jogador vencer se escolher a segunda se´rie
BAB e´
P(BAB) =
2
3
· 1
3
+
13
· 1
3
· 2
3
=
8
27
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Independeˆncia
A primeira se´rie e´ mais favora´vel. Este resultado parece
surpreendente pois A e´ um adversa´rio mais dif´ıcil, e o jogador deve
enfrenta´-lo duas vezes na primeira se´rie.
O que acontece intuitivamente e´ que o jogo com A na segunda
se´rie e´ decisivo. Na primeira se´rie, o jogador tem duas chances
para derrotar A.
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Independeˆncia
Exemplo
(a) Um dado equilibrado e´ lanc¸ado quatro vezes. Os lanc¸amentos
sa˜o independentes. Qual a probabilidade de observar a face 6
pelo menos uma vez?
(b) Dois dados equilibrados sa˜o lanc¸ados simultaneamente, 10
vezes. Os lanc¸amentos sa˜o independentes. Qual a
probabilidade de observar a dupla de 6 pelo menos uma vez?
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Independeˆncia
(a) Seja A o evento “observar a face 6 pelo menos 1 vez”. Temos
que
P(A) = 1− P(Ac ),
onde Ac e´ o evento “na˜o observar a face 6 nenhuma vez”.
Esse evento e´ mais fa´cil de determinar a probabilidade, pois
cada lanc¸amento e´ independente, e a probabilidade de na˜o
observarmos 6 em algum lanc¸amento e´ igual a 5/6.
A´ı P(Ac ) = (5/6)4, pela independeˆncia, e consequentemente
P(A) = 1− (5/6)4.
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Independeˆncia
(b) Considere A o evento “dupla de 6 pelo menos uma vez”.
Novamente, e´ mais fa´cil considerar Ac = “dupla de 6 na˜o e´
observada nenhuma vez”. E´ sabido que P(A) = 1− P(Ac ).
Considere a probabilidade conjunta dos lanc¸amentos
P({6, 6}) = 1/36, enta˜o
P(Ac ) = (35/36)10
E a´ı P(A) = 1− (35/36)10.
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Independeˆncia
Exemplo
Pec¸as sa˜o produzidas em uma linha de produc¸a˜o. A probabilidade
de observar uma pec¸a defeituosa e´ 0,10. Selecionamos uma
amostra de tamanho 10. Qual a probabilidade de obter duas pec¸as
defeituosas nesta amostra? As pec¸as sa˜o selecionadas
independentemente.
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Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais
Independeˆncia
Seja D o evento “pec¸a e´ defeituosa”, e B o evento “pec¸a e´ boa”.
Enta˜o P(D) = 0,1 e P(B) = 0,9. Seja A = “duas pec¸as
defeituosas na amostra”. Como a ordem em que essas pec¸as sa˜o
sorteadas na˜o importa, temos que sa˜o favora´veis os casos
{DDBBBBBBBB,DBDBBBBBBB, . . . ,BBBBBBBBDD},
ao todo
(10
2
)
casos. Pela independeˆncia, todos tem probabilidade
0,120,98. Enta˜o P(A) e´ dada por
P(A) =
(
10
2
)
0,120,98 = 0,19371
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Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais
Exerc´ıcios Complementares: Contagem
Exerc´ıcio
(1) Quantos nu´meros diferentes de 4 algarismos distintos existem
no sistema decimal de enumerac¸a˜o?
(2) Quantos nu´meros impares diferentes de 4 algarismos distintos
existem no sistema decimal de enumerac¸a˜o?
(3) Quantos nu´meros, compreendidos entre 3000 e 4000,
formados de algarismos distintos, podemos formar com os
algarismos 2, 3, 4, 6, 8 e 9, de modo que na˜o sejam
algarismos repetidos?
Organizac¸a˜o: Lucas Moreira, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Guilherme Ludwig
Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais
Exerc´ıcios Complementares: Contagem
Exerc´ıcio
(4) Num grupo de 5 pessoas, duas sa˜o irma˜s. O nu´mero de
maneiras distintas pelas quais elas podem ficar em fila, de
modo que as duas irma˜s sempre fiquem juntas e´ igual a?
(5) Quantos nu´meros ı´mpares compreendidos entre 2000 e 7000
podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 6, 8 e 9, de modo
que na˜o tenham nu´meros repetidos?
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Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais
Exerc´ıcios Complementares: Contagem
Exerc´ıcio
(6) Sobre uma reta (R1) marca-se 7 pontos e sobre uma outra
reta (R2), paralela a primeira reta, marca-se 4 pontos. Qual o
nu´mero de triaˆngulos que obtemos unindo 3 dos quaisquer dos
11 pontos?
(7) Em uma reunia˜o ha´ 12 rapazes, 4 dos quais usam o´culos e 16
moc¸as, 6 das quais usam o´culos. De quantas maneiras
poss´ıveis podem ser formados casais para danc¸ar, se quem usa
o´culos so´ quer fazer par com quem na˜o usa o´culos?
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Exerc´ıcios Complementares: Contagem
Exerc´ıcio
(8) Para diminuir o emplacamento de carros roubados, um
determinado pa´ıs resolveu fazer um cadastro nacional, em que
as placas sa˜o formadas com 3 letras e 4 algarismos, sendo que
a primeira letra da placa determina um estado desse pa´ıs.
Considerando o alfabeto com 26 letras, o nu´mero ma´ximo de
carros que cada estado pode emplacar sera´
(9) Em um avia˜o de 8 lugares viajam 8 pessoas, das quais 4 tem
condic¸o˜es de operar como piloto e co-piloto. De quantas
maneiras diferentes estas 8 pessoas podem se distribuir no
avia˜o?
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Aula de Exerc´ıcios - Te´cnicas de contagem & Probabilidade condicional, exerc´ıcios adicionais
Exerc´ıcios Complementares: Probabilidade Condicional
Exerc´ıcio
(1) Um experimento consiste em lanc¸ar um dado equilibrado duas
vezes, independentemente. Dado que os dois nu´meros sejam
diferentes, qual e´ a probabilidade condicional de:
(1.a) pelo menos um dos nu´meros ser 6
(1.b) a soma dos nu´meros ser 8
(2) Sabe-se que de cada 5 pessoas de uma determinada
comunidade, uma e´ portadora de um certo tipo de anemia. Se
selecionarmos, ao acaso, 3 pessoas dessa comunidade, qual a
probabilidade de pelo menos uma delas seja portadora daquele
tipo de anemia?
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Exerc´ıcios Complementares: Probabilidade Condicional
Exerc´ıcio
(3) 4 homens e 4 mulheres devem ocupar 8 lugares de um banco.
Qual a probabilidade de que nunca fiquem lado a lado duas
pessoas do mesmo sexo?
(4) Durante o meˆs de novembro a probabilidade de chuva e´ de
0,3. O Brasil ganha o jogo em um dia com chuva com
probabilidade de 0, 4, em dia sem chuva com probabilidade
0,6. Se o Brasil ganhou em novembro, qual e´ a probabilidade
de que choveu nesse dia?
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Exerc´ıcios Complementares: Probabilidade Condicional
Exerc´ıcio
(5) Pedro quer enviar uma carta para Mariana. A probabilidade
de que Pedro escreva a carta e´ 0,80. A probabilidade de que o
correio na˜o a perca e´ de 0,90. A probabilidade de que o
carteiro a entreguee´ 0,90. Dado que Mariana na˜o recebeu a
carta, qual e´ a probabilidade condicional de que Pedro na˜o a
tenha escrito?
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