ALGA Lista X

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Universidade Federal de Pelotas - UFPEL
ALGA - LISTA X
1. Provar que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então (u + v)⊥(u − v)
implica |u| = |v|.
2. Consideremos, no R3, o produto interno usual. Para que valores de m os vetores u e v são
ortogonais?
a) u = (3m, 2,−m) e v = (−4, 1, 5). R.: 2
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b) u = (0,m− 1, 4) e v = (5,m− 1,−1). R.: 3 ou −1
3. Seja V = R3 com o produto interno usual. Determinar um vetor u ∈ R3 ortogonal aos
vetores v1 = (1, 1, 2), v2 = (5, 1, 3) e v3 = (2,−2,−3). R.: u = a(1, 7,−4), a ∈ R
4. Determinar os vetores (a, b, c) para que o conjunto B = {(1,−3, 2), (2, 2, 2), (a, b, c)} seja
uma base ortogonal do R3 em relação ao produto interno usual. Construir a partir de B
uma base ortonormal.
R.: t(−5, 1, 4), t 6= 0;
{(
1√
14
,− 3√
14
, 2√
14
)
,
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
,
(
− 5√
42
, 1√
42
, 4√
42
)}
5. Sejam V = R3 munido do produto interno usual e A = {(1,−1,−2)} ⊂ V . Encontrar
uma base ortogonal B de V tal que A ⊂ B. R.: {(1,−1,−2), (1, 1, 0), (−1, 1,−1)} é
uma delas
6. Consideremos as seguintes bases do R2 e R3:
a) B = {(3, 4), (1, 2)}
b) B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2)}
c) B = {(1, 0, 1), (1, 0,−1), (0, 3, 4)}
Ortogonalizar essas bases pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, segundo o
produto interno usual de cada espaço.
R.: a)
{(
3
5
, 4
5
)
,
(−4
5
, 3
5
)}
; b)
{
(1, 0, 0),
(
0, 1√
2
, 1√
2
)
,
(
0,− 1√
2
, 1√
2
)}
;
c)
{(
1√
2
, 0, 1√
2
)
,
(
1√
2
, 0,− 1√
2
)
, (0, 1, 0)
}
7. O conjunto B =
{(
1√
2
, 1√
2
)
,
(
− 1√
2
, 1√
2
)}
é uma base ortonormal do R2 com o produto
interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = (2, 4) em relação à base B. R.:
vB = (3
√
2,
√
2)
1
8. Em relação ao produto interno usual, determinar um base ortonormal dos seguintes su-
bespaços vetoriais do R3:
a) S = {(x, y, z) ∈ R3; y − 2z = 0}. R.:
{
(1, 0, 0),
(
0,− 2√
5
, 1√
5
)}
b) S = {(x, y, z) ∈ R3;x+ y + z = 0}. R.:
{(
1√
2
,− 1√
2
, 0
)
,
(
− 1√
6
,− 1√
6
, 2√
6
)}
9. Seja V = R3 munido do produto interno usual e B = {(1, 2,−3), (2,−4, 2)}. Determinar
o subespaço S gerado por B. R.: S = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y + z = 0}
10. Dado o espaço vetorial Euclidiano V = R3 munido do produto interno usual. Verifique
se o conjunto A = {(1, 2, 1), (2, 1,−1), (0,−2, 0)} forma uma base ortogonal e, se não
for, determine uma base ortogonal a partir do conjunto A. Depois, determinar uma base
ortonormal para V . Sugestão: Para determinar uma base ortogonal, utilize o processo de
ortogonalização de Gram-Schmidt.
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